什么是 Aproximações da identidade？

Exemplo 12.10 (Regularizando $\abs x$, com taxas)

Tome $f(x) = \abs x$ em $\R$ (localmente $L^1$; o teorema se aplica em toda janela limitada) e uma aproximação da identidade simétrica $\rho_\varepsilon$. Então

é $\mathcal C^\infty$; longe do bico, nada acontece: para $\abs x \geq \varepsilon$, $\abs{x - y}$ é linear em $x$ no suporte de $\rho_\varepsilon$, de modo que $f_\varepsilon(x) = \abs x$ exatamente (a simetria mata a correção). Perto de $0$, a suavização custa precisamente

o erro de aproximação fica confinado à vizinhança de raio $\varepsilon$ da singularidade e é da ordem dela. Enquanto isso, $f_\varepsilon'' \geq 0$ em toda parte ($f$ é convexa, e a convolução com $\rho_\varepsilon \geq 0$ preserva a convexidade), com $\int f_\varepsilon'' = f_\varepsilon'(\infty) - f_\varepsilon'(-\infty) = 2$: a segunda derivada é uma onda de massa $2$ espremida em largura $O(\varepsilon)$, de modo que $\norm{f_\varepsilon''}_\infty \gtrsim \varepsilon^{-1}$. Suavizar é uma troca: erro uniforme $O(\varepsilon)$ contra explosão da derivada $O(\varepsilon^{-1})$ — exatamente a taxa de câmbio que a análise quantitativa (desigualdades de interpolação, o círculo de ideias do Problema 12.1) formaliza.