Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

16Differentiaalvergelijkingen

Bachelorjaar 1 loste de lineaire vergelijkingen op die een formule toelaten. Dit hoofdstuk levert wat formules niet kunnen: de stelling van Cauchy–Lipschitz — bestaan en eenduidigheid voor $y' = f(t, y)$ — bewezen met de vastepuntsstelling van Banach, precies zoals in Hoofdstuk 4 beloofd; en daarna de volledige theorie van de lineaire stelsels $X' = A(t)X + B(t)$ , met de matrixexponentiaal en de wronskiaan als rekenmotoren.

16.1 De stelling van Cauchy–Lipschitz

Stelling 16.1 (Cauchy–Lipschitz, versie met globale lipschitzvoorwaarde)

Zij $I$ een segment en $f \colon I \times \R^n \to \R^n$ continu en lipschitz in de tweede veranderlijke, uniform in de eerste: $\norm{f(t, y) - f(t, z)} \leq k\,\norm{y - z}$ voor alle $t \in I$ . Dan heeft voor elke $(t_0, y_0) \in I \times \R^n$ het beginwaardeprobleem

y' = f(t, y), \qquad y(t_0) = y_0

precies één oplossing $y \colon I \to \R^n$ van klasse $C^1$ .

Bewijs. Herformulering. Een continue $y$ lost het probleem op dan en slechts dan als zij voldoet aan de integraalvergelijking

y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\,\dd s =: T(y)(t)

(de hoofdstelling van de integraalrekening, in beide richtingen; een continue oplossing van de integraalvergelijking is automatisch $C^1$ ).

Een contractie, na hernormeren. Schat op de banachruimte $E = C(I, \R^n)$ met de gewogen norm

N(y) = \sup_{t \in I}\; \eu^{-2k\abs{t - t_0}}\,\norm{y(t)} ,

(equivalent met de supremumnorm: het gewicht is op het segment $I$ naar boven en naar onder begrensd, dus $E$ blijft volledig) voor $y, z \in E$ en, zeg, $t \geq t_0$ :

\norm{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t} k\,\norm{y(s) - z(s)}\,\dd s \leq k\,N(y - z)\int_{t_0}^{t} \eu^{2k(s - t_0)}\dd s \leq \frac{N(y-z)}{2}\,\eu^{2k(t - t_0)} .

Vermenigvuldigen met $\eu^{-2k(t - t_0)}$ en het supremum nemen (het geval $t < t_0$ is symmetrisch): $N\bigl(T(y) - T(z)\bigr) \leq \frac12 N(y - z)$ : $T$ is een $\frac12$ -contractie van de volledige ruimte $(E, N)$ . De vastepuntsstelling van Banach (Stelling 4.12) levert een uniek vast punt: de unieke oplossing. ∎

Opmerking 16.2

Is $f$ slechts van klasse $C^1$ (lokaal lipschitz), dan geldt de stelling lokaal, met een maximale oplossing op een maximaal open interval; oplossingen kunnen in eindige tijd exploderen ( $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : $y(t) = \frac{1}{1-t}$ , verdwenen in $t = 1$ ). De globale lipschitzvoorwaarde is wat het hele segment koopt. Twee gevolgen die het onthouden waard zijn: oplossingskrommen van een differentiaalvergelijking met lipschitzveld snijden elkaar nooit; en de nulfunctie is de enige oplossing van een lineaire homogene vergelijking die ergens verdwijnt.

Voorbeeld 16.3 (Eenduidigheid is een stelling: een veld dat lekt)

Beschouw $y' = 2\sqrt{\abs y}$ met $y(0) = 0$ . De nulfunctie lost haar op; en ook

y(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0,\\ t^2 & t \geq 0, \end{cases}

die van klasse $C^1$ is (beide stukken hebben afgeleide $0$ in het lijmpunt) en voldoet aan $y'(t) = 2t = 2\sqrt{t^2}$ voor $t > 0$ — sterker nog, het opstijgen uitstellen geeft een oplossing voor elk losmoment $c \geq 0$ : oneindig veel oplossingen door dezelfde beginwaarden. Geen tegenspraak met Stelling 16.1: nabij $y = 0$ is

\frac{\abs{2\sqrt y - 2\sqrt z}}{\abs{y - z}} = \frac{2}{\sqrt y + \sqrt z} \longrightarrow +\infty ,

het veld is niet lipschitz in $y$ , en de stelling zwijgt. Het inzicht om te onthouden: de fysische lezing is een emmer die onder de zwaartekracht leegloopt, achterstevoren afgespeeld — vanuit de lege toestand kan men niet zeggen wanneer het vullen begon; het determinisme van differentiaalvergelijkingen is precies de lipschitzvoorwaarde, geen natuurwet.

16.2 Lineaire stelsels

Stelling 16.4 (Structuur van de lineaire stelsels)

Zijn $A \colon I \to \mathcal{M}_n(\R)$ en $B \colon I \to \R^n$ continu op een interval $I$ . Dan heeft voor elke $(t_0, X_0)$ het probleem

X' = A(t)X + B(t), \qquad X(t_0) = X_0

precies één oplossing op heel $I$ . De oplossingen van het homogene stelsel ( $B = 0$ ) vormen een vectorruimte $\mathcal{S}_H$ van dimensie precies $n$ , en de evaluatie $X \mapsto X(t_0)$ is een isomorfisme $\mathcal{S}_H \to \R^n$ ; algemene oplossing $=$ particuliere $+$ homogene.

Bewijs. Op elk segment $J \subseteq I$ dat $t_0$ bevat is $f(t, X) = A(t)X + B(t)$ continu, en lipschitz in $X$ met constante $k = \sup_J \vertiii{A(t)}$ (eindig: continu op een segment): Stelling 16.1 is van toepassing op $J$ ; laten we $J$ heel $I$ uitputten, dan lijmt de eenduidigheid de oplossingen aaneen tot één oplossing op $I$ . De lineariteit van de oplossingsverzameling en van de evaluatieafbeelding is duidelijk; de evaluatie is bijectief wegens het bestaan (surjectief) en de eenduidigheid (injectief): $\dim \mathcal{S}_H = n$ . De affiene structuur is woordelijk het argument uit bachelorjaar 1. ∎

Voorbeeld 16.5 (Het evaluatie-isomorfisme, concreet)

Voor $y'' + y = 0$ , opgevat als het stelsel $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ met $X = (y, y')$ : de stelling zegt dat de oplossingsruimte een vlak is en dat $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ een isomorfisme op $\R^2$ is. De oplossingen $\cos$ en $\sin$ evalueren tot $(1, 0)$ en $(0, 1)$ — de canonieke basis van $\R^2$ — dus vormen zij een basis van de oplossingsruimte, en elke oplossing is

y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,

met de coëfficiënten rechtstreeks van de beginwaarden afgelezen, zonder enig lineair stelsel op te lossen. Het inzicht om te onthouden: het fundamentaalstelsel kiezen waarvan de beginwaarden de canonieke basis vormen (hier $\cos, \sin$ ) is precies de kolommen van $\eu^{tA}$ kiezen; het evaluatie-isomorfisme is de reden waarom beginvoorwaarden banen parametriseren — de meetkundige inhoud van “deterministische dynamica” voor lineaire vergelijkingen.

Definitie 16.6 (Wronskiaan)

Voor oplossingen $X_1, \dots, X_n$ van het homogene stelsel is de wronskiaan $W(t) = \det\bigl(X_1(t), \dots, X_n(t)\bigr)$ . Volgens het isomorfisme hierboven verdwijnt $W$ ofwel identiek (de familie is afhankelijk) ofwel nooit (een fundamentaalstelsel); kwantitatief is $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr) W$ , dus

W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr) \quad \text{(formule van Liouville)}.

Voorbeeld 16.7 (Liouville nagegaan op een euler-vergelijking)

Op $\intoo{0}{\infty}$ heeft de vergelijking $t^2y'' + ty' - y = 0$ de oplossingen $y_1(t) = t$ en $y_2(t) = \frac1t$ (substitueer). Hun wronskiaan:

W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt] 1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix} = -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,

nooit nul: een fundamentaalstelsel. Ga nu Liouville na: in genormaliseerde vorm $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$ heeft de begeleidende matrix $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ spoor $-\frac1t$ , dus

W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr) = -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark

Het inzicht om te onthouden: Liouville voorspelt de vorm van de wronskiaan nog voordat er één oplossing bekend is — hier dat $W$ gelijk moet zijn aan $\frac{c}{t}$ ; dat is wat de methode van de orderverlaging aandrijft (Propositie 16.15), waar het kennen van $y_1$ en van de vorm van de wronskiaan $y_2$ met één kwadratuur vastlegt.

Bewijs van de formule van Liouville. $W(t) = \det M(t)$ met $M' = AM$ . Differentiëren we de determinant als multilineaire functie van de kolommen, dan is

W'(t) = \sum_j \det(X_1, \dots, X_j', \dots, X_n) = \sum_j \det(X_1, \dots, AX_j, \dots, X_n) .

Nu is de afbeelding $(C_1, \dots, C_n) \mapsto \sum_j \det(C_1, \dots, AC_j, \dots, C_n)$ $n$ -lineair en alternerend (met twee gelijke kolommen $C_i = C_k$ verdwijnen de termen $j \notin \{i, k\}$ ronduit, en de termen $j = i$ en $j = k$ heffen elkaar paarsgewijs op na één kolomverwisseling): volgens de eenduidigheidsstelling (Stelling 2.14) is zij $c \cdot \det$ , met $c$ afgelezen op de canonieke kolommen: $c = \sum_j \det(e_1, \dots, Ae_j, \dots, e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A$ . Bijgevolg is $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr)W$ : een scalaire lineaire differentiaalvergelijking, opgelost door de formule uit bachelorjaar 1. ∎

16.3 Constante coëfficiënten: de matrixexponentiaal

Stelling 16.8

Voor $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ (of $\C$ ) voldoet de exponentiaal $\eu^{tA} = \sum_k \frac{(tA)^k}{k!}$ (Voorbeeld 5.22) hieraan: $t \mapsto \eu^{tA}$ is van klasse $C^1$ (zelfs $C^\infty$ ) met

\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A , \qquad \eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\,\eu^{tA}, \qquad (\eu^{A})^{-1} = \eu^{-A} ;

en $\eu^{A + B} = \eu^A\eu^B$ wanneer $AB = BA$ . Het beginwaardeprobleem $X' = AX$ , $X(0) = X_0$ heeft de unieke oplossing $X(t) = \eu^{tA}X_0$ ; met een bronterm geldt de formule van de variatie van de constanten:

X(t) = \eu^{(t - t_0)A}X_0 + \int_{t_0}^{t} \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s .

Bewijs. Differentieerbaarheid: de reeks $\sum \frac{t^kA^k}{k!}$ en haar termsgewijs afgeleide reeks $\sum \frac{t^{k-1}A^k}{(k-1)!} = A\sum \frac{(tA)^{k-1}}{(k-1)!}$ convergeren normaal op elk segment (normen $\leq \frac{(\abs t\,\vertiii A)^k}{k!}$ ): differentieer term voor term (Stelling 10.11, vectorwaardig). De twee volgorden $A\eu^{tA}$ en $\eu^{tA}A$ stemmen overeen omdat elke partiaalsom met $A$ commuteert.

Groepswet: voor commuterende $A, B$ herschikt het Cauchy-product van de twee exponentiële reeksen zich volgens het binomium precies als in Voorbeeld 7.15 (de absolute convergentie in de banachalgebra rechtvaardigt dit): $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ ; met $B = sA$ geeft dit de groepswet met één parameter, en $B = -A$ de inverse.

Beginwaardeprobleem: $X(t) = \eu^{tA}X_0$ lost het op (differentieer); eenduidigheid volgens Stelling 16.4. Variatie van de constanten: zet $Y(t) = \eu^{-tA}X(t)$ ; differentiëren geeft $Y' = \eu^{-tA}(X' - AX) = \eu^{-tA}B(t)$ ; integreer van $t_0$ tot $t$ en vermenigvuldig weer met $\eu^{tA}$ . ∎

Methode 16.9 ( $\eu^{tA}$ berekenen)

Herleid $A$ (Hoofdstuk 3): is $A = PDP^{-1}$ met $D$ diagonaal, dan is $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}P^{-1}$ met $\eu^{tD}$ diagonaal met elementen $\eu^{t\lambda_i}$ ; gebruik in het algemeen Dunford $A = D + N$ (commuterend): $\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}$ met $\eu^{tN}$ een veelterm in $t$ (de nilpotentie kapt de reeks af). Complexe eigenwaarden groeperen zich tot blokken van het type rotatie maal exponentiaal (Oefening 16.5).

Opmerking 16.10 (Klassieke valkuilen)

(i) $\eu^{A+B} \neq \eu^A\eu^B$ zonder commutatie: neem $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ en $B = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . Dan is $\eu^A = I + A$ en $\eu^B = I + B$ (nilpotentie), dus

\eu^A\eu^B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad\text{terwijl}\qquad \eu^{A+B} = \cosh(1)\,I + \sinh(1)\,(A + B) = \begin{pmatrix} \cosh 1 & \sinh 1\\ \sinh 1 & \cosh 1 \end{pmatrix},

met $(A+B)^2 = I$ ; en $\cosh 1 \approx 1.54 \neq 2$ . De groepswet van Stelling 16.8 draagt een echte hypothese. (ii) Niet-lineaire intuïtie op lineair terrein: de oplossingen van een lineair stelsel met continue coëfficiënten leven op het hele interval (Stelling 16.4) — explodeert een kandidaat-oplossing binnen $I$ , dan was de vergelijking niet lineair of is de berekening fout; omgekeerd mag men voor niet-lineaire vergelijkingen nooit globaliteit beloven zonder argument ( $y' = y^2$ ). (iii) Delen door de onbekende: bij het scheiden van de veranderlijken in $y' = y(1-y)$ verdwijnen stilzwijgend de constante oplossingen $0$ en $1$ — precies die welke de fasenlijn ordenen (Oefening 16.3); som constante oplossingen eerst op. (iv) Beginwaarden leggen vectoren vast, geen scalairen: een scalaire vergelijking van orde $n$ heeft $n$ voorwaarden nodig ( $y, y', \dots$ in $t_0$ ); alleen $y(t_0)$ opleggen laat een familie met $n-1$ parameters over, een klassieke bron van “verloren” constanten.

Voorbeeld 16.11 (Een $3\times3$ -exponentiaal via Dunford)

Los $X' = AX$ op voor $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$ . Dunford per blok: $A = D + N$ met $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ en $N = E_{12}$ , die commuteren ( $N$ leeft binnen het blok bij eigenwaarde $2$ ) en met $N^2 = 0$ :

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN} = \begin{pmatrix} \eu^{2t} & t\,\eu^{2t} & 0\\ 0 & \eu^{2t} & 0\\ 0 & 0 & \eu^{3t} \end{pmatrix} .

De algemene oplossing leest men kolom voor kolom af: $X(t) = \bigl(\eu^{2t}(x_0 + ty_0),\ \eu^{2t}y_0,\ \eu^{3t}z_0\bigr)$ . Verstandscontroles: in $t = 0$ is de matrix $I$ ; haar determinant is $\eu^{7t} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ , zoals Liouville eist; en de factor $t$ verschijnt precies waar de eigenwaarde $2$ defect is. Het inzicht om te onthouden: veeltermen maal exponentiëlen zijn geen gok die men uit het hoofd leert — zij zijn de afgekapte reeks $\eu^{tN}$ , en hun graad wordt door de nilpotentie-index begrensd, nooit meer.

Methode 16.12 ( $X' = AX + B(t)$ oplossen, van begin tot eind)

Spectrum van $A$ ; dan $\eu^{tA}$ volgens Methode 16.9 (diagonaliseer; of Dunford als in Voorbeeld 16.11; of een veeltermtruc zoals $A^2 = -I$ ).
Een particuliere oplossing: de variatie van de constanten $\int_{t_0}^t\eu^{(t-s)A}B(s)\dd s$ werkt altijd; voor $B$ van exponentieel-veeltermtype is een aanzet van dezelfde vorm (met verhoogde graad bij resonantie, Oefening 16.10) sneller.
Algemene oplossing $= \eu^{(t-t_0)A}X_0 +$ particuliere; pas de beginwaarden als laatste aan, op de volledige formule.
Verstandscontroles: $X(t_0)$ klopt; de groei van het homogene deel stemt overeen met de reële delen van de eigenwaarden (Oefening 16.8); en de $\det$ van een fundamentaalmatrix gehoorzaamt aan Liouville.

Voorbeeld 16.13 (Een fasenportret)

$X' = AX$ met $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$ : $A^2 = -I$ , dus splitst de reeks zich als

\eu^{tA} = (\cos t)\,I + (\sin t)\,A = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} :

de banen zijn cirkels die met de wijzers van de klok mee worden doorlopen — de harmonische oscillator $x'' + x = 0$ in de kledij van de eerste orde. Eigenwaarden $\pm\iu$ op de imaginaire as: een centrum. Algemener beslissen de reële delen van de eigenwaarden van $A$ over de groei of het verval van $\norm{X(t)}$ (Oefening 16.8).

Twee lineaire fasenportretten. Links: een centrum (eigenwaarden ±) — gesloten cirkelvormige banen van de harmonische oscillator. Rechts: een stabiele knoop (eigenwaarden -1, -2) — alle banen vallen naar de oorsprong, rakend aan de trage eigenrichting. — Twee lineaire fasenportretten. Links: een *centrum* (eigenwaarden $\pm\iu$ ) — gesloten cirkelvormige banen van de harmonische oscillator. Rechts: een *stabiele knoop* (eigenwaarden $-1, -2$ ) — alle banen vallen naar de oorsprong, rakend aan de trage eigenrichting.

Het spoor-determinantvlak voor X' = AX in dimensie 2: onder de horizontale as zadelpunten; tussen de as en de parabool = 2/4 knopen; binnen de parabool spiralen; op de positieve -as centra. De weekendopgave bewijst deze klassering en volgt één verticale lijn ervan — de gedempte oscillator — tot in de resonantie. — Het spoor-determinantvlak voor $X' = AX$ in dimensie $2$ : onder de horizontale as zadelpunten; tussen de as en de parabool $\delta = \tau^2/4$ knopen; binnen de parabool spiralen; op de positieve $\delta$ -as centra. De weekendopgave bewijst deze klassering en volgt één verticale lijn ervan — de gedempte oscillator — tot in de resonantie.

Opmerking 16.14 (Waar dit wordt gebruikt)

Lineaire stelsels zijn het lokale model voor alles wat niet-lineair is: nabij een evenwicht gedraagt een glad vectorveld zich (in de hyperbolische gevallen) als zijn linearisering, waarvan het spoor-determinantvlak het portret klasseert. De weekendopgave werkt het verhaal van de oscillator volledig uit — demping, aandrijving, resonantie en de vergelijkingsstellingen van Sturm voor variabele coëfficiënten — de wiskunde achter schokdempers, wisselstroomkringen en spectrale kloven tegelijk. Het volume van bachelorjaar 3 keert terug met de kwalitatieve theorie (stromingen, stabiliteit, eerste integralen) op variëteiten.

16.4 Tweede orde met variabele coëfficiënten

Propositie 16.15

De vergelijking $y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)$ ( $a, b, c$ continu op $I$ ) is het stelsel $X' = A(t)X + B(t)$ voor $X = (y, y')$ : er bestaan oplossingen, en zij zijn uniek op heel $I$ voor willekeurige beginwaarden $(y(t_0), y'(t_0))$ ; de homogene oplossingen vormen een vlak. Is één homogene oplossing $y_1$ bekend die nergens verdwijnt, dan vindt men een tweede onafhankelijke oplossing door orderverlaging: de substitutie $y = y_1 z$ maakt van de homogene vergelijking een vergelijking van eerste orde voor $z'$ , die met kwadraturen wordt opgelost.

Bewijs. De vorm als stelsel en Stelling 16.4 geven alles wat structureel is. Orderverlaging: substitueren we $y = y_1z$ , dan is

y_1 z'' + (2y_1' + a y_1)z' + \underbrace{(y_1'' + ay_1' + by_1)}_{=\,0}\,z = 0 :

een lineaire vergelijking van eerste orde in $u = z'$ , oplosbaar met de formule uit bachelorjaar 1; $u$ integreren geeft $z$ en dus $y_2 = y_1 z$ , onafhankelijk van $y_1$ zodra $z$ niet constant is. ∎

Voorbeeld 16.16

$t^2y'' - 2y = 0$ op $\intoo{0}{\infty}$ : $y_1 = t^2$ is een oplossing. Substitueer $y = t^2z$ : uit $y' = t^2z' + 2tz$ en $y'' = t^2z'' + 4tz' + 2z$ volgt

t^2y'' - 2y = t^4 z'' + 4t^3z' = 0, \qquad\text{dat wil zeggen}\qquad \frac{z''}{z'} = -\frac4t :

$z' = t^{-4}$ (op een constante na), $z = -\frac{1}{3t^3}$ , en $y_2 = t^2z = -\frac{1}{3t}$ . Algemene oplossing: $y = \alpha t^2 + \frac{\beta}{t}$ .

16.5 Oefeningen

Oefening 16.1 ★

Los $X' = AX$ , $X(0) = (1, 0)^{\mathsf T}$ op voor $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ (diagonaliseer) en $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (Dunford).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.1.

Eerste matrix: eigenwaarden $1, 2$ , eigenvectoren $(1,0)$ en $(1,1)$ . Ontbind $X_0 = (1,0) = 1\cdot(1,0) + 0\cdot(1,1)$ : de oplossing is

X(t) = \eu^{t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} .

(De beginvector is zelf een eigenvector.)

Tweede: $A = 2I + N$ , $N = E_{12}$ , $N^2 = 0$ : $\eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN)$ , dus

X(t) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} = \eu^{2t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}.

Oefening 16.2 ★

Welke beginwaardeproblemen hebben volgens Stelling 16.1 unieke globale oplossingen op $\R$ ? $y' = \sin(ty)$ ; $\;y' = y^2$ ; $\;y' = \abs y$ . Los het laatste expliciet op met $y(0) = 0$ en met $y(0) = 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.2.

$y' = \sin(ty)$ : $\abs{\sin(ty) - \sin(tz)} \leq \abs t\,\abs{y - z}$ — lipschitz in $y$ , uniform op elk segment van tijdstippen: unieke globale oplossingen op $\R$ (pas de stelling op elk segment toe).

$y' = y^2$ : alleen lokaal lipschitz; geen globale stelling, en inderdaad explodeert $y(0) = 1$ in $t = 1$ .

$y' = \abs y$ : $\abs\cdot$ is $1$ -lipschitz: globaal bestaan en globale eenduidigheid. Met $y(0) = 0$ : $y \equiv 0$ (eenduidigheid!). Met $y(0) = 1$ : $y$ blijft positief (zij kan de nuloplossing niet kruisen), dus $y' = y$ : $y = \eu^t$ .

Oefening 16.3 ★

Bewijs dat twee verschillende maximale oplossingen van $y' = f(t,y)$ ( $f$ lipschitz in $y$ ) nooit op hetzelfde tijdstip dezelfde waarde aannemen, en leid af dat oplossingen van $y' = y(1 - y)$ die in $\intoo{0}{1}$ beginnen, voor altijd in $\intoo{0}{1}$ blijven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.3.

Geldt $y(t_1) = z(t_1)$ op een zeker tijdstip, dan lossen $y$ en $z$ hetzelfde beginwaardeprobleem in $t_1$ op: de eenduidigheid dwingt $y = z$ af op hun gemeenschappelijke interval — verschillende oplossingen ontmoeten elkaar nooit.

Voor $y' = y(1-y)$ : de constanten $0$ en $1$ zijn oplossingen. Een oplossing die in $\intoo{0}{1}$ begint, kan $0$ of $1$ nooit bereiken (zij zou met een constante oplossing botsen): zij blijft in $\intoo{0}{1}$ en is dus globaal (begrensd: geen explosie — bijvoorbeeld volgens het criterium van Oefening 16.9, of omdat het vectorveld begrensd is op de strook waarin zij gevangen zit).

Oefening 16.4 ★★

Bereken $\eu^{tA}$ voor $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ (Dunford: $(A - 2I)^2 = 0$ ), en los $X' = AX + \begin{pmatrix} \eu^{2t}\\ 0\end{pmatrix}$ , $X(0) = 0$ , op met de variatie van de constanten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.4.

$(A - 2I)^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}^2 = 0$ : Dunford met $D = 2I$ en $N = A - 2I$ :

\eu^{tA} = \eu^{2t}\,(I + tN) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 + t & t\\ -t & 1 - t\end{pmatrix}.

Variatie van de constanten met $B(s) = (\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T}$ :

X(t) = \int_0^t \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s = \eu^{2t}\int_0^t \begin{pmatrix} 1 + (t-s)\\ -(t-s) \end{pmatrix}\dd s = \eu^{2t}\begin{pmatrix} t + \frac{t^2}{2}\\[2pt] -\frac{t^2}{2} \end{pmatrix},

met $\eu^{(t-s)A}B(s) = \eu^{2(t-s)}(I + (t-s)N)\,(\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T} = \eu^{2t}\bigl(1 + (t-s),\, -(t-s)\bigr)^{\mathsf T}$ . (Controle: $X(0) = 0$ ; en $X' - AX = (\eu^{2t}, 0)^{\mathsf T}$ door differentiëren.)

Oefening 16.5 ★★

Bewijs voor $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ dat $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\begin{pmatrix} \cos\beta t & -\sin\beta t\\ \sin\beta t & \cos\beta t\end{pmatrix}$ — spiraalvormige banen — op twee manieren: via de reeks (schrijf $A = \alpha I + \beta J$ , $J^2 = -I$ ), en via de complexe identificatie $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.5.

Reeks: $A = \alpha I + \beta J$ met $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , $J^2 = -I$ ; de twee termen commuteren, dus $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\,\eu^{\beta tJ}$ , en de reeks van $\eu^{\beta t J}$ splitst zich langs even en oneven machten in $\cos(\beta t)I + \sin(\beta t)J$ : de aangekondigde matrix van het type draaivermenigvuldiging.

Complex: identificeer $(x, y) \in \R^2$ met $z = x + \iu y$ ; het stelsel $X' = AX$ luidt $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ , en haar oplossing $z(t) = \eu^{\alpha t}\eu^{\iu\beta t}z_0$ is precies de spiraal: modulus $\eu^{\alpha t}$ , argument dat met snelheid $\beta$ toeneemt.

Oefening 16.6 ★★

(Lemma van Gronwall) Zij $u$ continu en niet-negatief met $u(t) \leq C + k\int_{t_0}^{t} u(s)\,\dd s$ op $\intco{t_0}{T}$ . Bewijs dat $u(t) \leq C\,\eu^{k(t - t_0)}$ (differentieer $v(t) = \eu^{-kt}\int_{t_0}^t u$ ). Leid opnieuw de eenduidigheid in Cauchy–Lipschitz af, en de continue afhankelijkheid $\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0}\,\eu^{k\abs{t - t_0}}$ voor twee oplossingen met verschillende beginwaarden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.6.

Zij $v(t) = \eu^{-k(t - t_0)}\int_{t_0}^t u$ . Dan is

v'(t) = \eu^{-k(t-t_0)}\Bigl(u(t) - k\int_{t_0}^t u\Bigr) \leq C\,\eu^{-k(t-t_0)},

wegens de hypothese. Integreren van $t_0$ tot $t$ ( $v(t_0) = 0$ ) geeft $v(t) \leq \frac{C}{k}\bigl(1 - \eu^{-k(t - t_0)}\bigr)$ , dat wil zeggen $k\int_{t_0}^t u \leq C\bigl(\eu^{k(t-t_0)} - 1\bigr)$ ; dit terugvoeren in de hypothese: $u(t) \leq C\eu^{k(t-t_0)}$ .

Eenduidigheid en afhankelijkheid: twee oplossingen $y, z$ van de integraalvergelijking voldoen aan

\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0} + k\int_{t_0}^{t}\norm{y - z},

en Gronwall met $C = \norm{y_0 - z_0}$ geeft de exponentiële grens; $C = 0$ geeft de eenduidigheid.

Oefening 16.7 ★★

Bepaal, wetend dat $y_1(t) = \frac{\sin t}{t}$ de vergelijking $ty'' + 2y' + ty = 0$ op $\intoo{0}{\pi}$ oplost, een tweede onafhankelijke oplossing door orderverlaging, en geef de algemene oplossing.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.7.

Substitueer $y = y_1 z$ met $y_1 = \frac{\sin t}{t}$ : de algemene formule voor de orderverlaging (Propositie 16.15) geeft voor $u = z'$

y_1 u' + \Bigl(2y_1' + \frac{2}{t}\,y_1\Bigr)u = 0

(de vergelijking genormaliseerd als $y'' + \frac2t y' + y = 0$ ). Bereken $2y_1' + \frac2t y_1 = 2\,\frac{t\cos t - \sin t}{t^2} + \frac{2\sin t}{t^2} = \frac{2\cos t}{t}$ : dus

\frac{u'}{u} = -\frac{2\cos t}{t}\cdot\frac{t}{\sin t} = -2\cot t \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{1}{\sin^2 t} \quad (\text{op een constante na}),

en $z = -\cot t$ , wat $y_2 = y_1 z = -\frac{\cos t}{t}$ geeft. Algemene oplossing op $\intoo{0}{\pi}$ :

y(t) = \alpha\,\frac{\sin t}{t} + \beta\,\frac{\cos t}{t} .

(Dit zijn de sferische bessel-functies van orde nul.)

Oefening 16.8 ★★★

Zij $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ met alle eigenwaarden van (strikt) negatief reëel deel. Bewijs dat elke oplossing van $X' = AX$ naar $0$ streeft als $t \to +\infty$ , met een exponentieel tempo: $\norm{X(t)} \leq C\,\eu^{-\alpha t}$ voor een zekere $\alpha > 0$ . (Trigonaliseer; behandel het driehoekige stelsel vanaf de laatste rij naar boven, of gebruik Dunford: $\eu^{tA} = \eu^{tD}\eu^{tN}$ met $\norm{\eu^{tD}} \leq \eu^{-\alpha' t}$ en $\eu^{tN}$ een veelterm in $t$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.8.

Dunford: $A = D + N$ commuterend, $D$ diagonaliseerbaar met dezelfde eigenwaarden en $N$ nilpotent, dus

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}, \qquad \eu^{tN} = \sum_{k < n} \frac{t^kN^k}{k!} \ \text{(een matrixveelterm in } t).

Zij $-2\alpha = \max_i \Re\lambda_i < 0$ . In een basis die $D$ diagonaliseert is $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-2\alpha t}$ (elementen $\eu^{t\lambda_i}$ van modulus $\eu^{t\Re\lambda_i}$ ); normen in verschillende basissen verschillen slechts met constanten. Bijgevolg is

\norm{X(t)} \leq \vertiii{\eu^{tA}}\,\norm{X_0} \leq C'\,\eu^{-2\alpha t}\,(1 + t)^{n-1}\,\norm{X_0} \leq C\,\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} ,

waarbij de veelterm in één exponentiële factor wordt opgeslorpt ( $\eu^{-\alpha t}(1+t)^{n-1} \to 0$ en is dus begrensd).

Oefening 16.9 ★★★

(Geen ontsnapping in eindige tijd bij lineaire groei) Neem aan dat $f$ continu is met $\norm{f(t, y)} \leq a\norm y + b$ op $\intco{0}{\infty} \times \R^n$ , en lokaal lipschitz in $y$ . Bewijs met Gronwall (Oefening 16.6) op de integraalvorm dat de maximale oplossingen globaal zijn (gedefinieerd op heel $\intco{0}{\infty}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.9.

Zij $y$ een maximale oplossing op $\intco{0}{T}$ , $T \leq \infty$ , en neem aan dat $T < \infty$ . De integraalvorm geeft voor $t < T$

\norm{y(t)} \leq \norm{y_0} + \int_0^t \bigl(a\norm{y(s)} + b\bigr)\dd s \leq \bigl(\norm{y_0} + bT\bigr) + a\int_0^t\norm{y(s)}\,\dd s ,

en Gronwall begrenst $\norm{y(t)} \leq (\norm{y_0} + bT)\,\eu^{aT} =: M$ op $\intco{0}{T}$ : de oplossing blijft in een compacte bal. Dan is $y' = f(t, y)$ begrensd nabij $T$ , dus is $y$ lipschitz nabij $T$ en breidt zij zich continu uit tot $T$ (criterium van Cauchy); het beginwaardeprobleem oplossen in $(T, y(T))$ verlengt $y$ voorbij $T$ , in tegenspraak met de maximaliteit. Bijgevolg is $T = \infty$ : geen ontsnapping in eindige tijd bij lineaire groei.

Oefening 16.10 ★

Los $y'' - 3y' + 2y = \eu^{t}$ op: homogene oplossingen, dan een particuliere oplossing van de vorm $\alpha t\,\eu^{t}$ (waarom faalt de naïeve gok $\alpha\eu^t$ ?); algemene oplossing en de oplossing met $y(0) = y'(0) = 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.10.

Karakteristieke nulpunten van $r^2 - 3r + 2$ : $1$ en $2$ , dus de homogene oplossingen zijn $a\eu^t + b\eu^{2t}$ . De gok $\alpha\eu^t$ faalt omdat $\eu^t$ de homogene vergelijking al oplost (het nulpunt $r = 1$ “resoneert” met het rechterlid). Met $y = \alpha t\,\eu^t$ : $y' = \alpha(1 + t)\eu^t$ , $y'' = \alpha(2 + t)\eu^t$ , en

y'' - 3y' + 2y = \alpha\eu^t\bigl(2 + t - 3 - 3t + 2t\bigr) = -\alpha\,\eu^t :

$\alpha = -1$ , $y_p = -t\,\eu^t$ . Algemene oplossing: $y = a\eu^t + b\eu^{2t} - t\eu^t$ . Beginwaarden $y(0) = y'(0) = 0$ : $a + b = 0$ en $a + 2b - 1 = 0$ : $b = 1$ , $a = -1$ :

y(t) = \eu^{2t} - (1 + t)\,\eu^{t} .

Oefening 16.11 ★★

Bereken $\eu^{tA}$ voor het jordanblok

A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix},

en beschrijf alle oplossingen van $X' = AX$ : exponentiëlen maal veeltermvectoren, met graden tot en met $2$ . Waar komt de veeltermgraad vandaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.11.

$A = \lambda I + N$ met $N = E_{12} + E_{23}$ : $N^2 = E_{13}$ , $N^3 = 0$ , en $\lambda I$ commuteert met $N$ :

\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr) = \eu^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2}\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Oplossingen: $X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(X_0 + tNX_0 + \frac{t^2}2N^2X_0\bigr)$ — elke component is $\eu^{\lambda t}$ maal een veelterm van graad $\leq 2$ . De grens op de graad is de nilpotentie-index min één: de reeks van $\eu^{tN}$ breekt af bij $N^2$ .

Oefening 16.12 ★★★

(Periodieke aandrijving, periodiek antwoord) Zij $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ en $B \colon \R \to \R^n$ continu en $T$ -periodiek.

Toon aan dat een oplossing van $X' = AX + B(t)$ $T$ -periodiek is dan en slechts dan als $X(T) = X(0)$ (vergelijk $X(\cdot + T)$ met $X$ ).
Toon aan dat de eigenwaarden van $\eu^{TA}$ de getallen $\eu^{T\lambda}$ zijn met $\lambda \in \operatorname{Sp}A$ (trigonaliseer over $\C$ ). Leid af: ligt geen enkele eigenwaarde van $A$ in $\frac{2\iu\pi}{T}\Z$ , dan is $I - \eu^{TA}$ inverteerbaar.
Bewijs onder die hypothese dat het stelsel precies één $T$ -periodieke oplossing heeft, met

$X(0) = \bigl(I - \eu^{TA}\bigr)^{-1} \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s .$

Waarmee stemt het uitgesloten geval overeen voor de harmonische oscillator? (De weekendopgave antwoordt: resonantie.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.12.

Geldt $X(T) = X(0)$ , dan lost $Y(t) = X(t + T)$ het stelsel $Y' = AY + B(t + T) = AY + B(t)$ op met $Y(0) = X(0)$ : de eenduidigheid (Stelling 16.4) geeft $Y = X$ , dat wil zeggen dat $X$ $T$ -periodiek is. Het omgekeerde is triviaal.
Trigonaliseer over $\C$ : $A = PT'P^{-1}$ met $T'$ bovendriehoekig en diagonaal $(\lambda_i)$ . Elke macht van een driehoekige matrix is driehoekig met diagonaal $(\lambda_i^k)$ , dus is $\eu^{TA} = P\eu^{TT'}P^{-1}$ driehoekig in dezelfde basis met diagonaal $(\eu^{T\lambda_i})$ : dat zijn de eigenwaarden. Dan is $I - \eu^{TA}$ inverteerbaar dan en slechts dan als $\eu^{T\lambda} \neq 1$ voor elke eigenwaarde, dat wil zeggen dan en slechts dan als $T\lambda \notin 2\iu\pi\Z$ , wat de gestelde hypothese is.
Variatie van de constanten: $X(T) = \eu^{TA}X(0) + \int_0^T\eu^{(T-s)A}B(s)\dd s$ , dus $X(T) = X(0)$ luidt

$\bigl(I - \eu^{TA}\bigr)X(0) = \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s ,$

wat onder de hypothese van inverteerbaarheid een unieke oplossing $X(0)$ heeft: precies één $T$ -periodieke oplossing. Voor de harmonische oscillator ( $\lambda = \pm\iu\omega$ ) is het uitgesloten geval $\omega T \in 2\pi\Z$ : een aandrijving waarvan de periode een veelvoud is van de eigenperiode — resonantie, zoals de weekendopgave kwantificeert.

16.6 Probleem: trillingen, resonantie en de vergelijkingsstellingen van Sturm

Probleem 16.1

Eén vergelijking regeert de mechanische en de elektrische wereld:

x'' + 2\zeta\omega\,x' + \omega^2 x = F(t), \qquad \omega > 0,\ \zeta \geq 0 .

Deze opgave bestudeert haar volledig — via de klassering van de vlakke lineaire stelsels in het spoor-determinantvlak, de drie dempingsregimes, het antwoord in stationaire toestand op een periodieke aandrijving met haar resonantiepiek en de resonantiecatastrofe — en verlaat daarna de constante coëfficiënten voor de scheidings- en vergelijkingsstellingen van Sturm, die de nulpunten van de oplossingen van $y'' + q(t)y = 0$ beheersen zonder ook maar enige formule.

Deel I — Het spoor-determinantvlak. Zij $A \in \mathcal M_2(\R)$ , $\tau = \operatorname{tr}A$ , $\delta = \det A$ en $\Delta = \tau^2 - 4\delta$ .

Toon aan dat de eigenwaarden van $A$ gelijk zijn aan $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ en klasseer: twee reële eigenwaarden van tegengesteld teken dan en slechts dan als $\delta < 0$ ; reële eigenwaarden van hetzelfde teken dan en slechts dan als $\delta > 0$ en $\Delta \geq 0$ (teken van $\tau$ ); een paar niet-reële toegevoegde eigenwaarden dan en slechts dan als $\Delta < 0$ (reëel deel $\frac\tau2$ ).
(Zadelpunt, $\delta < 0$ ) Schrijf met eigenwaarden $\mu < 0 < \lambda$ en eigenvectoren $v_\pm$ de algemene oplossing en beschrijf de banen: twee stabiele en twee instabiele halfrechten, en alle overige banen asymptotisch aan beide. Waarom kan geen enkele oplossing behalve $0$ op heel $\R$ begrensd blijven?
(Knopen, $\delta > 0$ , $\Delta > 0$ ) Toon voor $\mu < \lambda < 0$ aan dat elke oplossing ongelijk aan nul naar $0$ streeft, en dat alle banen behalve die op de snelle as rakend aan de trage eigenrichting aankomen (vergelijk $\eu^{\mu t}$ en $\eu^{\lambda t}$ ).
(Spiralen en centra, $\Delta < 0$ ) Beschrijf, met de eigenwaarden geschreven als $\alpha \pm \iu\beta$ , de banen met behulp van Oefening 16.5 (na een reële basisverandering, in die algemeenheid aangenomen of bewezen voor de stelsels van Deel II, die hieronder worden gebruikt): spiralen die convergeren voor $\alpha = \frac\tau2 < 0$ , divergeren voor $\tau > 0$ , en gesloten krommen (centrum) voor $\tau = 0$ .
(Grensgevallen) Toon voor een dubbele eigenwaarde ( $\Delta = 0$ ) aan dat $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ met $N = A - \lambda I$ nilpotent, en onderscheid de ster ( $N = 0$ ) van de oneigenlijke knoop ( $N \neq 0$ ). Vat Deel I samen in het spoor-determinantbeeld uit de figuur van dit hoofdstuk.

Deel II — De gedempte oscillator. Nu is $F = 0$ : $x'' + 2\zeta\omega x' + \omega^2x = 0$ , dat wil zeggen $X' = AX$ met $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -2\zeta\omega\end{pmatrix}$ .

Bereken $\tau, \delta, \Delta$ en plaats de drie regimes in het spoor-determinantvlak: onderkritisch gedempt $0 < \zeta < 1$ (stabiele spiraal), kritisch gedempt $\zeta = 1$ (dubbele eigenwaarde), overkritisch gedempt $\zeta > 1$ (stabiele knoop); $\zeta = 0$ is het centrum.
Los de drie regimes expliciet op:

$\zeta < 1:\ \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_d t + b\sin\omega_dt\bigr),\ \omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}; \qquad \zeta = 1:\ (a + bt)\,\eu^{-\omega t};$

$\zeta > 1$ : twee reële exponentiëlen. Definieer de pseudoperiode $\frac{2\pi}{\omega_d}$ en toon aan dat de verhouding van opeenvolgende maxima van $\abs x$ de constante $\eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ is (het logaritmische decrement).
(Het principe van de deurdranger) Voor $\zeta \geq 1$ wordt het verval bestuurd door de traagste eigenwaarde $\lambda_{\mathrm{traag}} = -\omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr)$ . Toon aan dat $\abs{\lambda_{\mathrm{traag}}} = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}}$ een dalende functie van $\zeta \geq 1$ is: de kritische demping $\zeta = 1$ geeft de snelste niet-oscillerende terugkeer naar rust.
(Energie) Zij $E(t) = \frac12x'^2 + \frac12\omega^2x^2$ . Bewijs dat $E' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ , en leid af dat de vergelijking voor $\zeta > 0$ geen periodieke oplossing heeft behalve nul (een periode zou $E$ constant afdwingen, en dus $x' \equiv 0$ ).
Leg in twee zinnen uit waarom het centrum $\zeta = 0$ structureel breekbaar is: elke $\zeta > 0$ , hoe klein ook, vernietigt de periodiciteit — en waar dat in het spoor-determinantvlak te zien is (de lijn van de centra heeft een leeg inwendige).

Deel III — Gedwongen trillingen en resonantie. Nu is $F(t) = F\cos(\gamma t)$ met $F, \gamma > 0$ .

( $\zeta > 0$ : de stationaire toestand) Zoek $x_p = \Re\bigl(z\,\eu^{\iu\gamma t}\bigr)$ : toon aan dat

$z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma}, \qquad A(\gamma) := \abs z = \frac{F}{\sqrt{(\omega^2 - \gamma^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\gamma^2}} ,$

en schrijf $x_p = A(\gamma)\cos(\gamma t - \varphi)$ met $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2-\gamma^2}$ .
Toon aan dat elke oplossing gelijk is aan $x_p$ plus een overgangsverschijnsel uit Deel II, dat naar $0$ streeft: wat de beginwaarden ook zijn, het systeem vergrendelt zich op de stationaire toestand — amplitude $A(\gamma)$ , fase-achterstand $\varphi$ .
(De resonantiekromme) Maximaliseer $A$ : toon aan dat $A(\gamma)$ een inwendig maximum heeft dan en slechts dan als $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ , in

$\gamma_* = \omega\sqrt{1 - 2\zeta^2}, \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1-\zeta^2}} ,$

en dat de piek voor kleine $\zeta$ het statische antwoord $A(0) = \frac F{\omega^2}$ versterkt met de factor $\approx \frac{1}{2\zeta}$ .
( $\zeta = 0$ , buiten resonantie) Toon voor $\gamma \neq \omega$ aan dat de oplossing met $x(0) = x'(0) = 0$ gelijk is aan

$x(t) = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2}\bigl(\cos\gamma t - \cos\omega t\bigr) = \frac{2F}{\omega^2-\gamma^2} \sin\frac{(\omega-\gamma)t}{2} \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2} :$

begrensd, met zwevingen — een snelle trilling onder een trage omhullende — wanneer $\gamma$ dicht bij $\omega$ ligt.
( $\zeta = 0$ , resonantie) Toon voor $\gamma = \omega$ aan dat $x_p(t) = \frac{F}{2\omega}\,t\sin(\omega t)$ een oplossing is, en vind haar terug als de limiet van vraag 14 voor $\gamma \to \omega$ : de amplitude groeit voor altijd lineair — de resonantiecatastrofe.
(Verband met Fourier) Een algemene periodieke aandrijving ontbindt in harmonischen (het hoofdstuk over Fourierreeksen); wegens de lineariteit is de stationaire toestand de som van de harmonische antwoorden. Welke harmonische resoneert bij een ongedempte oscillator met frequentie $\omega = 3$ , aangedreven door een blokgolf van het type uit Oefening 14.1 (harmonischen op alle oneven gehele getallen)? Eén zin over waarom ingenieurs blokgolven vrezen.

Deel IV — De stellingen van Sturm. Beschouw $y'' + q(t)\,y = 0$ op een interval $I$ , met $q$ continu. (Elke vergelijking $y'' + ay' + by = 0$ herleidt tot deze normaalvorm met de substitutie $y = u\exp\bigl(-\frac12\int a\bigr)$ ; vraag 21 toont een variant van de truc in actie.)

Toon voor twee oplossingen $y_1, y_2$ aan dat de wronskiaan $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ constant is, en nul dan en slechts dan als de oplossingen evenredig zijn; en dat een oplossing die niet nul is, alleen enkelvoudige, geïsoleerde nulpunten heeft.
(Scheidingsstelling van Sturm) Zijn $y_1, y_2$ onafhankelijke oplossingen en $a < b$ twee opeenvolgende nulpunten van $y_1$ . Bewijs dat $y_2$ precies eenmaal verdwijnt in $\intoo{a}{b}$ (evalueer de constante $W$ in $a$ en $b$ : daar is $W = y_1'y_2$ , en $y_1'(a)$ en $y_1'(b)$ hebben tegengesteld teken): de nulpunten van onafhankelijke oplossingen interlaceren.
(Vergelijkingsstelling van Sturm) Zij $q_1 \leq q_2$ op $I$ , $y \neq 0$ met $y'' + q_1y = 0$ , $z \neq 0$ met $z'' + q_2z = 0$ , en $a < b$ opeenvolgende nulpunten van $y$ . Toon aan dat $z$ verdwijnt in $\intcc{a}{b}$ — strikt daarbinnen als $q_1 < q_2$ ergens op $\intoo ab$ (geldt $z \neq 0$ op $\intoo ab$ , bestudeer dan $(yz' - y'z)' = (q_1 - q_2)yz$ met vaste tekens voor $y$ en $z$ en vergelijk de randwaarden).
Leid de grenzen op de afstand af: geldt $0 < m^2 \leq q(t) \leq M^2$ op $I$ , dan voldoen twee opeenvolgende nulpunten $a < b$ van een oplossing ongelijk aan nul van $y'' + qy = 0$ aan

$\frac{\pi}{M} \;\leq\; b - a \;\leq\; \frac{\pi}{m}$

(vergelijk met $u'' + M^2u = 0$ en $u'' + m^2u = 0$ , waarvan de nulpunten op afstand $\frac\pi M$ en $\frac\pi m$ liggen). Ga dit na op de harmonische oscillator.
Vorm $ty'' + 2y' + ty = 0$ (Oefening 16.7) om met $u = ty$ tot $u'' + u = 0$ , vind onmiddellijk haar oplossingen $\frac{\sin t}t$ en $\frac{\cos t}{t}$ terug, en besluit dat de nulpunten van elke oplossing ongelijk aan nul precies op afstand $\pi$ liggen: het wereldbeeld van Sturm — nulpunten worden bestuurd door de coëfficiënt $q$ , met of zonder formules.

Deel V — Duhamel en de grens van de begrensdheid.

(Duhamel voor de oscillator) Toon aan dat voor continue $F$ de oplossing van $x'' + \omega^2x = F(t)$ met $x(0) = x'(0) = 0$ gelijk is aan

$x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin\bigl(\omega(t - s)\bigr)F(s)\,\dd s ,$

en leid daaruit de resonante oplossing van vraag 15 opnieuw af met $F(s) = F\cos(\omega s)$ (product in som omzetten).
( $\zeta > 0$ : begrensde ingang, begrensde uitgang) Toon aan dat voor $\zeta > 0$ en elke begrensde continue $F$ elke oplossing van de gedempte vergelijking begrensd is op $\intco{0}{\infty}$ (variatie van de constanten plus het exponentiële verval $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ uit Oefening 16.8).
( $\zeta = 0$ ) Toon aan dat zonder demping een begrensde periodieke aandrijving alle oplossingen begrensd houdt behalve precies in resonantie ( $\gamma = \omega$ , vraag 15 tegenover vraag 14): demping is wat van de grens van de begrensdheid uniforme stabiliteit maakt.
Synthese. In telkens één zin: (i) hoe het spoor-determinantvlak de Delen I–II ordent en waar de aandrijving (Deel III) het verlaat; (ii) de fysische betekenis van $\gamma_*$ , $A(\gamma_*)$ en de factor $\frac1{2\zeta}$ ; (iii) wat de stellingen van Sturm zeggen wat expliciete formules niet kunnen; (iv) welke twee resultaten uit deze opgave de rest van het boek stilzwijgend zal hergebruiken (wronskianen die volgens Liouville constant zijn; stabiliteit bij begrensde ingang).

Oplossing

Oplossing van Probleem 16.1.

1. De karakteristieke veelterm is $\lambda^2 - \tau\lambda + \delta$ , met nulpunten $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ . Is $\delta < 0$ , dan is $\Delta = \tau^2 - 4\delta > 0$ en hebben de twee reële nulpunten product $\delta < 0$ : tegengestelde tekens. Is $\delta > 0$ en $\Delta \geq 0$ , dan zijn de nulpunten reëel met product $> 0$ en som $\tau$ : beide met het teken van $\tau$ . Is $\Delta < 0$ : een toegevoegd paar $\alpha \pm \iu\beta$ met $\alpha = \frac\tau2$ en $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}2$ .

2. $X(t) = a\,\eu^{\mu t}v_- + b\,\eu^{\lambda t}v_+$ . Banen met $a = 0$ (respectievelijk $b = 0$ ) lopen langs de instabiele (respectievelijk stabiele) eigenrechte; voor alle andere gaat $\norm X \to \infty$ in beide tijdsrichtingen, asymptotisch aan $\R v_+$ als $t \to +\infty$ en aan $\R v_-$ als $t \to -\infty$ : het beeld van het zadelpunt. Begrensdheid op heel $\R$ dwingt $b = 0$ af (anders explosie in $+\infty$ ) en $a = 0$ (in $-\infty$ ): alleen de oorsprong.

3. Met $\mu < \lambda < 0$ vervallen beide exponentiëlen: $X(t) \to 0$ . Is $b \neq 0$ , zonder dan $\eu^{\lambda t}$ af:

X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(b\,v_\lambda + a\,\eu^{(\mu - \lambda)t}v_\mu\bigr), \qquad \eu^{(\mu-\lambda)t} \to 0 :

de richting van $X(t)$ streeft naar $\R v_\lambda$ , de trage eigenrichting — alle banen behalve de snelle as komen daaraan rakend aan (het rechterpaneel van de fasenportretten van dit hoofdstuk).

4. In de basis waarin $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ (Oefening 16.5; voor de oscillatorstelsels van Deel II wordt deze vorm door een expliciete reële basisverandering bereikt) is de oplossing $\eu^{\alpha t}$ maal een rotatie over de hoek $\beta t$ : logaritmische spiralen, samentrekkend als $\alpha = \frac\tau2 < 0$ , uitdijend als $\tau > 0$ , en gesloten krommen (ellipsen in de oorspronkelijke coördinaten) als $\tau = 0$ : het centrum.

5. $\Delta = 0$ geeft de dubbele eigenwaarde $\lambda = \frac\tau2$ ; volgens Cayley–Hamilton (Stelling 3.21) is $(A - \lambda I)^2 = 0$ , dus is $N = A - \lambda I$ nilpotent, commuteert zij met $\lambda I$ , en is $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ . Is $N = 0$ , dan is $A = \lambda I$ en zijn alle halfrechten banen (sterknoop). Is $N \neq 0$ , dan is $X(t) = \eu^{\lambda t}(X_0 + tNX_0)$ , en voor $NX_0 \neq 0$ convergeert de richting naar de enige eigenrichting $\operatorname{im}N$ : oneigenlijke knoop. Hiermee is het spoor-determinantbeeld volledig.

6. $\tau = -2\zeta\omega$ , $\delta = \omega^2 > 0$ , $\Delta = 4\omega^2(\zeta^2 - 1)$ . Dus: $0 < \zeta < 1$ geeft $\Delta < 0$ en $\tau < 0$ : stabiele spiraal; $\zeta = 1$ : $\Delta = 0$ : ontaarde stabiele knoop; $\zeta > 1$ : $\Delta > 0$ , $\tau < 0$ , $\delta > 0$ : stabiele knoop; $\zeta = 0$ : $\tau = 0$ , $\delta > 0$ : centrum. Een verticale reis door het vlak op $\delta = \omega^2$ .

7. Nulpunten $r = -\zeta\omega \pm \omega\sqrt{\zeta^2-1}$ . Voor $\zeta < 1$ : $r = -\zeta\omega \pm \iu\omega_d$ met $\omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}$ :

x(t) = \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_dt + b\sin\omega_dt\bigr) = R\,\eu^{-\zeta\omega t}\cos(\omega_dt - \varphi) .

Voor $\zeta = 1$ : $x = (a + bt)\eu^{-\omega t}$ . Voor $\zeta > 1$ : $x = a\eu^{r_-t} + b\eu^{r_+t}$ , met beide tempo’s negatief. Opeenvolgende maxima van $\abs x$ treden in het onderkritisch gedempte geval op met tussenpozen gelijk aan de pseudoperiode $\frac{2\pi}{\omega_d}$ (dezelfde fase van de cosinus), en hun verhouding is $\eu^{-\zeta\omega\cdot2\pi/\omega_d} = \eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ : het logaritmische decrement, een dempingsmeter die op een oscilloscoop af te lezen is.

8. Rationaliseren geeft

\abs{\lambda_{\mathrm{traag}}} = \omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr) = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}} ,

waarvan de noemer stijgt met $\zeta \geq 1$ : het verval is het snelst bij $\zeta = 1$ , waar het gelijk is aan $\omega$ . Een overkritisch gedempte deur sluit zonder te klappen, maar traag; de kritische demping is het optimum van de ingenieur.

9. $E' = x'x'' + \omega^2xx' = x'\bigl(-2\zeta\omega x' - \omega^2x\bigr) + \omega^2xx' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ . Was $x$ periodiek en niet constant, dan zou $E$ periodiek en dalend zijn, en dus constant, wat $x' \equiv 0$ afdwingt: $x$ constant, en dan $\omega^2x = 0$ : $x \equiv 0$ . Voor $\zeta > 0$ is de enige periodieke oplossing dus de rust: demping doodt elke cyclus.

10. Het centrum $\zeta = 0$ leeft op de rechte $\tau = 0$ van het spoor-determinantvlak — een verzameling met leeg inwendige: een willekeurig kleine verstoring van de matrix (elke fysische demping) haalt $\tau$ van nul af en maakt van de gesloten banen spiralen. De periodiciteit van de ongedempte oscillator is dus een verschijnsel op het scherp van de snede, niet iets robuusts.

11. $x_p = \Re(z\eu^{\iu\gamma t})$ in de vergelijking substitueren geeft

\bigl(-\gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma + \omega^2\bigr)z = F \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma},

dus $x_p = \abs z\cos(\gamma t - \varphi)$ met $\varphi = \arg(\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma)$ , dat wil zeggen $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2 - \gamma^2}$ , en de aangekondigde $A(\gamma) = \abs z$ .

12. Het verschil van twee oplossingen lost de homogene vergelijking op, die voor $\zeta > 0$ naar $0$ vervalt (vraag 7): elke oplossing is gelijk aan $x_p$ plus een overgangsverschijnsel dat in het oneindige verdwijnt. De stationaire toestand is een globale attractor: de beginwaarden worden vergeten, alleen $A(\gamma)$ en de fase-achterstand $\varphi$ blijven over.

13. Minimaliseer $g(u) = (\omega^2 - u)^2 + 4\zeta^2\omega^2u$ over $u = \gamma^2 \geq 0$ : $g'(u) = -2(\omega^2 - u) + 4\zeta^2\omega^2 = 0$ in $u = \omega^2(1 - 2\zeta^2)$ , inwendig dan en slechts dan als $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ . Daar is

g(u_*) = 4\zeta^4\omega^4 + 4\zeta^2\omega^4(1 - 2\zeta^2) = 4\zeta^2\omega^4(1 - \zeta^2), \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1 - \zeta^2}} .

Tegenover het statische antwoord $A(0) = \frac{F}{\omega^2}$ : versterking $\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \approx \frac{1}{2\zeta}$ voor kleine $\zeta$ — een licht gedempt systeem nabij $\gamma_* \approx \omega$ vermenigvuldigt de ingang honderdvoudig wanneer $\zeta = 0.005$ .

14. De aangekondigde $x$ voldoet aan $x(0) = x'(0) = 0$ en

x'' + \omega^2 x = \frac{F(\omega^2 - \gamma^2)\cos\gamma t}{\omega^2 - \gamma^2} = F\cos\gamma t

(de delen met $\cos\omega t$ heffen elkaar op). De productvorm volgt uit $\cos p - \cos q = 2\sin\frac{q+p}{2}\sin\frac{q-p}2$ met $p = \gamma t$ en $q = \omega t$ . Ligt $\gamma$ dicht bij $\omega$ , dan is de factor $\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2$ een trage omhullende die de snelle trilling $\sin\frac{(\omega+\gamma)t}2$ moduleert: zwevingen, met amplitude $\frac{2F}{\abs{\omega^2-\gamma^2}}$ — groot, maar begrensd.

15. Voor $x_p = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ :

x_p'' = \frac{F}{2\omega}\bigl(2\omega\cos\omega t - \omega^2t\sin\omega t\bigr) = F\cos\omega t - \omega^2x_p :

een oplossing. En bij vaste $t$ , met $\gamma \to \omega$ in vraag 14:

\frac{2F\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2 \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2}} {(\omega-\gamma)(\omega+\gamma)} \longrightarrow \frac{2F\cdot\frac{(\omega-\gamma)t}2\big/(\omega-\gamma) \cdot\sin\omega t}{2\omega} = \frac{F\,t\sin\omega t}{2\omega} .

De amplitude groeit onbegrensd lineair: de resonantiecatastrofe — de reden waarom soldaten op bruggen uit de pas gaan lopen.

16. De blokgolf draagt harmonischen op elke oneven frequentie $n = 1, 3, 5, \dots$ ; wegens de lineariteit wordt elke harmonische $n$ versterkt door het antwoord van de oscillator in $\gamma = n$ . Voor $\omega = 3$ treft de derde harmonische de resonantie precies. Ingenieurs vrezen blok- en zaagtandingangen omdat zij alle oneven harmonischen tegelijk aanslaan: wat de eigenfrequentie van de constructie ook is, er staat altijd een harmonische klaar.

17. $W' = y_1y_2'' - y_1''y_2 = -qy_1y_2 + qy_1y_2 = 0$ : $W$ is constant (Liouville met een begeleidende matrix van spoor nul). Is $W = 0$ in één punt, dan zijn de beginwaarden van $y_2$ evenredig met die van $y_1$ , en dus $y_2$ evenredig met $y_1$ (eenduidigheid); $W \neq 0$ dan en slechts dan als zij onafhankelijk zijn. Geldt $y(t_0) = y'(t_0) = 0$ , dan is $y \equiv 0$ (eenduidigheid): een oplossing ongelijk aan nul heeft enkelvoudige nulpunten, en een enkelvoudig nulpunt is geïsoleerd ( $y'$ heeft in de buurt een vast teken).

18. Tussen opeenvolgende nulpunten $a < b$ houdt $y_1$ één teken, zeg $y_1 > 0$ op $\intoo ab$ : dan is $y_1'(a) > 0$ en $y_1'(b) < 0$ (enkelvoudige nulpunten). De constante $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ evalueren in $a$ en $b$ :

W = -y_1'(a)\,y_2(a) = -y_1'(b)\,y_2(b) ,

dus hebben $y_2(a)$ en $y_2(b)$ tegengesteld teken ( $W \neq 0$ verbiedt dat een van beide verdwijnt): $y_2$ verdwijnt in $\intoo ab$ (tussenwaarden). Zij kan daar niet tweemaal verdwijnen: twee nulpunten van $y_2$ zouden volgens hetzelfde argument met verwisselde rollen een nulpunt van $y_1$ omsluiten, in tegenspraak met het opeenvolgend zijn: precies één nulpunt — interlacering.

19. Stel dat $z$ geen nulpunt heeft in $\intoo ab$ ; vervangen we $y$ en $z$ zo nodig door hun tegengestelden, dan mogen we $y > 0$ en $z > 0$ op $\intoo ab$ aannemen. Zet $\varphi = yz' - y'z$ : $\varphi' = yz'' - y''z = (q_1 - q_2)\,yz \leq 0$ op $\intoo ab$ : $\varphi$ is dalend. Maar $\varphi(a) = -y'(a)z(a) \leq 0$ (want $y'(a) > 0$ , $z(a) \geq 0$ ) en $\varphi(b) = -y'(b)z(b) \geq 0$ (want $y'(b) < 0$ , $z(b) \geq 0$ ): een dalende functie die van $\leq 0$ naar $\geq 0$ loopt, verdwijnt identiek, dus is $(q_1 - q_2)yz \equiv 0$ op $\intoo ab$ . Geldt ergens in $\intoo ab$ dat $q_1 < q_2$ , dan is dit ongerijmd ( $y, z > 0$ daar): $z$ moet strikt daarbinnen verdwijnen. In het algemeen ( $q_1 \leq q_2$ ) verdwijnt $z$ ofwel in $\intoo ab$ , ofwel dwingt $\varphi \equiv 0$ af dat $z$ evenredig is met $y$ , die in $a$ en $b$ verdwijnt: in alle gevallen heeft $z$ een nulpunt in $\intcc ab$ .

20. Bovengrens: vergelijk $y$ (coëfficiënt $q \geq m^2$ ) met $u(t) = \sin(m(t - a))$ (coëfficiënt $m^2 \leq q$ , zodat $y$ de rol van $z$ in vraag 19 speelt): had $y$ geen nulpunt in $\intoc{a}{a + \pi/m}$ , dan zouden de nulpunten $a$ en $a + \frac\pi m$ van $u$ opeenvolgend zijn met $y \neq 0$ ertussen, in tegenspraak met vraag 19: opeenvolgende nulpunten van $y$ liggen op afstand $\leq \frac\pi m$ . Ondergrens: hadden twee opeenvolgende nulpunten $a < b$ van $y$ dat $b - a < \frac\pi M$ , dan zou $z(t) = \sin(M(t-a))$ (coëfficiënt $M^2 \geq q$ ) moeten verdwijnen in $\intcc ab \subset \intoo{a}{a + \pi/M} \cup\{a\}$ , waar haar enige nulpunt $a$ zelf is — maar vraag 19 toegepast op $\intoo{a}{b}$ met striktheid in de randpunten geeft een nulpunt in $\intcc ab$ , terwijl $z > 0$ op $\intoc ab$ : tegenspraak. Bijgevolg is $\frac\pi M \leq b - a \leq \frac\pi m$ ; voor $q \equiv \omega^2$ vallen beide grenzen samen met de exacte afstand $\frac\pi\omega$ van de harmonische oscillator.

21. Met $u = ty$ is $u'' = ty'' + 2y'$ , dus $ty'' + 2y' + ty = u'' + u = 0$ : $u = A\sin t + B\cos t = R\sin(t + \varphi)$ , en $y = \frac{u}{t}$ geeft $\frac{\sin t}t$ en $\frac{\cos t}t$ terug (Oefening 16.7), zonder enige orderverlaging. De nulpunten van elke oplossing ongelijk aan nul zijn die van $R\sin(t + \varphi)$ : precies op afstand $\pi$ — de filosofie van Sturm in actie: de coëfficiënt $q \equiv 1$ dicteert de nulpunten, met of zonder formule.

22. Zet $x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s$ . Dan is $x(0) = 0$ ;

x'(t) = \frac1\omega\sin(0)F(t) + \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s = \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s ,

dus $x'(0) = 0$ ; en $x''(t) = F(t) - \omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s = F(t) - \omega^2x(t)$ (differentiatie van een parameterintegraal met veranderlijke grens, als in het integratiehoofdstuk). Met $F(s) = F\cos\omega s$ geeft het omzetten van een product in een som

\int_0^t\sin(\omega(t-s))\cos(\omega s)\dd s = \frac12\int_0^t\bigl(\sin\omega t + \sin(\omega t - 2\omega s)\bigr)\dd s = \frac{t}{2}\sin\omega t ,

(het tweede stuk integreert tot nul), dus $x = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ : opnieuw vraag 15, ditmaal via Duhamel.

23. In stelselvorm $X' = AX + (0, F(t))^{\mathsf T}$ met $\operatorname{Sp}A$ van negatieve reële delen ( $\zeta > 0$ ): de variatie van de constanten en Oefening 16.8 ( $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ) geven

\norm{X(t)} \leq C\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} + \int_0^t C\eu^{-\alpha(t-s)}\norm{F}_\infty\dd s \leq C\norm{X_0} + \frac{C\norm F_\infty}{\alpha} :

begrensde ingang, begrensde uitgang — na het overgangsverschijnsel uniform in de beginwaarden.

24. Voor $\zeta = 0$ en $\gamma \neq \omega$ is de oplossing van vraag 14 begrensd, en een willekeurige homogene oplossing erbij optellen (begrensd: de banen van het centrum zijn cirkels) houdt haar begrensd; in $\gamma = \omega$ groeit vraag 15 lineair. Voor de ongedempte oscillator faalt de begrensdheid onder periodieke aandrijving dus in precies één frequentie — resonantie — terwijl vraag 23 toont dat elke positieve demping de begrensdheid herstelt voor alle begrensde ingangen.

25. (i) Het spoor-determinantvlak klasseert alle autonome vlakke lineaire dynamica, en de oscillator van Deel II wandelt over een verticale lijn ervan; de aandrijving verlaat het vlak (niet-autonoom), en Duhamel neemt het over. (ii) $\gamma_*$ is de frequentie waaraan het systeem de voorkeur geeft, $A(\gamma_*)$ de prijs van haar aanslaan, en $\frac{1}{2\zeta}$ de versterkingsfactor — de scherpte van de resonantie die ingenieurs de kwaliteitsfactor noemen. (iii) De stellingen van Sturm lezen de oscillatie af van alleen het teken en de grootte van $q$ : zij beheersen vergelijkingen (Bessel, Schrödinger) waarvan de oplossingen geen elementaire formules hebben. (iv) Constante wronskianen (vraag 17, via Liouville) en stabiliteit bij begrensde ingang (vraag 23) worden stilzwijgend hergebruikt telkens wanneer het boek vergelijkingen met variabele coëfficiënten of verstoorde stelsels tegenkomt.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Wronskiaan

Bekijk alle 395 begrippen in de begrippenlijst