Matemática universitária — Graduação 2 · Bachelor Year 2

8Funções de uma variável real

Antes que a análise passe às funções de funções (Capítulo 10), compensa conhecer a paisagem de uma variável com mais detalhe do que o primeiro ano exigia: quão descontínua pode ser uma função monótona, quão regular deve ser uma função convexa, e de que propriedades especiais gozam as derivadas (Darboux). Esses resultados estruturais são curtos, afiados e muito queridos pelos examinadores.

8.1 Funções monótonas

Teorema 8.1 (Regularidade das funções monótonas)

Seja $f \colon I \to \R$ crescente num intervalo.

Em todo ponto interior $a$ , existem os limites laterais:

$f(a^-) = \sup_{x < a} f(x) \;\leq\; f(a) \;\leq\; f(a^+) = \inf_{x > a} f(x) ;$

toda descontinuidade é um salto.
O conjunto das descontinuidades de $f$ é no máximo enumerável.

Demonstração. (1) O conjunto $\{f(x) : x < a\}$ é não vazio e majorado por $f(a)$ : seu supremo $s$ satisfaz $f(x) \to s$ quando $x \to a^-$ (dado $\varepsilon$ , algum $f(x_0) > s - \varepsilon$ , e a monotonicidade prende $f(x) \in \intoc{s - \varepsilon}{s}$ para $x \in \intoo{x_0}{a}$ ). Simetricamente à direita.

(2) A cada descontinuidade $a$ associe o intervalo aberto não vazio $J_a = \intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ (um salto genuíno). Para $a < b$ descontinuidades, $J_a$ e $J_b$ são disjuntos: $f(a^+) \leq f(c) \leq f(b^-)$ para qualquer $c$ entre elas. Cada $J_a$ contém um racional; descontinuidades distintas recebem racionais distintos: uma injeção do conjunto das descontinuidades em $\Q$ , que é enumerável (Proposição 1.6). ∎

Exemplo 8.2

A cota é ótima: fixe uma enumeração $(r_n)$ de $\Q \cap \intoo{0}{1}$ e ponha $f(x) = \sum_{n : r_n \leq x} 2^{-n}$ (uma definição por família somável, Definição 7.8). Então $f$ é crescente em $\intcc{0}{1}$ e descontínua exatamente em cada racional de $\intoo{0}{1}$ (salto $2^{-n}$ em $r_n$ ): uma função monótona pode ser descontínua num conjunto enumerável denso.

Exemplo 8.3 (Os saltos não podem superar a subida)

Para $f$ crescente em $\intcc{a}{b}$ , os saltos têm um orçamento: se $a < c_1 < \dots < c_m < b$ são descontinuidades com saltos $s_i = f(c_i^+) - f(c_i^-) > 0$ , então, escolhendo pontos intercalados $a < c_1 < t_1 < c_2 < \dots$ e usando a monotonicidade em cada pedaço,

\sum_{i=1}^{m} s_i \;\leq\; f(b) - f(a) :

a subida total majora o salto total. Consequência: para cada $k$ , no máximo $k\,\bigl(f(b) - f(a)\bigr)$ descontinuidades têm salto $\geq \frac1k$ — um refinamento quantitativo do Teorema 8.1 (2), pois o conjunto das descontinuidades é a união enumerável sobre $k$ desses conjuntos finitos. Na função de saltos racionais acima, o orçamento é gasto exatamente: os saltos $2^{-n}$ somam $1 = f(1^+) - f(0^-)$ no sentido estendido óbvio. As funções monótonas podem saltar densamente, mas apenas com uma mesada estrita.

8.2 Funções convexas

Lema 8.4 (Desigualdade das inclinações)

Seja $f$ convexa em $I$ e $x < y < z$ em $I$ . Então

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(x)}{z - x} \;\leq\; \frac{f(z) - f(y)}{z - y} :

as inclinações das cordas crescem nas duas extremidades.

Demonstração. Escreva $y = \frac{z - y}{z - x}\,x + \frac{y - x}{z - x}\,z$ : uma combinação convexa, pois os dois coeficientes são positivos e somam $1$ . A convexidade dá

f(y) \;\leq\; \frac{z-y}{z-x}\,f(x) + \frac{y-x}{z-x}\,f(z).

Para a desigualdade da esquerda, subtraia $f(x)$ dos dois lados, usando $\frac{z-y}{z-x} - 1 = -\frac{y-x}{z-x}$ :

f(y) - f(x) \leq \frac{y - x}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

e divida por $y - x > 0$ . Para a desigualdade da direita, subtraia em vez disso de $f(z)$ :

f(z) - f(y) \geq f(z) - \frac{z-y}{z-x}f(x) - \frac{y-x}{z-x}f(z) = \frac{z - y}{z - x}\bigl(f(z) - f(x)\bigr),

e divida por $z - y > 0$ . Os dois passos exibidos são a mesma identidade baricêntrica lida contra uma extremidade diferente. ∎

Teorema 8.5 (Regularidade das funções convexas)

Seja $f$ convexa num intervalo $I$ .

Em todo ponto interior, $f$ tem derivadas laterais finitas $f'_g \leq f'_d$ ; ambas são funções crescentes do ponto; em particular, $f$ é contínua no interior de $I$ (mas possivelmente não nas extremidades).
$f$ fica acima de cada reta de suporte: para $a$ interior e qualquer $m \in \intcc{f'_g(a)}{f'_d(a)}$ ,

$f(x) \geq f(a) + m(x - a) \qquad (x \in I).$
(Jensen, com pesos) Para $x_i \in I$ e pesos $\lambda_i \geq 0$ , $\sum\lambda_i = 1$ :

$f\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i\Bigr) \leq \sum_i \lambda_i f(x_i) .$

Demonstração. (1) Fixe $a$ interior. Pelo Lema 8.4, a inclinação $\tau(h) = \frac{f(a + h) - f(a)}{h}$ é uma função crescente de $h$ (dos dois lados, e $\tau(h_-) \leq \tau(h_+)$ para $h_- < 0 < h_+$ ). Logo $\tau$ tem limite finito quando $h \to 0^-$ (crescente, majorada por qualquer inclinação à direita) — esse é $f'_g(a)$ — e quando $h \to 0^+$ ( $f'_d(a)$ ), com $f'_g(a) \leq f'_d(a)$ . Derivadas laterais finitas forçam a continuidade em $a$ . Monotonicidade no ponto: para $a < b$ interiores, $f'_d(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'_g(b)$ , de novo pela desigualdade das inclinações.

(2) Para $x > a$ : $\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq f'_d(a) \geq m$ ; para $x < a$ : $\frac{f(a) - f(x)}{a - x} \leq f'_g(a) \leq m$ . As duas se rearranjam na afirmação.

(3) Indução no número de pontos exatamente como no volume do primeiro ano de graduação (o caso de dois pontos é a definição) — ou de um golpe só: aplique (2) em $a = \sum\lambda_i x_i$ e faça a média das desigualdades das retas de suporte nos pontos $x_i$ com pesos $\lambda_i$ : $\sum_i \lambda_i f(x_i) \geq f(a) + m\sum_i\lambda_i(x_i - a) = f(a)$ . ∎

A convexidade numa só figura: entre -1.5 e 2 o gráfico de f(x) = x2 fica abaixo de sua corda (a definição) e acima da reta de suporte em x = 0.5 ( (2)) — toda desigualdade do problema de fim de semana deste capítulo é um rearranjo dessas duas posições. — A convexidade numa só figura: entre $-1.5$ e $2$ o gráfico de $f(x) = x^2$ fica abaixo de sua corda (a definição) e acima da reta de suporte em $x = 0.5$ (Teorema 8.5 (2)) — toda desigualdade do problema de fim de semana deste capítulo é um rearranjo dessas duas posições.

Exemplo 8.6 (Descontinuidade na extremidade)

Em $\intcc{0}{1}$ , a função $f(0) = 1$ , $f(x) = 0$ para $x > 0$ , é convexa mas descontínua na extremidade $0$ : a afirmação (1) é ótima.

Exemplo 8.7 (Bicos e o feixe de retas de suporte)

Para $f(x) = \abs x$ em $a = 0$ : as derivadas laterais são $f'_g(0) = -1$ e $f'_d(0) = +1$ , e o Teorema 8.5 (2) entrega uma reta de suporte para cada inclinação $m \in \intcc{-1}{1}$ :

\abs x \geq m\,x \qquad (x \in \R,\ -1 \leq m \leq 1),

cada uma sendo igualdade exatamente numa semirreta ou em $0$ . Uma função convexa é derivável em $a$ precisamente quando o feixe colapsa numa única reta ( $f'_g(a) = f'_d(a)$ ); os bicos carregam um intervalo de tangentes. Esse feixe é o germe em dimensão finita do subdiferencial da otimização convexa — e a razão pela qual as funções convexas são tão robustas: mesmo onde a derivada falha, a geometria de suporte sobrevive, e é só isso que a demonstração de Jensen usou.

Exemplo 8.8 (Desigualdade das médias de potência)

Para $0 < p < q$ e $x_i$ positivos com pesos $\lambda_i$ somando $1$ , aplicando Jensen à função convexa $t \mapsto t^{q/p}$ nos pontos $x_i^p$ :

\Bigl(\sum \lambda_i x_i^{p}\Bigr)^{1/p} \leq \Bigl(\sum \lambda_i x_i^{q}\Bigr)^{1/q} :

as médias de potência crescem com o expoente — contendo MA–MQ e, no limite $p \to 0$ (Exercício 8.6), a desigualdade MA–MG mais uma vez.

A média de potência M_p dos valores 1, 2, 4 (pesos iguais), como função do expoente p: crescente de = 1 (quando p -∈fty) até = 4 (quando p +∈fty), passando pelas médias harmônica (p = -1), geométrica (o vão em p = 0, valor 2), aritmética (p = 1) e quadrática (p = 2). Toda a cadeia clássica das desigualdades entre médias é uma única curva crescente — demonstrada no problema de fim de semana deste capítulo, Parte III. — A média de potência $M_p$ dos valores $1, 2, 4$ (pesos iguais), como função do expoente $p$ : crescente de $\min = 1$ (quando $p \to -\infty$ ) até $\max = 4$ (quando $p \to +\infty$ ), passando pelas médias harmônica ( $p = -1$ ), geométrica (o vão em $p = 0$ , valor $2$ ), aritmética ( $p = 1$ ) e quadrática ( $p = 2$ ). Toda a cadeia clássica das desigualdades entre médias é uma única curva crescente — demonstrada no problema de fim de semana deste capítulo, Parte III.

Exemplo 8.9 (Entropia máxima)

Para um vetor de probabilidade $(p_1, \dots, p_n)$ (positivo, somando $1$ ), a entropia $H(p) = -\sum_i p_i\ln p_i$ satisfaz

H(p) \leq \ln n , \qquad\text{com igualdade se e somente se } p_i = \frac1n \text{ para todo } i .

Demonstração por Jensen (Teorema 8.5 (3)) aplicado à função côncava $\ln$ com pesos $p_i$ nos pontos $\frac{1}{p_i}$ :

H(p) = \sum_i p_i\ln\frac{1}{p_i} \leq \ln\Bigl(\sum_i p_i\,\frac1{p_i}\Bigr) = \ln n ,

forçando a igualdade que todos os pontos $\frac1{p_i}$ sejam iguais (concavidade estrita), isto é, $p$ uniforme. Equivalentemente, isso é Exercício 8.7 com $q$ uniforme. A incerteza é maximizada pela ignorância uniformemente espalhada — o princípio variacional por trás da codificação, da mecânica estatística e das aparições da entropia no Capítulo 22.

Método 8.10 (Achar a função convexa por trás de uma desigualdade)

A maioria das desigualdades clássicas é Jensen fantasiado; para despi-lo: (1) normalize de modo que apareça uma média ponderada (pesos positivos, somando $1$ — divida por uma massa total se preciso); (2) veja que função é aplicada dentro e fora da média: a afirmação “ $f(\text{média}) \leq$ média de $f$ ” nomeia a convexa $f$ ; (3) certifique a convexidade pela segunda derivada e trate a igualdade pela estrita; (4) se nenhuma média está visível, tome logaritmos primeiro — produtos e potências viram médias, e a concavidade de $\ln$ carrega MA–MG, Young e seus parentes (o problema de fim de semana deste capítulo roda os passos 1–4 em cada um deles). Se nem os logaritmos revelam uma média, tente ler a desigualdade como monotonicidade das inclinações (Lema 8.4) — enunciados de superaditividade como Exercício 8.9 moram ali.

Observação 8.11 (Armadilhas comuns)

(i) A convexidade não é preservada por produtos: $x$ e $(x - 1)^2$ são convexas em $\intcc{0}{2}$ , mas seu produto $x(x-1)^2$ tem segunda derivada $6x - 4$ , negativa em $\intco{0}{\frac23}$ — não é convexo; nem a convexidade é preservada por composição sem monotonicidade (Exercício 8.10). (ii) Jensen se inverte para funções côncavas: metade das desigualdades clássicas é a versão côncava com $\ln$ ; aplicar a forma convexa a $\ln$ é o modo mais rápido de demonstrar MA–MG de trás para a frente. (iii) A convexidade no ponto médio sozinha não implica convexidade — é preciso continuidade (ou mera limitação) (Exercício 8.8); os contraexemplos patológicos vivem além dos axiomas deste livro. (iv) Uma função convexa num intervalo aberto é contínua, e até localmente lipschitziana (Exercício 8.12); nas extremidades, nada é de graça. (v) As derivadas obedecem a Darboux mas não precisam ser contínuas (Exemplo 8.15): “ $f'$ não tem saltos” nunca significa “ $f'$ é contínua”.

8.3 A propriedade de Darboux

Teorema 8.12 (Darboux)

Seja $f$ derivável num intervalo $I$ . Então $f'$ assume todo valor entre dois quaisquer de seus valores — ainda que $f'$ não precise ser contínua.

Demonstração. Sejam $a < b$ em $I$ e $v$ estritamente entre $f'(a)$ e $f'(b)$ , digamos $f'(a) < v < f'(b)$ . A função $g(x) = f(x) - vx$ é derivável com $g'(a) < 0 < g'(b)$ : seu mínimo em $\intcc{a}{b}$ (atingido: continuidade num compacto) não está em $a$ (logo após $a$ , $g$ decresce abaixo de $g(a)$ ) nem em $b$ (logo antes de $b$ , $g$ está abaixo de $g(b)$ ): ele é interior, e aí $g'(c) = 0$ , isto é, $f'(c) = v$ . (Isso era um exercício com estrela do primeiro ano; seu lugar na teoria é aqui.) ∎

Exemplo 8.13 (Que funções são derivadas?)

O teorema de Darboux é uma máquina de não existência. A função piso $\lfloor x\rfloor$ não é a derivada de nenhuma função em $\R$ : ela assume os valores $0$ e $1$ mas pula $\frac12$ em $\intcc{0}{1}$ , o que o Teorema 8.12 proíbe para derivadas. O mesmo veredicto atinge toda função com salto — sinal, Heaviside, todas as funções escada — por mais inocentes que pareçam; suas “primitivas” ( $\abs x$ para o sinal, etc.) existem apenas longe do salto e se atam ali com um bico. Contraste: a função $f'$ selvagemente descontínua do Exemplo 8.15 é uma derivada — sua descontinuidade é uma oscilação, que Darboux tolera. A fronteira entre os dois comportamentos é exatamente o corolário sem saltos a seguir.

Corolário 8.14

Uma derivada não tem descontinuidades de salto: se $f'(a^-)$ e $f'(a^+)$ existem, eles valem $f'(a)$ . As descontinuidades de uma derivada são sempre do tipo oscilação (a derivada de $x^2\sin\frac1x$ em $0$ , volume do primeiro ano de graduação).

Demonstração. Se $f'(a^+) = \lim_{x\to a^+} f'(x)$ existe e difere de $f'(a)$ , os valores estritamente entre eles seriam pulados por $f'$ numa vizinhança à direita — contradizendo Darboux nos intervalos $\intcc{a}{a + h}$ . (Alternativamente: o teorema do valor médio força $f'(a) = \lim_{h\to0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h} = f'(a^+)$ , sendo o quociente de diferenças um valor de $f'$ num ponto intermediário.) O mesmo à esquerda. ∎

Exemplo 8.15 (A derivada oscilante canônica)

Seja $f(x) = x^2\sin\frac1x$ para $x \neq 0$ e $f(0) = 0$ . Em $0$ : $\bigl|\frac{f(h) - f(0)}{h}\bigr| = \abs{h\sin\frac1h} \leq \abs h \to 0$ , logo $f'(0) = 0$ existe. Fora de $0$ ,

f'(x) = 2x\sin\frac1x - \cos\frac1x ,

cujo primeiro termo tende a $0$ enquanto $\cos\frac1x$ oscila por $\intcc{-1}{1}$ em todo intervalo $\intoo{0}{\delta}$ : o limite $f'(0^+)$ não existe. Assim $f'$ está definida em toda parte mas é descontínua em $0$ — e, exatamente como o Corolário 8.14 prevê, a descontinuidade é uma oscilação, e não um salto: em cada $\intoo{0}{\delta}$ , $f'$ ainda varre um intervalo inteiro em torno de $0$ . As derivadas podem ser selvagens, mas só do jeito compatível com Darboux.

Observação 8.16 (Onde este capítulo é usado)

A convexidade é o motor da indústria de desigualdades: o problema de fim de semana deste capítulo fabrica dela Young, Hölder, Minkowski e a cadeia das médias de potência, que a teoria das normas do Capítulo 5 e as estimativas integrais do Capítulo 9 consomem; Jensen reaparece em probabilidade como as desigualdades de momentos do Capítulo 22. A regularidade monótona volta no Capítulo 9 (funções monótonas são integráveis) e, no volume do terceiro ano de graduação, como a derivabilidade em quase toda parte das funções monótonas — onde “uma quantidade enumerável de saltos” se torna o primeiro passo da teoria de Lebesgue.

8.4 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Determine os conjuntos de descontinuidade e os tamanhos dos saltos: $\lfloor x \rfloor$ ; $\;x - \lfloor x\rfloor$ ; $\;\lfloor x \rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ ; a função do exemplo que segue o Teorema 8.1 restrita aos racionais diádicos $r_n$ .

Solução

Solução de Exercício 8.1.

$\lfloor x\rfloor$ : saltos de tamanho $1$ em todo inteiro. $x - \lfloor x\rfloor$ : saltos de tamanho $-1$ nos inteiros (limite à esquerda $1$ , valor $0$ ). $\lfloor x\rfloor + \sqrt{x - \lfloor x\rfloor}$ : num inteiro $n$ , limite à esquerda $(n - 1) + 1 = n$ e valor $n$ : contínua em toda parte (a raiz quadrada conserta o salto), embora não derivável nos inteiros. A função de saltos racionais: restringindo a construção a uma enumeração dos diádicos, ela salta $2^{-n}$ exatamente no $n$ -ésimo racional diádico e é contínua nos demais pontos.

Exercício 8.2 ★

Prove que uma função crescente $f \colon I \to \R$ com a propriedade do valor intermediário (a imagem de todo subintervalo é um intervalo) é contínua.

Solução

Solução de Exercício 8.2.

Suponha que $f$ crescente tenha uma descontinuidade num ponto interior $a$ : então $f(a^-) < f(a^+)$ (Teorema 8.1) e a imagem de $I$ deixa de fora o intervalo aberto não vazio $\intoo{f(a^-)}{f(a^+)}$ , salvo possivelmente o único valor $f(a)$ : a imagem de qualquer subintervalo que contenha $a$ em seu interior não é um intervalo (há uma lacuna de ao menos um lado de $f(a)$ ). Isso contradiz a propriedade do valor intermediário. As descontinuidades nas extremidades são excluídas do mesmo modo, com lacunas de um só lado.

Exercício 8.3 ★

Quais das seguintes são convexas em seu domínio? $x \mapsto x\ln x$ ( $x > 0$ ); $\;x \mapsto \ln(1 + \eu^x)$ ; $\;x \mapsto \sqrt{1 + x^2}$ ; $\;x \mapsto x^3$ .

Solução

Solução de Exercício 8.3.

$x\ln x$ : segunda derivada $\frac1x > 0$ : convexa. $\ln(1 + \eu^x)$ : derivada $\frac{\eu^x}{1 + \eu^x} = 1 - \frac{1}{1 + \eu^x}$ , crescente: convexa. $\sqrt{1 + x^2}$ : segunda derivada $(1 + x^2)^{-3/2} > 0$ : convexa. $x^3$ : não é convexa em $\R$ ( $f'' = 6x$ muda de sinal); convexa apenas em $\R_+$ .

Exercício 8.4 ★★

Seja $f$ convexa em $\R$ e majorada. Prove que $f$ é constante. (Se $f(a) \neq f(b)$ , a desigualdade das inclinações propaga a inclinação não nula da corda: além do ponto de maior valor, $f$ cresce ao menos linearmente — contradizendo a limitação. Trate os dois sinais da inclinação.) Deduza que uma função convexa em $\R$ com assíntota nas duas pontas é afim.

Solução

Solução de Exercício 8.4.

Suponha $f(a) \neq f(b)$ , digamos $f(b) > f(a)$ com $a < b$ (o caso $f(b) < f(a)$ é simétrico, olhando para a esquerda). Para $x > b$ , a desigualdade das inclinações (Lema 8.4) em $a < b < x$ dá

\frac{f(x) - f(a)}{x - a} \geq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = m > 0 \quad\Longrightarrow\quad f(x) \geq f(a) + m(x - a) \xrightarrow[x\to+\infty]{} +\infty,

contradizendo a limitação superior. Logo $f$ é constante.

Assíntotas: se $f(x) - (\alpha x + \beta) \to 0$ em $+\infty$ e $f(x) - (\alpha' x + \beta') \to 0$ em $-\infty$ , a função convexa $g(x) = f(x) - (\alpha x + \beta)$ é majorada perto de $+\infty$ ; a convexidade mais uma assíntota em $-\infty$ (o que força $\alpha' \leq \alpha$ e depois $\alpha' = \alpha$ ao comparar inclinações em $\mp\infty$ : as inclinações de uma função convexa crescem) faz $g$ ser majorada em todo o $\R$ , logo constante $= 0$ no limite: $f$ é afim.

Exercício 8.5 ★★

Seja $f$ derivável em $I$ com $f'$ monótona. Prove que $f'$ é contínua (combine o Teorema 8.1 e o Corolário 8.14).

Solução

Solução de Exercício 8.5.

$f'$ é monótona, logo, pelo Teorema 8.1, suas únicas descontinuidades possíveis são saltos, existindo limites laterais em toda parte. Pelo Corolário 8.14, uma derivada não tem descontinuidades de salto. Logo $f'$ não tem descontinuidade alguma: é contínua.

Exercício 8.6 ★★

(A média geométrica como limite) Para $x_i$ positivos e pesos $\lambda_i$ somando $1$ , prove que

\lim_{p \to 0^+} \Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} = \prod_i x_i^{\lambda_i} ,

via $x_i^p = \eu^{p\ln x_i} = 1 + p\ln x_i + O(p^2)$ , e deduza a desigualdade MA–MG com pesos a partir do Exemplo 8.8.

Solução

Solução de Exercício 8.6.

Tome logaritmos:

\frac1p \ln\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr) = \frac1p \ln\Bigl(1 + p\sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p^2)\Bigr) = \sum_i \lambda_i \ln x_i + O(p) \xrightarrow[p \to 0^+]{} \sum_i \lambda_i \ln x_i ,

usando $\sum\lambda_i = 1$ e $\ln(1 + u) = u + O(u^2)$ . Exponenciando, obtém-se a média geométrica. Ora, para todo $p \in \intoo{0}{1}$ , a desigualdade das médias de potência (Exemplo 8.8, expoentes $p < 1$ ) dá

\Bigl(\sum_i \lambda_i x_i^p\Bigr)^{1/p} \leq \sum_i\lambda_i x_i ;

fazendo $p \to 0^+$ à esquerda obtém-se $\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i \lambda_i x_i$ : a desigualdade MA–MG com pesos.

Exercício 8.7 ★★

(Desigualdade da entropia) Usando a convexidade estrita de $t \mapsto t\ln t$ , prove que, para $p_i, q_i$ positivos com $\sum p_i = \sum q_i = 1$ :

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} \geq 0 ,

com igualdade se e somente se $p = q$ . (Escreva o membro da esquerda como $\sum q_i\, \varphi\bigl(\frac{p_i}{q_i}\bigr)$ com $\varphi(t) = t\ln t$ e aplique Jensen com pesos $q_i$ .)

Solução

Solução de Exercício 8.7.

Com $\varphi(t) = t\ln t$ (convexa: $\varphi'' = \frac1t > 0$ ) e pesos $q_i$ nos pontos $t_i = \frac{p_i}{q_i}$ :

\sum_i p_i \ln\frac{p_i}{q_i} = \sum_i q_i\, \varphi\Bigl(\frac{p_i}{q_i}\Bigr) \;\geq\; \varphi\Bigl(\sum_i q_i \frac{p_i}{q_i}\Bigr) = \varphi(1) = 0 ,

por Jensen (Teorema 8.5 (3)). A igualdade em Jensen para uma função estritamente convexa força que todos os pontos $t_i$ coincidam: $\frac{p_i}{q_i}$ constante e, somando, a constante vale $1$ : $p = q$ . (Essa quantidade — a divergência de Kullback–Leibler — volta no mundo do Capítulo 22.)

Exercício 8.8 ★★★

(Convexidade no ponto médio) $f \colon I \to \R$ é convexa no ponto médio quando $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2}$ sempre. Prove que uma função contínua convexa no ponto médio é convexa. (Estabeleça a desigualdade de convexidade para pesos diádicos $\frac{k}{2^m}$ por indução sobre $m$ e depois passe ao limite usando densidade e continuidade.)

Solução

Solução de Exercício 8.8.

Pesos diádicos. Por indução sobre $m$ : o caso $m = 1$ é a hipótese. Para o peso $\lambda = \frac{k}{2^{m+1}}$ ( $k$ ímpar), escreva $\lambda = \frac12(\lambda_1 + \lambda_2)$ com $\lambda_j = \frac{k \mp 1}{2^{m+1}}$ , ambos de denominador $2^m$ após simplificação; então

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) = f\Bigl(\tfrac{u + v}{2}\Bigr) \leq \frac{f(u) + f(v)}{2} \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y),

em que $u = \lambda_1 x + (1 - \lambda_1)y$ e $v = \lambda_2 x + (1-\lambda_2)y$ , usando a convexidade no ponto médio e depois a hipótese de indução em $u, v$ .

Passagem ao limite. Para $\lambda \in \intcc{0}{1}$ arbitrário, tome diádicos $\lambda_n \to \lambda$ : a continuidade de $f$ e das aplicações afins passa a desigualdade $f(\lambda_n x + (1-\lambda_n)y) \leq \lambda_n f(x) + (1-\lambda_n)f(y)$ ao limite: $f$ é convexa.

Exercício 8.9 ★★★

Seja $f$ convexa em $\intco{0}{+\infty}$ com $f(0) \leq 0$ . Prove que $x \mapsto \frac{f(x)}{x}$ é crescente em $\intoo{0}{+\infty}$ , e deduza que, para $f$ convexa com $f(0) = 0$ : $f(x + y) \geq f(x) + f(y)$ para $x, y \geq 0$ (superaditividade).

Solução

Solução de Exercício 8.9.

Para $0 < x < y$ : a desigualdade das inclinações (Lema 8.4) nos pontos $0 < x < y$ dá

\frac{f(x) - f(0)}{x} \leq \frac{f(y) - f(0)}{y}, \qquad\text{i.e.}\qquad \frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y} + f(0)\Bigl(\frac1x - \frac1y\Bigr).

Como $f(0) \leq 0$ e $\frac1x - \frac1y > 0$ , o último termo é $\leq 0$ : $\frac{f(x)}{x} \leq \frac{f(y)}{y}$ . Logo $x \mapsto \frac{f(x)}x$ cresce.

Superaditividade para $f(0) = 0$ : para $x, y > 0$ (os casos com uma variável nula são triviais),

f(x) = x\,\frac{f(x)}{x} \leq x\,\frac{f(x+y)}{x+y}, \qquad f(y) \leq y\,\frac{f(x+y)}{x+y},

pela monotonicidade recém-demonstrada; somando, obtém-se $f(x) + f(y) \leq f(x+y)$ .

Exercício 8.10 ★

Seja $f$ convexa em $I$ e $g$ convexa crescente num intervalo contendo $f(I)$ . Prove que $g \circ f$ é convexa e mostre, por um contraexemplo, que a monotonicidade de $g$ não pode ser dispensada.

Solução

Solução de Exercício 8.10.

Para $x, y \in I$ e $\lambda \in \intcc01$ : convexidade de $f$ , depois monotonicidade de $g$ , depois convexidade de $g$ :

g\bigl(f(\lambda x + (1{-}\lambda)y)\bigr) \leq g\bigl(\lambda f(x) + (1{-}\lambda)f(y)\bigr) \leq \lambda\,g(f(x)) + (1{-}\lambda)\,g(f(y)).

Contraexemplo sem monotonicidade: $g(t) = -t$ é convexa (afim) mas decrescente, $f(x) = x^2$ é convexa, e $g \circ f = -x^2$ é estritamente côncava.

Exercício 8.11 ★★

(Hermite–Hadamard) Seja $f$ convexa e contínua em $\intcc{a}{b}$ . Prove

f\Bigl(\frac{a+b}{2}\Bigr) \;\leq\; \frac{1}{b - a}\int_a^b f(t)\,\dd t \;\leq\; \frac{f(a) + f(b)}{2} .

(À esquerda: integre uma reta de suporte no ponto médio. À direita: majore $f$ pela corda.)

Solução

Solução de Exercício 8.11.

Desigualdade da esquerda: seja $m = \frac{a+b}2$ e tome uma reta de suporte em $m$ (Teorema 8.5 (2)): $f(t) \geq f(m) + \mu(t - m)$ para todo $t \in \intcc ab$ . Integrando em $\intcc{a}{b}$ : o termo linear integra $\mu\int_a^b(t - m)\dd t = 0$ (simetria em torno de $m$ ), logo $\int_a^b f \geq (b - a)f(m)$ .

Desigualdade da direita: em $\intcc ab$ , a convexidade majora $f$ por sua corda: $f(t) \leq f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(t - a)$ . Integrando: $\int_a^b f \leq (b-a)f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a}\cdot\frac{(b-a)^2}2 = (b - a)\,\frac{f(a) + f(b)}2$ . Divida por $b - a$ .

Exercício 8.12 ★★★

Prove que uma função convexa num intervalo aberto $I$ é localmente lipschitziana: para todo segmento $\intcc{a}{b} \subseteq I$ e toda margem $\delta > 0$ com $\intcc{a - \delta}{b + \delta} \subseteq I$ , a restrição de $f$ a $\intcc{a}{b}$ é lipschitziana, com constante $\max\Bigl(\bigl|\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta}\bigr|, \bigl|\frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}\bigr|\Bigr)$ (prenda toda inclinação de corda entre essas duas pela desigualdade das inclinações).

Solução

Solução de Exercício 8.12.

Sejam $a - \delta < a \leq x < y \leq b < b + \delta$ , todos em $I$ . Duas aplicações da desigualdade das inclinações (Lema 8.4), primeiro a $a - \delta < a \leq x < y$ e depois a $x < y \leq b < b + \delta$ :

\frac{f(a) - f(a - \delta)}{\delta} \leq \frac{f(y) - f(x)}{y - x} \leq \frac{f(b + \delta) - f(b)}{\delta}

(as inclinações das cordas crescem quando as duas extremidades se movem para a direita). Logo toda inclinação de corda dentro de $\intcc ab$ fica presa entre dois números fixos, e

\abs{f(y) - f(x)} \leq K\,\abs{y - x}, \qquad K = \max\Bigl(\Bigl|\frac{f(a) - f(a-\delta)}{\delta}\Bigr|, \Bigl|\frac{f(b+\delta) - f(b)}{\delta}\Bigr|\Bigr):

$f$ é lipschitziana em $\intcc ab$ . Todo ponto do aberto $I$ tem um tal segmento com margem à sua volta: localmente lipschitziana, logo (de novo) contínua em $I$ .

8.5 Problema: a caixa de ferramentas da convexidade

Uma definição — a corda acima do gráfico — gera toda a caixa de ferramentas das desigualdades clássicas. Este problema de fim de semana a constrói em ordem lógica: critérios de convexidade e Jensen estrito, depois Young, Hölder e Minkowski (as certidões de nascimento das normas $p$ ), a cadeia completa das médias de potência, do mínimo ao máximo, e dois dividendos de coroa — a desigualdade de Carleman e Hölder lido como uma dualidade. Tudo é demonstrado; nada é importado.

Problema 8.1

Problema de fim de semana — Young, Hölder, Minkowski e a cadeia das médias de potência

Em todo o problema, $p, q > 1$ são expoentes conjugados: $\frac1p + \frac1q = 1$ ; os vetores são $a = (a_1, \dots, a_n) \in \R^n$ ; os pesos $\lambda_i > 0$ satisfazem $\sum_i\lambda_i = 1$ .

Parte I — Critérios e Jensen estrito.

Seja $f$ derivável num intervalo $I$ . Prove que $f$ é convexa se e somente se $f'$ é crescente (uma direção passando ao limite na desigualdade das inclinações Lema 8.4; a outra pelo teorema do valor médio). Deduza o critério $C^2$ : $f'' \geq 0$ .
Suponha $f''> 0$ em $I$ . Prove que $f$ é estritamente convexa (desigualdade estrita para $x \neq y$ e $\lambda \in \intoo01$ ) e que uma função estritamente convexa satisfaz a desigualdade de Jensen (Teorema 8.5 (3)) com igualdade somente quando todos os $x_i$ coincidem.
Certifique as matérias-primas da caixa: $-\ln$ é estritamente convexa em $\intoo{0}{+\infty}$ ; $t \mapsto t^r$ é estritamente convexa aí para $r > 1$ e estritamente côncava para $0 < r < 1$ ; $\exp$ é estritamente convexa em $\R$ .
(Desigualdade de Young) Para $a, b \geq 0$ , prove

$ab \;\leq\; \frac{a^p}{p} + \frac{b^q}{q},$

com igualdade se e somente se $a^p = b^q$ (aplique a concavidade de $\ln$ aos dois pontos $a^p, b^q$ com pesos $\frac1p, \frac1q$ ).
Redemonstre MA–MG com pesos em uma linha a partir da concavidade de $\ln$ :

$\prod_i x_i^{\lambda_i} \leq \sum_i\lambda_ix_i \qquad (x_i > 0),$

com o caso de igualdade; compare com o caminho por limites do Exercício 8.6.

Parte II — Hölder e Minkowski. Escreva $\norm{a}_p = \bigl(\sum_i \abs{a_i}^p\bigr)^{1/p}$ e $\norm{a}_\infty = \max_i\abs{a_i}$ .

(Hölder) Prove

$\sum_{i=1}^{n}\abs{a_ib_i} \;\leq\; \norm a_p\,\norm b_q ,$

com igualdade se e somente se os vetores $(\abs{a_i}^p)$ e $(\abs{b_i}^q)$ são proporcionais (normalize $\norm a_p = \norm b_q = 1$ e aplique Young termo a termo).
Identifique os casos particulares: $p = q = 2$ (Cauchy–Schwarz) e o par extremo $(p, q) = (1, \infty)$ : enuncie e prove $\sum\abs{a_ib_i} \leq \norm a_1\norm b_\infty$ .
(Minkowski) Para $p \geq 1$ , prove

$\norm{a + b}_p \leq \norm a_p + \norm b_p$

(escreva $\abs{a_i + b_i}^p \leq \abs{a_i + b_i}^{p-1}(\abs{a_i} + \abs{b_i})$ e aplique Hölder a cada produto). Conclua: $\norm\cdot_p$ é uma norma em $\R^n$ para todo $p \in \intco{1}{+\infty}$ , completando o quadro do Capítulo 5.
Versões integrais: para $f, g$ contínuas em $\intcc{a}{b}$ , enuncie e prove Hölder e Minkowski para $\norm f_p = \bigl(\int_a^b\abs f^p\bigr)^{1/p}$ (mesmas demonstrações, com a positividade estrita da integral para a discussão do caso de igualdade).
Prove a monotonicidade $\norm a_q \leq \norm a_p$ para $1 \leq p \leq q$ , o limite $\norm a_p \to \norm a_\infty$ quando $p \to \infty$ , e a comparação recíproca com a constante ótima:

$\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\,\norm a_q$

(Hölder contra o vetor constante). Identifique os vetores que realizam cada igualdade.
(Interpolação) Para $1 \leq p < r < q$ e $\theta \in \intoo01$ com $\frac1r = \frac\theta p + \frac{1-\theta}q$ , prove

$\norm a_r \leq \norm a_p^{\theta}\, \norm a_q^{1-\theta}$

(aplique Hölder com os expoentes $\frac{p}{\theta r}$ e $\frac{q}{(1-\theta)r}$ a $\abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ ).

Parte III — A cadeia das médias de potência, completa. Para $p \neq 0$ ponha $M_p = \bigl(\sum_i\lambda_i x_i^p\bigr)^{1/p}$ ( $x_i > 0$ ) e $M_0 = \prod_i x_i^{\lambda_i}$ .

Prove que $p \mapsto M_p$ é crescente em todo o $\R^*$ : trate $p < q < 0$ pela identidade dos inversos $M_{-p}(x) = M_p(1/x)^{-1}$ e faça a ponte por $0$ mostrando que $M_p \leq M_0 \leq M_q$ para $p < 0 < q$ (aplique a concavidade de $\ln$ a $x_i^q$ e a desigualdade invertida para expoentes negativos).
Prove os limites $M_p \to \max_i x_i$ quando $p \to +\infty$ e $M_p \to \min_i x_i$ quando $p \to -\infty$ .
Escreva a cadeia $\min \leq \mathrm{HM} \leq \mathrm{GM} \leq \mathrm{AM} \leq \mathrm{QM} \leq \max$ para pesos iguais e prove a consequência clássica: para $a_1, \dots, a_n$ positivos,

$\Bigl(\sum_i a_i\Bigr)\Bigl(\sum_i\frac1{a_i}\Bigr) \geq n^2 .$
Relacione médias e normas: para pesos iguais $\lambda_i = \frac1n$ , $M_p(x) = n^{-1/p}\norm x_p$ . Concilie as duas monotonicidades — as médias crescem com $p$ enquanto as normas decrescem (questão 10) — em uma frase sobre o fator $n^{-1/p}$ .
Determine os casos de igualdade ao longo de toda a cadeia da questão 14 (pesos positivos): a igualdade em qualquer ponto força todos os $x_i$ iguais — a convexidade estrita compensa.

Parte IV — Dividendos.

(Young com um botão de ajuste) Para $a, b \geq 0$ e $\varepsilon > 0$ , prove

$ab \leq \varepsilon\,\frac{a^p}{p} + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}{q},$

e o caso cavalo de batalha $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ : o truque de absorção usado em toda a análise.
(Rumo a Carleman) Seja $c_k = \frac{(k+1)^k}{k^{k-1}}$ . Prove a identidade telescópica $\prod_{k=1}^{n}c_k = (n+1)^n$ e deduza, pela MA–MG aplicada aos números $c_ka_k$ ,

$(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \leq \frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n} c_k a_k \qquad (a_k > 0).$
(Desigualdade de Carleman) Some sobre $n$ , troque a ordem de somação (famílias positivas somáveis, Teorema 7.14) e use $\sum_{n \geq k}\frac{1}{n(n+1)} = \frac1k$ e $c_k/k = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ para concluir: para toda série convergente $\sum a_k$ de termos positivos,

$\sum_{n=1}^{\infty}(a_1a_2\cdots a_n)^{1/n} \;\leq\; \eu\sum_{k=1}^{\infty}a_k .$
Para $f$ contínua e positiva em $\intcc{0}{1}$ , prove

$\Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr) \geq 1,$

com igualdade se e somente se $f$ é constante (Cauchy–Schwarz em $\sqrt f\cdot\frac1{\sqrt f}$ ).
(Geometria das bolas) Usando o caso de igualdade de Minkowski, mostre que, para $1 < p < \infty$ , a esfera unitária de $\norm\cdot_p$ não contém segmento (a norma é estritamente convexa no sentido do Problema 5.1), ao passo que, para $p = 1$ e $p = \infty$ , ela contém: exiba as partes retas.

Parte V — Dualidade e síntese.

(Hölder como dualidade) Prove que, para todo $a \in \R^n$ ,

$\norm a_p = \max_{\norm b_q \leq 1}\ \sum_i a_ib_i ,$

exibindo explicitamente um $b$ maximizante. (A norma $p$ é a dual da norma $q$ — o germe em dimensão finita da dualidade $L^p$ .)
(Momentos) Seja $X$ uma variável aleatória que assume um número finito de valores positivos $x_i$ com probabilidades $\lambda_i$ . Reformule a questão 12 como: $r \mapsto \E[X^r]^{1/r}$ é crescente — a desigualdade dos momentos (Lyapunov), a ser reutilizada no Capítulo 22.
Resolva com ferramentas nomeadas, em duas linhas cada: (i) para $a, b, c$ positivos: $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}{9}$ ; (ii) para $x_1, \dots, x_n$ positivos: $\bigl(\sum_i\sqrt{x_i}\bigr)^2 \leq n\sum_i x_i$ .
(Síntese) Trace a genealogia em cinco frases: da definição por cordas ao lema das inclinações; das inclinações às retas de suporte e a Jensen; da concavidade de $\ln$ a Young, a Hölder, a Minkowski e às normas $p$ ; de Jensen à cadeia das médias de potência e aos momentos; de MA–MG a Carleman. Nomeie os cumes (Hölder–Minkowski; Carleman) e diga para onde a caixa de ferramentas se dirige: os espaços $L^p$ do volume do terceiro ano de graduação, cujos axiomas são exatamente as questões 6 e 8.

Solução

Solução de Problema 8.1.

1. Convexa $\Rightarrow$ $f'$ crescente: para $a < b$ , a desigualdade das inclinações dá, para $h > 0$ pequeno, $\frac{f(a+h) - f(a)}h \leq \frac{f(b) - f(a)}{b-a} \leq \frac{f(b) - f(b-h)}{h}$ ; fazendo $h \to 0$ : $f'(a) \leq \frac{f(b) - f(a)}{b - a} \leq f'(b)$ . Reciprocamente, se $f'$ cresce e $x < y < z$ : o teorema do valor médio dá $c_1 \in \intoo{x}{y}$ , $c_2 \in \intoo yz$ com

\frac{f(y) - f(x)}{y - x} = f'(c_1) \leq f'(c_2) = \frac{f(z) - f(y)}{z - y},

e essa desigualdade de inclinações em três pontos, aplicada com $y = \lambda x + (1 - \lambda)z$ , se rearranja na desigualdade de convexidade. Para $C^2$ : $f'' \geq 0$ se e somente se $f'$ cresce.

2. Se $f'' > 0$ , $f'$ é estritamente crescente, e o cálculo do valor médio acima dá uma desigualdade estrita entre as duas inclinações de corda: convexidade estrita. Suporte estrito: num $a$ interior com inclinação de suporte $m$ , se $f(x_0) = f(a) + m(x_0 - a)$ para algum $x_0 \neq a$ , então, no segmento de $a$ a $x_0$ , a reta de suporte e a corda coincidem, e a convexidade estrita no ponto médio dá $f\bigl(\frac{a + x_0}2\bigr) < f(a) + m\,\frac{x_0 - a}2$ , contradizendo a desigualdade de suporte. Logo $f(x) > f(a) + m(x - a)$ para todo $x \neq a$ . Jensen estrito: com $a = \sum\lambda_ix_i$ , fazer a média das desigualdades de suporte dá $\sum\lambda_if(x_i) \geq f(a)$ , com igualdade se e somente se cada termo é uma igualdade, isto é, se e somente se todo $x_i = a$ .

3. $(-\ln)'' = \frac1{t^2} > 0$ ; $(t^r)'' = r(r - 1)t^{r-2}$ , positiva para $r > 1$ e negativa para $0 < r < 1$ ; $\exp'' = \exp > 0$ . Todas estritas pela questão 2.

4. Os casos $ab = 0$ são triviais. Para $a, b > 0$ , a concavidade de $\ln$ nos pontos $a^p, b^q$ com pesos $\frac1p, \frac1q$ :

\ln\Bigl(\frac{a^p}p + \frac{b^q}q\Bigr) \geq \frac1p\ln(a^p) + \frac1q\ln(b^q) = \ln(ab),

e $\ln$ é crescente: $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ . Igualdade se e somente se os dois pontos coincidem (concavidade estrita): $a^p = b^q$ .

5. Concavidade de $\ln$ com pesos $\lambda_i$ : $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i\bigr) \geq \sum\lambda_i\ln x_i = \ln\prod x_i^{\lambda_i}$ ; exponencie. Igualdade se e somente se todos os $x_i$ forem iguais (questão 2). O caminho do Exercício 8.6 obteve a mesma desigualdade como limite de médias de potência; aqui ela é uma única aplicação de Jensen — a caixa de ferramentas tem redundância embutida.

6. Se $a = 0$ ou $b = 0$ , a desigualdade é trivial. Normalize: substituindo $a$ por $a/\norm a_p$ e $b$ por $b/\norm b_q$ , podemos supor $\norm a_p = \norm b_q = 1$ e devemos mostrar $\sum\abs{a_ib_i} \leq 1$ . Young termo a termo:

\sum_i\abs{a_i}\abs{b_i} \leq \sum_i\Bigl(\frac{\abs{a_i}^p}{p} + \frac{\abs{b_i}^q}{q}\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 .

Igualdade se e somente se cada desigualdade de Young é apertada: $\abs{a_i}^p = \abs{b_i}^q$ para todo $i$ — desfazendo a normalização, $(\abs{a_i}^p)$ proporcional a $(\abs{b_i}^q)$ .

7. $p = q = 2$ é Cauchy–Schwarz com o mesmo caso de igualdade (proporcionalidade). Extremo: $\sum\abs{a_ib_i} \leq \bigl(\max_i\abs{b_i}\bigr)\sum_i\abs{a_i} = \norm a_1\norm b_\infty$ , imediato termo a termo.

8. Para $p = 1$ é a desigualdade triangular termo a termo. Para $p > 1$ , com $q$ conjugados:

\norm{a+b}_p^p = \sum_i\abs{a_i + b_i}^p \leq \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} + \sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{b_i},

e Hölder em cada soma, notando que $(p - 1)q = p$ :

\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p-1}\abs{a_i} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i+b_i}^{p}\Bigr)^{1/q}\norm a_p = \norm{a + b}_p^{p/q}\,\norm a_p ,

e do mesmo modo com $b$ . Logo $\norm{a+b}_p^p \leq \norm{a + b}_p^{p/q}\bigl(\norm a_p + \norm b_p\bigr)$ ; se $a + b \neq 0$ , divida por $\norm{a+b}_p^{p/q}$ e use $p - \frac pq = 1$ . Com a homogeneidade e a separação (claras), $\norm\cdot_p$ é uma norma em $\R^n$ .

9. Para $f, g$ contínuas em $\intcc ab$ : Hölder

\int_a^b\abs{fg} \leq \Bigl(\int_a^b\abs f^p\Bigr)^{1/p}\Bigl(\int_a^b\abs g^q\Bigr)^{1/q}

pela mesma normalização mais Young pontual, integrado; e Minkowski $\norm{f + g}_p \leq \norm f_p + \norm g_p$ pela mesma decomposição, com Hölder em cada peça. A separação da norma usa a positividade estrita: uma $\abs f^p$ contínua com integral nula se anula identicamente (volume do primeiro ano de graduação).

10. Monotonicidade: podemos supor $\norm a_p = 1$ ; então cada $\abs{a_i} \leq 1$ , logo $\abs{a_i}^q \leq \abs{a_i}^p$ e $\norm a_q^q \leq 1$ : $\norm a_q \leq 1 = \norm a_p$ . A igualdade exige $\abs{a_i}^q = \abs{a_i}^p$ para todo $i$ , isto é, cada $\abs{a_i} \in \{0, 1\}$ ; com $\sum\abs{a_i}^p = 1$ isso deixa exatamente uma coordenada de módulo $1$ : igualdade se e somente se $a$ tem no máximo uma coordenada não nula. Limite: $\norm a_\infty \leq \norm a_p \leq n^{1/p}\norm a_\infty$ , e $n^{1/p} \to 1$ . Comparação recíproca: Hölder com os expoentes $\frac qp$ e seu conjugado $\frac{q}{q-p}$ , aplicado a $\abs{a_i}^p\cdot 1$ :

\norm a_p^p = \sum_i\abs{a_i}^p\cdot 1 \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{p/q}\,n^{1 - p/q} = \norm a_q^{p}\; n^{1-p/q},

donde $\norm a_p \leq n^{\frac1p - \frac1q}\norm a_q$ , com igualdade se e somente se todos os $\abs{a_i}$ são iguais (o caso de igualdade de Hölder contra o vetor constante).

11. Escreva $\abs{a_i}^r = \abs{a_i}^{\theta r}\,\abs{a_i}^{(1-\theta)r}$ e aplique Hölder com os expoentes conjugados $\frac{p}{\theta r}$ e $\frac{q}{(1-\theta)r}$ (conjugados precisamente porque $\frac{\theta r}p + \frac{(1-\theta)r}q = 1$ ):

\norm a_r^r = \sum_i \abs{a_i}^{\theta r}\abs{a_i}^{(1-\theta)r} \leq \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{p}\Bigr)^{\theta r/p} \Bigl(\sum_i\abs{a_i}^{q}\Bigr)^{(1-\theta)r/q} = \norm a_p^{\theta r}\,\norm a_q^{(1-\theta)r} .

Tome raízes $r$ -ésimas: as normas $p$ são log-convexas em $\frac1p$ .

12. Ambos negativos: se $p < q < 0$ então $0 < -q < -p$ , e $M_{-q}(y) \leq M_{-p}(y)$ para os expoentes positivos (caso do curso, Exemplo 8.8) aplicado a $y = (1/x_i)$ ; inverter a identidade $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1}$ reverte a desigualdade para $M_p(x) \leq M_q(x)$ . Ponte: para $q > 0$ , a concavidade de $\ln$ dá $\ln M_q = \frac1q\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^q\bigr) \geq \frac1q\sum\lambda_i\ln x_i^q = \ln M_0$ ; para $p < 0$ , a mesma concavidade dá $\ln\bigl(\sum\lambda_ix_i^p\bigr) \geq p\sum\lambda_i\ln x_i$ , e dividir por $p < 0$ inverte: $\ln M_p \leq \ln M_0$ . Logo $M_p \leq M_0 \leq M_q$ sempre que $p < 0 < q$ : com os dois casos de mesmo sinal, $M$ cresce em todo o $\R^*$ (e através de $0$ ).

13. Seja $x_{\max} = \max x_i$ , atingido em $i^*$ . Para $p > 0$ :

\lambda_{i^*}^{1/p}\,x_{\max} \leq M_p \leq x_{\max},

e $\lambda_{i^*}^{1/p} \to 1$ : $M_p \to x_{\max}$ . Para $p \to -\infty$ : $M_p(x) = M_{-p}(1/x)^{-1} \to \bigl(\max_i\frac1{x_i}\bigr)^{-1} = \min_ix_i$ .

14. Com $\lambda_i = \frac1n$ , a cadeia $M_{-\infty} \leq M_{-1} \leq M_0 \leq M_1 \leq M_2 \leq M_{+\infty}$ se lê

\min \leq \frac{n}{\sum\frac1{a_i}} \leq \Bigl(\prod a_i\Bigr)^{1/n} \leq \frac{\sum a_i}{n} \leq \sqrt{\frac{\sum a_i^2}{n}} \leq \max .

MA–MH ( $M_{-1} \leq M_1$ ) se rearranja diretamente em $\bigl(\sum a_i\bigr)\bigl(\sum\frac1{a_i}\bigr) \geq n^2$ .

15. Com pesos iguais, $M_p(x) = \bigl(\frac1n\sum\abs{x_i}^p\bigr)^{1/p} = n^{-1/p}\norm x_p$ . Quando $p$ cresce, $\norm x_p$ decresce (questão 10), mas o normalizador $n^{-1/p}$ cresce mais depressa, e o produto cresce (questão 12): as médias promediam, as normas acumulam, e o fator $n^{-1/p}$ é exatamente a taxa de câmbio entre as duas convenções contábeis.

16. Cada elo é um caso do Jensen estrito (questão 2) com as funções estritamente convexas ou côncavas da questão 3 ( $t^{q/p}$ , $\ln$ ), de modo que a igualdade em qualquer elo força todos os $x_i$ iguais; e $\min = M_p$ ou $M_p = \max$ do mesmo modo força todos os valores iguais ao extremo comum. A cadeia é estrita assim que dois $x_i$ diferem.

17. Aplique Young (questão 4) ao par $\varepsilon^{1/p}a$ e $\varepsilon^{-1/p}b$ :

ab = (\varepsilon^{1/p}a)(\varepsilon^{-1/p}b) \leq \varepsilon\,\frac{a^p}p + \varepsilon^{-q/p}\,\frac{b^q}q .

Para $p = q = 2$ , substituindo $\varepsilon$ por $2\varepsilon$ : $ab \leq \varepsilon a^2 + \frac{b^2}{4\varepsilon}$ — a desigualdade de absorção: um produto é trocado por um pequeno múltiplo de um quadrado mais um grande múltiplo do outro.

18. Telescopagem:

\prod_{k=1}^{n}c_k = \frac{\prod_{k=1}^n(k+1)^k} {\prod_{k=1}^{n}k^{k-1}} = \frac{2^1\,3^2\cdots(n+1)^n}{1^0\,2^1\cdots n^{n-1}} = (n+1)^n,

cancelando cada fator $(k+1)^k$ do numerador contra o termo seguinte do denominador. MA–MG nos $n$ números $c_ka_k$ :

(a_1\cdots a_n)^{1/n} = \frac{\bigl(\prod_k c_ka_k\bigr)^{1/n}}{(n+1)} \leq \frac{1}{n+1}\cdot\frac1n\sum_{k=1}^{n}c_ka_k .

19. Somando sobre $n$ e trocando as duas somações (todos os termos positivos: Teorema 7.14):

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \sum_{n\geq1}\frac{1}{n(n+1)}\sum_{k=1}^{n}c_ka_k = \sum_{k\geq1}c_ka_k\sum_{n\geq k}\frac1{n(n+1)} = \sum_{k\geq1}\frac{c_ka_k}{k},

usando a telescopagem $\sum_{n\geq k}\bigl(\frac1n - \frac1{n+1}\bigr) = \frac1k$ . Por fim, $\frac{c_k}k = \frac{(k+1)^k}{k^k} = \bigl(1 + \frac1k\bigr)^k < \eu$ (sequência crescente de limite $\eu$ , volume do primeiro ano de graduação):

\sum_{n\geq1}(a_1\cdots a_n)^{1/n} \leq \eu\sum_{k\geq1}a_k :

a desigualdade de Carleman. (A constante $\eu$ é ótima, embora não o demonstremos.)

20. Cauchy–Schwarz (questão 9, $p = q = 2$ ) aplicada a $\sqrt f$ e $\frac1{\sqrt f}$ :

1 = \Bigl(\int_0^1\sqrt f\cdot\frac{1}{\sqrt f}\Bigr)^{2} \leq \Bigl(\int_0^1 f\Bigr)\Bigl(\int_0^1\frac1f\Bigr).

Igualdade se e somente se $\sqrt f$ e $\frac1{\sqrt f}$ são proporcionais, isto é, $f^2$ constante, isto é, $f$ constante ( $f > 0$ contínua).

21. Sejam $1 < p < \infty$ , $\norm a_p = \norm b_p = 1$ , $a \neq b$ , e suponha $\bigl\Vert\frac{a+b}2\bigr\Vert_p = 1$ , isto é, que Minkowski seja igualdade para $a, b$ . Percorrendo a demonstração da questão 8, a igualdade força a igualdade nas duas aplicações de Hölder e nas desigualdades triangulares termo a termo: $(\abs{a_i}^p)$ e $(\abs{b_i}^p)$ ambos proporcionais a $(\abs{a_i + b_i}^p)$ , e $a_i, b_i$ de mesmo sinal — logo $b = ta$ para algum $t \geq 0$ , e $\norm b_p = \norm a_p$ dá $t = 1$ : $b = a$ , contradição. Assim a esfera $p$ não contém ponto médio de pontos distintos da esfera: nenhum segmento. Para $p = \infty$ em $\R^2$ : todos os $(1, t)$ , $\abs t \leq 1$ , estão na esfera unitária — uma aresta reta; para $p = 1$ : o segmento $(t, 1 - t)$ , $t \in \intcc01$ , está.

22. Para $a = 0$ os dois membros se anulam. Caso contrário, Hölder majora todo $\sum a_ib_i$ por $\norm a_p\norm b_q \leq \norm a_p$ . Atingimento: tome

b_i = \frac{\operatorname{sign}(a_i)\,\abs{a_i}^{p-1}} {\norm a_p^{p/q}} : \qquad \norm b_q^q = \frac{\sum_i\abs{a_i}^{(p-1)q}}{\norm a_p^{p}} = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^p} = 1, \quad \sum_ia_ib_i = \frac{\norm a_p^p}{\norm a_p^{p/q}} = \norm a_p ,

usando $(p-1)q = p$ e $p - \frac pq = 1$ . Assim o supremo é um máximo, igual a $\norm a_p$ : cada norma $p$ é a norma dual de sua conjugada — o germe da dualidade $L^p$ – $L^q$ .

23. $\E[X^r] = \sum_i\lambda_ix_i^r$ , logo $\E[X^r]^{1/r} = M_r(x; \lambda)$ , crescente em $r$ pela questão 12 (e através de $r \to 0, \pm\infty$ pelas questões 12–13): a desigualdade dos momentos de Lyapunov, puramente um enunciado sobre médias de potência com pesos. Ela volta para variáveis aleatórias de verdade no Capítulo 22.

24. (i) Médias de potência $M_1 \leq M_3$ com pesos iguais: $\frac{a+b+c}3 \leq \bigl(\frac{a^3+b^3+c^3}3\bigr)^{1/3}$ ; eleve ao cubo e multiplique por $3$ : $a^3 + b^3 + c^3 \geq \frac{(a+b+c)^3}9$ . (ii) Cauchy–Schwarz contra o vetor constante: $\sum_i\sqrt{x_i}\cdot1 \leq \bigl(\sum_ix_i\bigr)^{1/2}n^{1/2}$ ; eleve ao quadrado.

25. A definição por cordas fornece o lema das inclinações por um rearranjo algébrico; inclinações comprimidas num ponto produzem derivadas laterais e retas de suporte, cuja média ponderada é Jensen. Aplicado a $-\ln$ , Jensen torna-se Young, que somado contra vetores normalizados é Hölder, que separado e reabsorvido é Minkowski — e as normas $p$ do Capítulo 5 nascem, com sua dualidade (questão 22) e sua geometria (questão 21). Jensen aplicado ao longo da escala das potências encadeia todas as médias de $\min$ a $\max$ (questões 12–14), o que, lido em variáveis aleatórias, é a desigualdade dos momentos (questão 23). E MA–MG, ponderada por um truque telescópico, fornece a cota de Carleman com sua constante irredutível $\eu$ (questões 18–19). Cumes: Hölder–Minkowski e Carleman. Destino: os espaços $L^p$ do volume do terceiro ano de graduação, cujos axiomas fundadores são exatamente as questões 6 e 8 com integrais no lugar de somas.