O que é Raiz quadrada? — Matemática

Definição 65.1 Matemática do ensino fundamental · Capítulo 65 — Raízes quadradas

Seja $a \geq 0$ . A raiz quadrada de $a$ , escrita $\sqrt a$ , é o único número não negativo cujo quadrado é $a$ :

\sqrt a \geq 0 \qquad\text{e}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a .

Números negativos não têm raiz quadrada, já que todo quadrado é não negativo.

A diagonal de um quadrado de lado 1 tem comprimento √12 + 12 = √2 1.414, pelo teorema de Pitágoras (o o relembra). Esse número é irracional: os decimais dele nunca se repetem. — A diagonal de um quadrado de lado $1$ tem comprimento $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ , pelo teorema de Pitágoras (o Capítulo 69 o relembra). Esse número é irracional: os decimais dele nunca se repetem.

Exemplos

Exemplo 65.9 (Somar raízes quadradas)

Somas de raízes quadradas só simplificam quando as raízes são parecidas. Calcule $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ , simplificando cada parcela primeiro:

\begin{align*} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\ \sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3, \end{align*}

então a soma é $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ .

Exemplo 65.10 (Desenvolver com raízes quadradas)

As identidades da álgebra se aplicam às raízes quadradas. Desenvolva $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ com $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .

E com o terceiro produto notável, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :

o produto de dois números irracionais pode ser um inteiro.

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