Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

2Kinematica van fluïda

Ga op een brug staan en kijk naar de rivier. Een blad drijft voorbij, versnelt tussen de pijlers, vertraagt in de kolk erachter, draait één keer rond in een wervel en gaat verder. U kunt de rivier beschrijven door dat blad te volgen — zijn plaats en zijn snelheid op elk ogenblik — of door stil te blijven staan en in elk punt van de rivier op te tekenen hoe snel het water er passeert. De tweede beschrijving is die van de fysicus: een snelheidsveld. Dit hoofdstuk zet de twee beschrijvingen op, leert de versnelling van een deeltje uit het veld berekenen, schrijft het behoud van massa als een lokale wet, en deelt stromingen in naar de vraag of zij draaien — de woordenschat die de vergelijkingen van Euler en Navier nodig zullen hebben.

Een rivier voorbij een brug: snel, glad water tussen de pijlers, wervels in hun lij — een snelheidsveld dat men in vaste punten afleest, geen enkele baan die men volgt.

2.1 De continuümbeschrijving

Definitie 2.1 (Fluïdumdeeltje; de continuümhypothese)

Een fluïdumdeeltje is een hoeveelheid fluïdum die klein genoeg is om op de schaal van de stroming als een punt te gelden, en toch groot genoeg om een enorm aantal moleculen te bevatten, zodat haar dichtheid $\rho$ , druk $P$ , temperatuur $T$ en gemiddelde snelheid $\vect v$ goed gedefinieerde gemiddelden zijn (de mesoscopische schaal, doorgaans een micrometer). De continuümhypothese veronderstelt dat zo’n schaal bestaat: de gemiddelde vrije weglengte $\ell$ van de moleculen moet veel kleiner zijn dan de schaal $L$ van de stroming, $\ell/L \ll 1$ . In lucht bij atmosferische druk is $\ell \approx 70\,\mathrm{nm}$ ; in een vloeistof is $\ell$ de moleculaire afmeting. Het fluïdum wordt dan beschreven door velden $\rho(M, t)$ , $P(M, t)$ , $\vect v(M, t)$ die in elk punt gedefinieerd zijn.

Definitie 2.2 (Beschrijving van Lagrange en van Euler)

De beschrijving van Lagrange volgt elk fluïdumdeeltje: zijn plaats $\vect r(t)$ en zijn snelheid $\dd\vect r/\dd t$ als functies van de tijd en van zijn beginplaats. De beschrijving van Euler geeft, in elk vast punt $M$ en op elk tijdstip $t$ , de snelheid $\vect v(M, t)$ van het deeltje dat op dat ogenblik door $M$ komt. Een baanlijn is de baan van een deeltje; een stroomlijn op het tijdstip $t$ is een kromme die in elk punt raakt aan $\vect v(M, t)$ ; een stroombuis is het oppervlak dat de stroomlijnen door een gesloten kromme vormen. Een stroming is stationair wanneer de velden van Euler niet van de tijd afhangen, $\partial\vect v/\partial t = \vect 0$ ; stroomlijnen en baanlijnen vallen dan samen en liggen vast.

Voorbeeld 2.3 (Twee beschrijvingen van één stroming)

Water in een tuinslang met doorsnede $S$ en debiet $Q$ beweegt overal met $v = Q/S$ : het veld van Euler is uniform en de beweging van elk deeltje in de zin van Lagrange is eenparig. In het toelopende mondstuk is het veld van Euler nog altijd stationair, maar neemt $v$ langs de as toe: elk deeltje versnelt tijdens de doorgang, terwijl er in geen enkel vast punt iets met de tijd verandert. Dat is het eerste wat de beschrijving van Euler moet leren uitdrukken.

Links: een stationaire samentrekkende stroming — de stroomlijnen liggen vast, een gemerkt deeltje volgt er één van en versnelt waar de buis nauwer wordt. Rechts: de beschrijving van Euler tekent de snelheidsvector in vaste punten op; die van Lagrange volgt een deeltje langs zijn baanlijn.

2.2 De materiële afgeleide

Stelling 2.4 (Materiële afgeleide (deeltjesafgeleide))

De veranderingssnelheid van een grootheid $G(M, t)$ (scalair of vectorieel) voor het fluïdumdeeltje dat door $M$ komt op het tijdstip $t$ , is

\frac{\mathrm DG}{\mathrm Dt} = \frac{\partial G}{\partial t} + (\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\,G , \qquad\text{in het bijzonder}\qquad \vect a = \frac{\mathrm D\vect v}{\mathrm Dt} = \frac{\partial\vect v}{\partial t} + (\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}})\,\vect v ,

waarin $(\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}) = v_x\partial_x + v_y\partial_y + v_z\partial_z$ . De eerste term is de lokale veranderingssnelheid (in een vast punt), de tweede de convectieve (omdat het deeltje zich verplaatst naar waar $G$ anders is). Voor de snelheid geldt $(\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\vect v = \operatorname{\vect{grad}}(v^2/2) + (\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v$ .

Bewijs. In $\dd t$ verplaatst het deeltje zich van $M$ naar $M + \vect v\,\dd t$ , zodat $\dd G = G(M + \vect v\dd t, t + \dd t) - G(M, t) = \partial_tG\,\dd t + \dd t\,(v_x\partial_x + v_y\partial_y + v_z\partial_z)G$ tot op eerste orde (kettingregel voor een functie van vier veranderlijken). De vectoridentiteit wordt op de $x$ -component nagegaan: $[\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)]_x = v_x\partial_xv_x + v_y\partial_x v_y + v_z\partial_xv_z$ en $[(\operatorname{\vect{curl}}\vect v)\wedge\vect v]_x = v_y(\partial_yv_x - \partial_xv_y) + v_z(\partial_zv_x - \partial_xv_z)$ (met de componenten van $\operatorname{\vect{curl}}\vect v$ zoals hieronder gegeven in Definitie 2.12); hun som is $v_x\partial_xv_x + v_y\partial_yv_x + v_z\partial_zv_x$ . ∎

Voorbeeld 2.5 (Versnelling in een stationair mondstuk)

Een eendimensionale stationaire stroming $v(x) = v_0(1 + x/L)$ langs een mondstuk: de lokale term valt weg en $a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ . Een deeltje dat binnenkomt met $v_0 = 2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en met $2v_0$ vertrekt over $L = 5\,\mathrm{cm}$ , ondervindt $a = 80$ tot $160\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : acht tot zestien $g$ , in een stroming waarin niets van de tijd afhangt.

Voorbeeld 2.6 (Lokaal tegenover convectief)

De temperatuur in een weerstation daalt in de loop van de nacht ( $\partial T/ \partial t < 0$ : lokaal), en daalt voor een luchtpakket dat door de wind noordwaarts wordt meegevoerd ( $\vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}T < 0$ : convectief, of advectief). Een thermometer aan een ballon die met de wind meedrijft, tekent de som op, $\mathrm DT/\mathrm Dt$ ; het weerstation tekent alleen de eerste term op.

2.3 Behoud van massa

Definitie 2.7 (Massadebiet en volumedebiet)

Het massadebiet door een georiënteerd oppervlak $S$ is de massa die er per tijdseenheid doorheen gaat, $D_m = \sum\rho\,\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ — de flux van de massastroomdichtheid $\vect j = \rho\vect v$ (eenheid $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{s}^{-1}$ ); het volumedebiet is $D_V = \sum\vect v \cdot\vect n\,\dd S$ ( $\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ). Voor een uniforme snelheid loodrecht op een vlakke doorsnede met oppervlakte $S$ is $D_m = \rho vS$ en $D_V = vS$ .

Bewijs. In $\dd t$ is het fluïdum dat het element $\dd S$ passeert, dat wat besloten ligt in de scheve cilinder met grondvlak $\dd S$ en beschrijvende $\vect v\,\dd t$ , met volume $\vect v\cdot\vect n\,\dd S\,\dd t$ en massa $\rho$ maal dat volume. ∎

Stelling 2.8 (Lokaal behoud van massa)

In elk punt van een fluïdum geldt

\frac{\partial\rho}{\partial t} + \operatorname{div}(\rho\vect v) = 0 , \qquad\text{waarin}\qquad \operatorname{div}\vect A = \frac{\partial A_x}{\partial x} + \frac{\partial A_y}{\partial y} + \frac{\partial A_z}{\partial z}

de divergentie van een vectorveld is: de netto naar buiten gerichte flux van $\vect A$ door het oppervlak van een klein volume, per volume-eenheid. Even goed geldt $\mathrm D\rho/\mathrm Dt + \rho\operatorname{div}\vect v = 0$ .

Bewijs. Neem het vaste blokje $[x, x + \dd x]\times[y, y + \dd y]\times[z, z + \dd z]$ . Zijn massa $\rho\,\dd x\dd y\dd z$ verandert met de snelheid $\partial_t\rho\,\dd x\dd y \dd z$ . Er komt massa binnen door het zijvlak in $x$ met $j_x(x)\dd y\dd z$ en er gaat massa uit door het zijvlak in $x + \dd x$ met $j_x(x + \dd x)\dd y\dd z$ : netto uitstroom $\partial_xj_x\,\dd x\dd y\dd z$ , en evenzo voor $y$ en $z$ . Behoud van massa — er wordt geen massa gemaakt — geeft $\partial_t\rho = - (\partial_xj_x + \partial_yj_y + \partial_zj_z)$ . De tweede vorm volgt uit $\operatorname{div}(\rho\vect v) = \vect v\cdot\operatorname{\vect{grad}}\rho + \rho\operatorname{div}\vect v$ . ∎

Opmerking 2.9 (De divergentie, een eerste kennismaking)

De afleiding laat zien wat $\operatorname{div}$ meet: de flux die per volume-eenheid uit een klein blokje treedt. Sommeert men over de blokjes die een eindig volume $V$ betegelen, dan heffen de inwendige zijvlakken elkaar paarsgewijs op en blijft alleen het buitenoppervlak over: $\iint_{\partial V}\vect A\cdot\vect n\,\dd S = \iiint_V \operatorname{div}\vect A\,\dd\tau$ — de divergentiestelling (Ostrogradski), die wij netjes zullen formuleren in Hoofdstuk 11 en door de hele elektromagnetica heen zullen gebruiken; zij wordt bewezen in het wiskundevolume van jaar 3. Geïntegreerd over een vast volume luidt de lokale wet $\dd m_V/\dd t = -D_m^{\text{uit}}$ : de massa binnenin verandert met wat de rand oversteekt.

Links: de massabalans van een vast blokje — de netto uitstroom door zijn zes zijvlakken, per volume-eenheid, is de divergentie van v. Rechts: in een stationaire stroming is het massadebiet door elke doorsnede van een stroombuis hetzelfde. — Links: de massabalans van een vast blokje — de netto uitstroom door zijn zes zijvlakken, per volume-eenheid, is de divergentie van $\rho\vect v$ . Rechts: in een stationaire stroming is het massadebiet door elke doorsnede van een stroombuis hetzelfde.

Gevolg 2.10 (Onsamendrukbare stroming; stroombuizen)

Een stroming heet onsamendrukbaar wanneer de dichtheid van elk deeltje constant blijft, $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = 0$ , wat gelijkwaardig is met

\operatorname{div}\vect v = 0 .

Een homogene vloeistof stroomt onsamendrukbaar; een gas ook, zolang de snelheden ver onder de geluidssnelheid blijven (zie Hoofdstuk 7). In een stationaire stroming is het massadebiet $\rho vS$ door elke doorsnede van een stroombuis hetzelfde; is de stroming bovendien onsamendrukbaar en $\rho$ uniform, dan is $vS$ constant: het fluïdum versnelt waar de buis nauwer wordt.

Bewijs. $\mathrm D\rho/\mathrm Dt = -\rho\operatorname{div}\vect v$ . Voor de buis past men de geïntegreerde balans toe op het volume tussen twee doorsneden: geen flux door het zijoppervlak (de snelheid raakt eraan), stationaire toestand, dus instroom gelijk aan uitstroom. ∎

Voorbeeld 2.11 (Bloed)

De aorta (doorsnede $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) voert $5\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ $= 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$ : $v = 33\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . Datzelfde debiet gaat door ongeveer $10^{10}$ haarvaten met een totale doorsnede van zo’n $2500\,\mathrm{cm}^{2}$ : $v = 0.3\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ — traag genoeg voor uitwisseling door de wanden, wat het doel van de vertakking is.

2.4 Vorticiteit en rotatievrije stromingen

Definitie 2.12 (Vorticiteit)

De vorticiteit van een stroming is het vectorveld

\vect\omega = \operatorname{\vect{curl}}\vect v , \qquad \operatorname{\vect{curl}}\vect A = \Bigl(\frac{\partial A_z}{\partial y} - \frac{\partial A_y}{\partial z},\; \frac{\partial A_x}{\partial z} - \frac{\partial A_z} {\partial x},\; \frac{\partial A_y}{\partial x} - \frac{\partial A_x}{\partial y}\Bigr) .

Een stroming is rotatievrij waar $\vect\omega = \vect 0$ .

Propositie 2.13 (Vorticiteit meet de lokale rotatie)

Een klein fluïdumelement met middelpunt $M$ draait, als geheel, met de hoeksnelheid $\vect\Omega = \tfrac12\vect\omega(M)$ . In een rotatie als star lichaam, $\vect v = \vect\Omega\wedge\vect{OM}$ , is de vorticiteit uniform, $\vect\omega = 2\vect\Omega$ ; in de vlakke afschuifstroming $\vect v = ky\,\vect e_x$ is zij $\vect\omega = -k\vect e_z$ : een schoepenradje dat men in een afschuifstroming laat vallen, draait rond hoewel de stroomlijnen recht zijn.

Bewijs. Nabij $M$ is $\vect v(M + \vect\epsilon) = \vect v(M) + \mathbf G\vect\epsilon$ met $\mathbf G$ de matrix van $\partial_jv_i$ ; splits haar in haar symmetrische deel (een zuivere vervorming, die het element rekt zonder het als geheel te draaien) en haar antisymmetrische deel, waarvan de matrix $\tfrac12(\partial_jv_i - \partial_iv_j)$ die van $\vect\epsilon \mapsto \tfrac12\vect\omega\wedge\vect\epsilon$ is (Stelling 1.2). Rotatie als star lichaam om $\vect e_z$ : $\vect v = \Omega(-y, x, 0)$ , $\omega_z = \partial_xv_y - \partial_yv_x = 2\Omega$ . Afschuiving: $\omega_z = -\partial_y(ky) = -k$ . ∎

Definitie 2.14 (Snelheidspotentiaal; circulatie)

In een rotatievrije stroming is de snelheid afgeleid van een snelheidspotentiaal: $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi$ (de circulatie van $\vect v$ langs een weg hangt dan alleen van de uiteinden af, $\int_A^B\vect v \cdot\dd\vect l = \varphi(B) - \varphi(A)$ ). Is de stroming bovendien onsamendrukbaar, dan is $\Delta\varphi = \operatorname{div}\operatorname{\vect{grad}} \varphi = 0$ : de potentiaal voldoet aan de vergelijking van Laplace, net als de elektrostatische potentiaal in een ladingsvrij gebied — een potentiaalstroming. De circulatie van de snelheid langs een gesloten kromme $C$ is $\Gamma = \oint_C\vect v\cdot\dd\vect l$ .

Bewijs. Dat een rotatievrij veld op een enkelvoudig samenhangend gebied een gradiënt is, en dat een gradiënt rotatievrij is ( $\partial_y\partial_z\varphi = \partial_z\partial_y\varphi$ ), hoort bij het wiskundevolume van jaar 2; de vergelijking van Laplace volgt uit $\operatorname{div}\vect v = 0$ . ∎

Voorbeeld 2.15 (Drie vlakke stromingen)

(i) Stuwpuntstroming $\vect v = k(x, -y)$ : $\operatorname{div}\vect v = 0$ , $\vect\omega = \vect 0$ , $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ ; stroomlijnen $xy =$ const, hyperbolen — een straal die een wand treft, dicht bij de as. (ii) Puntwervel $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (vlakke poolcoördinaten): onsamendrukbaar en overal rotatievrij behalve in $r = 0$ , $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (meerwaardig), en de circulatie op elke cirkel om het middelpunt is $\Gamma$ — de vorticiteit zit geconcentreerd op de as. (iii) Wervel van Rankine: een kern $r < a$ die als star lichaam draait, $v_\theta = \Omega r$ (vorticiteit $2\Omega$ ), aangesloten op de puntwervel $v_\theta = \Omega a^2/r$ daarbuiten: het model van een tornado, van een draaikolk in het bad of van de wervel achter de brugpijler — de snelheid is maximaal aan de rand van de kern.

Drie vlakke stromingen. Links: de stuwpuntstroming, rotatievrij, met hyperbolische stroomlijnen. Midden: de puntwervel — cirkelvormige stroomlijnen, en toch vorticiteit nul buiten het middelpunt. Rechts: het profiel van de wervel van Rankine, rotatie als star lichaam in de kern en een puntwervel daarbuiten.

Opmerking 2.16 (Waarom de circulatie ertoe doet)

Voor een kleine vlakke lus met oppervlakte $\dd S$ en normaal $\vect n$ is de circulatie $\oint\vect v\cdot\dd\vect l = \vect\omega\cdot\vect n\,\dd S$ — de vorticiteit is de circulatie per oppervlakte-eenheid, precies zoals de divergentie de flux per volume-eenheid is. (Ga het na op de rotatie als star lichaam: $2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$ .) Gesommeerd over een oppervlak geeft dit de stelling van Stokes, $\oint_C\vect v\cdot\dd\vect l = \iint_S \operatorname{\vect{curl}}\vect v\cdot\vect n\,\dd S$ , geformuleerd in Hoofdstuk 11. Een vleugel wekt draagkracht op door een circulatie om zich heen te dragen; een wervellijn blijft in een volmaakt fluïdum bestaan (stelling van Kelvin) — en daarom houdt de wervel achter de pijler het zo lang uit.

Methode 2.17 (Een snelheidsveld lezen)

Gegeven $\vect v(M, t)$ : (1) is zij stationair? ( $\partial_t\vect v = \vect 0$ ); (2) is zij onsamendrukbaar? ( $\operatorname{div}\vect v = 0$ ); (3) is zij rotatievrij? ( $\operatorname{\vect{curl}}\vect v = \vect 0$ ; zo ja, bepaal $\varphi$ ); (4) bepaal de stroomlijnen uit $\dd x/v_x = \dd y/v_y = \dd z/ v_z$ bij vaste $t$ , en de baanlijnen uit $\dd\vect r/\dd t = \vect v(\vect r, t)$ ; (5) bereken de versnelling $\partial_t\vect v + (\vect v\cdot \operatorname{\vect{grad}})\vect v$ . In vlakke poolcoördinaten $(r, \theta)$ is $\operatorname{div}\vect v = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_r)}{\partial r} + \dfrac1r \dfrac{\partial v_\theta}{\partial\theta}$ en $\omega_z = \dfrac1r\dfrac{\partial(rv_\theta)} {\partial r} - \dfrac1r\dfrac{\partial v_r}{\partial\theta}$ (hier aangenomen; afgeleid in Hoofdstuk 11).

2.5 Oefeningen

Oefening 2.1 ★

De gemiddelde vrije weglengte in lucht is $70\,\mathrm{nm}$ bij $1\,\mathrm{bar}$ en verandert als $1/P$ . Geldt de continuümbeschrijving voor (a) lucht rond een auto, (b) lucht in een microkanaal van $1\,\text{µ}\mathrm{m}$ bij $1\,\mathrm{bar}$ , (c) lucht op $100\,\mathrm{km}$ hoogte ( $P \approx 3 \times 10^{-7}\,\mathrm{bar}$ ) rond een satelliet van $1\,\mathrm{m}$ ? Geef in elk geval $\ell/L$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.1.

(a) $\ell/L \sim 7 \times 10^{-8}$ : continuüm. (b) $0.07$ : grensgeval — de wetten van het continuüm beginnen te falen (slip langs de wanden). (c) $\ell = 70 \times 10^{-9} /3 \times 10^{-7} = 0.23\,\mathrm{m}$ , $\ell/L = 0.23$ : geen continuüm; het gas is een regen van onafhankelijke moleculen (vrijmoleculair regime).

Oefening 2.2 ★

Stationaire eendimensionale stroming $v(x) = v_0(1 + x/L)$ voor $0 \le x \le L$ . Versnelling van een deeltje in $x$ ; tijd die het nodig heeft om van $0$ tot $L$ te komen; vergelijk met $L/v_0$ en $L/2v_0$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.2.

$a = v\,\dd v/\dd x = v_0^2(1 + x/L)/L$ (van $v_0^2/L$ tot $2v_0^2/L$ ). $\dd x/\dd t = v_0(1 + x/L)$ : $t = (L/v_0)\ln2 = 0.69\,L/v_0$ , tussen $L/2v_0$ en $L/v_0$ .

Oefening 2.3 ★

In een buis met straal $R$ is het snelheidsprofiel langs de as $v(r) = v_{\max}(1 - r^2/R^2)$ . Volumedebiet; gemiddelde snelheid $\langle v\rangle = D_V/\pi R^2$ ; getallen voor $R = 5\,\mathrm{mm}$ , $v_{\max} = 0.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.3.

$D_V = \int_0^Rv_{\max}(1 - r^2/R^2)\,2\pi r\,\dd r = \tfrac12\pi R^2v_{\max}$ ; $\langle v\rangle = v_{\max}/2 = 0.20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $D_V = 1.6 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s} = 16\,\mathrm{mL}/\mathrm{s}$ .

Oefening 2.4 ★

Zeg voor elk veld of de stroming onsamendrukbaar is en of zij rotatievrij is; geef de vorticiteit: (a) $\vect v = (ax, -ay, 0)$ ; (b) $\vect v = (-\Omega y, \Omega x, 0)$ ; (c) $\vect v = (ax, ay, 0)$ ; (d) $\vect v = (ky, 0, 0)$ ; (e) $\vect v = (ax, -ay, bz)$ — voor welke $b$ is zij onsamendrukbaar?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.4.

(a) $\operatorname{div} = 0$ , $\vect\omega = \vect 0$ : onsamendrukbaar, rotatievrij. (b) $\operatorname{div} = 0$ , $\omega_z = 2\Omega$ : rotatie als star lichaam. (c) $\operatorname{div} = 2a \ne 0$ , rotatievrij (een vlakke bron). (d) $\operatorname{div} = 0$ , $\omega_z = -k$ : afschuiving. (e) $\operatorname{div} = b$ : onsamendrukbaar dan en slechts dan als $b = 0$ ; rotatievrij voor elke $b$ .

Oefening 2.5 ★★

Een tuinslang met inwendige diameter $12\,\mathrm{mm}$ vult een emmer van $10\,\mathrm{L}$ in $50\,\mathrm{s}$ . Snelheid in de slang; snelheid in een mondstuk van $3\,\mathrm{mm}$ ; loopt het mondstuk over $4\,\mathrm{cm}$ toe, schat dan de gemiddelde versnelling van een deeltje dat het doorloopt (in $g$ ); tijd die het in het mondstuk doorbrengt.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.5.

$D_V = 0.20\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . Slang $S = 1.13\,\mathrm{cm}^{2}$ : $v = 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; mondstuk $S = 7.1\,\mathrm{mm}^{2}$ : $v = 28\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Gemiddelde versnelling $\Delta(v^2/2)/L = (28^2 - 1.8^2)/0.08 \approx 1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1000\,g$ . Tijd $\approx \int\dd x/v$ : enkele milliseconden ( $4\,\mathrm{ms}$ bij een lineair snelheidsprofiel).

Oefening 2.6 ★★

Niet-stationaire vlakke stroming $\vect v = (U, V\cos\omega t)$ met $U$ , $V$ , $\omega$ constant. (a) Stroomlijnen op het tijdstip $t$ . (b) Baanlijn van het deeltje dat op $t = 0$ in de oorsprong is. (c) Schets beide voor $V = U$ op $t = 0$ en op $t = \pi/2\omega$ ; waarom verschillen zij? (d) Versnelling van een deeltje.

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.6.

(a) $\dd y/\dd x = (V/U)\cos\omega t$ : rechte lijnen met richtingscoëfficiënt $(V/U)\cos\omega t$ , alle evenwijdig, die met de tijd kantelen. (b) $x = Ut$ , $y = (V/\omega)\sin\omega t$ : de sinusoïde $y = (V/\omega)\sin(\omega x/U)$ . (c) Op $t = 0$ staan de stroomlijnen onder $45{}^{\circ}$ en verlaat de baanlijn de oorsprong onder $45{}^{\circ}$ ; op $t = \pi/2\omega$ zijn de stroomlijnen horizontaal terwijl de baanlijn een vaste sinusoïde is. Zij verschillen omdat de stroming niet stationair is: een stroomlijn is een momentopname, een baanlijn een geschiedenis. (d) $\vect a = \partial_t\vect v = (0, -V\omega\sin\omega t)$ — het veld is uniform, dus de convectieve term valt weg.

Oefening 2.7 ★★

Een rivier van $50\,\mathrm{m}$ breed en $2.0\,\mathrm{m}$ diep stroomt met $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (a) Debiet. (b) Zij komt een kloof binnen van $15\,\mathrm{m}$ breed en $4.0\,\mathrm{m}$ diep: snelheid. (c) Een zijrivier voegt $30\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ toe; stroomafwaarts is de rivier $60\,\mathrm{m}$ breed en $2.5\,\mathrm{m}$ diep: snelheid. (d) Heet gas stroomt stationair door een buis met constante doorsnede; tussen twee punten verdubbelt zijn temperatuur bij constante druk: wat gebeurt er met zijn snelheid?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.7.

(a) $D_V = 50 \times 2 \times 1.2 = 120\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ . (b) $120/60 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (c) $150/150 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) $\rho \propto 1/T$ bij constante $P$ halveert; $\rho vS$ blijft behouden: de snelheid verdubbelt.

Oefening 2.8 ★★

Wervel van Rankine. $v_\theta = \Omega r$ voor $r < a$ , $v_\theta = \Omega a^2/r$ voor $r > a$ . (a) Vorticiteit in elk gebied (gebruik de formule in poolcoördinaten). (b) Circulatie op een cirkel met straal $r$ om de as, in beide gebieden; breng die in verband met de vorticiteitsflux. (c) Een tornado: $a = 50\,\mathrm{m}$ , $v_{\max} = 70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $\Omega$ , $\Gamma$ , en de snelheid op $500\,\mathrm{m}$ . (d) Is de stroming in de kern rotatievrij? En daarbuiten? Waar zit de “rotatie” fysisch?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.8.

(a) $\omega_z = \frac1r\frac{\dd(rv_\theta)}{\dd r}$ : $2\Omega$ binnenin, $0$ daarbuiten. (b) Binnenin $\Gamma = 2\pi r\cdot\Omega r = 2\Omega\cdot\pi r^2$ , de flux van de vorticiteit; daarbuiten $\Gamma = 2\pi\Omega a^2$ , constant, de flux van de hele kern. (c) $\Omega = v_{\max}/a = 1.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 2.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; op $500\,\mathrm{m}$ : $\Omega a^2/r = 7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (d) De kern draait als een star lichaam; daarbuiten is de stroming rotatievrij: deeltjes gaan om de as heen zonder om zichzelf te draaien. De vorticiteit — de rotatie — huist in de kern.

Oefening 2.9 ★★

Stuwpuntstroming $\vect v = k(x, -y)$ . (a) Potentiaal $\varphi$ en ga na dat $\Delta\varphi = 0$ . (b) Stroomlijnen; de functie $\psi = kxy$ is er constant op — toon aan dat $v_x = \partial\psi/\partial y$ , $v_y = -\partial\psi/ \partial x$ (de stroomfunctie). (c) Versnellingsveld; toon aan dat het $\operatorname{\vect{grad}}(v^2/2)$ is, en duid dat. (d) Baanlijn van een deeltje dat in $(x_0, y_0)$ vertrekt: $x = x_0\eu^{kt}$ , $y = y_0\eu^{-kt}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.9.

(a) $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ , $\Delta\varphi = k - k = 0$ . (b) $\dd x/ kx = \dd y/(-ky)$ : $xy =$ const; $\partial_y\psi = kx = v_x$ , $-\partial_x\psi = -ky = v_y$ . (c) $\vect a = (v_x\partial_x + v_y\partial_y)\vect v = k^2(x, y) = \operatorname{\vect{grad}}\bigl(\tfrac12k^2(x^2 + y^2)\bigr) = \operatorname{\vect{grad}} (v^2/2)$ : in een stationaire rotatievrije stroming is de versnelling de gradiënt van de kinetische energie per massa-eenheid; zij wijst van het stuwpunt weg — een deeltje vertraagt terwijl het langs $y$ de wand nadert en versnelt weg langs $x$ . (d) $\dot x = kx$ , $\dot y = -ky$ : $x = x_0\eu^{kt}$ , $y = y_0\eu^{-kt}$ ( $xy$ constant).

Oefening 2.10 ★★★

Een uitdijende stroming. Eendimensionale stroming $v(x, t) = x/(t + \tau)$ voor $t > 0$ , met $\tau > 0$ constant. (a) Baanlijnen: toon aan dat $x(t) = x_0(1 + t/\tau)$ ; versnelling van een deeltje, zowel uit de baanlijn als uit de materiële afgeleide. (b) De dichtheid is op elk tijdstip uniform, $\rho(t)$ : bepaal $\rho(t)$ met behoud van massa. (c) Controleer dat door de massa tussen twee deeltjes te volgen. (d) Waarom is dit veld een eendimensionaal model van een uniform uitdijend heelal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.10.

(a) $\dd x/\dd t = x/(t + \tau)$ geeft $x = x_0(1 + t/\tau)$ , $\ddot x = 0$ ; materiële afgeleide: $\partial_tv + v\partial_xv = -x/(t + \tau)^2 + x/(t + \tau)^2 = 0$ . (b) $\partial_t\rho + \partial_x(\rho v) = \dot\rho + \rho/(t + \tau) = 0$ : $\rho = \rho_0\tau/(t + \tau)$ . (c) De afstand tussen twee deeltjes groeit als $(1 + t/\tau)$ en de massa ertussen ligt vast: $\rho \propto 1/(1 + t/\tau)$ . (d) $v = Hx$ met $H = 1/(t + \tau)$ : een wet van Hubble, vrije uitdijing (geen versnelling), met een dichtheid die als het omgekeerde van de schaalfactor afneemt.

Oefening 2.11 ★★★

Bron in een stroom. Superponeer een uniforme stroming $\vect v = U\vect e_x$ en een vlakke bron $\vect v = \dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r$ ( $q$ het volumedebiet per lengte-eenheid langs $z$ ). (a) Potentiaal $\varphi = Ux + (q/2\pi)\ln r$ ; ga na dat beide stromingen onsamendrukbaar en rotatievrij zijn (behalve in de oorsprong). (b) Stuwpunt. (c) Stroomfunctie $\psi = Uy + q\theta/2\pi$ ; de stroomlijn door het stuwpunt is $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ : schets haar. (d) Toon aan dat deze stroomlijn ver stroomafwaarts op $y = \pm q/2U$ ligt: de stroming erbuiten is de stroming om een stomp halflichaam met breedte $q/U$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.11.

(a) $\vect v = \operatorname{\vect{grad}}\varphi = (U + qx/2\pi r^2, qy/2\pi r^2)$ ; de bron heeft $v_r = q/2\pi r$ , $\operatorname{div} = \frac1r\dd(rv_r)/\dd r = 0$ en geen $\theta$ -afhankelijkheid, dus $\omega_z = 0$ ; sommen van zulke velden zijn opnieuw onsamendrukbaar en rotatievrij. (b) Op de negatieve $x$ -as: $U - q/2\pi r = 0$ , dus $x_s = -q/2\pi U$ . (c) In het stuwpunt is $\theta = \pi$ , $y = 0$ : $\psi = q/2$ ; de stroomlijn $Ur\sin\theta + q\theta/2\pi = q/2$ , d.w.z. $r\sin\theta = (q/2\pi U)(\pi - \theta)$ — een kromme die uit $x_s$ vertrekt en zich stroomafwaarts opent. (d) $\theta \to 0$ : $y \to q/2U$ ; $\theta \to 2\pi$ (onderste tak): $y \to -q/2U$ . Het fluïdum binnen die stroomlijn komt uit de bron; daarbuiten stroomt de uniforme stroom om een halflichaam met asymptotische breedte $q/U$ .

Oefening 2.12 ★★★

Wervel en put. Vlakke stroming $\vect v = -\dfrac{q}{2\pi r}\vect e_r + \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ voor $r > a$ . (a) Toon aan dat zij onsamendrukbaar en rotatievrij is. (b) Stroomlijnen: logaritmische spiralen $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$ . (c) Versnelling van een deeltje: toon aan dat zij zuiver radiaal is, $-v^2/r\,\vect e_r$ . (d) Tijd waarin een deeltje van $r_0$ naar $a$ spiraliseert; aantal omwentelingen dat het daarbij maakt. (e) Getallen: $q = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ , $r_0 = 0.5\,\mathrm{m}$ , $a = 2\,\mathrm{cm}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 2.12.

(a) $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(-q/2\pi) = 0$ ; $\omega_z = \frac1r\partial_r(\Gamma/2\pi) = 0$ . (b) $\dd r/v_r = r\,\dd\theta/v_\theta$ geeft $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$ . (c) $a_r = v_r\partial_rv_r - v_\theta^2/r = -(q^2 + \Gamma^2)/4\pi^2r^3 = -v^2/r$ ; $a_\theta = v_r\partial_rv_\theta + v_rv_\theta/r = 0$ . (d) $\dd r/\dd t = -q/2\pi r$ : $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q$ ; aantal omwentelingen $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a)$ . (e) $t = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$ ; $10$ omwentelingen.

2.6 Vraagstuk: Van het afvoerputje tot de orkaan

Probleem 2.1

Weekendvraagstuk — dezelfde kinematica op drie schalen: de draaikolk boven een afvoer, een tornado, en een cycloon vanuit een satelliet gezien

Deel I — Het bad. Een bad loopt leeg door een gat met straal $a = 2\,\mathrm{cm}$ ; het water, met diepte $h = 20\,\mathrm{cm}$ , vertrekt met het volumedebiet $D_V = 0.30\,\mathrm{L}/\mathrm{s}$ . Weg van het gat wordt de stroming als vlak gemodelleerd (onafhankelijk van de diepte): $\vect v = v_r(r)\vect e_r + v_\theta(r)\vect e_\theta$ .

Toon met behoud van massa door een cilinder met straal $r$ en hoogte $h$ aan dat $v_r = -q/2\pi r$ met $q = D_V/h$ ; waarde van $q$ .
Voordat de stop eruit ging, was het water geroerd en draaide het met $1.0\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ op $r = 50\,\mathrm{cm}$ . Aannemend dat elke waterring zijn impulsmoment behoudt terwijl hij naar binnen trekt ( $rv_\theta$ constant), bepaal $v_\theta(r)$ en de circulatie $\Gamma$ .
Ga na dat de stroming onsamendrukbaar en rotatievrij is voor $r > a$ .
Stroomlijnen: toon aan dat het logaritmische spiralen zijn en bepaal hoeveel omwentelingen een deeltje maakt tussen $r = 50\,\mathrm{cm}$ en $r = a$ .
Tijd waarin een deeltje van $50\,\mathrm{cm}$ tot het gat gaat, en zijn azimutale snelheid bij aankomst.
Versnelling van een deeltje in $r$ ; vergelijk met $g$ voor $r = a$ . (Het vrije oppervlak zakt in waar de druk daarmee in evenwicht moet zijn — de trechter; volgend hoofdstuk.)
De draaiing van de aarde geeft elk fluïdum dat in het bad in rust is een “achtergrondrotatie” met de plaatselijke verticale snelheid $\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ . Vergelijk de azimutale snelheid die zij op $50\,\mathrm{cm}$ zou geven met de $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ van het roeren, en zeg of het halfrond de draairichting van een leeglopend bad bepaalt.

Deel II — De tornado als wervel van Rankine. Kernstraal $a = 60\,\mathrm{m}$ , maximale wind $v_{\max} = 80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , luchtdichtheid $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ .

Schrijf $v_\theta(r)$ in beide gebieden op en geef $\Omega$ en $\Gamma$ .
Vorticiteit in de kern en daarbuiten; schets $v_\theta$ en $\omega_z$ tegen $r$ .
Versnelling van een luchtdeeltje aan de rand van de kern; vergelijk met $g$ .
Toon aan dat een klein schoepenrad buiten de kern om de tornado heen drijft zonder om zijn eigen as te draaien, terwijl een schoepenrad in de kern één keer per omloop om de as draait.
Kinetische energie van de kern, per meter hoogte.
Kinetische energie van de stroming daarbuiten per meter hoogte, tussen $a$ en $R = 5\,\mathrm{km}$ ; waarom hangt zij alleen logaritmisch van $R$ af?
Totale kinetische energie bij een hoogte van $1\,\mathrm{km}$ ; vergelijk met de energie die $1\,\mathrm{t}$ TNT vrijmaakt ( $4.2\,\mathrm{GJ}$ ).
In een tornado stroomt de lucht ook naar binnen en naar boven. Wordt de kern over de eerste $300\,\mathrm{m}$ hoogte door een radiale instroom van $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ door haar zijoppervlak gevoed, welke verticale snelheid moet de lucht dan boven aan die laag bereiken (uniform over de doorsnede van de kern)?

Deel III — De cycloon. Een tropische cycloon wordt gemodelleerd als een wervel van Rankine met kernstraal $a = 40\,\mathrm{km}$ en $v_{\max} = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . De draaiing van de aarde laat zich voelen via de planetaire vorticiteit $f = 2\Omega_\oplus\sin\lambda \approx 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ op breedtegraad $20{}^{\circ}$ : een luchtring die ten opzichte van de grond in rust is, draagt in het inertiaalstelsel al de azimutale snelheid $fr/2$ om elke verticale as.

Vorticiteit van de kern en circulatie $\Gamma$ van de cycloon; vergelijk de vorticiteit van de kern met $f$ .
Een luchtring met straal $r_0 = 500\,\mathrm{km}$ , aanvankelijk in rust ten opzichte van de grond, wordt door de lage druk naar het middelpunt getrokken. Aannemend dat zijn impulsmoment per massa-eenheid om de as, $r(v_\theta + fr/2)$ , behouden blijft, bepaal zijn snelheid $v_\theta$ ten opzichte van de grond op $r = 100\,\mathrm{km}$ en op $r = 40\,\mathrm{km}$ .
In welke zin draait de cycloon op het noordelijk halfrond, en waarom? Waarom ligt die zin voor een cycloon vast en voor een bad niet?
Waarom kan de lucht op deze manier niet helemaal tot de as worden getrokken — wat begrenst de wind en laat een oog achter?
De lucht convergeert met $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar de cycloon door een cilinder met straal $500\,\mathrm{km}$ en hoogte $1\,\mathrm{km}$ : naar binnen getrokken massadebiet ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ).
De cycloon verplaatst zich als geheel westwaarts met $6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Schrijf het euleriaanse snelheidsveld zoals het vanaf de grond wordt gezien in termen van het veld $\vect v_0$ van de wervel in haar eigen stelsel; is de stroming stationair in het stelsel van de grond? Aan welke kant van de storm waait het harder?

Deel IV — Debieten en een overzicht.

Er valt $50\,\mathrm{mm}/\mathrm{h}$ regen op een stroomgebied van $10\,\mathrm{km}^{2}$ en alles bereikt een rivier met doorsnede $40\,\mathrm{m}^{2}$ : gemiddelde snelheid van de rivier bij hoogwater.
Bloed: de aorta ( $2.5\,\mathrm{cm}^{2}$ ) voert $5.0\,\mathrm{L}/\mathrm{min}$ ; de haarvaten hebben een totale doorsnede van $0.25\,\mathrm{m}^{2}$ : snelheden in elk; tijd waarin bloed een haarvat van $1\,\mathrm{mm}$ doorloopt.
Een vat met doorsnede $S$ loopt leeg door een gat met doorsnede $s$ in de bodem; de uitstroomsnelheid is $\sqrt{2gh}$ ( $h$ het waterpeil — hier aangenomen, in het volgende hoofdstuk afgeleid). Schrijf het behoud van massa op en bepaal $h(t)$ en de leeglooptijd voor $S = 1\,\mathrm{m}^{2}$ , $s = 1\,\mathrm{cm}^{2}$ , $h_0 = 1\,\mathrm{m}$ .
Geef de drie stromingen van de delen I–III in één tabel: straal, snelheid, vorticiteit van de kern, circulatie — en de grootheid die tijdens de instroom behouden blijft en hen doet opdraaien.

Oplossing

Oplossing van Probleem 2.1.

1. Door een cilinder met straal $r$ : $2\pi rh|v_r| = D_V$ , dus $v_r = -q/2\pi r$ , $q = D_V/h = 1.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

2. $rv_\theta = 0.5 \times 0.01 = 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $v_\theta = \Gamma/2\pi r$ met $\Gamma = 3.1 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

3. $\operatorname{div}\vect v = \frac1r\partial_r(rv_r) = 0$ , $\omega_z = \frac1r\partial_r(rv_\theta) = 0$ .

4. $\dd r/r = -(q/\Gamma)\dd\theta$ : $r = r_0\eu^{-q\theta/\Gamma}$ ; aantal omwentelingen $= (\Gamma/2\pi q)\ln(r_0/a) = 3.3 \times 3.2 \approx 11$ .

5. $t = \pi(r_0^2 - a^2)/q = 520\,\mathrm{s} \approx 9\,\mathrm{min}$ ; $v_\theta(a) = 0.25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

6. $\vect a = -(v^2/r)\vect e_r$ ; in $r = a$ : $v^2 = 0.25^2 + 0.012^2$ , $a = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.3g$ .

7. $\Omega_\oplus\sin\lambda\,r = 5 \times 10^{-5} \times 0.5 = 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , vierhonderd keer minder dan het roeren: in een gewoon bad beslist het halfrond niets (in een vat dat een dag stil heeft gestaan wel).

8. $v_\theta = \Omega r$ ( $r < a$ ), $\Omega a^2/r$ ( $r > a$ ); $\Omega = 80/60 = 1.33\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

9. $\omega_z = 2\Omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ in de kern, $0$ daarbuiten; $v_\theta$ stijgt lineair tot $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en daalt dan als $1/r$ ; $\omega_z$ is een sprongfunctie.

10. $a = v_{\max}^2/a = 6400/60 = 107\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 11g$ , naar binnen gericht.

11. Buiten de kern is de vorticiteit nul: een klein element transleert langs zijn cirkel zonder om zichzelf te draaien — het schoepenrad houdt zijn richting. In de kern (rotatie als star lichaam) draait het met het fluïdum mee, één keer per omloop.

12. $E_{\text{kern}} = \int_0^a\tfrac12\rho\Omega^2r^2\,2\pi r\,\dd r = \tfrac14\pi\rho\Omega^2a^4 = 2.2 \times 10^{7}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$ .

13. $E_{\text{buiten}} = \int_a^R\tfrac12\rho(\Omega a^2/r)^2\,2\pi r\,\dd r = \pi\rho\Omega^2a^4\ln(R/a) = 8.7 \times 10^7 \times 4.4 = 3.8 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m}$ ; de integrand $\rho v^2r \propto 1/r$ , vandaar de logaritme.

14. $4.0 \times 10^{8}\,\mathrm{J}/\mathrm{m} \times 1000\,\mathrm{m} = 4 \times 10^{11}\,\mathrm{J}$ : ongeveer $100\,\mathrm{t}$ TNT.

15. Instroom $2\pi a \times 300 \times 5 = 5.7 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ door $\pi a^2 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}$ : $v_z = 50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

16. $\omega = 2v_{\max}/a = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1} = 50f$ ; $\Gamma = 2\pi av_{\max} = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

17. $r_0\cdot fr_0/2 = r(v_\theta + fr/2)$ : $v_\theta = f(r_0^2 - r^2)/2r$ ; $60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $100\,\mathrm{km}$ , $155\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op $40\,\mathrm{km}$ .

18. $f > 0$ op het noordelijk halfrond geeft $v_\theta > 0$ : van bovenaf gezien tegen de klok in (cyclonaal). Over $500\,\mathrm{km}$ is de planetaire rotatie de overheersende beginrotatie; in een bad is dat het roeren.

19. De wrijving met de zee onttrekt impulsmoment, en de drukgradiënt kan de centripetale versnelling van een steeds snellere ring niet meer opvangen: de lucht stijgt op voordat zij de as bereikt, in de oogwand, en laat een windstil oog achter.

20. $\rho\,2\pi rHv = 1.2 \times 2\pi \times 5 \times 10^5 \times 10^3 \times 5 = 1.9 \times 10^{10}\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ .

21. $\vect v(M, t) = -U\vect e_x + \vect v_0(M + Ut\,\vect e_x)$ : het patroon wordt meegevoerd, het veld is niet stationair in het stelsel van de grond. De translatie telt op bij de draaiing aan de kant waar $v_\theta$ naar het westen wijst — de noordkant (rechterkant) van de westwaartse baan.

22. $0.05 \times 10^7/3600 = 139\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}$ ; $v = 139/40 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

23. $D_V = 83\,\mathrm{cm}^{3}/\mathrm{s}$ : aorta $0.33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; haarvaten $0.33\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ ; $3\,\mathrm{s}$ per millimeter.

24. $S\,\dd h/\dd t = -s\sqrt{2gh}$ : $\sqrt h = \sqrt{h_0} - \frac sS\sqrt{g/2}\,t$ , leeg op $T = (S/s)\sqrt{2h_0/g} = 10^4 \times 0.45 = 4500\,\mathrm{s} \approx 75\,\mathrm{min}$ .

25. Bad: $r \sim 0.5\,\mathrm{m}$ , $v \sim 1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{-2}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; tornado: $60\,\mathrm{m}$ , $80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 2.7\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\Gamma = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; cycloon: $40\,\mathrm{km}$ , $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\omega = 2.5 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $\Gamma = 1.3 \times 10^{7}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . In alle drie blijft het impulsmoment per massa-eenheid $rv_\theta$ van het samenstromende fluïdum behouden: de instroom brengt het op toeren.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst