Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

8Dispersie en golfpakketten

Gooi een steen in een vijver en kijk naar de ring van rimpelingen: aan de binnenrand worden nieuwe toppen geboren, zij lopen door de ring naar buiten en sterven aan de buitenrand — de ring als geheel beweegt trager dan de toppen erin. Zit na een verre storm op een strand en de lange, trage deining komt een dag vóór de korte golfslag aan: de zee sorteert golven naar golflengte. De eerste transatlantische telegraafkabel maakte in 1858 van scherpe punten en strepen een veeg die minuten kostte om te lezen. In alle drie de gevallen hangt de snelheid van een golf van haar frequentie af: het medium is dispersief. Dit hoofdstuk voert de dispersierelatie in, het complexe golfgetal dat zowel voortplanting als absorptie draagt, de groepssnelheid waarmee een pakket — en zijn energie, en zijn informatie — werkelijk reist, en de lijn waarlangs telegrafie, televisie en het internet hebben gereisd: de coaxkabel.

8.1 De dispersierelatie

Definitie 8.1 (Dispersierelatie; fasesnelheid)

Een lineair, homogeen en in de tijd onveranderlijk medium laat de vlakke monochromatische golven $\underline s = A\,\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ toe (in complexe notatie; het fysische signaal is het reële deel), op voorwaarde dat $\omega$ en $k$ voldoen aan de dispersierelatie van het medium, $\mathcal D(\omega, k) = 0$ , opgelost als $k(\omega)$ of $\omega(k)$ . Voor reële $k$ loopt de golf zonder vervorming met de fasesnelheid

v_\varphi = \frac\omega k .

Het medium heet dispersieloos wanneer $v_\varphi$ niet van $\omega$ afhangt (dan is $\omega = ck$ en plant elk signaal zich onvervormd voort — de vergelijking van d’Alembert), en anders dispersief.

Bewijs. Het invullen van $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ in een lineaire vergelijking met constante coëfficiënten maakt van elke $\partial_t$ een $\iu\omega$ en van elke $\partial_x$ een $-\iu k$ , waarna er een algebraïsche betrekking overblijft. De snaar, de geluidsgolf en de staaf gaven $\omega^2 = c^2k^2$ . ∎

Voorbeeld 8.2 (Dispersief en dispersieloos)

(i) Een snaar op een elastische bedding (terugdrijvende kracht $-Ky$ per lengte-eenheid, of een keten van slingers), $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ : $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ met $\omega_c = \sqrt{K/\mu}$ — de relatie van Klein–Gordon, dezelfde als die van een plasma en van een golfgeleider (Hoofdstukken 14 en 16): $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_c^2/\omega^2} > c$ , en er is geen reële $k$ beneden de afsnijfrequentie $\omega_c$ . (ii) Zwaartekrachtgolven op diep water: $\omega^2 = gk$ (aangenomen), $v_\varphi = \sqrt{g/k} = \sqrt{g\lambda/2\pi}$ : lange golven zijn sneller — $12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voor $100\,\mathrm{m}$ , $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ voor $1\,\mathrm{km}$ . (iii) De keten van atomen, $\omega = 2\omega_0|\sin(ka/2)|$ (Hoofdstuk 6). (iv) Licht in glas, $k = n(\omega)\omega/c$ , en daarom spreidt een prisma een spectrum uit.

Links: drie dispersierelaties — een rechte lijn voor een dispersieloos medium, de hyperbool van Klein–Gordon met haar afsnijfrequentie, de parabool van golven op diep water. Rechts: voor de relatie van Klein–Gordon overtreft de fasesnelheid c en blijft de groepssnelheid eronder, met v_ v_g = c2. — Links: drie dispersierelaties — een rechte lijn voor een dispersieloos medium, de hyperbool van Klein–Gordon met haar afsnijfrequentie, de parabool van golven op diep water. Rechts: voor de relatie van Klein–Gordon overtreft de fasesnelheid $c$ en blijft de groepssnelheid eronder, met $v_\varphi v_g = c^2$ .

Definitie 8.3 (Complex golfgetal: voortplanting en verzwakking)

Wanneer de dispersierelatie voor reële $\omega$ een complexe $\underline k = k' - \iu k''$ geeft, is de golf

\underline s = A\,\eu^{-k''x}\,\eu^{\iu(\omega t - k'x)} :

zij plant zich voort met $v_\varphi = \omega/k'$ en haar amplitude neemt af als $\eu^{-x/\delta}$ met de verzwakkingslengte $\delta = 1/k''$ (zij moet afnemen in haar voortplantingsrichting: $k'$ en $k''$ hebben hetzelfde teken). Is $\underline k$ zuiver imaginair, $\underline k = -\iu\kappa$ , dan is de golf evanescent: $A\,\eu^{-\kappa x}\eu^{\iu\omega t}$ , een staande trilling waarvan de amplitude over de afstand $1/\kappa$ uitdooft zonder iets te vervoeren — het geval van het medium van Klein–Gordon onder zijn afsnijfrequentie, $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c$ , en van een metaal bij optische frequenties.

Voorbeeld 8.4 (Een gedempte snaar)

Een snaar in een viskeus fluïdum, $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ : $\underline k^2 = (\omega^2 - \iu\alpha\omega/\mu)/c^2$ . Bij zwakke demping ( $\alpha \ll \mu \omega$ ) is $\underline k \approx \dfrac\omega c\Bigl(1 - \iu\dfrac{\alpha}{2\mu\omega}\Bigr)$ : de golf houdt haar snelheid en verliest amplitude over $\delta = 2\mu c/\alpha = 2Z/\alpha$ , onafhankelijk van de frequentie — een dissipatief, dispersieloos verlies van $8.7\,\mathrm{dB}$ per lengte $\delta$ .

8.2 Golfpakketten en groepssnelheid

Propositie 8.5 (Zwevingen; groepssnelheid)

Twee golven met gelijke amplitude en naburige frequenties $\omega \pm \delta\omega$ en golfgetallen $k \pm \delta k$ superponeren tot

s = 2A\cos(\delta\omega\,t - \delta k\,x)\cos(\omega t - kx) :

een draaggolf bij $(\omega, k)$ die met $v_\varphi = \omega/k$ beweegt, gemoduleerd door een trage omhullende die met $\delta\omega/\delta k$ beweegt. Een golfpakket — een superpositie van monochromatische golven met golfgetallen in een smalle band rond $k_0$ — reist als geheel met de groepssnelheid

v_g = \frac{\dd\omega}{\dd k}\Bigr|_{k_0} ,

die de snelheid is van zijn energie en van de informatie die het draagt. In een dispersieloos medium is $v_g = v_\varphi = c$ ; anders vervormt het pakket onderweg (het spreidt uit), en wel sneller naarmate $\dd^2\omega/\dd k^2$ groter is en de tegenhanger van zijn spectrum, zijn ruimtelijke breedte, smaller.

Bewijs. De som-naar-productformule geeft de zwevingen. Voor een pakket $s = \int a(k)\eu^{\iu(\omega(k)t - kx)}\dd k$ (een superpositie van Fourier — de fourierintegraal wordt in het wiskundevolume van jaar 3 bestudeerd; hier wordt alleen haar duiding als een continue som van sinussen gebruikt), met $a(k)$ scherp rond $k_0$ . Ontwikkel $\omega(k) \approx \omega_0 + v_g(k - k_0)$ : dan is $s \approx \eu^{\iu(\omega_0t - k_0x)}\int a(k)\eu^{\iu(k - k_0)(v_gt - x)}\dd k$ , een draaggolf maal een omhullende die alleen van $x - v_gt$ afhangt — de omhullende beweegt met $v_g$ . De volgende term, $\tfrac12\omega''(k_0)(k - k_0)^2t$ , brengt de componenten in de tijd uit fase en spreidt de omhullende uit. De energie van een pakket bevindt zich waar zijn omhullende is; en dat geldt ook voor elk signaal. ∎

Zwevingen: twee naburige frequenties brengen een snelle draaggolf voort (die met de fasesnelheid beweegt) onder een trage omhullende (die met de groepssnelheid beweegt); in een dispersief medium verschillen de twee snelheden en glijden de toppen door de omhullende heen.

Voorbeeld 8.6 (Diep water: de toppen lopen de groep voorbij)

$\omega = \sqrt{gk}$ : $v_g = \tfrac12\sqrt{g/k} = \tfrac12v_\varphi$ . Een groep deining beweegt half zo snel als haar toppen: kijkt u naar een golftrein, dan ziet u toppen aan de achterkant van de groep ontstaan, er dwars doorheen lopen en vooraan verdwijnen — precies de ring in de vijver. Een storm op $3000\,\mathrm{km}$ afstand stuurt zijn deining van $15\,\mathrm{s}$ ( $\lambda = gT^2/2\pi = 350\,\mathrm{m}$ , $v_g = gT/4\pi = 11.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) in drie dagen, zijn golven van $8\,\mathrm{s}$ ( $v_g = 6.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) in vijfenhalve dag: uit de aankomsttijden van de verschillende perioden lokaliseren oceanografen de storm.

Het kielzog van een motorboot op een kalm meer: het geveerde patroon blijft binnen een wig met een vaste hoek omdat de energie van elke watergolf half zo snel reist als haar toppen — dispersie zichtbaar gemaakt.

Voorbeeld 8.7 (Klein–Gordon: sneller dan het licht, en toch niet)

Voor $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ geldt $v_\varphi = \omega/k$ en $v_g = c^2k/\omega$ , dus $v_\varphi v_g = c^2$ : de fasesnelheid overtreft $c$ (in de ionosfeer bewegen de toppen van een golf van $10\,\mathrm{MHz}$ sneller dan het licht), maar de groepssnelheid, die het signaal draagt, blijft eronder. Een fasesnelheid vervoert geen energie en geen informatie — de toppen zijn als de lichtvlek van een vuurtoren die over een verre wolk strijkt.

Opmerking 8.8 (Uitspreiding)

Een pakket met ruimtelijke breedte $\Delta x$ bevat golfgetallen over $\Delta k \sim 1/\Delta x$ (de wederkerigheid van Fourier, aangenomen); de groepssnelheden van zijn componenten verschillen met $\Delta v_g \approx |\omega''|\Delta k$ , zodat het na een tijd $t$ over $|\omega''|\Delta k\,t$ is uitgespreid: het verdubbelt zijn breedte na $t_{\text{sp}} \sim \Delta x^2/|\omega''|$ . Een pakket van tien golven van $100\,\mathrm{m}$ op diep water ( $\Delta x \approx 1\,\mathrm{km}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ) verdubbelt in ongeveer zes uur; een lichtpuls van $1\,\mathrm{ns}$ in een glasvezel spreidt tientallen picoseconden per kilometer uit — de grens van de bitsnelheid van lange verbindingen. Het kwantumgolfpakket van Hoofdstuk 30 spreidt om dezelfde reden uit.

8.3 De coaxkabel

Propositie 8.9 (Telegraafvergelijkingen; verliesvrije lijn)

Een coaxkabel (of elke lijn met twee geleiders) heeft per lengte-eenheid een zelfinductie $\Lambda$ en een capaciteit $\Gamma$ . De spanning $v(x, t)$ tussen de geleiders en de stroom $i(x, t)$ in de binnenste voldoen aan de telegraafvergelijkingen

\frac{\partial v}{\partial x} = -\Lambda\frac{\partial i}{\partial t} , \qquad \frac{\partial i}{\partial x} = -\Gamma\frac{\partial v}{\partial t} ,

en daarmee aan de vergelijking van d’Alembert voor $v$ en $i$ , met

c = \frac1{\sqrt{\Lambda\Gamma}} , \qquad v = Z_c\,i \ \text{voor een golf naar } +x, \quad Z_c = \sqrt{\frac\Lambda\Gamma} ,

waarin $Z_c$ de karakteristieke impedantie van de lijn is. Voor een coaxkabel met stralen $a < b$ , gevuld met een diëlektricum met relatieve permittiviteit $\varepsilon_r$ , geldt $\Lambda = \dfrac{\mu_0}{2\pi}\ln\dfrac ba$ , $\Gamma = \dfrac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_r}{\ln(b/a)}$ , zodat $c = c_0/\sqrt{\varepsilon_r}$ (ongeveer $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , twee derde van de lichtsnelheid) en $Z_c = \dfrac{60\,\Omega} {\sqrt{\varepsilon_r}}\ln\dfrac ba$ : $50\,\Omega$ of $75\,\Omega$ voor de gebruikelijke kabels.

Bewijs. Modelleer het plakje $[x, x + \dd x]$ als een zelfinductie $\Lambda\dd x$ in serie en een capaciteit $\Gamma\dd x$ parallel: de spanningsval over het plakje is $\Lambda\dd x\,\partial_ti$ , en de stroom die in de capaciteit verdwijnt is $\Gamma\dd x \,\partial_tv$ . Differentieer kruiselings. Voor $v = f(x - ct)$ geeft de eerste vergelijking $i = f(x - ct)/\Lambda c = v/\sqrt{\Lambda/\Gamma}$ . De waarden van $\Lambda$ en $\Gamma$ zijn die van de cilindrische condensator en van de coaxiale spoel, berekend in het volume van jaar 1. ∎

Links: het vervangingsschema van een plakje x van een verliesvrije lijn — zelfinductie in serie, capaciteit parallel — waaruit de telegraafvergelijkingen volgen. Rechts: een coaxkabel in doorsnede; haar en hangen alleen van de verhouding van de stralen en van het diëlektricum af. — Links: het vervangingsschema van een plakje $\dd x$ van een verliesvrije lijn — zelfinductie in serie, capaciteit parallel — waaruit de telegraafvergelijkingen volgen. Rechts: een coaxkabel in doorsnede; haar $\Lambda$ en $\Gamma$ hangen alleen van de verhouding van de stralen en van het diëlektricum af.

Een coaxkabel: binnenkern, diëlektricum, gevlochten buitengeleider — een transmissielijn waarvan de zelfinductie en de capaciteit per meter haar snelheid en haar karakteristieke impedantie bepalen.

Propositie 8.10 (Verlieslijn; de vervormingsvrije voorwaarde)

Met een weerstand $R$ in serie en een geleiding $G$ parallel, per lengte-eenheid, worden de vergelijkingen $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$ en $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv - Gv$ , met de dispersierelatie $\underline k^2 = (\Lambda\omega - \iu R)(\Gamma\omega - \iu G)$ : de lijn is dispersief en verzwakkend. Twee grensgevallen: (i) $R/\Lambda = G/\Gamma$ (de voorwaarde van Heaviside, bereikt door zelfinductie toe te voegen): $\underline k = \omega\sqrt{\Lambda\Gamma} - \iu\sqrt{RG}$ , elke frequentie loopt even snel met dezelfde verzwakking — de lijn verzwakt maar vervormt niet. (ii) $\Lambda \approx 0$ , $G \approx 0$ (de eerste zeekabels): $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$ , een diffusievergelijking — een puls plant zich niet voort maar smeert uit, en bereikt een afstand $L$ na een tijd $\sim R\Gamma L^2$ (de kwadratenwet van Kelvin), honderd keer langer voor een tien keer langere kabel.

Bewijs. Vul $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ in: $-\iu kv = -(\iu\omega\Lambda + R)i$ , $-\iu ki = -(\iu \omega\Gamma + G)v$ ; vermenigvuldig. Onder de voorwaarde van Heaviside is het product een volkomen kwadraat. In de diffusielimiet vallen de termen $\iu\omega\Lambda$ en $G$ weg. ∎

Voorbeeld 8.11 (Drie kabels)

De transatlantische kabel van 1858: één koperdraad in guttapercha, $R \approx 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma \approx 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $L = 3000\,\mathrm{km}$ : $R\Gamma = 9 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ en $R\Gamma L^2 \approx 8\,\mathrm{s}$ per punt: een woord per minuut, en de pogingen van de telegrafisten om het signaal met $2\,\mathrm{kV}$ door te drukken vernielden de isolatie binnen enkele weken. Een telefoonlijn die om de $2\,\mathrm{km}$ met spoelen was belast om aan de voorwaarde van Heaviside te voldoen (1900): heldere spraak over honderden kilometers. Een moderne coaxkabel van $50\,\Omega$ : $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\Lambda = 0.25\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 100\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , en een verzwakking door het huideffect in de geleiders (Hoofdstuk 14) die als $\sqrt f$ groeit: enkele decibel per honderd meter bij $100\,\mathrm{MHz}$ .

Methode 8.12 (Een dispersierelatie lezen)

(1) Schrijf de golfvergelijking van het medium in complexe notatie op en los naar $\underline k(\omega)$ op. (2) Reële $k$ : bereken $v_\varphi = \omega/k$ en $v_g = \dd\omega/\dd k$ (of $1/(\dd k/\dd\omega)$ ); vergelijk: dispersief of niet, normaal ( $v_g < v_\varphi$ ) of anomaal. (3) Complexe $k$ : splits in voortplanting ( $k'$ ) en verzwakking ( $k''$ , lengte $1/k''$ ); zuiver imaginair betekent evanescent, geen transport. (4) Een afsnijfrequentie scheidt een band die zich voortplant van een evanescente. (5) Redeneer voor een signaal op de omhullende met $v_g$ , nooit op de toppen.

8.4 Oefeningen

Oefening 8.1 ★

Golven op diep water, $\omega^2 = gk$ . (a) Fasesnelheid, groepssnelheid en periode van een deining van $100\,\mathrm{m}$ . (b) Een deining met periode $14\,\mathrm{s}$ : golflengte, $v_\varphi$ , $v_g$ ; tijd waarin haar energie $5000\,\mathrm{km}$ aflegt. (c) Waarom komt de korte golfslag met een periode van $2\,\mathrm{s}$ er helemaal niet aan?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.1.

(a) $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\omega = \sqrt{gk} = 0.79\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 8.0\,\mathrm{s}$ ; $v_\varphi = 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . (b) $\omega = 0.45\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $k = \omega^2 /g = 0.021\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\lambda = 310\,\mathrm{m}$ ; $v_\varphi = gT/2\pi = 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $5 \times 10^6/11 = 4.6 \times 10^{5}\,\mathrm{s} = 5.3$ dagen. (c) $\lambda = 6\,\mathrm{m}$ , $v_g = 1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : zij zou er vijf weken over doen, en korte golven worden door de viscositeit gedempt en door de wind gebroken lang voordat het zover is.

Oefening 8.2 ★

Een medium voldoet aan $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ met $\omega_c = 2\pi \times 1 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ en $c = 3 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Voor $f = 20\,\mathrm{MHz}$ : $k$ , $v_\varphi$ , $v_g$ , en hun product. Voor $f = 5\,\mathrm{MHz}$ : $\kappa$ en de indringdiepte.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.2.

$\omega = 1.26 \times 10^{8}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\omega_c = 6.3 \times 10^{7}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ : $k = \sqrt{\omega^2 - \omega_c^2}/c = 0.36\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $v_\varphi = 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $v_g = c^2k/\omega = 2.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , product $c^2$ . Bij $5\,\mathrm{MHz}$ is $\omega < \omega_c$ : $\kappa = \sqrt{\omega_c^2 - \omega^2}/c = 0.18\,\mathrm{m}^{-1}$ , indringdiepte $5.5\,\mathrm{m}$ .

Oefening 8.3 ★

Twee stemvorken van $440\,\mathrm{Hz}$ en $444\,\mathrm{Hz}$ : zwevingsfrequentie, en de periode van de luidheidsschommelingen. Twee watergolven met golflengten $100\,\mathrm{m}$ en $110\,\mathrm{m}$ : frequenties, golflengte en snelheid van de omhullende; vergelijk met $v_g$ bij $105\,\mathrm{m}$ .

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.3.

Zweving bij $4\,\mathrm{Hz}$ , periode van de luidheidsschommeling $0.25\,\mathrm{s}$ . Water: $f = 0.125$ en $0.119\,\mathrm{Hz}$ ; omhullende $\cos(\delta\omega t - \delta kx)$ met $\delta k = 2.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ (zwevingen $1.1\,\mathrm{km}$ uit elkaar) en snelheid $\delta\omega/\delta k = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — de groepssnelheid bij $105\,\mathrm{m}$ , $\tfrac12\sqrt{g\lambda/2\pi} = 6.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Oefening 8.4 ★

Een coaxkabel: binnengeleider met diameter $0.9\,\mathrm{mm}$ , buitengeleider $3.0\,\mathrm{mm}$ , polyetheen ( $\varepsilon_r = 2.3$ ). $\Lambda$ , $\Gamma$ , golfsnelheid, karakteristieke impedantie, vertraging per meter; lengte kabel die overeenkomt met een vertraging van $10\,\mathrm{ns}$ . Dezelfde kabel met lucht in plaats van polyetheen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.4.

$\ln(b/a) = 1.20$ : $\Lambda = 0.24\,\text{µ}\mathrm{H}/\mathrm{m}$ , $\Gamma = 106\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , $c = 1/ \sqrt{\Lambda\Gamma} = 2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z_c = 48\,\Omega$ , $5.0\,\mathrm{ns}/\mathrm{m}$ ; $10\,\mathrm{ns}$ $\leftrightarrow$ $2.0\,\mathrm{m}$ . Lucht: $\Gamma = 46\,\mathrm{pF}/\mathrm{m}$ , $c = c_0$ , $Z_c = 72\,\Omega$ .

Oefening 8.5 ★★

De stijve snaar. Een echte pianosnaar voldoet aan $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - EI\,\partial_x^4y$ (met $EI$ de buigstijfheid). (a) Dispersierelatie, fase- en groepssnelheid. (b) Bereken voor de A $_4$ -snaar van Hoofdstuk 6 ( $T = 685\,\mathrm{N}$ , $\mu = 6.1\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $EI = 9.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}$ ) de relatieve toename van $v_\varphi$ voor de achtste harmonische ( $k = 8\pi/L$ , $L = 0.38\,\mathrm{m}$ ); vergelijk met de inharmoniciteit die daar werd gevonden. (c) Is de dispersie normaal of anomaal? Hoe ziet een scherpe tokkel eruit na enkele heen-en-terugreizen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.5.

(a) $\omega^2 = c^2k^2 + (EI/\mu)k^4$ ; $v_\varphi = \sqrt{c^2 + (EI/\mu)k^2}$ ; $v_g = (c^2k + 2(EI/\mu)k^3)/\omega$ . (b) $c^2 = 1.12 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ , $k = 66\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $(EI/\mu)k^2 = 7.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2}$ : $v_\varphi/c = \sqrt{1.063} = 1.031$ , $+3.1\%$ — de $53$ cent van Hoofdstuk 6. (c) $v_g > v_\varphi$ : anomaal; de hoge harmonischen lopen vooruit en de aanzet van een tokkel wordt een korte dalende glijtoon.

Oefening 8.6 ★★

Gedempte snaar. $\mu\partial_t^2y + \alpha\partial_ty = T\partial_x^2y$ . (a) Leid de dispersierelatie af. (b) Toon voor $\alpha \ll \mu\omega$ aan dat $k' \approx \omega/c$ en $k'' \approx \alpha/2Z$ ; verzwakking in decibel per meter. (c) Getallen: $\mu = 5\,\mathrm{g}/\mathrm{m}$ , $T = 50\,\mathrm{N}$ , $\alpha = 0.02\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{-1}\,\mathrm{s}^{-1}$ , $f = 100\,\mathrm{Hz}$ : ga de benadering na en geef $\delta$ . (d) Is de gedempte snaar dispersief? Bij welk regime van $\alpha$ zou zij het worden?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.6.

(a) $-\mu\omega^2 + \iu\alpha\omega = -Tk^2$ : $\underline k^2 = (\omega^2/c^2)(1 - \iu\alpha/\mu\omega)$ . (b) $\underline k \approx (\omega/c)(1 - \iu\alpha/2\mu\omega)$ : $k' = \omega/c$ , $k'' = \alpha/2\mu c = \alpha/2Z$ ; $8.7k''$ dB/m. (c) $c = 100\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $Z = 0.5\,\mathrm{kg}/\mathrm{s}$ , $\mu\omega = 3.1 \gg 0.02$ : $k'' = 0.02\,\mathrm{m}^{-1}$ , $\delta = 50\,\mathrm{m}$ , $0.17\,\mathrm{dB}/\mathrm{m}$ . (d) In deze limiet niet ( $k' = \omega/c$ ); zodra $\alpha \gtrsim \mu\omega$ laat de wortel zich niet meer lineariseren en hangt $k'$ niet-lineair van $\omega$ af: dispersief (de diffusieve limiet van de kabel).

Oefening 8.7 ★★

Rimpelingen. Korte watergolven worden door de oppervlaktespanning geregeerd: $\omega^2 = \gamma k^3/\rho$ ( $\gamma = 0.072\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ); de volledige relatie is $\omega^2 = gk + \gamma k^3/\rho$ . (a) $v_\varphi$ en $v_g$ voor zuiver capillaire golven; welke is groter? (b) Toon aan dat de fasesnelheid van de volledige relatie minimaal is bij $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g}$ , en bereken $\lambda_m$ en $v_{\min}$ . (c) Een boot die trager gaat dan $v_{\min}$ maakt geen kielzog: waarom? (d) Regendruppels op een vijver maken ringen waarvan de toppen achterblijven bij de ring: in welk regime?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.7.

(a) $v_\varphi = \sqrt{\gamma k/\rho}$ , $v_g = \tfrac32v_\varphi$ : de groep loopt de toppen voorbij. (b) $v_\varphi^2 = g/k + \gamma k/\rho$ is minimaal bij $k_m = \sqrt{\rho g/\gamma}$ : $\lambda_m = 2\pi\sqrt{\gamma/\rho g} = 1.7\,\mathrm{cm}$ , $v_{\min} = (4g\gamma/\rho)^{1/4} = 23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . (c) Een kielzog is een patroon dat ten opzichte van de boot stilstaat, gemaakt van golven waarvan de fasesnelheid gelijk is aan de bootsnelheid; geen enkele is trager dan $23\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ . (d) Capillair regime, $v_g > v_\varphi$ : toppen worden aan de voorkant van de ring geboren en sterven aan de achterkant.

Oefening 8.8 ★★

Uitspreiding. Een pakket met beginbreedte $\Delta x_0$ verdubbelt zijn breedte na $t_{\text{sp}} \approx \Delta x_0^2/|\omega''(k_0)|$ . (a) Een groep golven op diep water, $\lambda = 50\,\mathrm{m}$ , $\Delta x_0 = 500\,\mathrm{m}$ . (b) Een lichtpuls in een glasvezel: $\omega'' \approx -0.16\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ ; een puls van $10\,\mathrm{ps}$ ( $\Delta x_0 = 2\,\mathrm{mm}$ ): uitspreidingstijd en de afgelegde afstand intussen; hetzelfde voor een puls van $1\,\mathrm{ns}$ . Waarom gebruiken lange optische verbindingen langere pulsen of dispersiecompenserende vezel?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.8.

(a) $k = 0.126\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3} = -18\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $t_{\text{sp}} = 2.5 \times 10^5/18 = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , vier uur. (b) $10\,\mathrm{ps}$ : $t_{\text{sp}} = 4 \times 10^{-6}/0.16 = 25\,\text{µ}\mathrm{s}$ , $5\,\mathrm{km}$ bij $2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $1\,\mathrm{ns}$ : $0.04/0.16 = 0.25\,\mathrm{s}$ , $50\,000\,\mathrm{km}$ . Korte pulsen (hoge bitsnelheden) spreiden binnen kilometers uit: lange verbindingen gebruiken compenserende vezel of matige snelheden.

Oefening 8.9 ★★

De zeekabel. $R = 3\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma = 0.3\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , met $\Lambda$ en $G$ verwaarloosbaar. (a) Toon aan dat $v$ aan een diffusievergelijking voldoet en geef haar diffusiecoëfficiënt. (b) Dispersierelatie $\underline k(\omega)$ ; fasesnelheid en verzwakkingslengte bij $1\,\mathrm{Hz}$ en bij $10\,\mathrm{Hz}$ . (c) Tijd waarin een signaal over $3000\,\mathrm{km}$ “aankomt” ( $\sim R\Gamma L^2$ ); woorden per minuut. (d) Het middel van Heaviside: de zelfinductie per kilometer die nodig is voor $R/\Lambda = G/\Gamma$ als $G = 1 \times 10^{-7}\,\mathrm{S}/\mathrm{km}$ ; waarom was die moeilijk toe te voegen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.9.

(a) $\partial_x^2v = R\Gamma\,\partial_tv$ , $D = 1/R\Gamma = 1.1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ . (b) $\underline k^2 = -\iu R\Gamma\omega$ : $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ ; $1\,\mathrm{Hz}$ : $k = 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $v_\varphi = 3.7 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 600\,\mathrm{km}$ ; $10\,\mathrm{Hz}$ : $v_\varphi = 1.2 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 190\,\mathrm{km}$ . (c) $R\Gamma L^2 = 9 \times 10^{-13} \times 9 \times 10^{12} = 8\,\mathrm{s}$ per punt: ongeveer een woord per minuut. (d) $\Lambda = R\Gamma/G = 9\,\mathrm{H}/\mathrm{km}$ — een absurde zelfinductie voor een zeekabel; belastingspoelen werkten op telefoonlijnen te land, waarvan $G$ en $R\Gamma$ anders waren.

Oefening 8.10 ★★★

Energie reist met de groepssnelheid. Een snaar op een elastische bedding: $\mu\partial_t^2y = T\partial_x^2y - Ky$ , met de golf $y = A\cos(\omega t - kx)$ en $\omega^2 = \omega_c^2 + c^2k^2$ . (a) Energiedichtheid $e = \tfrac12\mu(\partial_ty)^2 + \tfrac12T (\partial_xy)^2 + \tfrac12Ky^2$ en flux $\mathcal P = -T\partial_xy\,\partial_ty$ : ga na dat $\partial_te + \partial_x\mathcal P = 0$ . (b) Tijdgemiddelden $\langle e\rangle$ en $\langle\mathcal P\rangle$ voor de golf. (c) Toon aan dat $\langle\mathcal P\rangle/ \langle e\rangle = c^2k/\omega = v_g$ , en niet $v_\varphi$ . (d) Wat gebeurt er met de energieflux onder de afsnijfrequentie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.10.

(a) $\partial_te = \dot y(\mu\ddot y + Ky) + Ty'\dot y' = \dot yTy'' + Ty'\dot y' = \partial_x (Ty'\dot y) = -\partial_x\mathcal P$ . (b) $\langle e\rangle = \tfrac14A^2(\mu\omega^2 + Tk^2 + K) = \tfrac12\mu\omega^2A^2$ (met $\mu\omega^2 = Tk^2 + K$ ); $\langle\mathcal P\rangle = \tfrac12Tk\omega A^2$ . (c) Verhouding $Tk/\mu\omega = c^2k/\omega = v_g$ . (d) $y = A\eu^{-\kappa x}\cos\omega t$ : $\mathcal P \propto \sin2\omega t$ , gemiddeld nul — er steekt geen energie het medium over.

Oefening 8.11 ★★★

Deining en tsunami. Watergolven met golflengte $\lambda$ op een diepte $h$ voldoen aan $\omega^2 = gk\tanh kh$ (aangenomen). (a) Vind de limieten voor diep water en voor ondiep water ( $kh \ll 1$ ) terug; snelheid van golven op ondiep water; zijn zij dispersief? (b) Een tsunami met $\lambda = 200\,\mathrm{km}$ op $4\,\mathrm{km}$ oceaan: welke limiet, snelheid, periode; tijd om $8000\,\mathrm{km}$ over te steken. (c) Haar amplitude op volle zee is $0.5\,\mathrm{m}$ : energie per lengte-eenheid van de golfkam (neem aan dat $E = \tfrac12\rho gA^2$ per oppervlakte-eenheid) voor een front van $1000\,\mathrm{km}$ ; wat gebeurt er wanneer de diepte tot $10\,\mathrm{m}$ daalt, als de energieflux $Ev_g$ behouden blijft (de wet van Green, $A \propto h^{-1/4}$ )? (d) Een deining van $100\,\mathrm{m}$ die op een strand aankomt: bij welke diepte begint zij de bodem te voelen, en waarom draaien haar toppen evenwijdig aan de kust?

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.11.

(a) $\tanh kh \to 1$ : $\omega^2 = gk$ ; $kh \ll 1$ : $\omega = \sqrt{gh}\,k$ , snelheid $\sqrt{gh}$ , dispersieloos. (b) $kh = 0.13$ : ondiep; $c = \sqrt{9.81 \times 4000} = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = 17\,\mathrm{min}$ ; $8000\,\mathrm{km}$ in $11\,\mathrm{h}$ . (c) $\tfrac12\rho gA^2 = 1.2\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ over $200 \times 1000$ km $^2$ : $2.5 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$ . Green: $A \propto h^{-1/4}$ , $(4000/10)^{1/4} = 4.5$ : $2.2\,\mathrm{m}$ , voordat zij steiler wordt en oploopt. (d) Bij $h \approx \lambda/2 = 50\,\mathrm{m}$ ; het deel van een top in ondieper water vertraagt, zodat de top naar de dieptelijnen toe draait — breking.

Oefening 8.12 ★★★

Een puls op een lijn. Een kabel van $50\,\Omega$ met lengte $\ell = 100\,\mathrm{m}$ ( $c = 2 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) wordt in $x = 0$ gevoed door een generator met inwendige weerstand $50\,\Omega$ en in $x = \ell$ afgesloten met een belasting $R_L$ . (a) Toon aan dat een golf die het uiteinde bereikt, wordt teruggekaatst met de spanningscoëfficiënt $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ (schrijf $v$ en $i$ als invallende plus teruggekaatste golf en leg de wet van Ohm in de belasting op). (b) Waarden voor $R_L = 50$ , $0$ , $\infty$ en $150\,\Omega$ . (c) Er wordt een puls van $1\,\mathrm{ns}$ en $1\,\mathrm{V}$ verstuurd: wat de oscilloscoop bij de generator toont, en wanneer, voor elke belasting; waarom de $50\,\Omega$ van de generator ertoe doen. (d) Een fout in een ingegraven kabel geeft na $1.8\,\text{µ}\mathrm{s}$ een echo terug: waar zit hij? (Tijddomeinreflectometrie.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 8.12.

(a) In $x = \ell$ : $v = v_i + v_r$ , $i = (v_i - v_r)/Z_c$ , $v = R_Li$ : $r = (R_L - Z_c)/(R_L + Z_c)$ . (b) $0$ , $-1$ , $+1$ , $0.5$ . (c) De ingang van de lijn gedraagt zich als $Z_c$ , dus ziet de oscilloscoop $0.5\,\mathrm{V}$ op $t = 0$ en daarna de echo $0.5r$ V op $2\ell/c = 1\,\text{µ}\mathrm{s}$ : niets, $-0.5\,\mathrm{V}$ , $+0.5\,\mathrm{V}$ , $+0.25\,\mathrm{V}$ ; de aangepaste generator slikt de echo, zodat er geen tweede komt. (d) $\tfrac12 \times 2 \times 10^8 \times 1.8 \times 10^{-6} = 180\,\mathrm{m}$ .

8.5 Vraagstuk: De kabel en de zee

Probleem 8.1

Weekendvraagstuk — dispersie aan het werk: de telegraafkabel die de punten uitsmeerde, de deining die een storm aankondigt, de tsunami die een oceaan oversteekt, en het pakket dat uitspreidt

Deel I — De telegraafkabel. De transatlantische kabel van 1866: $R = 2.0\,\Omega/\mathrm{km}$ , $\Gamma = 0.25\,\text{µ}\mathrm{F}/\mathrm{km}$ , $\Lambda = 0.5\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$ , $G$ verwaarloosbaar, lengte $L = 3500\,\mathrm{km}$ .

Schrijf de telegraafvergelijkingen met $R$ op en leid de dispersierelatie $\underline k^2 = \Gamma\omega(\Lambda\omega - \iu R)$ af.
Bij welke frequentie is $\Lambda\omega$ gelijk aan $R$ ? Besluit dat de lijn bij telegraaffrequenties (enkele hertz) in het diffusieve regime zit.
In dat regime is $\underline k = \sqrt{-\iu R\Gamma\omega}$ : geef $k'$ en $k''$ (met $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ ); fasesnelheid en verzwakkingslengte bij $1\,\mathrm{Hz}$ en bij $4\,\mathrm{Hz}$ .
Verzwakking in decibel over de hele kabel bij $1\,\mathrm{Hz}$ en bij $4\,\mathrm{Hz}$ . Welke frequentie overleeft? Wat doet dat met een scherpe punt?
De schatting van Kelvin voor de looptijd, $R\Gamma L^2$ ; het praktische tempo van de kabel in woorden per minuut, als een woord ongeveer $10$ punten en strepen telt en de punten elkaar niet mogen overlappen.
Heaviside stelde voor $\Lambda$ te verhogen: welke waarde maakt $\Lambda\omega = R$ bij $4\,\mathrm{Hz}$ , en wat zouden de snelheid en de verzwakking dan zijn (neem $G = 0$ , zodat aan de voorwaarde $R/\Lambda = G/\Gamma$ niet exact kan worden voldaan — gebruik de algemene relatie bij die frequentie)?
Een moderne glasvezel draagt $1 \times 10^{10}\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : vergelijk met vraag 5, in machten van tien.

Deel II — De deining. Diep water: $\omega^2 = gk$ .

Fase- en groepssnelheid als functie van de periode $T$ .
Een storm op $4000\,\mathrm{km}$ van een kust wekt golven op met perioden van $6\,\mathrm{s}$ tot $18\,\mathrm{s}$ : aankomsttijd van elk uiterste; duur van de deiningsepisode.
Toon aan dat op een kust op afstand $D$ de aankomende periode voldoet aan $1/T = gt/4\pi D$ , met $t$ gerekend vanaf de storm: $1/T$ groeit lineair in de tijd. Een boei tekent op een dag om twaalf uur $T = 16\,\mathrm{s}$ op en precies $24\,\mathrm{h}$ later $T = 12\,\mathrm{s}$ : afstand van de storm.
De energie per oppervlakte-eenheid van een deining met amplitude $A$ is $\tfrac12\rho gA^2$ ; vermogen dat een lijn van $1\,\mathrm{m}$ golfkam passeert, voor $A = 1.5\,\mathrm{m}$ en $T = 12\,\mathrm{s}$ . (Gebruik de groepssnelheid — waarom?)
Een golfenergiepark met $1\,\mathrm{km}$ front en een rendement van $30\%$ : elektrisch vermogen; vergelijk met een windturbine ( $3\,\mathrm{MW}$ ).
Een boot die met $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ over diep water vaart, laat een stilstaand kielzog achter: welke golflengte heeft een fasesnelheid gelijk aan de bootsnelheid en volgt de boot dus? Waarom sleept het patroon in een V mee, smaller dan de eigen spreiding van de toppen zou doen vermoeden (denk aan $v_g = v_\varphi/2$ )?
Beschrijf, terwijl u vanaf een klif naar één groep deining kijkt, wat een afzonderlijke top doet gedurende de tijd dat de groep een vaste boei passeert; hoeveel toppen bevat een groep van $2\,\mathrm{min}$ bij $T = 12\,\mathrm{s}$ , en met hoeveel “levensduren” van een top komt dat overeen?

Deel III — De tsunami. $\omega^2 = gk\tanh kh$ ; diepte van de Stille Oceaan $h = 4.0\,\mathrm{km}$ .

Een aardbeving tilt een strook zeebodem van $100\,\mathrm{km}$ over $2\,\mathrm{m}$ op; de golf heeft $\lambda \approx 200\,\mathrm{km}$ : ga na dat het een golf op ondiep water is en geef haar snelheid, periode en de tijd om een kust op $6000\,\mathrm{km}$ te bereiken.
Is zij dispersief? Vergelijk met de deining van deel II: komt zij eerder of later aan dan de deining zou doen? Welke komt als één enkele puls aan?
Haar hoogte op volle zee is $0.6\,\mathrm{m}$ : energie per vierkante meter; totale energie van een front van $500\,\mathrm{km}$ lang, uitgesmeerd over één golflengte; vergelijk met een explosie van $1\,\mathrm{Mt}$ ( $4.2 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ).
De wet van Green: hoogte wanneer de diepte bij de kust tot $20\,\mathrm{m}$ daalt (met behoud van de energieflux $\tfrac12\rho gA^2v_g$ , $v_g = \sqrt{gh}$ ); snelheid en golflengte daar; waarom de golf dan steiler wordt en als een muur breekt.
Een schip op zee merkt niets van de passerende tsunami: waarom?
Getijdemeters op $6000\,\mathrm{km}$ van elkaar tekenen de golf op: wat de looptijd oplevert, en waarom de gemeten snelheid iets lager is dan $\sqrt{gh}$ boven een oceaan met wisselende diepte.

Deel IV — Het uitspreidende pakket.

Bereken voor diep water $\omega''(k) = \dd^2\omega/\dd k^2$ en zijn waarde voor $\lambda = 100\,\mathrm{m}$ .
Een pakket van $10\,$ zulke golven ( $\Delta x_0 \approx 1\,\mathrm{km}$ ) wordt losgelaten: uitspreidingstijd $\Delta x_0^2/|\omega''|$ ; afstand die het pakket intussen aflegt.
Leg in woorden uit waarom een pakket met een smaller spectrum (een langere trein) trager uitspreidt, en waarom de tsunami van deel III vrijwel niet uitspreidt.
Dezelfde schatting voor een elektron met golflengte $0.1\,\mathrm{nm}$ dat binnen $1\,\mathrm{nm}$ is gelokaliseerd, met $\omega = \hbar k^2/2m$ ( $\hbar = 1.05 \times 10^{-34}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}$ , $m = 9.1 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$ ): uitspreidingstijd en afgelegde afstand — het eerste contact met het kwantumgolfpakket van Hoofdstuk 30.
Vat samen in een tabel: voor de kabel, de deining, de tsunami en het elektron, de dispersierelatie, $v_\varphi$ , $v_g$ en of het medium uitspreidt dan wel alleen verzwakt.

Oplossing

Oplossing van Probleem 8.1.

1. $\partial_xv = -\Lambda\partial_ti - Ri$ , $\partial_xi = -\Gamma\partial_tv$ ; met $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $\iu kv = (\iu\omega\Lambda + R)i$ , $\iu ki = \iu\omega\Gamma v$ , vandaar $k^2 = \omega\Gamma(\omega\Lambda - \iu R)$ .

2. $\omega = R/\Lambda = 4000\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $640\,\mathrm{Hz}$ : bij enkele hertz is $\Lambda\omega \ll R$ , dus diffusief.

3. $k' = k'' = \sqrt{R\Gamma\omega/2}$ met $R\Gamma = 5 \times 10^{-13}\,\mathrm{s}/\mathrm{m}^{2}$ : $1\,\mathrm{Hz}$ : $1.25 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $v_\varphi = 5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 800\,\mathrm{km}$ ; $4\,\mathrm{Hz}$ : $2.5 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $1 \times 10^{7}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $400\,\mathrm{km}$ .

4. $8.7L/\delta$ : $38\,\mathrm{dB}$ bij $1\,\mathrm{Hz}$ , $76\,\mathrm{dB}$ bij $4\,\mathrm{Hz}$ : alleen de traagste componenten overleven; een scherpe punt komt als een lange, lage heuvel aan.

5. $R\Gamma L^2 = 5 \times 10^{-13} \times 1.2 \times 10^{13} = 6\,\mathrm{s}$ : een punt om de zes seconden, een woord per minuut (de echte kabel haalde er met gevoelige spiegelgalvanometers enkele).

6. $\Lambda = R/\omega = 80\,\mathrm{mH}/\mathrm{km}$ . Dan is $k^2 = \Gamma R\omega(1 - \iu)$ , $k = \sqrt{\Gamma R\omega} \,2^{1/4}\eu^{-\iu\pi/8}$ : $k' = 3.9 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ , $k'' = 1.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{-1}$ : $v_\varphi = 6.4 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\delta = 620\,\mathrm{km}$ , $49\,\mathrm{dB}$ over de kabel in plaats van $76\,\mathrm{dB}$ .

7. Een punt om de $6\,\mathrm{s}$ is ongeveer $0.2\,\mathrm{bit}/\mathrm{s}$ : de vezel is $10^{10}$ tot $10^{11}$ keer sneller.

8. $v_\varphi = gT/2\pi$ , $v_g = gT/4\pi$ .

9. $18\,\mathrm{s}$ : $v_g = 14.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $4 \times 10^6/14.1 = 3.3\,\mathrm{dagen}$ ; $6\,\mathrm{s}$ : $4.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $9.9\,\mathrm{dagen}$ : de deining duurt meer dan zes dagen.

10. $t = D/v_g = 4\pi D/gT$ , dus $1/T = gt/4\pi D$ . $\Delta(1/T) = 1/12 - 1/16 = 0.0208\,\mathrm{Hz}$ in $86\,400\,\mathrm{s}$ : $g/4\pi D = 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}^{-2}$ , $D = 3200\,\mathrm{km}$ .

11. $\tfrac12\rho gA^2 = 11\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ ; de energie beweegt met $v_g = gT/4\pi = 9.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $103\,\mathrm{kW}$ per meter golfkam.

12. $10^3 \times 103 \times 0.3 = 31\,\mathrm{MW}$ : tien windturbines.

13. $\lambda = 2\pi U^2/g = 16\,\mathrm{m}$ . De energie van elke golfcomponent reist half zo snel als haar fasesnelheid, zodat het patroon achter de boot binnen een wig blijft (halve tophoek $19.5{}^{\circ}$ , ongeacht haar snelheid).

14. Een top wordt achteraan in de groep geboren, haalt haar in (toppen bewegen met $2v_g$ ten opzichte van het water en met $v_g$ ten opzichte van de groep) en sterft vooraan. De groep is $120 \times 9.4 = 1.1\,\mathrm{km}$ lang, vijf golflengten ( $\lambda = gT^2/2\pi = 225\,\mathrm{m}$ ); tien toppen passeren de boei, elk na ongeveer twee minuten leven.

15. $kh = 0.13$ : ondiep. $c = 198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $T = \lambda/c = 17\,\mathrm{min}$ , $8.4\,\mathrm{h}$ .

16. Dispersieloos: alle componenten met $198\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , die samen als één puls aankomen (de deining, met $\sim10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en naar periode gesorteerd, zou er een week over doen).

17. $\tfrac12\rho gA^2 = 1.8\,\mathrm{kJ}/\mathrm{m}^{2}$ over $500 \times 200$ km $^2$ : $1.8 \times 10^{14}\,\mathrm{J}$ , $4\%$ van een megaton.

18. $A = 0.6(4000/20)^{1/4} = 2.3\,\mathrm{m}$ ; $c = \sqrt{gh} = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $\lambda = cT = 14\,\mathrm{km}$ . De top, in dieper water dan het dal ervoor, gaat sneller en haalt het in: het front wordt steiler tot een muur.

19. Een stijging van $0.6\,\mathrm{m}$ in een kwartier, met een helling van $10^{-5}$ : niets te voelen.

20. De gemiddelde snelheid, $\sqrt{gh}$ voor de gemiddelde diepte; omdat $\sqrt h$ concaaf is, vertragen ondiepe stukken de golf meer dan diepe haar versnellen, en ligt het gemiddelde langs de weg onder $\sqrt{g\bar h}$ .

21. $\omega' = \tfrac12\sqrt{g/k}$ , $\omega'' = -\tfrac14\sqrt{g/k^3}$ ; $k = 0.063\,\mathrm{rad}/\mathrm{m}$ : $\omega'' = -50\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ .

22. $t_{\text{sp}} = 10^6/50 = 2 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ , $5.6\,\mathrm{h}$ ; het pakket is intussen $v_gt = 6.25 \times 2 \times 10^4 = 125\,\mathrm{km}$ opgeschoven.

23. Een lange trein bevat een smalle band van $k$ , waarvan de groepssnelheden vrijwel samenvallen: de componenten blijven langer bij elkaar. Het medium van de tsunami is dispersieloos: gelijke snelheden, geen uitspreiding.

24. $\omega'' = \hbar/m = 1.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}$ : $t_{\text{sp}} = 10^{-18}/1.2 \times 10^{-4} = 9 \times 10^{-15}\,\mathrm{s}$ ; $v_g = \hbar k/m = 7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $60\,\mathrm{nm}$ .

25. Kabel: $k^2 = -\iu R\Gamma\omega$ , $v_\varphi = \sqrt{2\omega/R\Gamma}$ , geen zuivere $v_g$ , verzwakt en smeert uit. Deining: $\omega^2 = gk$ , $v_\varphi = 2v_g$ , spreidt uit. Tsunami: $\omega = \sqrt{gh}\,k$ , $v_\varphi = v_g$ , geen van beide. Elektron: $\omega = \hbar k^2/2m$ , $v_g = 2v_\varphi$ , spreidt uit.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Bekijk alle 431 begrippen in de begrippenlijst