Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Bachelor Year 2

14Elektromagnetische golven in plasma’s, geleiders en diëlektrica

Een kortegolfuitzending steekt een oceaan over door tegen de hoge atmosfeer te kaatsen, die haar als een spiegel terugwerpt — en toch laat diezelfde laag televisie- en satellietsignalen door. Een metalen lepel glimt, een metalen gaas in de deur van een magnetron houdt de golven binnen terwijl u er uw eten doorheen bekijkt, en een glasplaat is doorzichtig voor licht maar ondoorzichtig voor ultraviolet. Telkens komt een golf een materiaal binnen, reageren de ladingen van het materiaal, en verandert hun antwoord de golf: haar snelheid, haar verzwakking, en zelfs of zij zich überhaupt voortplant. Dit hoofdstuk behandelt de drie standaardmodellen van een medium — een gas van vrije elektronen, een ohmse geleider en gebonden elektronen — met de ene methode die hen alle drie aankan: voeg de geïnduceerde stroom toe aan de vergelijkingen van Maxwell en lees de dispersierelatie af.

14.1 Golven in een plasma

Definitie 14.1 (Plasma; het model van vrije elektronen)

Een plasma is een globaal neutraal gas van vrije elektronen (dichtheid $n$ , massa $m$ , lading $-e$ ) en positieve ionen, die duizenden keren zwaarder zijn en daarom als vast worden beschouwd. De hoge atmosfeer (ionosfeer, $n \sim 10^{11}$ – $10^{12}$ m $^{-3}$ ), een ontladingsbuis, de zonnecorona, en — bij optische frequenties — de geleidingselektronen van een metaal zijn plasma’s. Botsingen worden verwaarloosd (de periode van de golf is kort ten opzichte van de tijd tussen twee botsingen). De karakteristieke frequentie is de plasmafrequentie

\omega_p = \sqrt{\frac{ne^2}{\varepsilon_0m}} , \qquad f_p = \frac{\omega_p}{2\pi} \approx 9\,\text{Hz}\times\sqrt{n\,[\text{m}^{-3}]} :

$3\,\mathrm{MHz}$ tot $9\,\mathrm{MHz}$ voor de ionosfeer, $2 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ (ultraviolet) voor een metaal.

Stelling 14.2 (Dispersierelatie van een plasma)

Voor een transversale VLH-golf $\underline{\vect E} = \underline{\vect E}_0\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ in een plasma trillen de elektronen met $\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}/\iu m\omega$ en dragen zij de stroomdichtheid $\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E}$ met $\underline\gamma = ne^2/\iu m\omega$ ; de vergelijkingen van Maxwell geven dan

k^2 = \frac{\omega^2 - \omega_p^2}{c^2} .

Boven $\omega_p$ plant de golf zich voort, met $v_\varphi = c/\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} > c$ en $v_g = c\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2} < c$ , waarbij $v_\varphi v_g = c^2$ ; onder $\omega_p$ is $k = -\iu\kappa$ met $\kappa = \sqrt{\omega_p^2 - \omega^2}/c$ : de golf is evanescent, dringt over $1/\kappa$ door en wordt volledig teruggekaatst (Hoofdstuk 15); het plasma is dan een spiegel. Bij $\omega \gg \omega_p$ kunnen de elektronen niet meer volgen en is het plasma doorzichtig.

Bewijs. Bewegingsvergelijking $m\,\dd\vect v/\dd t = -e\vect E$ (de magnetische kracht $ev B \sim evE/c$ is verwaarloosbaar voor $v \ll c$ , en de beweging van de ionen is $m/M$ keer kleiner): $\iu m\omega\underline{\vect v} = -e\underline{\vect E}$ . Dan is $\underline{\vect j} = -ne\underline{\vect v}$ . Het plasma blijft neutraal voor een transversale golf ( $\vect k\cdot\vect E = 0$ geeft $\rho = 0$ via Gauss), zodat Maxwell–Ampère luidt $-\iu\vect k\wedge\underline{\vect B} = \mu_0\underline\gamma\underline{\vect E} + \iu\omega\mu_0\varepsilon_0\underline{\vect E}$ en Maxwell–Faraday $\underline{\vect B} = \vect k \wedge\underline{\vect E}/\omega$ ; samen geeft dat $k^2\underline{\vect E} = \mu_0(\iu\omega\underline\gamma - \omega^2\varepsilon_0)(-1)\underline{\vect E}$ , d.w.z. $k^2 = \omega^2\mu_0\varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0 \underline\gamma = (\omega^2 - ne^2/\varepsilon_0m)/c^2$ . De snelheden volgen als in Hoofdstuk 8. ∎

Opmerking 14.3 (Waar de energie heen gaat)

De geleidbaarheid is imaginair: $\langle\vect j\cdot\vect E\rangle = 0$ , de elektronen nemen een halve cyclus lang energie van de golf op en geven die de volgende halve cyclus terug — een verliesvrij medium, waarin de energie van de golf wordt gedeeld tussen de velden en de kinetische energie van de elektronen, en met $v_g$ reist. Botsingen voegen een klein reëel deel aan $\underline\gamma$ toe en een kleine absorptie: de D-laag van de ionosfeer absorbeert overdag de middengolf, en daarom komen verre AM-zenders ’s nachts binnen.

Voorbeeld 14.4 (De ionosfeer en de radio)

Met $n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ in de F-laag is $f_p = 9\,\mathrm{MHz}$ : kortegolfuitzendingen daaronder worden teruggekaatst (en kunnen tussen de ionosfeer en de grond om de aarde heen hoppen), terwijl FM ( $100\,\mathrm{MHz}$ ), televisie en satellietverbindingen erdoorheen gaan. Een golf van $3\,\mathrm{MHz}$ dringt slechts $1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 6\,\mathrm{m}$ in de laag door voordat zij terugkeert. Een ruimtevaartuig dat de dampkring binnenkomt, is omhuld met een plasma van $n \sim 10^{18}$ m $^{-3}$ , $f_p \sim 10\,\mathrm{GHz}$ : het radiocontact valt minutenlang weg.

Links: de dispersierelatie van een plasma — geen voortplanting onder _p, en daarboven een hyperbool die de lichtlijn nadert. Rechts: kortegolven onder de plasmafrequentie worden door de ionosfeer teruggekaatst en hoppen om de aarde heen; hogere frequenties ontsnappen de ruimte in. — Links: de dispersierelatie van een plasma — geen voortplanting onder $\omega_p$ , en daarboven een hyperbool die de lichtlijn nadert. Rechts: kortegolven onder de plasmafrequentie worden door de ionosfeer teruggekaatst en hoppen om de aarde heen; hogere frequenties ontsnappen de ruimte in.

14.2 Golven in een ohmse geleider: het huideffect

Stelling 14.5 (Huideffect)

In een ohmse geleider ( $\vect j = \gamma\vect E$ met reële $\gamma$ , bij frequenties waar $\omega\tau \ll 1$ en $\varepsilon_0\omega \ll \gamma$ , dus onder $\sim1 \times 10^{16}\,\mathrm{Hz}$ voor koper) is de verplaatsingsstroom verwaarloosbaar en voldoen de velden aan de diffusievergelijking $\Delta\vect E = \mu_0\gamma\,\partial_t\vect E$ . Een VLH-golf die de geleider in $x = 0$ binnenkomt, heeft

\underline k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega , \qquad \underline k = \frac{1 - \iu}\delta , \qquad \delta = \sqrt{\frac2{\mu_0\gamma\omega}} ,

zodat $\underline E = E_0\,\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}$ : zij wordt over de indringdiepte $\delta$ gedempt, met een fase die eveneens één radiaal per $\delta$ draait — een golflengte $2\pi\delta$ en een fasesnelheid $\omega\delta \ll c$ . De stroom $\vect j = \gamma\vect E$ blijft opgesloten in een laag met dikte $\delta$ onder het oppervlak, en $\vect B$ loopt $45{}^{\circ}$ achter op $\vect E$ met $|B| = |E|\sqrt2/\omega\delta$ . Voor koper is $\delta = 9.2\,\mathrm{mm}$ bij $50\,\mathrm{Hz}$ , $0.21\,\mathrm{mm}$ bij $100\,\mathrm{kHz}$ en $2.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ bij $1\,\mathrm{GHz}$ .

Bewijs. $\operatorname{\vect{curl}}\vect B = \mu_0\gamma\vect E$ (verplaatsingsstroom weggelaten) en $\operatorname{\vect{curl}}\vect E = -\partial_t\vect B$ : de rotatie van de tweede nemen geeft $-\Delta\vect E = -\mu_0\gamma\partial_t\vect E$ (de geleider is neutraal, $\operatorname{div} \vect E = 0$ ). Voor $\eu^{\iu(\omega t - kx)}$ : $k^2 = -\iu\mu_0\gamma\omega$ , en $\sqrt{-\iu} = (1 - \iu)/\sqrt2$ geeft $\underline k = (1 - \iu)/\delta$ (de wortel die de geleider in uitdooft). Faraday: $\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu) \underline E/\omega\delta$ , met modulus $\sqrt2E/\omega\delta$ en fase $-\pi/4$ . ∎

Links: het veld in een geleider — een gedempte trilling, uitgedoofd binnen enkele indringdiepten. Rechts: de indringdiepte van koper en van zeewater tegen de frequentie: millimeters bij netfrequentie, micrometers bij gigahertz; de zee laat alleen de langste radiogolven binnen.

Voorbeeld 14.6 (Gevolgen van het huideffect)

(i) Een draad met straal $a \gg \delta$ voert zijn stroom in een ring met dikte $\delta$ : zijn weerstand stijgt van $1/\gamma\pi a^2$ tot ongeveer $1/\gamma 2\pi a\delta$ per meter — voor een koperdraad van $1\,\mathrm{mm}$ vier keer de gelijkstroomwaarde bij $1\,\mathrm{MHz}$ en honderd keer bij $1\,\mathrm{GHz}$ . Spoelen voor hoge frequenties gebruiken “litzedraad” (vele geïsoleerde aders) of verzilverde buizen; de geleiders van het elektriciteitsnet zijn gestrengd met een aluminium mantel. (ii) Een metalen kast verzwakt een golf met $\eu^{-d/\delta}$ per dikte $d$ : een aluminium behuizing van $1\,\mathrm{mm}$ houdt $1\,\mathrm{MHz}$ met $100\,\mathrm{dB}$ tegen maar $50\,\mathrm{Hz}$ nauwelijks — voor laagfrequente magnetische velden is ijzer nodig. (iii) Onderzeeërs ontvangen alleen zeer lange radiogolven ( $\delta = 2.3\,\mathrm{m}$ bij $10\,\mathrm{kHz}$ in zeewater); mijnen worden opgespoord aan de wervelstromen die een spoel erin opwekt (Hoofdstuk 11, met de diffusietijd $\mu_0\gamma d^2$ ).

14.3 Golven in een diëlektricum: het gebonden elektron

Propositie 14.7 (Elastisch gebonden elektron; complexe brekingsindex)

In een isolator is elk elektron aan zijn atoom gebonden: een uitwijking $\vect r$ uit het evenwicht roept de terugdrijvende kracht $-m\omega_0^2\vect r$ op en een demping $-m\Gamma\,\dd\vect r/\dd t$ (de energie die wordt uitgestraald of aan het rooster wordt afgegeven). Aangedreven door de golf geldt $m\ddot{\vect r} = -m\omega_0^2\vect r - m\Gamma\dot{\vect r} - e\vect E$ ; de verplaatste elektronen geven het medium de polarisatie (dipoolmoment per volume-eenheid) $\vect P = -ne\vect r = \varepsilon_0\underline\chi(\omega) \underline{\vect E}$ met de susceptibiliteit

\underline\chi(\omega) = \frac{\omega_p^2}{\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega} , \qquad \omega_p^2 = \frac{ne^2}{\varepsilon_0m} ,

en de gebonden stroom $\vect j = \partial_t\vect P$ . De vergelijkingen van Maxwell geven dan

\underline k^2 = \frac{\omega^2}{c^2}\,(1 + \underline\chi) = \frac{\omega^2}{c^2}\,\underline n^2 , \qquad \underline n = n' - \iu n'' ,

met $n'$ de brekingsindex (fasesnelheid $c/n'$ ) en $n''$ de extinctie (de intensiteit dooft uit als $\eu^{-2n''\omega x/c}$ ). Ver onder een resonantie ( $\omega \ll \omega_0$ , met verwaarloosbare $\Gamma$ ) is $n'^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + \omega_p^2\omega^2/\omega_0^4$ : de brekingsindex stijgt met de frequentie — normale dispersie, de wet van Cauchy $n \approx A + B/\lambda^2$ — en is de absorptie verwaarloosbaar; nabij $\omega_0$ absorbeert het medium, en net erboven daalt $n'$ met $\omega$ (anomale dispersie).

Bewijs. Complexe amplitudes: $(\omega_0^2 - \omega^2 + \iu\Gamma\omega)\underline{\vect r} = -e\underline{\vect E} /m$ ; $\underline{\vect P} = -ne\underline{\vect r}$ . Dan geldt, net als voor het plasma, $k^2 = \omega^2\mu_0 \varepsilon_0 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma$ met $\underline{\vect j} = \iu\omega\underline{\vect P} = \iu\omega\varepsilon_0 \underline\chi\underline{\vect E}$ , d.w.z. $\underline\gamma = \iu\omega\varepsilon_0\underline\chi$ : $k^2 = (\omega^2/c^2) (1 + \underline\chi)$ . (Het plasma is het geval $\omega_0 = 0$ , $\Gamma = 0$ .) Ontwikkeling: $1/(\omega_0^2 - \omega^2) \approx (1 + \omega^2/\omega_0^2)/\omega_0^2$ . ∎

Het model van het gebonden elektron (Lorentz): het reële deel van de brekingsindex stijgt met de frequentie onder de resonantie (normale dispersie: violet is trager dan rood in glas), het imaginaire deel piekt bij de resonantie (absorptie), en de brekingsindex daalt door de resonantie heen (anomale dispersie).

Voorbeeld 14.8 (Glas, water, lucht)

Glas heeft zijn elektronische resonanties in het ultraviolet ( $\omega_0 \sim 10^{16}$ rad/s): in het zichtbare is het doorzichtig en dispersief, met $n = 1.51$ bij $700\,\mathrm{nm}$ en $1.53$ bij $400\,\mathrm{nm}$ , genoeg opdat een prisma een regenboog uitspreidt en de pulsen in een vezel uitspreiden (Hoofdstuk 8); in het ultraviolet absorbeert het — u wordt niet bruin achter een raam. Water heeft daarnaast een rotatieresonantie van zijn polaire moleculen nabij $20\,\mathrm{GHz}$ (een relaxatie van Debye eerder dan een scherpe lijn): het absorbeert microgolven sterk, wat het eten verwarmt en radar blind maakt in de regen, en het heeft $n'' \approx 0$ in een smal zichtbaar venster — het venster waarvoor ogen zijn geëvolueerd. Lucht, met $n - 1 = 2.9 \times 10^{-4}$ , buigt de ondergaande zon nog altijd een halve graad af.

Opmerking 14.9 (Eén vergelijking, drie media)

Elk lineair medium komt de vergelijkingen van Maxwell binnen via zijn geïnduceerde stroom $\underline{\vect j} = \underline\gamma(\omega)\underline{\vect E}$ , en de dispersierelatie is altijd $\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma(\omega)$ :

medium	$\underline\gamma(\omega)$	$\underline k^2$
plasma	$ne^2/\iu m\omega$ (imaginair)	$(\omega^2 - \omega_p^2)/c^2$ : afsnijding
ohmse geleider	$\gamma$ (reëel)	$-\iu\mu_0\gamma\omega$ : huideffect
diëlektricum	$\iu\omega\varepsilon_0\underline\chi(\omega)$	$(\omega^2/c^2)(1 + \underline\chi)$ : brekingsindex

Een metaal is achtereenvolgens alle drie: ohms onder $1 \times 10^{13}\,\mathrm{Hz}$ , een (spiegelend) plasma in het zichtbare, en doorzichtig in het verre ultraviolet.

Methode 14.10 (Golven in een medium)

(1) Schrijf de bewegingsvergelijking van de ladingen op en bepaal $\underline{\vect j} = \underline\gamma\underline{\vect E}$ . (2) Vul die in Maxwell–Ampère in met de VLH-aanzet: $\underline k^2 = \omega^2/c^2 - \iu\omega\mu_0\underline\gamma$ . (3) Neem de wortel met $\operatorname{Im}k \le 0$ (uitdoving in de looprichting) en splits in een reëel deel (voortplanting, $v_\varphi = \omega/k'$ ) en een imaginair deel (verzwakking). (4) Bepaal de regimes in frequentie — voortplantend, evanescent, absorberend — en de karakteristieke frequentie ( $\omega_p$ , $1/\mu_0\gamma\delta^2$ , $\omega_0$ ). (5) Vind $\vect B$ uit Faraday en zo nodig de poyntingflux en het gedissipeerde vermogen.

14.4 Oefeningen

Oefening 14.1 ★

Plasmafrequenties voor $n = 1 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ (’s nachts in de ionosfeer), $1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ (overdag), $1 \times 10^{18}\,\mathrm{m}^{-3}$ (het plasma bij terugkeer in de dampkring), $8.5 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ (koper) en $1 \times 10^{5}\,\mathrm{m}^{-3}$ (de interstellaire ruimte). Wat gaat er telkens doorheen: een AM-zender van $1\,\mathrm{MHz}$ , een FM-zender van $100\,\mathrm{MHz}$ , een gps-signaal van $1.5\,\mathrm{GHz}$ , zichtbaar licht?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.1.

$f_p \approx 9\sqrt n$ Hz: $2.8\,\mathrm{MHz}$ , $9\,\mathrm{MHz}$ , $9\,\mathrm{GHz}$ , $2.6 \times 10^{15}\,\mathrm{Hz}$ ( $\lambda_p = 115\,\mathrm{nm}$ ), $2.8\,\mathrm{kHz}$ . AM op $1\,\mathrm{MHz}$ : alleen door de interstellaire ruimte. FM: door de ionosfeer, niet door het plasma bij terugkeer. Gps: door alles behalve dat plasma. Licht: door alles behalve koper.

Oefening 14.2 ★

Indringdiepte van koper ( $\gamma = 6.0 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) bij $50\,\mathrm{Hz}$ , $1\,\mathrm{kHz}$ , $1\,\mathrm{MHz}$ en $1\,\mathrm{GHz}$ ; van aluminium ( $3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) bij $1\,\mathrm{MHz}$ ; van zeewater ( $5\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) bij $10\,\mathrm{kHz}$ en $1\,\mathrm{GHz}$ ; van vochtige grond ( $1 \times 10^{-2}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) bij $1\,\mathrm{MHz}$ . Welke radiofrequenties bereiken een onderzeeër op $10\,\mathrm{m}$ diepte?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.2.

Koper: $9.2\,\mathrm{mm}$ , $2.1\,\mathrm{mm}$ , $65\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $2.1\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; aluminium bij $1\,\mathrm{MHz}$ : $84\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; zeewater: $2.3\,\mathrm{m}$ bij $10\,\mathrm{kHz}$ , $7\,\mathrm{mm}$ bij $1\,\mathrm{GHz}$ ; grond: $5\,\mathrm{m}$ bij $1\,\mathrm{MHz}$ . Een onderzeeër op $10\,\mathrm{m}$ heeft $\delta \gtrsim 10\,\mathrm{m}$ nodig: onder ongeveer $500\,\mathrm{Hz}$ .

Oefening 14.3 ★

Een glassoort voldoet aan $n = 1.50 + 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2$ . Brekingsindex bij $400\,\mathrm{nm}$ , $550\,\mathrm{nm}$ en $700\,\mathrm{nm}$ ; fasesnelheden; groepsindex $n_g = n - \lambda\,\dd n/\dd\lambda$ bij $550\,\mathrm{nm}$ ; hoekspreiding van een witte bundel die onder $45{}^{\circ}$ inval het glas in wordt gebroken.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.3.

$n = 1.528$ , $1.515$ , $1.509$ ; $v = 1.963$ , $1.980$ , $1.987 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $n_g = n + 2B/\lambda^2 = 1.545$ . Brekingshoeken $\arcsin(0.707/n)$ : $27.57{}^{\circ}$ en $27.93{}^{\circ}$ : een spreiding van $0.36{}^{\circ}$ .

Oefening 14.4 ★

Een golf van $5\,\mathrm{MHz}$ ontmoet een laag met $n = 2 \times 10^{11}\,\mathrm{m}^{-3}$ : wordt zij teruggekaatst? Indringdiepte; hetzelfde bij $2\,\mathrm{MHz}$ ; minimale frequentie die een laag met $n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ doorkruist. Waarom gaan kortegolfbanden met het uur en met de zonnecyclus “open” en “dicht”?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.4.

$f_p = 4.0\,\mathrm{MHz}$ : $5\,\mathrm{MHz}$ gaat erdoor; $2\,\mathrm{MHz}$ wordt teruggekaatst en dringt $c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 14\,\mathrm{m}$ door. Voor $n = 1.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ : $11\,\mathrm{MHz}$ . De dichtheid volgt de ioniserende straling van de zon — uur, seizoen en de elfjarige cyclus — zodat de hoogst bruikbare frequentie daarmee meebeweegt.

Oefening 14.5 ★★

Wisselstroomweerstand. Een koperdraad met straal $a = 1.0\,\mathrm{mm}$ . (a) Gelijkstroomweerstand per meter. (b) Bij $1\,\mathrm{MHz}$ : $\delta$ ; benaderde weerstand per meter met de stroom opgesloten in een ring met dikte $\delta$ ; verhouding tot gelijkstroom. (c) Bij $100\,\mathrm{MHz}$ . (d) Waarom heeft een spoel van $N$ windingen van deze draad bij hoge frequentie een kwaliteitsfactor die met $N$ niet meer verbetert, en wat is litzedraad?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.5.

(a) $1/\gamma\pi a^2 = 5.3\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ . (b) $\delta = 65\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $R \approx 1/\gamma2\pi a\delta = 41\,\mathrm{m}\Omega/\mathrm{m}$ , $7.7$ keer de gelijkstroomwaarde. (c) $\delta = 6.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , $0.41\,\Omega/\mathrm{m}$ , $77$ keer. (d) $R \propto \sqrt f$ groeit even snel als $L\omega$ zodra de huid overheerst, en elke winding voegt weerstand toe; litzedraad bundelt vele geïsoleerde aders die dunner zijn dan $\delta$ , zodat al het koper geleidt.

Oefening 14.6 ★★

Afscherming. Een aluminium kast ( $\gamma = 3.6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) van $1.0\,\mathrm{mm}$ dik. Verzwakking van de veldamplitude bij het doorkruisen van de wand, in dB, bij $50\,\mathrm{Hz}$ , $10\,\mathrm{kHz}$ en $1\,\mathrm{MHz}$ (de factor $\eu^{-d/\delta}$ , met verwaarlozing van de reflectie aan de oppervlakken). Waarom wordt het magnetische veld van het net met ijzer (hoge permeabiliteit) afgeschermd en niet met koper?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.6.

$\delta_{\text{Al}} = 11.9$ , $0.84$ , $0.084\,\mathrm{mm}$ : $d/\delta = 0.08$ , $1.2$ , $12$ : $0.7$ , $10$ , $103\,\mathrm{dB}$ . Bij $50\,\mathrm{Hz}$ is de geleider doorzichtig; ijzer met hoge $\mu_r$ leidt de flux om (magnetische afscherming) en verkleint $\delta$ bovendien met $\sqrt{\mu_r}$ .

Oefening 14.7 ★★

Energie in een plasma. Voor de transversale golf van Stelling 14.2: (a) amplitude van de elektronensnelheid en de kinetische energiedichtheid $\tfrac12nm\langle v^2\rangle$ . (b) Gemiddelde elektrische en magnetische energiedichtheid. (c) Toon aan dat de totale energiedichtheid $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2(1 + \dots)$ is — bereken de haakjes — en dat $\langle\Pi\rangle$ erdoor gedeeld gelijk is aan $v_g$ . (d) Welke fractie van de energie zit bij $\omega = 2\omega_p$ in de elektronen?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.7.

(a) $v_0 = eE_0/m\omega$ ; $\tfrac12nm\langle v^2\rangle = ne^2E_0^2/4m\omega^2 = \tfrac14\varepsilon_0 E_0^2\,\omega_p^2/\omega^2$ . (b) $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2$ en $\tfrac14\varepsilon_0E_0^2(1 - \omega_p^2/ \omega^2)$ . (c) De som is $\tfrac12\varepsilon_0E_0^2$ (de haakjes geven $1$ ); $\langle\Pi \rangle = E_0^2k/2\mu_0\omega$ , en de verhouding is $c^2k/\omega = v_g$ . (d) $\tfrac14\cdot\tfrac14 /\tfrac12 = 1/8$ .

Oefening 14.8 ★★

Dispersie bij een pulsar. Radiopulsen van een pulsar doorkruisen een afstand $L$ interstellair plasma ( $n \ll$ alles, $\omega \gg \omega_p$ ). (a) Toon aan dat de groepsvertraging $t \approx (L/c)(1 + \omega_p^2/2\omega^2)$ bedraagt. (b) Het verschil in aankomst tussen $f_1$ en $f_2$ is $\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2 \varepsilon_0mc}\,nL\Bigl(\dfrac1{f_1^2} - \dfrac1{f_2^2}\Bigr)$ : bereken de constante. (c) Een pulsar op $L = 1\,\mathrm{kpc} = 3.1 \times 10^{19}\,\mathrm{m}$ door $n = 3 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-3}$ : vertraging tussen $400\,\mathrm{MHz}$ en $1.4\,\mathrm{GHz}$ . (d) Astronomen meten $\Delta t$ en kennen $n$ : wat krijgen zij dan? (De dispersiemaat, de standaardafstandsmeter voor pulsars.)

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.8.

(a) $1/v_g = (1/c)(1 - \omega_p^2/\omega^2)^{-1/2} \approx (1 + \omega_p^2/2\omega^2)/c$ . (b) $\Delta t = (L\omega_p^2/2c)(1/\omega_1^2 - 1/\omega_2^2)$ met $\omega_p^2 = ne^2/\varepsilon_0m$ en $\omega = 2\pi f$ : constante $e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc = 1.34 \times 10^{-7}\,$ (SI). (c) $nL = 9.3 \times 10^{23}\,\mathrm{m}^{-2}$ , $(1/f_1^2 - 1/f_2^2) = 5.7 \times 10^{-18}\,\mathrm{s}^{2}$ : $\Delta t = 0.72\,\mathrm{s}$ . (d) De kolom $nL$ (de dispersiemaat), en daarmee de afstand bij een model voor $n$ .

Oefening 14.9 ★★

Een spectraallijn. In een ijl gas ( $\underline n \approx 1 + \underline\chi/2$ ) geeft het model van Lorentz $n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi$ . (a) Toon aan dat nabij $\omega_0$ geldt $n'' \approx \dfrac{\omega_p^2}{4\omega_0}\,\dfrac{\Gamma/2}{(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4}$ , een lorentzprofiel met volle breedte $\Gamma$ . (b) Absorptiecoëfficiënt $\alpha = 2n''\omega/c$ in het midden. (c) Natriumdamp, $n = 1 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-3}$ , $\lambda_0 = 589\,\mathrm{nm}$ , $\Gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $\alpha$ in het midden en de dikte die $90\%$ absorbeert (verwaarloos de dopplerverbreding, die de lijn in werkelijkheid honderdvoudig verbreedt). (d) Schets $n' - 1$ over de lijn heen; waar is de dispersie anomaal?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.9.

(a) $\operatorname{Im}\underline\chi = \omega_p^2\Gamma\omega/[(\omega_0^2 - \omega^2)^2 + \Gamma^2\omega^2]$ met $\omega_0^2 - \omega^2 \approx 2\omega_0(\omega_0 - \omega)$ : $n'' = \tfrac12\operatorname{Im}\underline\chi$ is het genoemde lorentzprofiel. (b) $n''(\omega_0) = \omega_p^2/2\omega_0\Gamma$ , $\alpha = 2n''\omega_0/c = \omega_p^2/\Gamma c$ . (c) $\omega_p^2 = 3.2 \times 10^{20}\,\mathrm{s}^{-2}$ : $\alpha = 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $\ln10/\alpha = 0.13\,\mathrm{mm}$ . (d) $n' - 1 \propto (\omega_0 - \omega)/[(\omega_0 - \omega)^2 + \Gamma^2/4]$ : positief eronder, negatief erboven, en dalend binnen $\pm\Gamma/2$ van de lijn — daar is zij anomaal.

Oefening 14.10 ★★★

Warmte van Joule in de huid. Een golf $E_0\eu^{\iu\omega t}$ (langs $y$ ) komt een geleider binnen die $x > 0$ vult. (a) Schrijf $\underline E(x, t)$ op en leid $\underline B(x, t)$ (langs $z$ ) uit Faraday af. (b) Gemiddelde poyntingvector aan het oppervlak: toon aan dat $\langle\Pi_x(0)\rangle = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ . (c) Gemiddeld vermogen van Joule per oppervlakte-eenheid, $\int_0^\infty\tfrac12\gamma|\underline E|^2\dd x$ : toon aan dat het gelijk is aan (b). (d) Druk het resultaat uit als $\tfrac12R_sH_0^2$ met $H_0 = B_0/\mu_0$ het magnetische veld aan het oppervlak en $R_s = 1/\gamma\delta$ de oppervlakteweerstand; waarde voor koper bij $1\,\mathrm{GHz}$ , en het verlies van een microgolftrilholte waarvan de wanden $H_0 = 100\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ dragen.

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.10.

(a) $\underline E = E_0\eu^{-x/\delta}\eu^{\iu(\omega t - x/\delta)}$ , $\underline B = \underline k\underline E/\omega = (1 - \iu)\underline E/\omega\delta$ . (b) $\langle\Pi_x\rangle = \tfrac12\operatorname{Re}(\underline E \underline B^*)/\mu_0 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ in $x = 0$ . (c) $\int_0^\infty\tfrac12\gamma E_0^2 \eu^{-2x/\delta}\dd x = \gamma E_0^2\delta/4 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ met $\gamma = 2/\mu_0\omega\delta^2$ . (d) $H_0 = \sqrt2E_0/\mu_0\omega\delta$ , zodat $\tfrac12R_sH_0^2 = E_0^2/\gamma\mu_0^2\omega^2\delta^3 = E_0^2/2\mu_0\omega\delta$ . Koper bij $1\,\mathrm{GHz}$ : $R_s = 1/\gamma\delta = 8\,\mathrm{m}\Omega$ ; $\tfrac12 \times 8 \times 10^{-3} \times 10^4 = 40\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ .

Oefening 14.11 ★★★

Waarom metalen glanzen. Behandel de geleidingselektronen van zilver ( $n = 5.9 \times 10^{28}\,\mathrm{m}^{-3}$ ) bij optische frequenties als een botsingsvrij plasma. (a) $\omega_p$ en de bijbehorende golflengte. (b) Bij $500\,\mathrm{nm}$ is $k$ imaginair — indringdiepte; de golf wordt volledig teruggekaatst (in dit model zonder absorptie): zilver is een spiegel. (c) En bij $200\,\mathrm{nm}$ ? Vandaar de “ultraviolette doorzichtigheid” van alkalimetalen. (d) Echt zilver kaatst $95\%$ terug en goud oogt geel: wat mist het model (denk aan botsingen, en aan gebonden elektronen waarvan de resonanties bij goud in het zichtbare liggen)?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.11.

(a) $\omega_p = 1.4 \times 10^{16}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $\lambda_p = 2\pi c/\omega_p = 140\,\mathrm{nm}$ . (b) $\omega = 3.8 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s} < \omega_p$ : $1/\kappa = c/\sqrt{\omega_p^2 - \omega^2} = 23\,\mathrm{nm}$ , totale reflectie. (c) Nog altijd onder $\omega_p$ : spiegelend; doorzichtigheid pas voorbij $140\,\mathrm{nm}$ (bij natrium $210\,\mathrm{nm}$ ). (d) Botsingen geven $\underline\gamma$ een reëel deel en enkele procenten absorptie; resonanties van gebonden elektronen in het zichtbare (goud, koper) slikken het blauw en kleuren het metaal.

Oefening 14.12 ★★★

Water in de magnetron. De oriëntatie van de polaire watermoleculen geeft een susceptibiliteit $\underline\chi = \chi_s/(1 + \iu\omega\tau)$ (relaxatie van Debye), met $\chi_s \approx 80$ en $\tau = 8\,\mathrm{ps}$ , boven op een constante $\chi_\infty \approx 4$ . (a) Reëel en imaginair deel van $\underline\varepsilon_r = 1 + \chi_\infty + \underline\chi$ bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ en bij $20\,\mathrm{GHz}$ . (b) Complexe brekingsindex en de absorptielengte $1/(2n''\omega/c)$ van de intensiteit bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ : hoe diep kookt een oven? (c) Geabsorbeerd vermogen per volume-eenheid voor een veldamplitude $E_0$ in het water: $\tfrac12\omega\varepsilon_0\varepsilon''E_0^2$ ; waarde voor $E_0 = 2\,\mathrm{kV}/\mathrm{m}$ . (d) Waarom wordt $2.45\,\mathrm{GHz}$ gebruikt en niet de $20\,\mathrm{GHz}$ van de maximale absorptie?

Oplossing

Oplossing van Oefening 14.12.

(a) $\omega\tau = 0.12$ : $\underline\varepsilon_r = 84 - 9.7\iu$ ; bij $20\,\mathrm{GHz}$ is $\omega\tau = 1$ : $45 - 40\iu$ . (b) $\underline n \approx 9.2 - 0.53\iu$ ; $c/2n''\omega = 1.8\,\mathrm{cm}$ : de oven kookt de buitenste twee centimeter, de rest doet de geleiding. (c) $\tfrac12 \times 1.54 \times 10^{10} \times 8.85 \times 10^{-12} \times 9.7 \times 4 \times 10^6 = 2.6\,\mathrm{MW}/\mathrm{m}^{3}$ . (d) Bij $20\,\mathrm{GHz}$ zou de absorptielengte een millimeter zijn: alleen de buitenlaag zou koken; $2.45\,\mathrm{GHz}$ dringt door, en is een vrije band.

Een kortegolfzender in de schemering: haar golven, enkele megahertz onder de plasmafrequentie van de ionosfeer, staan op het punt duizend kilometer verderop naar de grond te worden teruggekaatst.

Het zuiderlicht, gefotografeerd vanaf het internationale ruimtestation: deeltjes van de zon, geleid door het magnetische veld van de aarde, wekken het plasma van de hoge atmosfeer op — de ionosfeer waarvan de plasmafrequentie radiogolven terugkaatst (NASA).

14.5 Vraagstuk: De ionosfeer, de ovendeur en het prisma

Probleem 14.1

Weekendvraagstuk — drie materialen zoals een golf ze ziet: het plasma dat gps-signalen afbuigt, het metaal dat microgolven binnenhoudt, en het glas dat wit licht uitspreidt

Deel I — De ionosfeer en gps. Elektronendichtheid in de F-laag $n = 1 \times 10^{12}\,\mathrm{m}^{-3}$ ; de totale elektronenkolom langs een verticale weg is overdag $N_T = \int n\,\dd z = 2 \times 10^{17}\,\mathrm{m}^{-2}$ . Gps: $f_1 = 1575\,\mathrm{MHz}$ , $f_2 = 1228\,\mathrm{MHz}$ .

Plasmafrequentie van de F-laag; komt gps erdoor? En een kortegolf van $5\,\mathrm{MHz}$ ?
Toon aan dat voor $\omega \gg \omega_p$ de groepssnelheid $v_g \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2)$ is en de fasesnelheid $c(1 + \omega_p^2/2\omega^2)$ .
Extra groepsvertraging van het gps-signaal dat de laag doorkruist: toon aan dat $\Delta t = \dfrac{e^2}{8\pi^2\varepsilon_0mc}\,\dfrac{N_T}{f^2}$ en bereken die voor $f_1$ ; de afstandsfout $c\,\Delta t$ .
De ontvanger gebruikt beide frequenties: uit de twee vertragingen haalt hij de fout weg. Druk $N_T$ uit in $\Delta t_1 - \Delta t_2$ ; welke nauwkeurigheid op het verschil van de vertragingen geeft $N_T$ op $1\%$ ?
Hoeveel extra perioden van de draaggolf komt de vertraging van vraag 3 overeen bij $f_1$ ?
De fase van de draaggolf loopt evenveel voor als de groep achterloopt: waarom (tekens van de twee correcties)? Welke van de twee telt voor een ontvanger die perioden van de draaggolf telt?
’s Nachts daalt $N_T$ tienvoudig: fout voor een ontvanger met één frequentie, overdag en ’s nachts.
Een zonnevlam brengt $n$ in de D-laag ( $80\,\mathrm{km}$ ) op $1 \times 10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$ met veel botsingen: welke radiodiensten worden getroffen, en waarom verslechtert gps maar weinig?

Deel II — De ovendeur. De wanden van de holte en het gaas in de deur zijn van staal ( $\gamma = 1.0 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ); de gaten in het gaas zijn $1.0\,\mathrm{mm}$ breed in een plaat van $0.5\,\mathrm{mm}$ dik; $f = 2.45\,\mathrm{GHz}$ , $P = 800\,\mathrm{W}$ .

Indringdiepte in het staal bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ ; is de wand “dik”?
Oppervlakteweerstand $R_s = 1/\gamma\delta$ ; bij een magnetisch veld aan het oppervlak met amplitude $H_0 = 30\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ op de wanden ( $1\,\mathrm{m}^{2}$ ): vermogen dat in de wanden verloren gaat, $\tfrac12R_sH_0^2$ per oppervlakte-eenheid; fractie van $P$ .
In een gat met breedte $a \ll \lambda$ kan het veld zich niet voortplanten (het gat is een golfgeleider onder de afsnijfrequentie, Hoofdstuk 16): het dooft uit als $\eu^{-\pi z/a}$ over de dikte $z$ . Verzwakking van de amplitude over de plaat van $0.5\,\mathrm{mm}$ , in dB.
Waarom kunt u door het gaas heen kijken (golflengte van licht tegen de gatgrootte) terwijl de microgolven er niet uit kunnen?
Het glazen venster is een diëlektricum met $\underline\varepsilon_r = 4 - 0.02\iu$ : brekingsindex, en de lengte waarover de intensiteit erin wordt verzwakt; wordt het glas warm?
Een metalen vork in de oven: het veld aan haar punten wordt versterkt; schat met de indringdiepte van vraag 8 de stroomdichtheid aan het oppervlak voor $H_0 = 300\,\mathrm{A}/\mathrm{m}$ (gebruik $j \approx H_0/\delta$ aan het oppervlak) en de plaatselijke verwarming $j^2/\gamma$ — waarom vonken?

Deel III — De draad bij radiofrequentie. Een koperdraad met straal $a = 0.5\,\mathrm{mm}$ ( $\gamma = 6 \times 10^{7}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ ) in de spoel van een inductieverwarmer op $13.56\,\mathrm{MHz}$ voert $20\,\mathrm{A}$ effectief.

Indringdiepte; effectieve geleidende doorsnede; wisselstroomweerstand per meter tegenover gelijkstroom.
Gedissipeerd vermogen per meter spoeldraad; temperatuur die de draad zou bereiken bij convectieve koeling met $h = 20\,\mathrm{W}/(\mathrm{m}^{2}\,\mathrm{K})$ .
De spoel wekt stromen op in een stalen werkstuk ( $\gamma = 1 \times 10^{6}\,\mathrm{S}/\mathrm{m}$ , $\mu_r \approx 1$ wanneer het heet is): indringdiepte daar; waarom verwarmt inductieverwarming alleen een oppervlaktelaag, en hoe wordt dat gebruikt om tandwielen te harden?
Om het verlies in de spoel te verminderen wordt de draad vervangen door een koperen buis van $3\,\mathrm{mm}$ met water erin: nieuwe weerstand per meter; voert de binnenkant van de buis stroom?
Bij welke frequentie zou de indringdiepte in koper gelijk zijn aan de straal van de draad? Welke benadering vervangt daaronder de formule voor een “dikke draad”?

Deel IV — Het prisma. Een glassoort heeft $n(\lambda) = 1.500 + 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{nm}^{2}/\lambda^2$ , met haar resonantie bij $\lambda_0 = 100\,\mathrm{nm}$ .

Ga na dat de vorm van Cauchy ver onder de resonantie uit het model van Lorentz volgt, en dat $\omega_p^2/\omega_0^2 = n^2(\infty) - 1$ : waarde van $\omega_p^2/\omega_0^2$ en van de effectieve $n$ voor dit glas.
Brekingsindex en fasesnelheid bij $400\,\mathrm{nm}$ en $700\,\mathrm{nm}$ ; groepsindex bij $550\,\mathrm{nm}$ ; vertraging tussen de twee kleuren over $1\,\mathrm{km}$ van dit glas in een vezel.
Een prisma van $60{}^{\circ}$ bij minimale afwijking voor $550\,\mathrm{nm}$ : afwijking (gebruik $n\sin(A/2) = \sin((A + D)/2)$ ); hoekafstand tussen $400\,\mathrm{nm}$ en $700\,\mathrm{nm}$ (differentieer); breedte van het spectrum op een scherm $2\,\mathrm{m}$ verderop.
Waarom is het glas ondoorzichtig bij $200\,\mathrm{nm}$ , en welke kleur heeft het als een spoor ijzer er een zwakke resonantie bij $700\,\mathrm{nm}$ aan toevoegt?
Waarom wordt blauw in het beeld van Lorentz sterker afgebogen door het prisma dan rood?
Geef in één tabel, voor de F-laag, het staal, het koper en het glas bij hun werkfrequenties, de aard van $\underline\gamma$ en het lot van de golf.

Oplossing

Oplossing van Probleem 14.1.

1. $f_p = 9\,\mathrm{MHz}$ : gps komt erdoor, de kortegolf wordt teruggekaatst.

2. $k = (\omega/c)\sqrt{1 - \omega_p^2/\omega^2}$ : $v_\varphi = \omega/k \approx c(1 + \omega_p^2/ 2\omega^2)$ , $v_g = \dd\omega/\dd k = c^2k/\omega \approx c(1 - \omega_p^2/2\omega^2)$ .

3. $\Delta t = \int(1/v_g - 1/c)\dd z = \int\omega_p^2\dd z/2c\omega^2 = e^2N_T/2\varepsilon_0 mc\omega^2 = (e^2/8\pi^2\varepsilon_0mc)N_T/f^2 = 1.34 \times 10^{-7} \times 2 \times 10^{17}/2.48 \times 10^{18} = 11\,\mathrm{ns}$ : $3.2\,\mathrm{m}$ .

4. $N_T = (\Delta t_1 - \Delta t_2)/K(1/f_1^2 - 1/f_2^2)$ ; het verschil is $7\,\mathrm{ns}$ : voor $1\%$ is $0.07\,\mathrm{ns}$ nodig.

5. $v_\varphi$ overtreft $c$ met evenveel als $v_g$ tekortkomt: de fase van de draaggolf komt te vroeg aan terwijl de modulatie te laat komt. Een ontvanger die de fase van de draaggolf gebruikt, past de correctie met het omgekeerde teken toe.

6. $3.2\,\mathrm{m}$ overdag, $0.3\,\mathrm{m}$ ’s nachts.

7. $f_p = 0.9\,\mathrm{MHz}$ met botsingen: midden- en kortegolf worden geabsorbeerd (een radiostilte); gps op $1.5\,\mathrm{GHz}$ ondervindt een absorptie $\propto 1/\omega^2$ , verwaarloosbaar.

8. $f_1\Delta t = 1.575 \times 10^9 \times 1.1 \times 10^{-8} = 17$ perioden.

9. $\delta = \sqrt{2/\mu_0\gamma\omega} = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : een wand van een millimeter is honderd indringdiepten.

10. $R_s = 1/\gamma\delta = 0.1\,\Omega$ ; $\tfrac12R_sH_0^2 = 45\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ : $45\,\mathrm{W}$ , $6\%$ .

11. $\eu^{-\pi \times 0.5} = 0.21$ : $-14\,\mathrm{dB}$ in amplitude, $-27\,\mathrm{dB}$ in vermogen (en het kleine gat koppelt sowieso al slecht).

12. Licht, $\lambda = 0.5\,\text{µ}\mathrm{m}$ , is tweeduizend keer kleiner dan de gaten en gaat erdoor; de microgolf, $\lambda = 12\,\mathrm{cm}$ , is honderd keer groter.

13. $\underline n = 2 - 0.005\iu$ ; $c/2n''\omega = 1.9\,\mathrm{m}$ : het glas wordt nauwelijks warm.

14. $j \approx H_0/\delta = 3 \times 10^{7}\,\mathrm{A}/\mathrm{m}^{2}$ , $j^2/\gamma = 9 \times 10^{8}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{3}$ in een laag van tien micrometer: de punten worden binnen milliseconden heet, zenden elektronen uit en ioniseren de lucht — vonken.

15. $\delta = 18\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; doorsnede $2\pi a\delta = 5.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{m}^{2}$ tegen $\pi a^2 = 7.9 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}^{2}$ : $R_{\text{ac}} = 0.30\,\Omega/\mathrm{m}$ , veertien keer de gelijkstroomwaarde.

16. $RI^2 = 120\,\mathrm{W}/\mathrm{m}$ ; oppervlak $\pi d = 3.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}^{2}$ per meter: $\Delta T \approx 1900\,\mathrm{K}$ — hij zou smelten; zulke spoelen zijn watergekoelde buizen.

17. $\delta = 0.14\,\mathrm{mm}$ : de opgewekte stroom, en de warmte, blijven in een tiende millimeter; een korte puls gevolgd door afschrikken hardt het oppervlak van een tandwiel terwijl de kern taai blijft.

18. $R = 1/\gamma2\pi a\delta = 0.10\,\Omega/\mathrm{m}$ , drie keer minder; de binnenkant voert niets — vandaar een buis, met het koelwater waar het koper toch verspild zou zijn.

19. $\delta = a$ bij $f = 1/\pi\mu_0\gamma a^2 = 17\,\mathrm{Hz}$ ; daaronder is de stroom uniform en geldt de gelijkstroomformule.

20. $n^2 \approx 1 + \omega_p^2/\omega_0^2 + (\omega_p^2/\omega_0^2)(\lambda_0/\lambda)^2$ : de vorm van Cauchy met $n(\infty)^2 - 1 = \omega_p^2/\omega_0^2 = 1.25$ voor $n(\infty) = 1.5$ .

21. $n = 1.531$ en $1.510$ , $v = 1.96$ en $1.99 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $n_g(550) = 1.550$ ; $n_g(400) - n_g(700) = 0.063$ : $210\,\mathrm{ns}$ over een kilometer.

22. $\sin((A + D)/2) = 1.5165 \times 0.5$ : $D = 38.6{}^{\circ}$ ; $\dd D = 2\sin (A/2)\dd n/\cos((A + D)/2) = 1.53\,\dd n$ : $\Delta D = 1.85{}^{\circ}$ , $6.5\,\mathrm{cm}$ op $2\,\mathrm{m}$ .

23. Bij $200\,\mathrm{nm}$ nadert de frequentie de resonantie en groeit $n''$ : ondoorzichtig. Een zwakke resonantie bij $700\,\mathrm{nm}$ slikt het rood: groen glas.

24. Blauw ligt dichter bij de ultraviolette resonantie: de gebonden elektronen reageren sterker, $n$ is groter, en de afwijking dus ook.

25. F-laag bij $1.5\,\mathrm{GHz}$ : imaginaire $\underline\gamma$ , voortplanting met een kleine groepsvertraging. Staal bij $2.45\,\mathrm{GHz}$ : reële $\underline\gamma$ , huideffect, reflectie. Koper bij $13.56\,\mathrm{MHz}$ : hetzelfde, met een huid van $18\,\text{µ}\mathrm{m}$ . Glas in het zichtbare: $\iu\omega\varepsilon_0\chi$ , een reële brekingsindex, een doorzichtig dispersief medium.

Begrippen gedefinieerd in dit hoofdstuk

Plasma; het model van vrije elektronen

Bekijk alle 393 begrippen in de begrippenlijst