Qu'est-ce que « Racine carrée » ? — Mathématiques

Définition 65.1 Mathématiques du primaire et du collège · Chapitre 65 — Racines carrées

Soit $a \geq 0$ . La racine carrée de $a$ , notée $\sqrt a$ , est l’unique nombre positif ou nul dont le carré est $a$ :

\sqrt a \geq 0 \qquad\text{et}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a .

Les nombres négatifs n’ont pas de racine carrée, car tout carré est positif ou nul.

La diagonale d’un carré unité a pour longueur √12 + 12 = √2 1.414, par le théorème de Pythagore ( le rappelle). Ce nombre est irrationnel : ses décimales ne se répètent jamais. — La diagonale d’un carré unité a pour longueur $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ , par le théorème de Pythagore (Chapitre 69 le rappelle). Ce nombre est irrationnel : ses décimales ne se répètent jamais.

Exemples

Exemple 65.9 (Additionner des racines carrées)

Les sommes de racines carrées ne se simplifient que lorsque les racines sont semblables. Calculer $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ , en simplifiant d’abord chaque terme :

\begin{align*} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\ \sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3, \end{align*}

donc la somme est $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ .

Exemple 65.10 (Développer avec des racines carrées)

Les identités de l’algèbre s’appliquent aux racines carrées. Développer $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ avec $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .

Et avec la troisième identité, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :

le produit de deux nombres irrationnels peut être un entier.

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