Densidade, forma topológica কী?

Exemplo 12.17 (A densidade é relativa)

“Denso”, como definido aqui, significa denso em $\R$; um conjunto pode, em vez disso, ser denso apenas numa parte da reta. Os diádicos de $\intcc{0}{1}$, isto é, $D \cap \intcc{0}{1}$ (Exercício 10.8), encontram todo intervalo aberto contido em $\intcc{0}{1}$, mas evidentemente não tocam $\intoo{2}{3}$: eles são densos em $\intcc{0}{1}$, o que significa $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$. A expressão geral “$A$ é denso em $B$” abrevia $B \subseteq \overline A$ — nomeie sempre o conjunto ambiente, pois os extremos do problema de fim de semana são densos no conjunto de Cantor, sendo nunca densos em $\R$: o mesmo conjunto, duas descrições verdadeiras e de som oposto.

Exemplo 12.18 (Manejando a densidade)

Três movimentos rápidos que recorrem constantemente. Ampliar: se $A$ é denso e $A \subseteq B$, então $B$ é denso (todo intervalo já encontra $A$). Transportar: se $A$ é denso, então $\lambda A + \mu$ também o é, para $\lambda \neq 0$ — um intervalo $I$ encontra $\lambda A + \mu$ se, e somente se, o intervalo $\frac{I - \mu}{\lambda}$ encontra $A$; assim, os múltiplos ímpares de $10^{-9}$, digamos, são densos. Interceptar falha: dois conjuntos densos podem não se tocar ($\Q$ e $\R \setminus \Q$): a densidade sobrevive a uniões e a aplicações afins, jamais a interseções.

Exemplo 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Para $\Q$: pela densidade (Teorema 10.14), todo real é aderente a $\Q$, de modo que $\overline{\Q} = \R$, ao passo que $\mathring{\Q} = \emptyset$ (todo intervalo contém irracionais): a fronteira de $\Q$ é todo o $\R$.