Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 2 · Bachelor Year 2

16Differentiaalvergelijkingen

Jaar 1 loste de lineaire vergelijkingen op die formules toelaten. Dit hoofdstuk levert wat formules niet kunnen: de stelling van Cauchy–Lipschitz — bestaan en eenduidigheid voor $y' = f(t, y)$ — bewezen met de vastpuntstelling van Banach, precies zoals beloofd in Hoofdstuk 4; daarna de volledige theorie van lineaire stelsels $X' = A(t)X + B(t)$ , met de matrixexponentiaal en de Wronskiaan als rekenmachines.

16.1 De stelling van Cauchy–Lipschitz

Stelling 16.1 (Cauchy–Lipschitz, globaal Lipschitz-versie)

Zij $I$ een segment, $f \colon I \times \R^n \to \R^n$ continu en Lipschitz in de tweede variabele, uniform in de eerste: $\norm{f(t, y) - f(t, z)} \leq k\,\norm{y - z}$ voor alle $t \in I$ . Dan heeft voor elke $(t_0, y_0) \in I \times \R^n$ het Cauchy-probleem

y' = f(t, y), \qquad y(t_0) = y_0

precies één oplossing $y \colon I \to \R^n$ van klasse $C^1$ .

Bewijs. Herformulering. Een continue $y$ lost het probleem op dan en slechts dan als ze voldoet aan de integraalvergelijking

y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\,\dd s =: T(y)(t)

(fundamentele stelling van de analyse beide kanten; een continue oplossing van de integraalvergelijking is automatisch $C^1$ ).

Een contractie, na hernormering. Op de Banachruimte $E = C(I, \R^n)$ met de gewogen norm

N(y) = \sup_{t \in I}\; \eu^{-2k\abs{t - t_0}}\,\norm{y(t)} ,

(equivalent met de sup-norm: het gewicht is van boven en onder begrensd op het segment $I$ , dus $E$ blijft volledig), schat voor $y, z \in E$ en, zeg, $t \geq t_0$ :

\norm{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t} k\,\norm{y(s) - z(s)}\,\dd s \leq k\,N(y - z)\int_{t_0}^{t} \eu^{2k(s - t_0)}\dd s \leq \frac{N(y-z)}{2}\,\eu^{2k(t - t_0)} .

Vermenigvuldigen met $\eu^{-2k(t - t_0)}$ en de sup nemen (het geval $t < t_0$ is symmetrisch): $N\bigl(T(y) - T(z)\bigr) \leq \frac12 N(y - z)$ : $T$ is een $\frac12$ -contractie van de complete $(E, N)$ . De vastpuntstelling van Banach (Stelling 4.12) levert een uniek vast punt: de unieke oplossing. ∎

Opmerking 16.2

Voor $f$ slechts $C^1$ (lokaal Lipschitz) geldt de stelling lokaal, met een maximale oplossing op een maximaal open interval; oplossingen kunnen in eindige tijd exploderen ( $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : $y(t) = \frac{1}{1-t}$ , weg bij $t = 1$ ). De globale Lipschitz-hypothese is wat het hele segment koopt. Twee gevolgen om in te graveren: oplossingskrommen van een DV met Lipschitz-veld kruisen nooit; en de nulfunctie is de enige oplossing die ergens verdwijnt van een lineaire homogene vergelijking.

Voorbeeld 16.3 (Eenduidigheid is een stelling: een veld dat lekt)

Beschouw $y' = 2\sqrt{\abs y}$ met $y(0) = 0$ . De nulfunctie lost haar op; zo ook

y(t) = \begin{cases} 0 & t \leq 0,\\ t^2 & t \geq 0, \end{cases}

die $C^1$ is (beide stukken hebben afgeleide $0$ in het lijmpunt) en voldoet aan $y'(t) = 2t = 2\sqrt{t^2}$ voor $t > 0$ — inderdaad, het opstijgen vertragen geeft een oplossing voor elke vrijgavetijd $c \geq 0$ : oneindig veel oplossingen door dezelfde beginwaarden. Geen tegenspraak met Stelling 16.1: nabij $y = 0$ ,

\frac{\abs{2\sqrt y - 2\sqrt z}}{\abs{y - z}} = \frac{2}{\sqrt y + \sqrt z} \longrightarrow +\infty ,

het veld is niet Lipschitz in $y$ , en de stelling zwijgt. Slotinzicht: de fysische lezing is een emmer die onder zwaartekracht leegloopt, achterstevoren — vanuit de lege toestand kan men niet zeggen wanneer het vullen begon; determinisme van DV’s is precies de Lipschitz-voorwaarde, geen natuurwet.

16.2 Lineaire stelsels

Stelling 16.4 (Structuur van lineaire stelsels)

Zij $A \colon I \to \mathcal{M}_n(\R)$ en $B \colon I \to \R^n$ continu op een interval $I$ . Voor elke $(t_0, X_0)$ heeft het probleem

X' = A(t)X + B(t), \qquad X(t_0) = X_0

precies één oplossing op heel $I$ . De oplossingen van het homogene stelsel ( $B = 0$ ) vormen een vectorruimte $\mathcal{S}_H$ van dimensie precies $n$ , en evaluatie $X \mapsto X(t_0)$ is een isomorfisme $\mathcal{S}_H \to \R^n$ ; algemene oplossing $=$ particuliere $+$ homogene.

Bewijs. Op elk segment $J \subseteq I$ dat $t_0$ bevat: $f(t, X) = A(t)X + B(t)$ is continu, en Lipschitz in $X$ met constante $k = \sup_J \vertiii{A(t)}$ (eindig: continu op een segment): Stelling 16.1 past op $J$ ; $J$ laten uitputten tot $I$ , eenduidigheid lijmt de oplossingen tot één op $I$ . Lineariteit van de oplossingsverzameling en van de evaluatieafbeelding zijn duidelijk; evaluatie is bijectief door bestaan (surjectief) en eenduidigheid (injectief): $\dim \mathcal{S}_H = n$ . De affiene structuur is het argument van Jaar 1 woordelijk. ∎

Voorbeeld 16.5 (Het evaluatie-isomorfisme, concreet)

Voor $y'' + y = 0$ , gezien als het stelsel $X' = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}X$ met $X = (y, y')$ : de stelling zegt dat de oplossingsruimte een vlak is, en dat $X \mapsto X(0) = (y(0), y'(0))$ een isomorfisme is op $\R^2$ . De oplossingen $\cos$ en $\sin$ evalueren tot $(1, 0)$ en $(0, 1)$ — de canonieke basis van $\R^2$ — dus vormen ze een basis van de oplossingsruimte, en elke oplossing is

y(t) = y(0)\cos t + y'(0)\sin t ,

met de coëfficiënten rechtstreeks afgelezen uit de beginwaarden, geen lineair stelsel op te lossen. Slotinzicht: het fundamentele stelsel kiezen waarvan de beginwaarden de canonieke basis zijn (hier $\cos, \sin$ ) is precies de kolommen van $\eu^{tA}$ kiezen; het evaluatie-isomorfisme is waarom beginvoorwaarden banen parametriseren — de meetkundige inhoud van “deterministische dynamica” voor lineaire vergelijkingen.

Definitie 16.6 (Wronskiaan)

Voor oplossingen $X_1, \dots, X_n$ van het homogene stelsel is de Wronskiaan $W(t) = \det\bigl(X_1(t), \dots, X_n(t)\bigr)$ . Door het isomorfisme hierboven verdwijnt $W$ ofwel identiek (de familie is lineair afhankelijk) of nooit (een fundamenteel stelsel); kwantitatief is $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr) W$ , dus

W(t) = W(t_0)\,\exp\Bigl(\int_{t_0}^{t} \operatorname{tr} A(s)\,\dd s\Bigr) \quad \text{(formule van Liouville)}.

Voorbeeld 16.7 (Liouville gecontroleerd op een Euler-vergelijking)

Op $\intoo{0}{\infty}$ heeft de vergelijking $t^2y'' + ty' - y = 0$ de oplossingen $y_1(t) = t$ en $y_2(t) = \frac1t$ (substitueer). Hun Wronskiaan:

W(t) = \det\begin{pmatrix} t & \tfrac1t\\[2pt] 1 & -\tfrac{1}{t^2}\end{pmatrix} = -\frac1t - \frac1t = -\frac2t ,

nooit nul: een fundamenteel stelsel. Controleer nu Liouville: in genormaliseerde vorm $y'' + \frac1t\,y' - \frac{1}{t^2}\,y = 0$ , de begeleidende matrix $A(t) = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ \frac{1}{t^2} & -\frac1t\end{pmatrix}$ heeft spoor $-\frac1t$ , dus

W(t) = W(1)\exp\Bigl(-\int_1^t\frac{\dd s}{s}\Bigr) = -2\,\eu^{-\ln t} = -\frac2t . \checkmark

Slotinzicht: Liouville voorspelt de vorm van de Wronskiaan voordat enige oplossing bekend is — hier, dat $W$ $\frac{c}{t}$ moet zijn; dit is wat de methode van ordeverlaging aandrijft (Propositie 16.15), waar $y_1$ kennen en de vorm van de Wronskiaan $y_2$ door één kwadratuur bepaalt.

Bewijs van de formule van Liouville. $W(t) = \det M(t)$ met $M' = AM$ . Differentiëren van de determinant als multilinaire functie van de kolommen,

W'(t) = \sum_j \det(X_1, \dots, X_j', \dots, X_n) = \sum_j \det(X_1, \dots, AX_j, \dots, X_n) .

Nu is de afbeelding $(C_1, \dots, C_n) \mapsto \sum_j \det(C_1, \dots, AC_j, \dots, C_n)$ $n$ -lineair en alternerend (met twee gelijke kolommen $C_i = C_k$ verdwijnen de termen $j \notin \{i, k\}$ meteen, en de termen $j = i$ en $j = k$ heffen elkaar paarsgewijs op na één kolomverwisseling): door de eenduidigheidsstelling (Stelling 2.14) is ze $c \cdot \det$ , met $c$ afgelezen op de canonieke kolommen: $c = \sum_j \det(e_1, \dots, Ae_j, \dots, e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A$ . Dus $W' = \operatorname{tr}\bigl(A(t)\bigr)W$ : een scalaire lineaire DV, opgelost door de formule van Jaar 1. ∎

16.3 Constante coëfficiënten: de matrixexponentiaal

Stelling 16.8

Voor $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ (of $\C$ ) voldoet de exponentiaal $\eu^{tA} = \sum_k \frac{(tA)^k}{k!}$ (Voorbeeld 5.22): $t \mapsto \eu^{tA}$ is van klasse $C^1$ (inderdaad $C^\infty$ ) met

\frac{\dd}{\dd t}\,\eu^{tA} = A\,\eu^{tA} = \eu^{tA}A , \qquad \eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\,\eu^{tA}, \qquad (\eu^{A})^{-1} = \eu^{-A} ;

en $\eu^{A + B} = \eu^A\eu^B$ wanneer $AB = BA$ . Het Cauchy-probleem $X' = AX$ , $X(0) = X_0$ heeft de unieke oplossing $X(t) = \eu^{tA}X_0$ ; met een bron geldt de formule van variatie van constanten:

X(t) = \eu^{(t - t_0)A}X_0 + \int_{t_0}^{t} \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s .

Bewijs. Differentieerbaarheid: de reeks $\sum \frac{t^kA^k}{k!}$ en haar term-afgeleide reeks $\sum \frac{t^{k-1}A^k}{(k-1)!} = A\sum \frac{(tA)^{k-1}}{(k-1)!}$ convergeren normaal op elk segment (normen $\leq \frac{(\abs t\,\vertiii A)^k}{k!}$ ): differentieer term voor term (Stelling 10.11, vectorwaardig). De twee ordeningen $A\eu^{tA}$ en $\eu^{tA}A$ stemmen overeen omdat elke partiële som met $A$ commuteert.

Groepswet: voor commuterende $A, B$ reorganiseert het Cauchy-product van de twee exponentiaalreeksen door de binomiaalstelling precies als in Voorbeeld 7.15 (absolute convergentie in de Banachalgebra rechtvaardigt het): $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ ; met $B = sA$ geeft dit de éénparameter-groepswet, en $B = -A$ de inverse.

Cauchy-probleem: $X(t) = \eu^{tA}X_0$ lost het op (differentieer); eenduidigheid door Stelling 16.4. Variatie van constanten: stel $Y(t) = \eu^{-tA}X(t)$ ; differentiëren, $Y' = \eu^{-tA}(X' - AX) = \eu^{-tA}B(t)$ ; integreer van $t_0$ tot $t$ en vermenigvuldig terug met $\eu^{tA}$ . ∎

Methode 16.9 ( $\eu^{tA}$ berekenen)

Reduceer $A$ (Hoofdstuk 3): als $A = PDP^{-1}$ diagonaal, $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}P^{-1}$ met $\eu^{tD}$ diagonaal van $\eu^{t\lambda_i}$ ; in het algemeen gebruik Dunford $A = D + N$ (commuterend): $\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}$ met $\eu^{tN}$ een polynoom in $t$ (nilpotentie knipt de reeks af). Complexe eigenwaarden paren tot rotatie-maal-exponentiaal-blokken (Oefening 16.5).

Opmerking 16.10 (Veelvoorkomende valkuilen)

(i) $\eu^{A+B} \neq \eu^A\eu^B$ zonder commutatie: neem $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ . Dan $\eu^A = I + A$ , $\eu^B = I + B$ (nilpotentie), dus

\eu^A\eu^B = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}, \qquad\text{terwijl}\qquad \eu^{A+B} = \cosh(1)\,I + \sinh(1)\,(A + B) = \begin{pmatrix} \cosh 1 & \sinh 1\\ \sinh 1 & \cosh 1 \end{pmatrix},

met $(A+B)^2 = I$ ; en $\cosh 1 \approx 1{,}54 \neq 2$ . De groepswet van Stelling 16.8 draagt een echte hypothese. (ii) Niet-lineaire intuïtie op lineair terrein: oplossingen van een lineair stelsel met continue coëfficiënten leven op het hele interval (Stelling 16.4) — als een kandidaat-oplossing binnen $I$ explodeert, was de vergelijking niet lineair of is de berekening fout; omgekeerd, voor niet-lineaire vergelijkingen nooit globaliteit beloven zonder argument ( $y' = y^2$ ). (iii) Delen door de onbekende: variabelen scheiden in $y' = y(1-y)$ gooit stilzwijgend de constante oplossingen $0$ en $1$ weg — precies die welke de faselijn organiseren (Oefening 16.3); noteer constante oplossingen eerst. (iv) Beginwaarden fixeren vectoren, geen scalaren: een $n$ -de orde scalaire vergelijking heeft $n$ voorwaarden nodig ( $y, y', \dots$ in $t_0$ ); alleen $y(t_0)$ matchen laat een $(n-1)$ -parameterfamilie over, een klassieke bron van “verloren” constanten.

Voorbeeld 16.11 (Een $3\times3$ -exponentiaal via Dunford)

Los $X' = AX$ op voor $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{pmatrix}$ . Dunford per blokken: $A = D + N$ met $D = \operatorname{diag}(2, 2, 3)$ en $N = E_{12}$ , die commuten ( $N$ leeft binnen het eigenwaarde- $2$ -blok), en $N^2 = 0$ :

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN} = \begin{pmatrix} \eu^{2t} & t\,\eu^{2t} & 0\\ 0 & \eu^{2t} & 0\\ 0 & 0 & \eu^{3t} \end{pmatrix} .

De algemene oplossing leest kolom voor kolom: $X(t) = \bigl(\eu^{2t}(x_0 + ty_0),\ \eu^{2t}y_0,\ \eu^{3t}z_0\bigr)$ . Controles: in $t = 0$ is de matrix $I$ ; haar determinant is $\eu^{7t} = \eu^{t\operatorname{tr}A}$ , zoals Liouville eist; en de factor $t$ verschijnt precies waar de eigenwaarde $2$ defectief is. Slotinzicht: polynomen maal exponentiëlen zijn geen te onthouden giswerk — ze zijn de afgekapte reeks $\eu^{tN}$ , en hun graad is begrensd door de nilpotentie-index, nooit meer.

Methode 16.12 ( $X' = AX + B(t)$ oplossen, van begin tot eind)

Spectrum van $A$ ; dan $\eu^{tA}$ via Methode 16.9 (diagonaliseer; of Dunford zoals in Voorbeeld 16.11; of een polynoomtruc zoals $A^2 = -I$ ).
Een particuliere oplossing: variatie van constanten $\int_{t_0}^t\eu^{(t-s)A}B(s)\dd s$ werkt altijd; voor exponentieel-polynomiale $B$ is een ansatz van dezelfde vorm (graad verhoogd bij resonantie, Oefening 16.10) sneller.
Algemene oplossing $= \eu^{(t-t_0)A}X_0 +$ particuliere; pas de beginwaarden laatst aan, op de complete formule.
Controles: $X(t_0)$ correct; de groei van het homogene deel past bij de reële delen van de eigenwaarden (Oefening 16.8); en $\det$ van een fundamentele matrix gehoorzaamt Liouville.

Voorbeeld 16.13 (Een faseportret)

$X' = AX$ met $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}$ : $A^2 = -I$ , dus de reeks splitst in

\eu^{tA} = (\cos t)\,I + (\sin t)\,A = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t\\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix} :

banen zijn cirkels met de klok mee — de harmonische oscillator $x'' + x = 0$ in eerste-orde kleding. Eigenwaarden $\pm\iu$ op de imaginaire as: een centrum. Algemener beslissen de reële delen van de eigenwaarden van $A$ over groei of verval van $\norm{X(t)}$ (Oefening 16.8).

Twee lineaire faseportretten. Links: een centrum (eigenwaarden ±) — gesloten cirkelvormige banen van de harmonische oscillator. Rechts: een stabiele knoop (eigenwaarden -1, -2) — alle banen vallen in de oorsprong tangentieel aan de trage eigenrichting. — Twee lineaire faseportretten. Links: een *centrum* (eigenwaarden $\pm\iu$ ) — gesloten cirkelvormige banen van de harmonische oscillator. Rechts: een *stabiele knoop* (eigenwaarden $-1, -2$ ) — alle banen vallen in de oorsprong tangentieel aan de trage eigenrichting.

Het spoor–determinant-vlak voor X' = AX in dimensie 2: onder de horizontale as, zadels; tussen de as en de parabool = 2/4, knopen; binnen de parabool, spiralen; op de positieve -as, centra. Het weekendprobleem bewijst deze classificatie en volgt één verticale lijn ervan — de gedempte oscillator — tot in resonantie. — Het spoor–determinant-vlak voor $X' = AX$ in dimensie $2$ : onder de horizontale as, zadels; tussen de as en de parabool $\delta = \tau^2/4$ , knopen; binnen de parabool, spiralen; op de positieve $\delta$ -as, centra. Het weekendprobleem bewijst deze classificatie en volgt één verticale lijn ervan — de gedempte oscillator — tot in resonantie.

Opmerking 16.14 (Waar dit wordt gebruikt)

Lineaire stelsels zijn het lokale model voor alles niet-lineairs: nabij een evenwicht gedraagt een glad vectorveld zich (in de hyperbolische gevallen) als zijn linearisatie, waarvan het portret het spoor–determinant-vlak classificeert. Het weekendprobleem werkt het oscillatorverhaal volledig uit — demping, forcering, resonantie, en de vergelijkingsstellingen van Sturm voor variabele coëfficiënten — de wiskunde achter schokdempers, wisselstroomkringen en spectrale gaps. Het volume Jaar 3 keert terug met de kwalitatieve theorie (stromen, stabiliteit, eerste integralen) op variëteiten.

16.4 Tweede orde met variabele coëfficiënten

Propositie 16.15

De vergelijking $y'' + a(t)y' + b(t)y = c(t)$ ( $a, b, c$ continu op $I$ ) is het stelsel $X' = A(t)X + B(t)$ voor $X = (y, y')$ : oplossingen bestaan en zijn eenduidig op heel $I$ voor willekeurige beginwaarden $(y(t_0), y'(t_0))$ ; homogene oplossingen vormen een vlak. Als één niet-verdwijnende homogene oplossing $y_1$ bekend is, wordt een tweede onafhankelijke gevonden door ordeverlaging: $y = y_1 z$ stellen maakt van de homogene vergelijking een eerste-orde vergelijking voor $z'$ , opgelost door kwadraturen.

Bewijs. De stelselvorm en Stelling 16.4 geven alles structureels. Ordeverlaging: substitueren $y = y_1z$ ,

y_1 z'' + (2y_1' + a y_1)z' + \underbrace{(y_1'' + ay_1' + by_1)}_{=\,0}\,z = 0 :

een eerste-orde lineaire vergelijking in $u = z'$ , oplosbaar met de formule van Jaar 1; integreren van $u$ geeft $z$ , dus $y_2 = y_1 z$ , onafhankelijk van $y_1$ wanneer $z$ niet constant is. ∎

Voorbeeld 16.16

$t^2y'' - 2y = 0$ op $\intoo{0}{\infty}$ : $y_1 = t^2$ is een oplossing. Substitueer $y = t^2z$ : uit $y' = t^2z' + 2tz$ en $y'' = t^2z'' + 4tz' + 2z$ ,

t^2y'' - 2y = t^4 z'' + 4t^3z' = 0, \qquad\text{d.w.z.}\qquad \frac{z''}{z'} = -\frac4t :

$z' = t^{-4}$ (tot op een constante), $z = -\frac{1}{3t^3}$ , en $y_2 = t^2z = -\frac{1}{3t}$ . Algemene oplossing: $y = \alpha t^2 + \frac{\beta}{t}$ .

16.5 Oefeningen

Oefening 16.1 ★

Los $X' = AX$ , $X(0) = (1, 0)^{\mathsf T}$ , op voor $A = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}$ (diagonaliseer) en $A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 0 & 2 \end{pmatrix}$ (Dunford).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.1.

Eerste matrix: eigenwaarden $1, 2$ , eigenvectoren $(1,0)$ en $(1,1)$ . Ontbind $X_0 = (1,0) = 1\cdot(1,0) + 0\cdot(1,1)$ : de oplossing is

X(t) = \eu^{t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} .

(De beginvector is zelf een eigenvector.)

Tweede: $A = 2I + N$ , $N = E_{12}$ , $N^2 = 0$ : $\eu^{tA} = \eu^{2t}(I + tN)$ , dus

X(t) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 & t\\ 0 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix} = \eu^{2t}\begin{pmatrix}1\\ 0\end{pmatrix}.

Oefening 16.2 ★

Welke Cauchy-problemen hebben unieke globale oplossingen op $\R$ door Stelling 16.1? $y' = \sin(ty)$ ; $\;y' = y^2$ ; $\;y' = \abs y$ . Voor de laatste, los expliciet op met $y(0) = 0$ en $y(0) = 1$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.2.

$y' = \sin(ty)$ : $\abs{\sin(ty) - \sin(tz)} \leq \abs t\,\abs{y - z}$ — Lipschitz in $y$ uniform op elk tijdssegment: unieke globale oplossingen op $\R$ (pas de stelling toe op elk segment).

$y' = y^2$ : alleen lokaal Lipschitz; geen globale stelling, en inderdaad explodeert $y(0) = 1$ bij $t = 1$ .

$y' = \abs y$ : $\abs\cdot$ is $1$ -Lipschitz: globaal bestaan en eenduidigheid. Met $y(0) = 0$ : $y \equiv 0$ (eenduidigheid!). Met $y(0) = 1$ : $y$ blijft positief (kan de nuloplossing niet kruisen), dus $y' = y$ : $y = \eu^t$ .

Oefening 16.3 ★

Bewijs dat twee verschillende maximale oplossingen van $y' = f(t,y)$ ( $f$ Lipschitz in $y$ ) nooit dezelfde waarde op hetzelfde tijdstip aannemen, en leid af dat oplossingen van $y' = y(1 - y)$ die in $\intoo{0}{1}$ starten voor altijd in $\intoo{0}{1}$ blijven.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.3.

Als $y(t_1) = z(t_1)$ op enig tijdstip, dan lossen $y$ en $z$ hetzelfde Cauchy-probleem in $t_1$ op: eenduidigheid dwingt $y = z$ op hun gemeenschappelijk interval — verschillende oplossingen ontmoeten elkaar nooit.

Voor $y' = y(1-y)$ : de constanten $0$ en $1$ zijn oplossingen. Een oplossing die in $\intoo{0}{1}$ start kan $0$ of $1$ nooit bereiken (ze zou met een constante oplossing botsen): ze blijft in $\intoo{0}{1}$ , en is dus globaal (begrensd: geen explosie — bijv. via het criterium van Oefening 16.9, of omdat het vectorveld begrensd is op de gevangen strook).

Oefening 16.4 ★★

Bereken $\eu^{tA}$ voor $A = \begin{pmatrix} 3 & 1\\ -1 & 1\end{pmatrix}$ (Dunford: $(A - 2I)^2 = 0$ ), en los $X' = AX + \begin{pmatrix} \eu^{2t}\\ 0\end{pmatrix}$ , $X(0) = 0$ , op door variatie van constanten.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.4.

$(A - 2I)^2 = \begin{pmatrix}1 & 1\\ -1 & -1\end{pmatrix}^2 = 0$ : Dunford met $D = 2I$ , $N = A - 2I$ :

\eu^{tA} = \eu^{2t}\,(I + tN) = \eu^{2t}\begin{pmatrix} 1 + t & t\\ -t & 1 - t\end{pmatrix}.

Variatie van constanten met $B(s) = (\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T}$ :

X(t) = \int_0^t \eu^{(t-s)A}B(s)\,\dd s = \eu^{2t}\int_0^t \begin{pmatrix} 1 + (t-s)\\ -(t-s) \end{pmatrix}\dd s = \eu^{2t}\begin{pmatrix} t + \frac{t^2}{2}\\[2pt] -\frac{t^2}{2} \end{pmatrix},

met $\eu^{(t-s)A}B(s) = \eu^{2(t-s)}(I + (t-s)N)\,(\eu^{2s}, 0)^{\mathsf T} = \eu^{2t}\bigl(1 + (t-s),\, -(t-s)\bigr)^{\mathsf T}$ . (Controle: $X(0) = 0$ ; $X' - AX = (\eu^{2t}, 0)^{\mathsf T}$ door differentiatie.)

Oefening 16.5 ★★

Voor $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ , bewijs $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\begin{pmatrix} \cos\beta t & -\sin\beta t\\ \sin\beta t & \cos\beta t\end{pmatrix}$ — spiraalbanen — op twee manieren: via de reeks (schrijf $A = \alpha I + \beta J$ , $J^2 = -I$ ), en via de complexe identificatie $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.5.

Reeks: $A = \alpha I + \beta J$ met $J = \begin{pmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$ , $J^2 = -I$ ; de twee sommanden commuten, dus $\eu^{tA} = \eu^{\alpha t}\,\eu^{\beta tJ}$ , en de reeks van $\eu^{\beta t J}$ splitst langs even/oneven machten in $\cos(\beta t)I + \sin(\beta t)J$ : de gestelde rotatie-schaalmatrix.

Complex: identificeer $(x, y) \in \R^2$ met $z = x + \iu y$ ; het stelsel $X' = AX$ leest $z' = (\alpha + \iu\beta)z$ , waarvan de oplossing $z(t) = \eu^{\alpha t}\eu^{\iu\beta t}z_0$ precies de spiraal is: modulus $\eu^{\alpha t}$ , argument dat met snelheid $\beta$ vooruitgaat.

Oefening 16.6 ★★

(Lemma van Gronwall) Zij $u$ continu en niet-negatief met $u(t) \leq C + k\int_{t_0}^{t} u(s)\,\dd s$ op $\intco{t_0}{T}$ . Bewijs $u(t) \leq C\,\eu^{k(t - t_0)}$ (differentieer $v(t) = \eu^{-kt}\int_{t_0}^t u$ ). Leid opnieuw de eenduidigheid in Cauchy–Lipschitz af en de continue afhankelijkheid $\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0}\,\eu^{k\abs{t - t_0}}$ voor twee oplossingen met verschillende beginwaarden.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.6.

Zij $v(t) = \eu^{-k(t - t_0)}\int_{t_0}^t u$ . Dan

v'(t) = \eu^{-k(t-t_0)}\Bigl(u(t) - k\int_{t_0}^t u\Bigr) \leq C\,\eu^{-k(t-t_0)},

door de hypothese. Integreren van $t_0$ tot $t$ ( $v(t_0) = 0$ ): $v(t) \leq \frac{C}{k}\bigl(1 - \eu^{-k(t - t_0)}\bigr)$ , d.w.z. $k\int_{t_0}^t u \leq C\bigl(\eu^{k(t-t_0)} - 1\bigr)$ ; dit terugvoeren in de hypothese: $u(t) \leq C\eu^{k(t-t_0)}$ .

Eenduidigheid/afhankelijkheid: twee oplossingen $y, z$ van de integraalvergelijking voldoen aan

\norm{y(t) - z(t)} \leq \norm{y_0 - z_0} + k\int_{t_0}^{t}\norm{y - z},

en Gronwall met $C = \norm{y_0 - z_0}$ geeft de exponentiële grens; $C = 0$ geeft eenduidigheid.

Oefening 16.7 ★★

Wetende dat $y_1(t) = \frac{\sin t}{t}$ de vergelijking $ty'' + 2y' + ty = 0$ oplost op $\intoo{0}{\pi}$ , vind een tweede onafhankelijke oplossing door ordeverlaging, en geef de algemene oplossing.

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.7.

Substitueer $y = y_1 z$ met $y_1 = \frac{\sin t}{t}$ : de algemene formule van ordeverlaging (Propositie 16.15) geeft, voor $u = z'$ ,

y_1 u' + \Bigl(2y_1' + \frac{2}{t}\,y_1\Bigr)u = 0

(de vergelijking genormaliseerd als $y'' + \frac2t y' + y = 0$ ). Bereken $2y_1' + \frac2t y_1 = 2\,\frac{t\cos t - \sin t}{t^2} + \frac{2\sin t}{t^2} = \frac{2\cos t}{t}$ : dus

\frac{u'}{u} = -\frac{2\cos t}{t}\cdot\frac{t}{\sin t} = -2\cot t \quad\Longrightarrow\quad u = \frac{1}{\sin^2 t} \quad (\text{tot op een constante}),

en $z = -\cot t$ , wat $y_2 = y_1 z = -\frac{\cos t}{t}$ geeft. Algemene oplossing op $\intoo{0}{\pi}$ :

y(t) = \alpha\,\frac{\sin t}{t} + \beta\,\frac{\cos t}{t} .

(Dit zijn de sferische Besselfuncties van orde nul.)

Oefening 16.8 ★★★

Zij $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ met alle eigenwaarden van (strikt) negatief reëel deel. Bewijs dat elke oplossing van $X' = AX$ naar $0$ neigt als $t \to +\infty$ , met een exponentiële snelheid: $\norm{X(t)} \leq C\,\eu^{-\alpha t}$ voor zekere $\alpha > 0$ . (Trigonaliseer; behandel het driehoekige stelsel van de laatste rij omhoog, of gebruik Dunford: $\eu^{tA} = \eu^{tD}\eu^{tN}$ met $\norm{\eu^{tD}} \leq \eu^{-\alpha' t}$ en $\eu^{tN}$ polynomiaal in $t$ .)

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.8.

Dunford: $A = D + N$ commuterend, $D$ diagonaliseerbaar met dezelfde eigenwaarden, $N$ nilpotent, dus

\eu^{tA} = \eu^{tD}\,\eu^{tN}, \qquad \eu^{tN} = \sum_{k < n} \frac{t^kN^k}{k!} \ \text{(een matrixpolynoom in } t).

Zij $-2\alpha = \max_i \Re\lambda_i < 0$ . In een basis die $D$ diagonaliseert, $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-2\alpha t}$ (entries $\eu^{t\lambda_i}$ van modulus $\eu^{t\Re\lambda_i}$ ); normen in verschillende basissen verschillen met constanten. Dus

\norm{X(t)} \leq \vertiii{\eu^{tA}}\,\norm{X_0} \leq C'\,\eu^{-2\alpha t}\,(1 + t)^{n-1}\,\norm{X_0} \leq C\,\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} ,

waarbij het polynoom in één exponentiële factor wordt opgenomen ( $\eu^{-\alpha t}(1+t)^{n-1} \to 0$ , dus begrensd).

Oefening 16.9 ★★★

(Geen ontsnapping in eindige tijd bij lineaire groei) Veronderstel dat $f$ continu is met $\norm{f(t, y)} \leq a\norm y + b$ op $\intco{0}{\infty} \times \R^n$ , lokaal Lipschitz in $y$ . Met Gronwall (Oefening 16.6) op de integraalvorm, bewijs dat maximale oplossingen globaal zijn (gedefinieerd op heel $\intco{0}{\infty}$ ).

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.9.

Zij $y$ een maximale oplossing op $\intco{0}{T}$ , $T \leq \infty$ , en veronderstel $T < \infty$ . De integraalvorm geeft, voor $t < T$ ,

\norm{y(t)} \leq \norm{y_0} + \int_0^t \bigl(a\norm{y(s)} + b\bigr)\dd s \leq \bigl(\norm{y_0} + bT\bigr) + a\int_0^t\norm{y(s)}\,\dd s ,

en Gronwall bindt $\norm{y(t)} \leq (\norm{y_0} + bT)\,\eu^{aT} =: M$ op $\intco{0}{T}$ : de oplossing blijft in een compacte bal. Dan is $y' = f(t, y)$ begrensd nabij $T$ , dus $y$ is Lipschitz nabij $T$ en zet zich continu voort tot $T$ (Cauchy-criterium); het Cauchy-probleem in $(T, y(T))$ oplossen verlengt $y$ voorbij $T$ , in tegenspraak met maximaliteit. Dus $T = \infty$ : geen ontsnapping in eindige tijd onder lineaire groei.

Oefening 16.10 ★

Los $y'' - 3y' + 2y = \eu^{t}$ op: homogene oplossingen, dan een particuliere oplossing van de vorm $\alpha t\,\eu^{t}$ (waarom faalt de naïeve gissing $\alpha\eu^t$ ?); algemene oplossing en de oplossing met $y(0) = y'(0) = 0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.10.

Karakteristieke wortels van $r^2 - 3r + 2$ : $1$ en $2$ , dus de homogene oplossingen zijn $a\eu^t + b\eu^{2t}$ . De gissing $\alpha\eu^t$ faalt omdat $\eu^t$ al de homogene vergelijking oplost (de wortel $r = 1$ “resoneert” met het rechterlid). Met $y = \alpha t\,\eu^t$ : $y' = \alpha(1 + t)\eu^t$ , $y'' = \alpha(2 + t)\eu^t$ , en

y'' - 3y' + 2y = \alpha\eu^t\bigl(2 + t - 3 - 3t + 2t\bigr) = -\alpha\,\eu^t :

$\alpha = -1$ , $y_p = -t\,\eu^t$ . Algemene oplossing: $y = a\eu^t + b\eu^{2t} - t\eu^t$ . Beginwaarden $y(0) = y'(0) = 0$ : $a + b = 0$ en $a + 2b - 1 = 0$ : $b = 1$ , $a = -1$ :

y(t) = \eu^{2t} - (1 + t)\,\eu^{t} .

Oefening 16.11 ★★

Bereken $\eu^{tA}$ voor het Jordanblok

A = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0\\ 0 & \lambda & 1\\ 0 & 0 & \lambda\end{pmatrix},

en beschrijf alle oplossingen van $X' = AX$ : exponentiëlen maal polynoomvectoren, met graden tot $2$ . Waar komt de polynoomgraad vandaan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.11.

$A = \lambda I + N$ met $N = E_{12} + E_{23}$ : $N^2 = E_{13}$ , $N^3 = 0$ , en $\lambda I$ commuteert met $N$ :

\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\Bigl(I + tN + \frac{t^2}{2}N^2\Bigr) = \eu^{\lambda t}\begin{pmatrix} 1 & t & \frac{t^2}{2}\\ 0 & 1 & t\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Oplossingen: $X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(X_0 + tNX_0 + \frac{t^2}2N^2X_0\bigr)$ — elke component is $\eu^{\lambda t}$ maal een polynoom van graad $\leq 2$ . De graadgrens is de nilpotentie-index minus één: de reeks van $\eu^{tN}$ knipt af bij $N^2$ .

Oefening 16.12 ★★★

(Periodieke forcering, periodieke respons) Zij $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ en $B \colon \R \to \R^n$ continu en $T$ -periodiek.

Toon aan dat een oplossing van $X' = AX + B(t)$ $T$ -periodiek is dan en slechts dan als $X(T) = X(0)$ (vergelijk $X(\cdot + T)$ en $X$ ).
Toon aan dat de eigenwaarden van $\eu^{TA}$ de $\eu^{T\lambda}$ zijn, $\lambda \in \operatorname{Sp}A$ (trigonaliseer over $\C$ ). Leid af: als geen eigenwaarde van $A$ in $\frac{2\iu\pi}{T}\Z$ ligt, dan is $I - \eu^{TA}$ inverteerbaar.
Onder die hypothese, bewijs dat het stelsel precies één $T$ -periodieke oplossing heeft, met

$X(0) = \bigl(I - \eu^{TA}\bigr)^{-1} \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s .$

Waarmee correspondeert het uitgesloten geval, voor de harmonische oscillator? (Het weekendprobleem antwoordt: resonantie.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 16.12.

Als $X(T) = X(0)$ , dan lost $Y(t) = X(t + T)$ op $Y' = AY + B(t + T) = AY + B(t)$ met $Y(0) = X(0)$ : eenduidigheid (Stelling 16.4) geeft $Y = X$ , d.w.z. $X$ is $T$ -periodiek. Het omgekeerde is triviaal.
Trigonaliseer over $\C$ : $A = PT'P^{-1}$ met $T'$ boven- driehoekig, diagonaal $(\lambda_i)$ . Elke macht van een driehoekige matrix is driehoekig met diagonaal $(\lambda_i^k)$ , dus $\eu^{TA} = P\eu^{TT'}P^{-1}$ is driehoekig in dezelfde basis met diagonaal $(\eu^{T\lambda_i})$ : dat zijn de eigenwaarden. Dan is $I - \eu^{TA}$ inverteerbaar desda $\eu^{T\lambda} \neq 1$ voor elke eigenwaarde, d.w.z. desda $T\lambda \notin 2\iu\pi\Z$ , wat de gestelde hypothese is.
Variatie van constanten: $X(T) = \eu^{TA}X(0) + \int_0^T\eu^{(T-s)A}B(s)\dd s$ , dus $X(T) = X(0)$ leest

$\bigl(I - \eu^{TA}\bigr)X(0) = \int_0^{T}\eu^{(T-s)A}B(s)\,\dd s ,$

wat een unieke oplossing $X(0)$ heeft onder de inverteerbaarheidshypothese: precies één $T$ -periodieke oplossing. Voor de harmonische oscillator ( $\lambda = \pm\iu\omega$ ) is het uitgesloten geval $\omega T \in 2\pi\Z$ : forcering waarvan de periode een veelvoud is van de natuurlijke periode — resonantie, zoals het weekendprobleem kwantificeert.

16.6 Probleem: Oscillaties, resonantie, en de vergelijkingsstellingen van Sturm

Probleem 16.1

Eén vergelijking regeert de mechanische en elektrische wereld:

x'' + 2\zeta\omega\,x' + \omega^2 x = F(t), \qquad \omega > 0,\ \zeta \geq 0 .

Dit probleem bestudeert haar volledig — via de spoor–determinant-classificatie van vlakke lineaire stelsels, de drie dempingsregimes, de stationaire respons op periodieke forcering met haar resonantie-piek en de resonantieramp — en verlaat daarna constante coëfficiënten voor de scheidings- en vergelijkingsstellingen van Sturm, die de nulpunten van oplossingen van $y'' + q(t)y = 0$ beheersen zonder enige formule.

Deel I — Het spoor–determinant-vlak. Zij $A \in \mathcal M_2(\R)$ , $\tau = \operatorname{tr}A$ , $\delta = \det A$ , $\Delta = \tau^2 - 4\delta$ .

Toon aan dat de eigenwaarden van $A$ $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ zijn en classificeer: twee reële eigenwaarden van tegengesteld teken desda $\delta < 0$ ; reële eigenwaarden van hetzelfde teken desda $\delta > 0$ , $\Delta \geq 0$ (teken van $\tau$ ); niet-reëel geconjugeerd paar desda $\Delta < 0$ (reëel deel $\frac\tau2$ ).
(Zadel, $\delta < 0$ ) Met eigenwaarden $\mu < 0 < \lambda$ en eigenvectoren $v_\pm$ , schrijf de algemene oplossing en beschrijf de banen: twee stabiele en twee instabiele stralen, alle andere banen asymptotisch aan beide. Waarom kan geen oplossing behalve $0$ begrensd blijven op heel $\R$ ?
(Knopen, $\delta > 0$ , $\Delta > 0$ ) Voor $\mu < \lambda < 0$ : toon aan dat elke niet-nuloplossing naar $0$ neigt en dat alle banen behalve die op de snelle as aankomen tangentieel aan de trage eigenrichting (vergelijk $\eu^{\mu t}$ en $\eu^{\lambda t}$ ).
(Spiralen en centra, $\Delta < 0$ ) Met de eigenwaarden $\alpha \pm \iu\beta$ , gebruik Oefening 16.5 (na een reële basiswissel, in die algemeenheid toegelaten of bewezen voor de stelsels van Deel II, die hieronder gebruikt worden) om de banen te beschrijven: spiralen convergerend voor $\alpha = \frac\tau2 < 0$ , divergerend voor $\tau > 0$ , gesloten krommen (centrum) voor $\tau = 0$ .
(Randgevallen) Voor een dubbele eigenwaarde ( $\Delta = 0$ ): toon aan $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ met $N = A - \lambda I$ nilpotent, en onderscheid de ster ( $N = 0$ ) van de oneigenlijke knoop ( $N \neq 0$ ). Vat Deel I samen in het spoor–determinant-beeld van de figuur van dit hoofdstuk.

Deel II — De gedempte oscillator. Nu $F = 0$ : $x'' + 2\zeta\omega x' + \omega^2x = 0$ , d.w.z. $X' = AX$ met $A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ -\omega^2 & -2\zeta\omega\end{pmatrix}$ .

Bereken $\tau, \delta, \Delta$ en plaats de drie regimes in het spoor–determinant-vlak: ondergedempt $0 < \zeta < 1$ (stabiele spiraal), kritisch gedempt $\zeta = 1$ (dubbele eigenwaarde), overgedempt $\zeta > 1$ (stabiele knoop); $\zeta = 0$ is het centrum.
Los de drie regimes expliciet op:

$\zeta < 1:\ \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_d t + b\sin\omega_dt\bigr),\ \omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}; \qquad \zeta = 1:\ (a + bt)\,\eu^{-\omega t};$

$\zeta > 1$ : twee reële exponentiëlen. Definieer de pseudo-periode $\frac{2\pi}{\omega_d}$ en toon aan dat de verhouding van opeenvolgende maxima van $\abs x$ de constante $\eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ is (het logaritmische decrement).
(Het deurdranger-principe) Voor $\zeta \geq 1$ wordt de vervalsnelheid beheerst door de traagste eigenwaarde $\lambda_{\mathrm{slow}} = -\omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr)$ . Toon aan dat $\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}}$ een dalende functie is van $\zeta \geq 1$ : kritische demping $\zeta = 1$ geeft de snelste niet-oscillerende terugkeer naar rust.
(Energie) Zij $E(t) = \frac12x'^2 + \frac12\omega^2x^2$ . Bewijs $E' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ , en leid af dat voor $\zeta > 0$ de vergelijking geen niet-nul periodieke oplossing heeft (een periode zou $E$ constant dwingen, dus $x' \equiv 0$ ).
Leg in twee zinnen uit waarom het centrum $\zeta = 0$ structureel fragiel is: elke $\zeta > 0$ , hoe klein ook, vernietigt periodiciteit — en waar dat zich toont in het spoor–determinant-vlak (de centrumlijn heeft leeg inwendige).

Deel III — Gedwongen oscillaties en resonantie. Nu $F(t) = F\cos(\gamma t)$ met $F, \gamma > 0$ .

( $\zeta > 0$ : de stationaire toestand) Zoek $x_p = \Re\bigl(z\,\eu^{\iu\gamma t}\bigr)$ : toon aan

$z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma}, \qquad A(\gamma) := \abs z = \frac{F}{\sqrt{(\omega^2 - \gamma^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\gamma^2}} ,$

en schrijf $x_p = A(\gamma)\cos(\gamma t - \varphi)$ met $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2-\gamma^2}$ .
Toon aan dat elke oplossing $x_p$ plus een transient uit Deel II is, die naar $0$ neigt: wat de beginwaarden ook zijn, het stelsel vergrendelt op de stationaire toestand — amplitude $A(\gamma)$ , fasevertraging $\varphi$ .
(De resonantiekromme) Maximaliseer $A$ : toon aan dat $A(\gamma)$ een inwendig maximum heeft desda $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ , in

$\gamma_* = \omega\sqrt{1 - 2\zeta^2}, \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1-\zeta^2}} ,$

en dat voor kleine $\zeta$ de piek de statische respons $A(0) = \frac F{\omega^2}$ versterkt met de factor $\approx \frac{1}{2\zeta}$ .
( $\zeta = 0$ , buiten resonantie) Voor $\gamma \neq \omega$ , toon aan dat de oplossing met $x(0) = x'(0) = 0$ is

$x(t) = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2}\bigl(\cos\gamma t - \cos\omega t\bigr) = \frac{2F}{\omega^2-\gamma^2} \sin\frac{(\omega-\gamma)t}{2} \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2} :$

begrensd, met zwevingen — een snelle oscillatie onder een trage envelop — wanneer $\gamma$ dicht bij $\omega$ ligt.
( $\zeta = 0$ , resonantie) Voor $\gamma = \omega$ , toon aan dat $x_p(t) = \frac{F}{2\omega}\,t\sin(\omega t)$ een oplossing is, en herwin haar als de limiet van vraag 14 als $\gamma \to \omega$ : de amplitude groeit lineair voor altijd — de resonantieramp.
(Fourier-link) Een algemene periodieke forcering ontbindt in harmonischen (het Fourier-hoofdstuk); door lineariteit is de stationaire toestand de som van de harmonische responsen. Voor een ongedempte oscillator van frequentie $\omega = 3$ gedwongen door de blokgolf van Oefening 14.1-type (harmonischen op alle oneven gehele getallen), welke harmonische resoneert? Eén zin over waarom ingenieurs blokgolven vrezen.

Deel IV — De stellingen van Sturm. Beschouw $y'' + q(t)\,y = 0$ op een interval $I$ , $q$ continu. (Elke vergelijking $y'' + ay' + by = 0$ reduceert tot deze normale vorm door de substitutie $y = u\exp\bigl(-\frac12\int a\bigr)$ ; vraag 21 toont een variant van de truc in actie.)

Voor twee oplossingen $y_1, y_2$ , toon aan dat de Wronskiaan $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ constant is, nul desda de oplossingen evenredig zijn; en dat een niet-nuloplossing alleen enkelvoudige, geïsoleerde nulpunten heeft.
(Scheiding van Sturm) Zij $y_1, y_2$ onafhankelijke oplossingen en $a < b$ twee opeenvolgende nulpunten van $y_1$ . Bewijs dat $y_2$ precies éénmaal verdwijnt in $\intoo{a}{b}$ (evalueer de constante $W$ in $a$ en $b$ : $W = y_1'y_2$ daar, en $y_1'(a)$ , $y_1'(b)$ hebben tegengestelde tekens): nulpunten van onafhankelijke oplossingen wisselen af.
(Vergelijking van Sturm) Zij $q_1 \leq q_2$ op $I$ , $y \neq 0$ met $y'' + q_1y = 0$ , $z \neq 0$ met $z'' + q_2z = 0$ , en $a < b$ opeenvolgende nulpunten van $y$ . Toon aan dat $z$ verdwijnt in $\intcc{a}{b}$ — strikt binnenin als $q_1 < q_2$ ergens op $\intoo ab$ (als $z \neq 0$ op $\intoo ab$ , bestudeer $(yz' - y'z)' = (q_1 - q_2)yz$ met vaste tekens voor $y, z$ en vergelijk de randwaarden).
Leid de afstandsschattingen af: als $0 < m^2 \leq q(t) \leq M^2$ op $I$ , dan voldoen twee opeenvolgende nulpunten $a < b$ van een niet-nuloplossing van $y'' + qy = 0$ aan

$\frac{\pi}{M} \;\leq\; b - a \;\leq\; \frac{\pi}{m}$

(vergelijk met $u'' + M^2u = 0$ en $u'' + m^2u = 0$ , waarvan de nulpunten $\frac\pi M$ en $\frac\pi m$ uit elkaar liggen). Controleer op de harmonische oscillator.
Transformeer $ty'' + 2y' + ty = 0$ (Oefening 16.7) door $u = ty$ in $u'' + u = 0$ , herwin haar oplossingen $\frac{\sin t}t$ , $\frac{\cos t}{t}$ meteen, en concludeer dat de nulpunten van elke niet-nuloplossing precies $\pi$ uit elkaar liggen: het wereldbeeld van Sturm — nulpunten worden beheerst door de coëfficiënt $q$ , formules of niet.

Deel V — Duhamel en de begrensdheidsgrens.

(Duhamel voor de oscillator) Toon aan dat voor continue $F$ de oplossing van $x'' + \omega^2x = F(t)$ met $x(0) = x'(0) = 0$ is

$x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin\bigl(\omega(t - s)\bigr)F(s)\,\dd s ,$

en herleid de resonante oplossing van vraag 15 eruit met $F(s) = F\cos(\omega s)$ (product-naar-som).
( $\zeta > 0$ : begrensde input, begrensde output) Toon aan dat voor $\zeta > 0$ en elke begrensde continue $F$ elke oplossing van de gedempte vergelijking begrensd is op $\intco{0}{\infty}$ (variatie van constanten plus het exponentiële verval $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ van Oefening 16.8).
( $\zeta = 0$ ) Toon aan dat zonder demping begrensde periodieke forcering alle oplossingen begrensd houdt behalve precies bij resonantie ( $\gamma = \omega$ , vraag 15 versus vraag 14): demping is wat de begrensdheidsgrens tot uniforme stabiliteit maakt.
Synthese. In één zin elk: (i) hoe het spoor–determinant-vlak Delen I–II organiseert en waar forcering (Deel III) het verlaat; (ii) de fysische betekenis van $\gamma_*$ , $A(\gamma_*)$ en de factor $\frac1{2\zeta}$ ; (iii) wat de stellingen van Sturm zeggen wat expliciete formules niet kunnen; (iv) welke twee resultaten van dit probleem de rest van het boek stilzwijgend hergebruikt (Liouville-constante Wronskianen; begrensde-input-stabiliteit).

Oplossing

Oplossing van Probleem 16.1.

1. Het karakteristieke polynoom is $\lambda^2 - \tau\lambda + \delta$ , met wortels $\frac{\tau\pm\sqrt\Delta}{2}$ . Als $\delta < 0$ dan $\Delta = \tau^2 - 4\delta > 0$ en de twee reële wortels hebben product $\delta < 0$ : tegengestelde tekens. Als $\delta > 0$ en $\Delta \geq 0$ : reële wortels van product $> 0$ en som $\tau$ : beide van het teken van $\tau$ . Als $\Delta < 0$ : geconjugeerd paar $\alpha \pm \iu\beta$ met $\alpha = \frac\tau2$ , $\beta = \frac{\sqrt{-\Delta}}2$ .

2. $X(t) = a\,\eu^{\mu t}v_- + b\,\eu^{\lambda t}v_+$ . Banen met $a = 0$ (resp. $b = 0$ ) lopen langs de instabiele (resp. stabiele) eigenlijn; alle andere hebben $\norm X \to \infty$ in beide tijdrichtingen, asymptotisch aan $\R v_+$ als $t \to +\infty$ en aan $\R v_-$ als $t \to -\infty$ : het zadelbeeld. Begrensdheid op heel $\R$ dwingt $b = 0$ (anders explosie bij $+\infty$ ) en $a = 0$ (bij $-\infty$ ): alleen de oorsprong.

3. Met $\mu < \lambda < 0$ vervallen beide exponentiëlen: $X(t) \to 0$ . Als $b \neq 0$ , factoriseer $\eu^{\lambda t}$ :

X(t) = \eu^{\lambda t}\bigl(b\,v_\lambda + a\,\eu^{(\mu - \lambda)t}v_\mu\bigr), \qquad \eu^{(\mu-\lambda)t} \to 0 :

de richting van $X(t)$ neigt naar $\R v_\lambda$ , de trage eigenrichting — alle banen behalve de snelle as komen er tangentieel aan (het rechterpaneel van de faseportretten van het hoofdstuk).

4. In de basis waar $A = \begin{pmatrix} \alpha & -\beta\\ \beta & \alpha\end{pmatrix}$ (Oefening 16.5; voor de oscillatorstelsels van Deel II wordt deze vorm bereikt door een expliciete reële basiswissel), is de oplossing $\eu^{\alpha t}$ maal een rotatie over hoek $\beta t$ : logaritmische spiralen, samentrekkend wanneer $\alpha = \frac\tau2 < 0$ , uitzettend wanneer $\tau > 0$ , en gesloten krommen (ellipsen in de oorspronkelijke coördinaten) wanneer $\tau = 0$ : het centrum.

5. $\Delta = 0$ geeft de dubbele eigenwaarde $\lambda = \frac\tau2$ ; door Cayley–Hamilton (Stelling 3.21), $(A - \lambda I)^2 = 0$ , dus $N = A - \lambda I$ is nilpotent, commuteert met $\lambda I$ , en $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}(I + tN)$ . Als $N = 0$ : $A = \lambda I$ , alle stralen zijn banen (sterknoop). Als $N \neq 0$ : $X(t) = \eu^{\lambda t}(X_0 + tNX_0)$ , en voor $NX_0 \neq 0$ convergeert de richting naar de enige eigenrichting $\operatorname{im}N$ : oneigenlijke knoop. Dit voltooit het spoor–determinant-beeld.

6. $\tau = -2\zeta\omega$ , $\delta = \omega^2 > 0$ , $\Delta = 4\omega^2(\zeta^2 - 1)$ . Dus: $0 < \zeta < 1$ geeft $\Delta < 0$ , $\tau < 0$ : stabiele spiraal; $\zeta = 1$ : $\Delta = 0$ : ontaarde stabiele knoop; $\zeta > 1$ : $\Delta > 0$ , $\tau < 0$ , $\delta > 0$ : stabiele knoop; $\zeta = 0$ : $\tau = 0$ , $\delta > 0$ : centrum. Een verticale reis in het vlak bij $\delta = \omega^2$ .

7. Wortels $r = -\zeta\omega \pm \omega\sqrt{\zeta^2-1}$ . Voor $\zeta < 1$ : $r = -\zeta\omega \pm \iu\omega_d$ , $\omega_d = \omega\sqrt{1-\zeta^2}$ :

x(t) = \eu^{-\zeta\omega t}\bigl(a\cos\omega_dt + b\sin\omega_dt\bigr) = R\,\eu^{-\zeta\omega t}\cos(\omega_dt - \varphi) .

Voor $\zeta = 1$ : $x = (a + bt)\eu^{-\omega t}$ . Voor $\zeta > 1$ : $x = a\eu^{r_-t} + b\eu^{r_+t}$ , beide snelheden negatief. Opeenvolgende maxima van $\abs x$ in het ondergedempte geval vinden plaats op tijden gescheiden door de pseudo-periode $\frac{2\pi}{\omega_d}$ (zelfde fase van de cosinus), en hun verhouding is $\eu^{-\zeta\omega\cdot2\pi/\omega_d} = \eu^{-2\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}$ : het logaritmische decrement, een dempingsmeter afleesbaar op een oscilloscoop.

8. Rationaliseren,

\abs{\lambda_{\mathrm{slow}}} = \omega\bigl(\zeta - \sqrt{\zeta^2-1}\bigr) = \frac{\omega}{\zeta + \sqrt{\zeta^2 - 1}} ,

waarvan de noemer toeneemt met $\zeta \geq 1$ : de vervalsnelheid is het grootst bij $\zeta = 1$ , waar ze gelijk is aan $\omega$ . Een overgedempte deur sluit zonder te slaan maar langzaam; kritische demping is het optimum van de ingenieur.

9. $E' = x'x'' + \omega^2xx' = x'\bigl(-2\zeta\omega x' - \omega^2x\bigr) + \omega^2xx' = -2\zeta\omega\,x'^2 \leq 0$ . Als $x$ periodiek en niet-constant was, zou $E$ periodiek en niet-stijgend zijn, dus constant, wat $x' \equiv 0$ dwingt: $x$ constant, en dan $\omega^2x = 0$ : $x \equiv 0$ . Dus voor $\zeta > 0$ is de enige periodieke oplossing rust: demping doodt elke cyclus.

10. Het centrum $\zeta = 0$ leeft op de lijn $\tau = 0$ van het spoor–determinant-vlak — een verzameling met leeg inwendige: een willekeurig kleine verstoring van de matrix (elke fysische demping) verplaatst $\tau$ van nul en maakt van de gesloten banen spiralen. Periodiciteit van de ongedempte oscillator is dus een scheermesrand-fenomeen, geen robuust verschijnsel.

11. Substitueren van $x_p = \Re(z\eu^{\iu\gamma t})$ in de vergelijking:

\bigl(-\gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma + \omega^2\bigr)z = F \quad\Longrightarrow\quad z = \frac{F}{\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma},

dus $x_p = \abs z\cos(\gamma t - \varphi)$ met $\varphi = \arg(\omega^2 - \gamma^2 + 2\iu\zeta\omega\gamma)$ , d.w.z. $\tan\varphi = \frac{2\zeta\omega\gamma}{\omega^2 - \gamma^2}$ , en de gestelde $A(\gamma) = \abs z$ .

12. Het verschil van twee oplossingen lost de homogene vergelijking op, die voor $\zeta > 0$ naar $0$ vervalt (vraag 7): elke oplossing is $x_p$ plus een transient die op oneindig verdwijnt. De stationaire toestand is een globale attractor: beginvoorwaarden worden vergeten, alleen $A(\gamma)$ en de fasevertraging $\varphi$ blijven.

13. Minimaliseer $g(u) = (\omega^2 - u)^2 + 4\zeta^2\omega^2u$ over $u = \gamma^2 \geq 0$ : $g'(u) = -2(\omega^2 - u) + 4\zeta^2\omega^2 = 0$ in $u = \omega^2(1 - 2\zeta^2)$ , inwendig desda $\zeta < \frac{1}{\sqrt2}$ . Daar

g(u_*) = 4\zeta^4\omega^4 + 4\zeta^2\omega^4(1 - 2\zeta^2) = 4\zeta^2\omega^4(1 - \zeta^2), \qquad A(\gamma_*) = \frac{F}{2\zeta\omega^2\sqrt{1 - \zeta^2}} .

Tegen de statische respons $A(0) = \frac{F}{\omega^2}$ : versterking $\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \approx \frac{1}{2\zeta}$ voor kleine $\zeta$ — een licht gedempt systeem nabij $\gamma_* \approx \omega$ vermenigvuldigt de input honderdvoudig wanneer $\zeta = 0{,}005$ .

14. De gestelde $x$ voldoet aan $x(0) = x'(0) = 0$ en

x'' + \omega^2 x = \frac{F(\omega^2 - \gamma^2)\cos\gamma t}{\omega^2 - \gamma^2} = F\cos\gamma t

(de $\cos\omega t$ -delen heffen elkaar op). De productvorm volgt uit $\cos p - \cos q = 2\sin\frac{q+p}{2}\sin\frac{q-p}2$ met $p = \gamma t$ , $q = \omega t$ . Voor $\gamma$ dicht bij $\omega$ is de factor $\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2$ een trage envelop die de snelle oscillatie $\sin\frac{(\omega+\gamma)t}2$ moduleert: zwevingen, met amplitude $\frac{2F}{\abs{\omega^2-\gamma^2}}$ — groot, maar begrensd.

15. Voor $x_p = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ :

x_p'' = \frac{F}{2\omega}\bigl(2\omega\cos\omega t - \omega^2t\sin\omega t\bigr) = F\cos\omega t - \omega^2x_p :

een oplossing. En bij vaste $t$ , $\gamma \to \omega$ laten in vraag 14:

\frac{2F\sin\frac{(\omega-\gamma)t}2 \sin\frac{(\omega+\gamma)t}{2}} {(\omega-\gamma)(\omega+\gamma)} \longrightarrow \frac{2F\cdot\frac{(\omega-\gamma)t}2\big/(\omega-\gamma) \cdot\sin\omega t}{2\omega} = \frac{F\,t\sin\omega t}{2\omega} .

De amplitude groeit lineair zonder grens: de resonantieramp — de reden dat soldaten op bruggen de pas breken.

16. De blokgolf draagt harmonischen op elke oneven frequentie $n = 1, 3, 5, \dots$ ; door lineariteit wordt elke harmonische $n$ versterkt door de oscillatorrespons bij $\gamma = n$ . Voor $\omega = 3$ raakt de derde harmonische resonantie precies. Ingenieurs vrezen blok- (en zaagtand)inputs omdat ze alle oneven harmonischen tegelijk opwekken: wat de natuurlijke frequentie van de structuur ook is, er wacht altijd een harmonische.

17. $W' = y_1y_2'' - y_1''y_2 = -qy_1y_2 + qy_1y_2 = 0$ : $W$ is constant (Liouville met een spoorloze begeleidende matrix). $W = 0$ in één punt maakt de beginwaarden van $y_2$ evenredig met die van $y_1$ , dus $y_2$ evenredig met $y_1$ (eenduidigheid); $W \neq 0$ desda onafhankelijk. Als $y(t_0) = y'(t_0) = 0$ dan $y \equiv 0$ (eenduidigheid): een niet-nuloplossing heeft enkelvoudige nulpunten, en een enkelvoudig nulpunt is geïsoleerd ( $y'$ van vast teken in de buurt).

18. Tussen opeenvolgende nulpunten $a < b$ houdt $y_1$ één teken, zeg $y_1 > 0$ op $\intoo ab$ : dan $y_1'(a) > 0$ en $y_1'(b) < 0$ (enkelvoudige nulpunten). Evalueren van de constante $W = y_1y_2' - y_1'y_2$ in $a$ en $b$ :

W = -y_1'(a)\,y_2(a) = -y_1'(b)\,y_2(b) ,

dus $y_2(a)$ en $y_2(b)$ hebben tegengestelde tekens ( $W \neq 0$ verbiedt dat een van beide verdwijnt): $y_2$ verdwijnt in $\intoo ab$ (tussenwaarden). Ze kan daar niet tweemaal verdwijnen: twee nulpunten van $y_2$ zouden een nulpunt van $y_1$ flankeren door hetzelfde argument met omgewisselde rollen, in tegenspraak met opeenvolgendheid: precies één nulpunt — afwisseling.

19. Veronderstel dat $z$ geen nulpunt heeft in $\intoo ab$ ; door $y, z$ door hun tegenovergestelden te vervangen, neem $y > 0$ en $z > 0$ op $\intoo ab$ aan. Stel $\varphi = yz' - y'z$ : $\varphi' = yz'' - y''z = (q_1 - q_2)\,yz \leq 0$ op $\intoo ab$ : $\varphi$ is niet-stijgend. Maar $\varphi(a) = -y'(a)z(a) \leq 0$ (want $y'(a) > 0$ , $z(a) \geq 0$ ) en $\varphi(b) = -y'(b)z(b) \geq 0$ (want $y'(b) < 0$ , $z(b) \geq 0$ ): een niet-stijgende functie die van $\leq 0$ naar $\geq 0$ loopt verdwijnt identiek, dus $(q_1 - q_2)yz \equiv 0$ op $\intoo ab$ . Als $q_1 < q_2$ ergens in $\intoo ab$ , is dit absurd ( $y, z > 0$ daar): $z$ moet strikt binnenin verdwijnen. In het algemeen ( $q_1 \leq q_2$ ), ofwel verdwijnt $z$ in $\intoo ab$ , ofwel dwingt $\varphi \equiv 0$ dat $z$ evenredig is met $y$ , die in $a$ en $b$ verdwijnt: in alle gevallen heeft $z$ een nulpunt in $\intcc ab$ .

20. Bovengrens: vergelijk $y$ (coëfficiënt $q \geq m^2$ ) met $u(t) = \sin(m(t - a))$ (coëfficiënt $m^2 \leq q$ , dus $y$ speelt de rol van $z$ in vraag 19): als $y$ geen nulpunt had in $\intoc{a}{a + \pi/m}$ , zouden de nulpunten $a$ en $a + \frac\pi m$ van $u$ opeenvolgend zijn met $y \neq 0$ ertussen, in tegenspraak met vraag 19: opeenvolgende nulpunten van $y$ liggen op afstand $\leq \frac\pi m$ . Ondergrens: als twee opeenvolgende nulpunten $a < b$ van $y$ $b - a < \frac\pi M$ hadden, dan zou $z(t) = \sin(M(t-a))$ (coëfficiënt $M^2 \geq q$ ) moeten verdwijnen in $\intcc ab \subset \intoo{a}{a + \pi/M} \cup\{a\}$ , waar haar enige nulpunt $a$ zelf is — maar vraag 19 toegepast op $\intoo{a}{b}$ met strengheid in de eindpunten geeft een nulpunt in $\intcc ab$ , en $z > 0$ op $\intoc ab$ : tegenspraak. Dus $\frac\pi M \leq b - a \leq \frac\pi m$ ; voor $q \equiv \omega^2$ storten beide grenzen in tot de exacte afstand $\frac\pi\omega$ van de harmonische oscillator.

21. Met $u = ty$ : $u'' = ty'' + 2y'$ , dus $ty'' + 2y' + ty = u'' + u = 0$ : $u = A\sin t + B\cos t = R\sin(t + \varphi)$ , en $y = \frac{u}{t}$ herwint $\frac{\sin t}t$ en $\frac{\cos t}t$ (Oefening 16.7) zonder ordeverlaging. De nulpunten van elke niet-nuloplossing zijn die van $R\sin(t + \varphi)$ : precies $\pi$ uit elkaar — de filosofie van Sturm in actie: de coëfficiënt $q \equiv 1$ dicteert de nulpunten, formule of geen formule.

22. Stel $x(t) = \frac1\omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s$ . Dan $x(0) = 0$ ;

x'(t) = \frac1\omega\sin(0)F(t) + \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s = \int_0^t\cos(\omega(t-s))F(s)\dd s ,

dus $x'(0) = 0$ ; en $x''(t) = F(t) - \omega\int_0^t\sin(\omega(t-s))F(s)\dd s = F(t) - \omega^2x(t)$ (differentiatie van een parameterintegraal met variabele grens, zoals in het integratiehoofdstuk). Met $F(s) = F\cos\omega s$ geeft product-naar-som

\int_0^t\sin(\omega(t-s))\cos(\omega s)\dd s = \frac12\int_0^t\bigl(\sin\omega t + \sin(\omega t - 2\omega s)\bigr)\dd s = \frac{t}{2}\sin\omega t ,

(het tweede stuk integreert tot nul), dus $x = \frac{F}{2\omega}t\sin\omega t$ : vraag 15 opnieuw, via Duhamel.

23. In stelselvorm $X' = AX + (0, F(t))^{\mathsf T}$ met $\operatorname{Sp}A$ van negatieve reële delen ( $\zeta > 0$ ): variatie van constanten en Oefening 16.8 ( $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ) geven

\norm{X(t)} \leq C\eu^{-\alpha t}\norm{X_0} + \int_0^t C\eu^{-\alpha(t-s)}\norm{F}_\infty\dd s \leq C\norm{X_0} + \frac{C\norm F_\infty}{\alpha} :

begrensde input, begrensde output — uniform in de beginwaarden na de transient.

24. Voor $\zeta = 0$ en $\gamma \neq \omega$ is de oplossing van vraag 14 begrensd, en elke homogene oplossing toevoegen (begrensd: de banen van het centrum zijn cirkels) houdt haar begrensd; bij $\gamma = \omega$ groeit vraag 15 lineair. Dus faalt begrensdheid onder periodieke forcering voor de ongedempte oscillator bij precies één frequentie — resonantie — terwijl vraag 23 toont dat elke positieve demping begrensdheid herstelt voor alle begrensde inputs.

25. (i) Het spoor–determinant-vlak classificeert alle autonome vlakke lineaire dynamica, en de oscillator van Deel II loopt een verticale lijn ervan; forcering verlaat het vlak (niet-autonoom), en Duhamel neemt het over. (ii) $\gamma_*$ is de frequentie die het systeem prefereert, $A(\gamma_*)$ de prijs van haar opwekking, en $\frac{1}{2\zeta}$ de versterkingsfactor — de resonantiescherpte die ingenieurs de kwaliteitsfactor noemen. (iii) De stellingen van Sturm lezen oscillatie af van teken en grootte van $q$ alleen: ze beheersen vergelijkingen (Bessel, Schrödinger) waarvan de oplossingen geen elementaire formules hebben. (iv) Constante Wronskianen (vraag 17, via Liouville) en begrensde-input-stabiliteit (vraag 23) worden stilzwijgend hergebruikt wanneer het boek variabele-coëfficiëntvergelijkingen of verstoorde stelsels ontmoet.