Matemática universitária — Graduação 1 · Graduação — Ano 1

8Polinômios

Os polinômios são as funções prediletas do algebrista — salvo que aqui eles não são tratados como funções, e sim como expressões formais numa indeterminada $X$ , somadas e multiplicadas pelas regras de um anel comutativo. A teoria corre de modo notavelmente paralelo ao Capítulo 6: uma divisão euclidiana, um mdc e relações de Bézout, elementos irredutíveis e uma fatoração única. Ao longo do capítulo, $K$ denota $\Q$ , $\R$ ou $\C$ .

8.1 O anel $K[X]$

Definição 8.1 (Polinômio, grau)

Um polinômio com coeficientes em $K$ é uma soma formal

P = a_0 + a_1 X + a_2 X^2 + \dots + a_n X^n = \sum_{k} a_k X^k,

com $a_k \in K$ todos nulos a partir de um certo índice. Com a adição natural e o produto

\Bigl(\sum_i a_i X^i\Bigr)\Bigl(\sum_j b_j X^j\Bigr) = \sum_k \Bigl(\sum_{i+j=k} a_i b_j\Bigr) X^k,

o conjunto $K[X]$ é um anel comutativo. O grau $\deg P$ de $P \neq 0$ é o maior $n$ com $a_n \neq 0$ ; $a_n$ é o coeficiente líder ( $P$ é mônico quando $a_n = 1$ ) e, por convenção, $\deg 0 = -\infty$ . Todo polinômio define uma função $x \mapsto P(x)$ em $K$ por substituição.

Proposição 8.2 (Regras dos graus; domínio de integridade)

Para $P, Q \in K[X]$ :

\deg(P + Q) \leq \max(\deg P, \deg Q), \qquad \deg(PQ) = \deg P + \deg Q .

Consequentemente, $K[X]$ é um domínio de integridade, e as suas unidades são as constantes não nulas.

Demonstração. A regra da soma é clara (os coeficientes acima do máximo se anulam). Para o produto, sejam $a_m$ e $b_n$ os coeficientes líderes: o coeficiente de $X^{m+n}$ em $PQ$ é $a_m b_n \neq 0$ ( $K$ é um corpo, logo um domínio de integridade), e todos os coeficientes superiores se anulam. Se $P, Q \neq 0$ , então $\deg PQ = \deg P + \deg Q \geq 0$ , de modo que $PQ \neq 0$ : domínio de integridade. Se $PQ = 1$ , então $\deg P + \deg Q = 0$ força $\deg P = \deg Q = 0$ : os elementos invertíveis são as constantes invertíveis, isto é, todo o $K^*$ . ∎

Teorema 8.3 (Divisão euclidiana)

Sejam $A, B \in K[X]$ com $B \neq 0$ . Existe exatamente um par $(Q, R)$ de polinômios com

A = BQ + R, \qquad \deg R < \deg B .

Demonstração. Existência, por indução forte em $\deg A$ . Se $\deg A < \deg B$ , tome $(Q, R) = (0, A)$ . Caso contrário, escreva $A = a X^m + \dots$ , $B = b X^n + \dots$ com $m \geq n$ ; o polinômio $A_1 = A - \frac ab X^{m-n} B$ tem grau $< m$ (os termos líderes se cancelam), de modo que, por indução, $A_1 = BQ_1 + R$ com $\deg R < \deg B$ , e $A = B(Q_1 + \frac ab X^{m-n}) + R$ .

Unicidade: se $BQ + R = BQ' + R'$ , então $B(Q - Q') = R' - R$ com $\deg(R' - R) < \deg B$ ; pela regra dos graus, isso força $Q - Q' = 0$ e, em seguida, $R = R'$ . ∎

Exemplo 8.4

Divida $A = X^4 + X^3 - 2X + 1$ por $B = X^2 + 1$ :

X^4 + X^3 - 2X + 1 = (X^2 + 1)(X^2 + X - 1) + (-3X + 2).

(Cálculo: subtraia $X^2 B$ , depois $X B$ , depois $-B$ ; o resto $-3X + 2$ tem grau $1 < 2$ .)

Método 8.5 (Esquema de Horner)

Para avaliar $P = a_nX^n + \dots + a_0$ em $x$ , ou para dividir $P$ por $X - x$ , evite calcular potências: leia os coeficientes da esquerda para a direita e itere multiplique por $x$ , some o próximo coeficiente:

b_n = a_n, \qquad b_{k} = a_{k} + x\,b_{k+1} \quad (k = n-1, \dots, 0) .

Então $b_0 = P(x)$ e os $b_k$ anteriores são os coeficientes do quociente: $P = (X - x)(b_nX^{n-1} + \dots + b_1) + b_0$ (expanda e compare). Exemplo: $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ em $x = 2$ : os $b$ valem $1, -3, 0, 4, 0$ , de modo que $P(2) = 0$ e $P = (X-2)(X^3 - 3X^2 + 4)$ — uma linha em vez de uma longa divisão, e $n$ multiplicações em vez das $\approx n^2/2$ da avaliação ingênua. Iterar o esquema no mesmo ponto extrai as multiplicidades (compare com o Exemplo 8.12).

Observação 8.6 (A aritmética de $K[X]$ )

Com a divisão euclidiana em mãos, toda a aritmética do Capítulo 6 se transfere para $K[X]$ , com as mesmas demonstrações, sendo o grau o papel do valor absoluto: mdc (normalizado para ser mônico), algoritmo de Euclides estendido, identidade de Bézout, lema de Gauss, polinômios irredutíveis e fatoração única. Usamos livremente esses resultados transferidos, e o Exercício 8.6 reencena um deles.

8.2 Raízes

Teorema 8.7 (Teorema do fator)

Sejam $P \in K[X]$ e $a \in K$ . O resto de $P$ na divisão por $X - a$ é a constante $P(a)$ . Em particular,

P(a) = 0 \iff (X - a) \mid P .

Mais geralmente, raízes distintas $a_1, \dots, a_r$ de $P$ dão a fatoração $P = (X - a_1)\cdots(X - a_r)\, Q$ .

Demonstração. Divida: $P = (X - a) Q + R$ com $\deg R < 1$ , de modo que $R$ é uma constante $c$ ; substituindo $X = a$ (a substituição respeita somas e produtos), obtém-se $P(a) = c$ . A equivalência segue. Para várias raízes, faça indução em $r$ : o caso $r = 1$ é a equivalência recém-demonstrada. Suponha o enunciado para $r - 1$ raízes e sejam $a_1, \dots, a_r$ raízes distintas de $P$ . Escreva $P = (X - a_1)Q_1$ ; para cada $i \geq 2$ , substituindo $a_i$ :

0 = P(a_i) = (a_i - a_1)\,Q_1(a_i), \qquad a_i - a_1 \neq 0 ,

e, como $K$ não tem divisores de zero, $Q_1(a_i) = 0$ : os $r - 1$ pontos distintos $a_2, \dots, a_r$ são raízes de $Q_1$ . A hipótese de indução fatora $Q_1 = (X - a_2)\cdots(X - a_r)\,Q$ , e substituir de volta dá a afirmação. ∎

Corolário 8.8 (Um polinômio de grau $n$ tem no máximo $n$ raízes)

Um $P \in K[X]$ não nulo de grau $n$ tem no máximo $n$ raízes distintas em $K$ . Consequentemente, um polinômio (de grau $\leq n$ ) que se anula em $n + 1$ pontos distintos é o polinômio nulo, e dois polinômios de grau $\leq n$ que coincidem em $n+1$ pontos são iguais.

Demonstração. Se $a_1, \dots, a_r$ são raízes distintas, o Teorema 8.7 dá $P = (X-a_1)\cdots(X-a_r) Q$ , de modo que $n = \deg P \geq r$ . As duas consequências decorrem por absurdo e por diferença. ∎

Exemplo 8.9 (O truque do polinômio auxiliar)

Seja $P$ o polinômio de grau $\leq n$ com

P(k) = \frac{k}{k+1} \qquad (k = 0, 1, \dots, n) ;

ele existe e é único pela interpolação de Lagrange, abaixo. Quanto vale $P(n+1)$ ? Elimine os denominadores: o polinômio $Q = (X+1)P - X$ tem grau $\leq n + 1$ e se anula nos $n + 1$ pontos $0, 1, \dots, n$ , de modo que, pelo Teorema 8.7,

Q = c\,X(X-1)(X-2)\cdots(X-n)

para alguma constante $c$ . Avalie onde $Q$ é conhecido de modo independente: em $X = -1$ , $Q(-1) = 0 \cdot P(-1) + 1 = 1$ , ao passo que o produto vale $(-1)(-2)\cdots(-1-n) = (-1)^{n+1}(n+1)!$ ; portanto, $c = \frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)!}$ . Agora avalie em $X = n + 1$ :

(n+2)\,P(n+1) - (n+1) = Q(n+1) = c\,(n+1)! = (-1)^{n+1} ,

de modo que $P(n+1) = \dfrac{(n+1) + (-1)^{n+1}}{n+2}$ : igual a $1$ para $n$ ímpar, e a $\frac{n}{n+2}$ para $n$ par — o polinômio interpolador não continua o padrão $\frac{n+1}{n+2}$ . O truque a reter: codifique os dados como raízes de um polinômio auxiliar, identifique a constante desconhecida num ponto fora dos dados e colha o resultado.

Definição 8.10 (Derivada, multiplicidade)

A derivada formal de $P = \sum a_k X^k$ é $P' = \sum_{k \geq 1} k\,a_k X^{k-1}$ ; ela satisfaz as regras usuais $(P+Q)' = P' + Q'$ , $(PQ)' = P'Q + PQ'$ (verificadas nos monômios e estendidas por linearidade). Uma raiz $a$ de $P$ tem multiplicidade $m \geq 1$ quando $(X-a)^m \mid P$ , mas $(X-a)^{m+1} \nmid P$ ; a raiz é simples se $m = 1$ , e múltipla se $m \geq 2$ .

Proposição 8.11 (Multiplicidade via derivadas)

$a$ é raiz de $P$ de multiplicidade $\geq m$ se, e somente se,

P(a) = P'(a) = \dots = P^{(m-1)}(a) = 0 .

Em particular, $a$ é raiz múltipla de $P$ se, e somente se, $P(a) = P'(a) = 0$ .

Demonstração. Escreva $P = (X - a)^m Q + R$ , em que $R$ é o resto da divisão por $(X-a)^m$ , $\deg R < m$ . Derivando $k \leq m - 1$ vezes e avaliando em $a$ : o primeiro termo contribui com $0$ (cada derivada retém um fator $(X-a)$ ), de modo que $P^{(k)}(a) = R^{(k)}(a)$ .

Ora, um polinômio $R$ de grau $< m$ fica determinado por $R(a), R'(a), \dots, R^{(m-1)}(a)$ : escrevendo $R = \sum_{k < m} c_k (X - a)^k$ (o que é possível: expanda as potências de $X = (X - a) + a$ ), encontra-se $R^{(k)}(a) = k!\, c_k$ . Portanto: todos os $P^{(k)}(a) = 0$ para $k < m$ $\iff$ todos os $c_k = 0$ $\iff$ $R = 0$ $\iff$ $(X-a)^m \mid P$ . ∎

Exemplo 8.12 (Calculando uma multiplicidade)

Qual é a multiplicidade da raiz $2$ em $P = X^4 - 5X^3 + 6X^2 + 4X - 8$ ? Avalie as derivadas sucessivas em $2$ :

P(2) = 16 - 40 + 24 + 8 - 8 = 0, \qquad P'(2) = 32 - 60 + 24 + 4 = 0,

P''(2) = 48 - 60 + 12 = 0, \qquad P'''(2) = 48 - 30 = 18 \neq 0

(com $P' = 4X^3 - 15X^2 + 12X + 4$ , $P'' = 12X^2 - 30X + 12$ , $P''' = 24X - 30$ ). Três valores nulos e depois um não nulo: multiplicidade exatamente $3$ . Dividindo, $P = (X - 2)^3(X + 1)$ — o que se confere expandindo $(X-2)^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$ e multiplicando por $X + 1$ . A ideia: as multiplicidades são lidas em avaliações, sem necessidade de fatoração — e é exatamente assim que se as detecta quando a fatoração está fora de alcance.

Exemplo 8.13 (Detectando raízes múltiplas com um mdc)

Quando nenhuma raiz é conhecida, a Proposição 8.11 ainda fornece um detector global de raízes múltiplas: $a$ é raiz múltipla de $P$ se, e somente se, é raiz comum de $P$ e $P'$ , de modo que $P$ tem raiz múltipla (em $\C$ ) se, e somente se, $\gcd(P, P') \neq 1$ — o que é computável pelo algoritmo de Euclides sem resolver nada. Exemplo: $P = X^3 - 3X + 2$ , $P' = 3X^2 - 3 = 3(X - 1)(X + 1)$ . Testando as raízes $\pm1$ de $P'$ dentro de $P$ : $P(1) = 0$ , mas $P(-1) = 4$ , logo

\gcd(P, P') = X - 1 :

a raiz $1$ é múltipla; dividindo duas vezes, $P = (X - 1)^2(X + 2)$ . O mdc chega a relatar o conjunto completo das raízes múltiplas, cada uma com multiplicidade abaixada de uma unidade — fato que todo sistema de álgebra computacional explora para “fatorar sem quadrados” antes de qualquer caça a raízes, e o gêmeo polinomial dos argumentos de ausência de raiz múltipla do Exercício 8.9.

Teorema 8.14 (Teorema fundamental da álgebra)

Todo polinômio não constante de $\C[X]$ tem uma raiz em $\C$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 8.15

Apesar do nome, o teorema é um enunciado de análise: toda demonstração conhecida usa a completude de $\R$ de alguma forma, e nenhuma é puramente algébrica — a demonstração honesta é dada no volume do terceiro ano de graduação, uma vez disponíveis a integração complexa ou argumentos de compacidade. O que este capítulo genuinamente demonstra é a redução: concedida uma raiz para todo polinômio não constante, as fatorações completas sobre $\C$ e sobre $\R$ abaixo decorrem por pura álgebra.

Corolário 8.16 (Fatoração sobre $\C$ e sobre $\R$ )

Todo $P \in \C[X]$ não nulo se fatora como

$P = c\, (X - a_1)^{m_1} \cdots (X - a_r)^{m_r},$

com $c$ o coeficiente líder, $a_i$ as raízes complexas distintas e $\sum m_i = \deg P$ : contadas com multiplicidade, um polinômio de grau $n$ tem exatamente $n$ raízes complexas.
Todo $P \in \R[X]$ não nulo se fatora sobre $\R$ como

$P = c \prod_i (X - a_i)^{m_i} \prod_j (X^2 + p_j X + q_j)^{n_j},$

sendo os fatores quadráticos distintos e com $p_j^2 - 4q_j < 0$ (sem raízes reais).

Demonstração. (1) Indução no grau, destacando uma raiz de cada vez pelo Teorema 8.7; a contagem dos graus fecha em cada passo.

(2) Seja $P$ com coeficientes reais. Se $z$ é raiz complexa de multiplicidade $m$ , então $\conj z$ também é: conjugar $P(z) = 0$ dá $P(\conj z) = \conj{P(z)} = 0$ (os coeficientes são os seus próprios conjugados), e o mesmo se aplica às derivadas (Proposição 8.11). Agrupe as raízes não reais em pares conjugados: cada par contribui com

(X - z)(X - \conj z) = X^2 - 2\Re(z)\, X + \abs z^2 ,

uma quadrática real de discriminante negativo. As raízes reais contribuem com os fatores lineares. ∎

Exemplo 8.17

$X^4 + 4$ foi fatorado sobre $\R$ no Exercício 3.5, emparelhando as quatro raízes complexas $\pm 1 \pm \iu$ : $X^4 + 4 = (X^2 - 2X + 2)(X^2 + 2X + 2)$ . Nenhuma das quadráticas se decompõe sobre $\R$ (discriminantes $-4$ ). Note: um polinômio real irredutível tem grau $1$ ou $2$ — é exatamente o que o teorema de fatoração diz. O mesmo emparelhamento de conjugados aplicado a $X^4 + 1$ , cujas raízes são $\eu^{\pm\iu\pi/4}$ e $\eu^{\pm3\iu\pi/4}$ : cada par contribui com $X^2 - 2\cos\theta\,X + 1$ , de modo que

X^4 + 1 = \bigl(X^2 - \sqrt2\,X + 1\bigr) \bigl(X^2 + \sqrt2\,X + 1\bigr) ,

uma identidade invisível a tentativas ingênuas de fatoração sobre $\Q$ — o preço de insistir em coeficientes reais (aqui, até irracionais) e um insumo padrão para integrar $\frac1{x^4 + 1}$ no Capítulo 15.

O polinômio de Chebyshev T_5 = 16X5 - 20X3 + 5X em ∈tcc-11: ele oscila exatamente entre -1 e 1, tocando os limites em seis pontos (marcados). Essa equioscilação é o que faz de 2-4T_5 a quíntica mônica de menor norma do supremo no intervalo ( e problema de fim de semana). — O polinômio de Chebyshev $T_5 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ em $\intcc{-1}1$ : ele oscila exatamente entre $-1$ e $1$ , tocando os limites em seis pontos (marcados). Essa *equioscilação* é o que faz de $2^{-4}T_5$ a quíntica mônica de menor norma do supremo no intervalo (Exercício 8.10 e problema de fim de semana).

Observação 8.18 (Armadilhas frequentes com polinômios)

Polinômio versus função. Sobre $K = \Q, \R, \C$ as duas noções coincidem (funções iguais têm coeficientes iguais, pelo Corolário 8.8 e pela infinitude de $K$ ), mas conceitualmente um polinômio é a sua lista de coeficientes: sobre o corpo de dois elementos $\Z/2\Z$ do Capítulo 7, $X^2 + X$ se anula nos dois pontos e, no entanto, não é o polinômio nulo.
Graus sob adição. $\deg(P + Q)$ pode cair abaixo de $\max(\deg P, \deg Q)$ quando os termos líderes se cancelam; escrever “ $\deg(P + Q) = \max(\dots)$ ” só é seguro para graus distintos.
Contar as raízes corretamente. “ $n$ raízes” no Corolário 8.16 significa com multiplicidade, em $\C$ : $X^2 + 1$ não tem raízes reais, e $(X-1)^2$ tem uma raiz distinta, mas duas com multiplicidade. Enunciados que misturam as três contagens são a fonte mais comum de demonstrações falsas.
A irredutibilidade depende do corpo. $X^2 - 2$ é irredutível sobre $\Q$ e se decompõe sobre $\R$ ; $X^2 + 1$ é irredutível sobre $\R$ e se decompõe sobre $\C$ . A palavra solta “irredutível” nada significa enquanto não se nomear o corpo dos coeficientes.

8.3 Coeficientes e raízes

Teorema 8.19 (Relações de Girard)

Seja $P = X^n + c_{n-1} X^{n-1} + \dots + c_0$ mônico, com raízes $a_1, \dots, a_n \in \C$ (com multiplicidade). Então

\sum_i a_i = -c_{n-1}, \qquad \sum_{i < j} a_i a_j = c_{n-2}, \qquad \dots, \qquad a_1 a_2 \cdots a_n = (-1)^n c_0 ,

sendo a $k$ -ésima função simétrica das raízes igual a $(-1)^k c_{n-k}$ .

Demonstração. Pelo Corolário 8.16, $P = (X - a_1)\cdots(X - a_n)$ (mônico, todas as raízes listadas). Expandir o produto distributivamente produz um termo por escolha, em cada fator, de $X$ ou do termo de raiz $-a_i$ : escolher as raízes nos fatores de índices $i_1 < \dots < i_k$ e $X$ nos $n - k$ restantes contribui com $(-a_{i_1})\cdots(-a_{i_k})\,X^{n-k}$ . Agrupando pela potência de $X$ :

P = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \Bigl(\sum_{i_1 < \dots < i_k} a_{i_1}\cdots a_{i_k}\Bigr) X^{n-k} ,

e identificar com $P = \sum_k c_{n-k}X^{n-k}$ (os coeficientes são únicos, Definição 8.1) dá $c_{n-k} = (-1)^k \sigma_k$ , isto é, $\sigma_k = (-1)^kc_{n-k}$ , em que $\sigma_k$ denota a $k$ -ésima função simétrica exibida acima. Os três casos exibidos são $k = 1$ , $k = 2$ e $k = n$ . ∎

Exemplo 8.20

Para a quadrática $X^2 - sX + p$ : soma das raízes $s$ , produto $p$ — já usados repetidamente (Exercício 3.8). Para uma cúbica mônica $X^3 + aX^2 + bX + c$ com raízes $\alpha, \beta, \gamma$ :

\alpha + \beta + \gamma = -a, \quad \alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b, \quad \alpha\beta\gamma = -c ,

o que permite calcular grandezas simétricas como $\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = a^2 - 2b$ sem resolver nada.

Exemplo 8.21 (Transformar as raízes sem encontrá-las)

Sejam $\alpha, \beta$ as raízes de $X^2 - 3X + 1$ . Que quadrática mônica tem raízes $\alpha^2, \beta^2$ ? Por Girard, $\alpha + \beta = 3$ e $\alpha\beta = 1$ , de modo que

\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = 7, \qquad \alpha^2\beta^2 = (\alpha\beta)^2 = 1 :

a resposta é $X^2 - 7X + 1$ — obtida sem calcular $\alpha = \frac{3 + \sqrt5}2$ . (Verificação: $\alpha^2 = \frac{7 + 3\sqrt5}2$ , e de fato $\alpha^2 + \beta^2 = 7$ .) A mesma estratégia trata os inversos (transformações do tipo $X^2 - \frac ba X + \frac ca$ ), translações e quaisquer dados simétricos: as relações de Girard convertem perguntas sobre raízes desconhecidas em álgebra sobre coeficientes conhecidos. Elas servirão constantemente quando as raízes forem autovalores (Capítulo 22).

Exemplo 8.22 (Equações recíprocas)

Resolva $X^4 + X^3 - 4X^2 + X + 1 = 0$ . Os coeficientes se leem do mesmo modo nos dois sentidos, de sorte que $0$ não é raiz e dividir por $X^2$ não perde soluções:

X^2 + X - 4 + \frac1X + \frac1{X^2} = 0 .

Ponha $y = X + \frac1X$ : então $X^2 + \frac1{X^2} = y^2 - 2$ , e a equação colapsa em

y^2 + y - 6 = 0 \iff (y + 3)(y - 2) = 0 .

Desdobre cada valor por meio de $X^2 - yX + 1 = 0$ : para $y = 2$ , $X^2 - 2X + 1 = (X - 1)^2$ dá a raiz dupla $1$ ; para $y = -3$ , $X^2 + 3X + 1 = 0$ dá $X = \frac{-3 \pm \sqrt5}2$ . Quatro raízes com multiplicidade para uma quártica, como o Corolário 8.16 exige — obtidas resolvendo duas quadráticas. O truque cobre todo polinômio recíproco: as suas raízes vêm em pares inversos $\{x, 1/x\}$ (substitua $X$ por $1/X$ e elimine denominadores), e $y = X + \frac1X$ é precisamente a grandeza constante em tais pares, reduzindo o grau à metade.

Teorema 8.23 (Interpolação de Lagrange)

Sejam $x_0, \dots, x_n$ pontos distintos de $K$ e $y_0, \dots, y_n \in K$ . Existe exatamente um $P \in K[X]$ de grau $\leq n$ com $P(x_i) = y_i$ para todo $i$ , a saber

P = \sum_{i=0}^{n} y_i\, L_i, \qquad L_i = \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} .

Demonstração. Cada $L_i$ tem grau $n$ e satisfaz $L_i(x_i) = 1$ , $L_i(x_j) = 0$ para $j \neq i$ (cada fator se anula no $x_j$ correspondente). Logo, o $P$ exibido tem grau $\leq n$ e interpola. Unicidade: dois polinômios interpoladores de grau $\leq n$ coincidem nos $n+1$ pontos $x_i$ e, portanto, são iguais (Corolário 8.8). ∎

Observação 8.24 (Interlúdio: polinômios também são vetores)

Uma mudança de ponto de vista que o Capítulo 18 tornará oficial: os polinômios de grau $\leq n$ formam um espaço em que a adição e a multiplicação por escalar se comportam exatamente como coordenadas — um polinômio é a sua lista de $n + 1$ coeficientes. Três enunciados deste capítulo são álgebra linear disfarçada. A interpolação de Lagrange (Teorema 8.23) diz que os dados de avaliação $(P(x_0), \dots, P(x_n))$ determinam $P$ de modo único: avaliar em $n + 1$ pontos é uma bijeção linear, e os $L_i$ são a base adaptada a ela. A expansão $R = \sum c_k(X - a)^k$ na demonstração da Proposição 8.11 diz que as potências de $(X - a)$ formam outro sistema de coordenadas, com $c_k = R^{(k)}(a)/k!$ como coordenadas. E o Corolário 8.8 — mais raízes que o grau força o polinômio nulo — é o motor de todas as unicidades: ele se tornará “uma aplicação linear injetiva num espaço de dimensão $n + 1$ ” no Capítulo 19. Quando esses capítulos chegarem, o espaço $K_n[X]$ será o seu exemplo predileto; vale chegar lá já fluente nele.

Observação 8.25 (Onde este capítulo é usado)

A fatoração sobre $\R$ e $\C$ (Corolário 8.16) é o motor das frações parciais no Capítulo 9, logo de uma vasta classe de integrais no Capítulo 15. A expansão de um polinômio em potências de $(X - a)$ , encontrada na demonstração da Proposição 8.11, é a sombra algébrica das fórmulas de Taylor do Capítulo 16. Os polinômios característicos já apareceram para as equações diferenciais (Capítulo 5) e voltam para as matrizes no Capítulo 22; a interpolação de Lagrange é o primeiro teorema de existência e unicidade da análise numérica, e os polinômios de Chebyshev do Exercício 8.10 — cuja otimalidade o problema de fim de semana abaixo estabelece — dizem a essa disciplina onde interpolar. Por fim, toda a aritmética de $K[X]$ , copiada do Capítulo 6, alimenta o estudo dos ideais de $K[X]$ e dos anéis quocientes no volume do segundo ano de graduação.

8.4 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Efetue as divisões euclidianas: $X^5 - 1$ por $X^2 + X + 1$ ; depois $2X^4 + X^3 - X + 3$ por $X^2 - 2$ .

Solução

Solução de Exercício 8.1.

$X^5 - 1 = (X^2 + X + 1)(X^3 - X^2 + 1) + (-X - 2)$ . Passos: subtraia $X^3 B$ , depois $-X^2 B$ , depois $B$ ; o resto $-X - 2$ tem grau $1 < 2$ . Verificação em $X = 1$ : $\;0 = 3 \times 1 + (-3)$ .

$2X^4 + X^3 - X + 3 = (X^2 - 2)(2X^2 + X + 4) + (X + 11)$ . Verificação em $X = 0$ : $\;3 = (-2)(4) + 11$ .

Exercício 8.2 ★

Para quais $n \in \N$ o polinômio $X^2 + X + 1$ divide $X^{2n} + X^n + 1$ ? Sugestão: as raízes de $X^2 + X + 1$ são $j$ e $j^2$ , com $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ; discuta $n$ módulo $3$ .

Solução

Solução de Exercício 8.2.

$X^2 + X + 1 = (X - j)(X - j^2)$ com $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ , $j^3 = 1$ . Ele divide $Q_n = X^{2n} + X^n + 1$ se, e somente se, $j$ e $j^2$ são raízes de $Q_n$ ; como $Q_n$ tem coeficientes reais, $Q_n(j^2) = \conj{Q_n(j)}$ , de modo que a condição é apenas $Q_n(j) = 0$ . Ora, $Q_n(j) = j^{2n} + j^n + 1$ depende de $n$ módulo $3$ :

$n \equiv 0$ : $Q_n(j) = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0$ ;
$n \equiv 1$ : $Q_n(j) = j^2 + j + 1 = 0$ ;
$n \equiv 2$ : $Q_n(j) = j^4 + j^2 + 1 = j + j^2 + 1 = 0$ .

Logo, $X^2 + X + 1 \mid X^{2n} + X^n + 1$ exatamente quando $3 \nmid n$ .

Exercício 8.3 ★

Determine os reais $a, b$ para que $(X-1)^2$ divida $P = X^4 + aX^3 + bX^2 + 1$ , e depois fatore $P$ sobre $\R$ para esses valores.

Solução

Solução de Exercício 8.3.

Pela Proposição 8.11, $(X-1)^2 \mid P$ se, e somente se, $P(1) = P'(1) = 0$ :

P(1) = 2 + a + b = 0, \qquad P'(1) = 4 + 3a + 2b = 0 .

Resolvendo: $b = -a - 2$ e $4 + 3a - 2a - 4 = a = 0$ , de modo que $a = 0$ , $b = -2$ : $P = X^4 - 2X^2 + 1 = (X^2 - 1)^2 = (X-1)^2 (X+1)^2$ , que é a fatoração real.

Exercício 8.4 ★

Fatore sobre $\C$ e sobre $\R$ : $X^3 - 1$ ; $\;X^4 + X^2 + 1$ ; $\;X^6 - 1$ .

Solução

Solução de Exercício 8.4.

$X^3 - 1 = (X - 1)(X - j)(X - j^2)$ sobre $\C$ ( $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ ) e $(X - 1)(X^2 + X + 1)$ sobre $\R$ .

$X^4 + X^2 + 1 = (X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1)$ sobre $\R$ (efetue o produto, ou note que $X^4 + X^2 + 1 = (X^2+1)^2 - X^2$ ); sobre $\C$ , cada quadrática se decompõe: raízes $j, j^2$ e $-j, -j^2$ , isto é, $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}, \eu^{\pm\iu\pi/3}$ .

$X^6 - 1 = \prod_{k=0}^{5} (X - \eu^{\iu k\pi/3})$ sobre $\C$ e, sobre $\R$ :

X^6 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2 + X + 1)(X^2 - X + 1),

agrupando os pares conjugados $\eu^{\pm 2\iu\pi/3}$ e $\eu^{\pm \iu\pi/3}$ .

Exercício 8.5 ★★

Seja $P = X^3 - 6X^2 + 11X - 6$ .

Encontre as raízes racionais (uma raiz racional $p/q$ na forma irredutível de um polinômio inteiro mônico é um inteiro que divide o termo constante — demonstre-o) e fatore $P$ .
Sem resolver, calcule a soma dos quadrados e a soma dos inversos das raízes pelas relações de Girard, e confira na fatoração.

Solução

Solução de Exercício 8.5.

Seja $p/q$ (irredutível) uma raiz do polinômio inteiro mônico $X^3 + \dots + c_0$ : eliminar denominadores em $P(p/q) = 0$ dá $p^3 = -q\,(\text{inteiro})$ , de modo que $q \mid p^3$ ; a coprimalidade força $q = \pm 1$ : a raiz é um inteiro $p$ , e $p \mid c_0$ (isole $c_0$ ). Aqui os candidatos dividem $6$ : testando, $P(1) = 0$ , $P(2) = 0$ , $P(3) = 0$ . Logo, $P = (X-1)(X-2)(X-3)$ .
Girard: $s_1 = 6$ , $s_2 = 11$ , $s_3 = 6$ . Soma dos quadrados: $s_1^2 - 2s_2 = 36 - 22 = 14 = 1 + 4 + 9$ , como esperado. Soma dos inversos: $\frac{s_2}{s_3} = \frac{11}{6} = 1 + \frac12 + \frac13$ , como esperado.

Exercício 8.6 ★★

Calcule $\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1)$ pelo algoritmo de Euclides e escreva-o como combinação $AU + BV$ dos dois polinômios.

Solução

Solução de Exercício 8.6.

Primeiro passo de divisão do algoritmo de Euclides:

(X + 1)(X^3 - X^2 + X - 1) = X^4 - X^3 + X^2 - X + X^3 - X^2 + X - 1 = X^4 - 1 ,

de modo que a divisão de $X^4 - 1$ por $X^3 - X^2 + X - 1$ é exata (quociente $X + 1$ , resto $0$ ), e o algoritmo para de imediato:

\gcd(X^4 - 1,\; X^3 - X^2 + X - 1) = X^3 - X^2 + X - 1

(já mônico). A relação de Bézout é a trivial: $\gcd = 0 \cdot (X^4 - 1) + 1 \cdot (X^3 - X^2 + X - 1)$ . Verificação de coerência por fatoração: $X^3 - X^2 + X - 1 = (X - 1)(X^2 + 1)$ , que é de fato o produto dos fatores irredutíveis comuns de $X^4 - 1 = (X-1)(X+1)(X^2+1)$ .

Exercício 8.7 ★★

Seja $P \in \R[X]$ com $P(x) \geq 0$ para todo $x \in \R$ . Demonstre que $P$ é uma soma de dois quadrados de polinômios reais: $P = A^2 + B^2$ . Sugestão: na fatoração real, as raízes reais têm multiplicidade par; escreva os fatores quadráticos como $(X - z)(X - \conj z)$ e use $\abs{\,\cdot\,}^2 = (\Re)^2 + (\Im)^2$ no produto dos $(X - z)$ .

Solução

Solução de Exercício 8.7.

Como $P \geq 0$ em $\R$ , as suas raízes reais têm multiplicidade par (numa raiz de multiplicidade ímpar, $P$ muda de sinal). Usando o Corolário 8.16 e o emparelhamento, escreva

P = c \prod_i (X - a_i)^{2k_i} \prod_j \bigl((X - z_j)(X - \conj z_j)\bigr)^{n_j},

com $c > 0$ (comportamento em $+\infty$ ). Seja

S = \sqrt c\, \prod_i (X - a_i)^{k_i} \prod_j (X - z_j)^{n_j} \in \C[X],

de modo que $P = S\,\conj S$ , em que $\conj S$ tem os coeficientes conjugados. Separe $S = A + \iu B$ com $A, B \in \R[X]$ : então

P = (A + \iu B)(A - \iu B) = A^2 + B^2 .

Exercício 8.8 ★★

Encontre o polinômio $P$ de grau $\leq 2$ com $P(0) = 1$ , $P(1) = 3$ , $P(2) = 2$ , primeiro pela fórmula de Lagrange e depois resolvendo o sistema linear nos coeficientes. Verifique que as duas respostas coincidem.

Solução

Solução de Exercício 8.8.

Lagrange (Teorema 8.23) com nós $0, 1, 2$ :

P = 1\cdot\frac{(X-1)(X-2)}{(0-1)(0-2)} + 3\cdot\frac{X(X-2)}{1\cdot(1-2)} + 2\cdot\frac{X(X-1)}{2\cdot 1} = \frac{(X-1)(X-2)}{2} - 3X(X-2) + X(X-1).

Expandindo: $\frac{X^2 - 3X + 2}{2} - 3X^2 + 6X + X^2 - X = -\frac{3}{2}X^2 + \frac{7}{2}X + 1$ .

Sistema: $P = aX^2 + bX + c$ com $c = 1$ ; $a + b + 1 = 3$ ; $4a + 2b + 1 = 2$ . Subtraindo o dobro da segunda da terceira: $2a - 1 = -4$ , de modo que $a = -\frac32$ , $b = \frac72$ . Mesmo polinômio: $P = -\frac32 X^2 + \frac72 X + 1$ . (Verificação: $P(2) = -6 + 7 + 1 = 2$ .)

Exercício 8.9 ★★

Demonstre que $P = X^{2n+1} - 1$ tem exatamente uma raiz real e que, para todo $n \geq 1$ , o polinômio $1 + X + \frac{X^2}{2!} + \dots + \frac{X^n}{n!}$ não tem raiz múltipla (compare $P$ e $P'$ ).

Solução

Solução de Exercício 8.9.

$P = X^{2n+1} - 1$ : $P' = (2n+1)X^{2n} \geq 0$ , de modo que a função polinomial é crescente (estritamente, exceto em $0$ ), com limites $\mp\infty$ : ela se anula exatamente uma vez em $\R$ (em $x = 1$ ).

Seja $E_n = \sum_{k=0}^{n} \frac{X^k}{k!}$ . Então $E_n' = E_{n-1} = E_n - \frac{X^n}{n!}$ . Uma raiz múltipla $a$ satisfaria $E_n(a) = E_n'(a) = 0$ (Proposição 8.11), donde $\frac{a^n}{n!} = E_n(a) - E_n'(a) = 0$ , de modo que $a = 0$ ; mas $E_n(0) = 1 \neq 0$ . Nenhuma raiz múltipla.

Exercício 8.10 ★★★

(Polinômios de Chebyshev) Defina $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ e $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ .

Demonstre por indução que $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ .
Deduza as $n$ raízes de $T_n$ e o seu coeficiente líder.
Demonstre que $\sup_{x \in \intcc{-1}{1}} \abs{T_n(x)} = 1$ , atingido em $n + 1$ pontos de $\intcc{-1}{1}$ .

Solução

Solução de Exercício 8.10.

Indução (os dois casos base valem). Usando $\cos(n+1)\theta + \cos(n-1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ :

$T_{n+1}(\cos\theta) = 2\cos\theta \cos n\theta - \cos(n-1)\theta = \cos(n+1)\theta .$
$T_n(\cos\theta) = 0$ se, e somente se, $n\theta \equiv \frac\pi2 \pmod \pi$ : os números

$x_k = \cos\Bigl(\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr), \qquad k = 0, 1, \dots, n-1,$

são $n$ pontos distintos de $\intoo{-1}{1}$ (os ângulos ficam em $\intoo{0}{\pi}$ , onde $\cos$ é injetivo), todos raízes de $T_n$ ; como $\deg T_n = n$ (pela recorrência, com coeficiente líder $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ , por indução), essas são todas as raízes, cada uma simples.
Para $x = \cos\theta \in \intcc{-1}{1}$ : $\abs{T_n(x)} = \abs{\cos n\theta} \leq 1$ , com igualdade se, e somente se, $n\theta \equiv 0 \pmod\pi$ , isto é, nos $n+1$ pontos $y_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ , $k = 0, \dots, n$ , em que $T_n(y_k) = (-1)^k$ . (Essa equioscilação faz de $2^{1-n}T_n$ o polinômio mônico de grau $n$ de menor norma do supremo em $\intcc{-1}{1}$ — demonstrado no problema de fim de semana deste capítulo.)

Exercício 8.11 ★★★

Seja $P \in \C[X]$ não constante, com raízes distintas $a_1, \dots, a_r$ (de multiplicidades $m_1, \dots, m_r$ ). Demonstre a identidade de funções racionais

\frac{P'(X)}{P(X)} = \sum_{i=1}^{r} \frac{m_i}{X - a_i},

e deduza o teorema de Gauss–Lucas: toda raiz de $P'$ está na envoltória convexa das raízes de $P$ (avalie a identidade numa raiz $w$ de $P'$ que não seja raiz de $P$ , tome conjugados e leia o resultado como sendo $w$ uma média ponderada dos $a_i$ ).

Solução

Solução de Exercício 8.11.

Escreva $P = c\prod_i (X - a_i)^{m_i}$ . A regra do produto (estendida a vários fatores) dá

P' = c\sum_{i} m_i (X - a_i)^{m_i - 1} \prod_{k \neq i} (X - a_k)^{m_k},

e, dividindo por $P$ : $\frac{P'}{P} = \sum_i \frac{m_i}{X - a_i}$ (como funções racionais, isto é, longe das raízes).

Seja $w$ uma raiz de $P'$ . Se $w$ é um dos $a_i$ , ele está na envoltória convexa trivialmente. Caso contrário, avaliando em $w$ :

0 = \sum_i \frac{m_i}{w - a_i} = \sum_i m_i\, \frac{\conj w - \conj a_i}{\abs{w - a_i}^2} .

Conjugando: $\sum_i \lambda_i (w - a_i) = 0$ , em que $\lambda_i = \frac{m_i}{\abs{w - a_i}^2} > 0$ . Portanto,

w = \frac{\sum_i \lambda_i a_i}{\sum_i \lambda_i} :

uma combinação convexa (pesos positivos com soma $1$ após normalização) das raízes $a_i$ . Logo, toda raiz de $P'$ está na envoltória convexa das raízes de $P$ .

Exercício 8.12 ★★

(Filtro das raízes da unidade) Sejam $n \in \N^*$ e $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ . Avaliando $(1 + X)^n$ em $1$ , $j$ e $j^2$ , demonstre que

\sum_{k \geq 0} \binom{n}{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}{3}}{3} ,

e confira a fórmula para $n = 3$ e $n = 6$ . Sugestão: $1 + j^m + j^{2m}$ vale $3$ se $3 \mid m$ e $0$ caso contrário; e $1 + j = \eu^{\iu\pi/3}$ .

Solução

Solução de Exercício 8.12.

Some as avaliações de $(1 + X)^n$ nas três raízes cúbicas da unidade:

2^n + (1 + j)^n + (1 + j^2)^n = \sum_{k=0}^n \binom nk\,\bigl(1 + j^k + j^{2k}\bigr) = 3\sum_{k\,:\,3\mid k}\binom nk ,

pois $1 + j^k + j^{2k}$ é uma soma geométrica igual a $3$ quando $3 \mid k$ e a $\frac{j^{3k} - 1}{j^k - 1} = 0$ caso contrário. Ora, $1 + j = \frac12 + \iu\frac{\sqrt3}2 = \eu^{\iu\pi/3}$ e $1 + j^2 = \conj{1 + j} = \eu^{-\iu\pi/3}$ , de modo que $(1+j)^n + (1+j^2)^n = 2\cos\frac{n\pi}3$ e

\sum_{k\geq0}\binom n{3k} = \frac{2^n + 2\cos\frac{n\pi}3}{3} .

Verificações: $n = 3$ : $\frac{8 + 2\cos\pi}3 = 2 = \binom30 + \binom33$ ; $n = 6$ : $\frac{64 + 2}3 = 22 = 1 + 20 + 1$ .

8.5 Problema: Polinômios de Chebyshev e o polinômio mais achatado

Problema 8.1

Entre todos os polinômios mônicos de grau $n$ , qual deles fica mais próximo de zero em $\intcc{-1}1$ ? A resposta — o teorema de Chebyshev, a certidão de nascimento da teoria da aproximação — é $2^{1-n}T_n$ , em que $T_n$ é o polinômio de Chebyshev do Exercício 8.10, e nenhum concorrente mônico consegue superar o seu desvio $2^{1-n}$ . Este problema desenvolve a álgebra da família $(T_n)$ (lei de composição, coeficientes explícitos, a família de segunda espécie $U_n$ , uma equação diferencial), demonstra o teorema de extremalidade com o seu caso de igualdade e recolhe aplicações: nós ótimos de interpolação, o valor exato de $\cos 36^\circ$ e uma congruência $T_p \equiv X^p \pmod p$ . Ao longo do problema, $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ , $T_{n+1} = 2X\,T_n - T_{n-1}$ , e usamos livremente $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ do Exercício 8.10.

Parte I — A família $(T_n)$ .

Calcule $T_2, T_3, T_4, T_5$ pela recorrência. (Compare $T_3$ com a identidade $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ do Exemplo 3.9.)
Demonstre por indução que $\deg T_n = n$ , com coeficiente líder $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ , e que $T_n$ tem a paridade de $n$ (só aparecem potências pares ou só ímpares).
Demonstre o princípio de unicidade: $T_n$ é o único polinômio que satisfaz $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ . (Dois polinômios que coincidem em $\intcc{-1}1$ coincidem em toda parte: Corolário 8.8.)
Deduza as leis de composição e de produto:

$T_m \circ T_n = T_{mn}, \qquad 2\,T_m T_n = T_{m+n} + T_{\abs{m-n}} .$
Recorde do Exercício 8.10 as raízes $x_k = \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ e os pontos de equioscilação $y_k = \cos\frac{k\pi}n$ , com $T_n(y_k) = (-1)^k$ . Escreva a fatoração completa de $T_n$ sobre $\R$ e justifique que os $y_k$ se intercalam: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ .
Demonstre que $T_n(\cosh t) = \cosh(nt)$ para todo $t \in \R$ (mesma indução, usando a Proposição 4.18) e deduza, para $x \geq 1$ , a forma fechada

$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2} ,$

de modo que $T_n(x) > 1$ para $x > 1$ : fora de $\intcc{-1}1$ o polinômio escapa imediatamente.

Parte II — Coeficientes, a família $U_n$ e uma equação diferencial.

A partir da fórmula de De Moivre (Corolário 3.8), demonstre a expressão explícita

$T_n(x) = \sum_{0 \leq 2j \leq n} \binom{n}{2j}\, x^{\,n-2j}\,(x^2 - 1)^j ,$

e verifique-a para $n = 3$ .
Calcule $T_n(1)$ , $T_n(-1)$ e $T_n(0)$ para todo $n$ .
Defina $U_n$ (de segunda espécie) por $U_0 = 1$ , $U_1 = 2X$ , $U_{n+1} = 2X\,U_n - U_{n-1}$ . Demonstre que $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ para $\theta \notin \pi\Z$ , e que $T_n' = n\,U_{n-1}$ para $n \geq 1$ .
Demonstre que $\abs{\sin n\theta} \leq n\,\abs{\sin\theta}$ para todo $\theta$ (indução) e deduza a estimativa do tipo Markov

$\abs{T_n'(x)} \leq n^2 \quad\text{em} \intcc{-1}1, \qquad\text{com} T_n'(\pm1) = (\pm1)^{n-1}\,n^2 .$
Mostre que $y = T_n$ satisfaz a equação diferencial

$(1 - x^2)\,y'' - x\,y' + n^2\,y = 0 ,$

derivando a identidade $\sin\theta\, T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ em relação a $\theta$ ; verifique diretamente para $T_2$ .

Parte III — O teorema de extremalidade de Chebyshev. Seja $\widetilde T_n = 2^{1-n}\,T_n$ (mônico pela questão 2) e escreva $\norm{P}_\infty = \sup_{x \in \intcc{-1}1}\abs{P(x)}$ .

Justifique que $\norm{\widetilde T_n}_\infty = 2^{1-n}$ , atingido com sinais alternados nos $n + 1$ pontos $y_n < \dots < y_0$ .
Suponha que algum $P$ mônico de grau $n$ tivesse $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , e ponha $D = \widetilde T_n - P$ . Mostre que $\deg D \leq n - 1$ e que $D(y_k)$ tem o sinal estrito de $(-1)^k$ para cada $k = 0, \dots, n$ .
Deduza que $D$ tem pelo menos $n$ raízes reais distintas (uma em cada intervalo, pela propriedade do valor intermediário, usada aqui no nível do ensino médio e demonstrada no Capítulo 13) e conclua o teorema de Chebyshev: todo $P$ mônico de grau $n$ satisfaz

$\norm{P}_\infty \geq 2^{1-n} .$
(Caso de igualdade, primeiro passo) Suponha agora $\norm P_\infty = 2^{1-n}$ exatamente, com $P$ mônico de grau $n$ , e seja $D = \widetilde T_n - P$ . Mostre que $(-1)^kD(y_k) \geq 0$ para todo $k$ e que, se $D(y_k) = 0$ num ponto interior $y_k$ ( $0 < k < n$ ), então $D'(y_k) = 0$ também. (Num $y_k$ interior, tanto $\widetilde T_n$ quanto $P$ atingem um extremo de valor absoluto $\norm{\cdot} _\infty$ ; uma função derivável tem derivada nula num extremo interior — usado no nível do ensino médio, demonstrado no Capítulo 14.)
(Caso de igualdade, conclusão) Conte as raízes de $D$ com multiplicidade para mostrar que $D = 0$ : o minimizante é único, $P = \widetilde T_n$ .
Transporte para um segmento arbitrário $\intcc ab$ : mostre que a norma do supremo mínima de um polinômio mônico de grau $n$ em $\intcc ab$ é $2\bigl(\frac{b-a}4\bigr)^n$ , atingida por um polinômio de Chebyshev reescalonado. (Substitua $x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ e acompanhe o coeficiente líder.)

Parte IV — Aplicações.

Trabalhe o caso $n = 3$ à mão: localize os extremos de $\widetilde T_3 = X^3 - \frac34X$ em $\intcc{-1}1$ , verifique a equioscilação em quatro pontos com valor $\frac14$ e conclua que nenhuma cúbica mônica faz melhor.
(Nós ótimos de interpolação) Para $n + 1$ nós $x_0, \dots, x_n \in \intcc{-1}1$ , o erro de interpolação é governado por $\omega(X) = \prod_i (X - x_i)$ (como o Capítulo 16 quantificará). Demonstre que a escolha que minimiza $\norm\omega_\infty$ é o conjunto das $n + 1$ raízes de $T_{n+1}$ , com $\norm\omega_\infty = 2^{-n}$ : os nós de Chebyshev são os lugares certos para interpolar.
Usando $T_5$ , demonstre que $c = \cos 36^\circ$ satisfaz $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ , fatore esse polinômio como $(x + 1)(4x^2 - 2x - 1)^2$ e conclua que

$\cos 36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .$

Verifique a coerência com $\cos 72^\circ = \frac{\sqrt5 - 1}4$ do Exercício 3.8.
Estime $T_{10}(1.1)$ com a forma fechada da questão 6 (dois algarismos significativos bastam) e interprete: um polinômio limitado por $1$ em $\intcc{-1}1$ já pode exceder $40$ em $x = 1.1$ . (Que $T_n$ cresça o mais rápido entre tais polinômios é outra propriedade extremal da família, além deste problema.)
Demonstre a congruência: para todo primo ímpar $p$ , todos os coeficientes de $T_p - X^p$ são divisíveis por $p$ . (Use a questão 7 e $p \mid \binom p{2j}$ para $0 < 2j < p$ , da demonstração do Teorema 6.23.) Verifique em $T_3$ e $T_5$ .

Parte V — Síntese.

Calcule explicitamente a quadrática mônica de norma do supremo mínima em $\intcc01$ e o seu desvio. (Questão 17 com $n = 2$ .)
Onde exatamente o problema usou: (i) a rigidez dos polinômios (Corolário 8.8); (ii) a trigonometria do Capítulo 3 e do Capítulo 4; (iii) a aritmética dos coeficientes binomiais do Capítulo 6? Uma frase para cada.
Síntese, num parágrafo curto: o teorema diz que o polinômio mônico mais achatado é aquele que equioscila, e a demonstração converte a otimalidade numa contagem de raízes. Comente esse mecanismo, o papel da substituição $x = \cos\theta$ como ponte entre álgebra e trigonometria, e nomeie os dois lugares em que o problema precisou de fatos de análise (TVI, extremo interior) que capítulos posteriores demonstram.

Solução

Solução de Problema 8.1.

1. $T_2 = 2X^2 - 1$ ; $T_3 = 2X(2X^2 - 1) - X = 4X^3 - 3X$ ; $T_4 = 2X\,T_3 - T_2 = 8X^4 - 8X^2 + 1$ ; $T_5 = 2X\,T_4 - T_3 = 16X^5 - 20X^3 + 5X$ . A identidade $T_3(\cos\theta) = \cos3\theta$ é exatamente $\cos3\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta$ do Exemplo 3.9.

2. Verdadeiro para $n = 1, 2$ . Se $T_{n-1}$ e $T_n$ têm graus $n-1$ e $n$ e coeficientes líderes $2^{n-2}$ e $2^{n-1}$ , então $2X\,T_n$ tem grau $n+1$ e coeficiente líder $2^n$ , ao passo que $T_{n-1}$ tem grau menor: $T_{n+1}$ tem grau $n + 1$ e coeficiente líder $2^n$ . Paridade: se $T_{n-1}$ tem a paridade de $n - 1$ e $T_n$ a de $n$ , então $2X\,T_n$ e $T_{n-1}$ têm ambos a paridade de $n + 1$ , e portanto $T_{n+1}$ também.

3. Se $P(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ , então $P$ e $T_n$ coincidem em todo ponto de $\intcc{-1}1$ — um conjunto infinito — de modo que $P - T_n$ tem infinitas raízes e é o polinômio nulo (Corolário 8.8).

4. Para $x = \cos\theta$ : $T_m(T_n(\cos\theta)) = T_m(\cos n\theta) = \cos(mn\theta) = T_{mn}(\cos\theta)$ , e $2T_mT_n(\cos\theta) = 2\cos m\theta\cos n\theta = \cos(m+n)\theta + \cos\abs{m - n}\theta$ . As duas identidades valem em $\intcc{-1}1$ e, portanto, como identidades polinomiais, pelo argumento da questão 3.

5. Os $x_k$ são $n$ raízes simples distintas e o coeficiente líder é $2^{n-1}$ :

T_n = 2^{n-1}\prod_{k=0}^{n-1} \Bigl(X - \cos\frac{(2k+1)\pi}{2n}\Bigr) .

Intercalação: os ângulos $0 < \frac{\pi}{2n} < \frac\pi n < \frac{3\pi}{2n} < \frac{2\pi}n < \dots < \pi$ alternam entre os ângulos $y$ , $\frac{k\pi}n$ , e os ângulos $x$ , $\frac{(2k+1)\pi}{2n}$ ; como $\cos$ é estritamente decrescente em $\intcc0\pi$ , os valores se intercalam na ordem inversa: $y_n < x_{n-1} < y_{n-1} < \dots < x_0 < y_0$ . Entre dois extremos consecutivos há exatamente uma raiz, como uma figura de $\cos n\theta$ sugere.

6. Indução com $2\cosh a\cosh b = \cosh(a + b) + \cosh(a - b)$ (Proposição 4.18): $T_{n+1}(\cosh t) = 2\cosh t\cosh nt - \cosh(n-1)t = \cosh(n+1)t$ . Para $x \geq 1$ , escreva $x = \cosh t$ com $t \geq 0$ ; então $\eu^t = x + \sqrt{x^2 - 1}$ e $\eu^{-t} = x - \sqrt{x^2 - 1}$ , de modo que

T_n(x) = \cosh(nt) = \frac{(x + \sqrt{x^2-1})^n + (x - \sqrt{x^2-1})^n}2 .

Para $x > 1$ , o primeiro termo excede $\frac12(1)^n$ estritamente e cresce geometricamente: $T_n(x) > 1$ .

7. De Moivre: $\cos n\theta = \Re\bigl((\cos\theta + \iu\sin\theta)^n\bigr) = \sum_{2j \leq n}\binom n{2j} \cos^{n-2j}\theta\,(\iu\sin\theta)^{2j}$ , e $(\iu\sin\theta)^{2j} = (-\sin^2\theta)^j = (\cos^2\theta - 1)^j$ . Substituindo $x = \cos\theta$ e invocando a questão 3:

T_n(x) = \sum_{0\leq 2j\leq n}\binom n{2j}x^{n-2j}(x^2 - 1)^j .

Para $n = 3$ : $\binom30 x^3 + \binom32 x(x^2 - 1) = x^3 + 3x^3 - 3x = 4x^3 - 3x$ , como na questão 1.

8. $T_n(1) = \cos(n\cdot0) = 1$ ; $T_n(-1) = \cos(n\pi) = (-1)^n$ ; $T_n(0) = \cos\frac{n\pi}2$ , que vale $0$ para $n$ ímpar e $(-1)^{n/2}$ para $n$ par.

9. Indução para $U_n(\cos\theta) = \frac{\sin(n+1)\theta}{\sin\theta}$ : verdadeiro para $U_0 = 1$ e $U_1 = 2X$ ( $\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ ); o passo é a identidade de transformação em produto $\sin(n+2)\theta = 2\cos\theta\, \sin(n+1)\theta - \sin n\theta$ . Agora derive $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ em $\theta$ : $-\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = -n\sin n\theta$ , de modo que, para $\theta \notin \pi\Z$ :

T_n'(\cos\theta) = n\,\frac{\sin n\theta}{\sin\theta} = n\,U_{n-1}(\cos\theta) ,

e os polinômios $T_n'$ e $nU_{n-1}$ , que coincidem em $\intoo{-1}1$ , são iguais.

10. $\abs{\sin(n+1)\theta} = \abs{\sin n\theta\cos\theta + \cos n\theta\sin\theta} \leq \abs{\sin n\theta} + \abs{\sin\theta}$ , e a indução dá $\abs{\sin n\theta} \leq n\abs{\sin\theta}$ . Portanto, $\abs{U_{n-1}} \leq n$ em $\intoo{-1}1$ e $\abs{T_n'} = n\abs{U_{n-1}} \leq n^2$ ali; em $\pm1$ a estimativa se estende por limites (ou diretamente: $U_{n-1}(1) = n$ pela recorrência, $U_n(1) = n + 1$ por indução, e a paridade dá $U_{n-1}(-1) = (-1)^{n-1}n$ ). Assim, $T_n'(1) = n^2$ e $T_n'(-1) = (-1)^{n-1}n^2$ : a estimativa $n^2$ é atingida nas extremidades.

11. Derive $\sin\theta\,T_n'(\cos\theta) = n\sin n\theta$ (questão 9) em relação a $\theta$ :

\cos\theta\,T_n'(\cos\theta) - \sin^2\theta\,T_n''(\cos\theta) = n^2\cos n\theta = n^2\,T_n(\cos\theta) .

Com $x = \cos\theta$ e $\sin^2\theta = 1 - x^2$ : $x\,T_n' - (1 - x^2)T_n'' = n^2T_n$ em $\intcc{-1}1$ , logo em toda parte: $(1 - x^2)y'' - xy' + n^2y = 0$ para $y = T_n$ . Verificação para $T_2 = 2x^2 - 1$ : $(1 - x^2)(4) - x(4x) + 4(2x^2 - 1) = 4 - 4x^2 - 4x^2 + 8x^2 - 4 = 0$ .

12. $\widetilde T_n$ é mônico (questão 2) e $\abs{\widetilde T_n} = 2^{1-n}\abs{T_n} \leq 2^{1-n}$ em $\intcc{-1}1$ , com $\widetilde T_n(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ nos $n + 1$ pontos $y_k$ (Exercício 8.10): a norma vale exatamente $2^{1-n}$ , atingida com sinais alternados.

13. $\widetilde T_n$ e $P$ são ambos mônicos de grau $n$ , de modo que os termos líderes se cancelam: $\deg D \leq n - 1$ . Em $y_k$ : $D(y_k) = (-1)^k2^{1-n} - P(y_k)$ , e $\abs{P(y_k)} \leq \norm P_\infty < 2^{1-n}$ força o sinal de $D(y_k)$ a ser o de $(-1)^k2^{1-n}$ , estritamente.

14. $D$ muda de sinal entre $y_{k+1}$ e $y_k$ para cada $k = 0, \dots, n-1$ : pela propriedade do valor intermediário, $D$ tem uma raiz em cada um desses $n$ intervalos abertos dois a dois disjuntos — $n$ raízes distintas para um polinômio não nulo de grau $\leq n - 1$ , o que é impossível. E $D = 0$ também é impossível (as normas diferem). Contradição: nenhum $P$ mônico de grau $n$ tem $\norm P_\infty < 2^{1-n}$ , o que é o teorema de Chebyshev.

15. Agora vale apenas $\abs{P(y_k)} \leq 2^{1-n}$ , de modo que $(-1)^k D(y_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(y_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(y_k)} \geq 0$ . Suponha que $D(y_k) = 0$ num $y_k$ interior ( $0 < k < n$ ): então $P(y_k) = (-1)^k2^{1-n}$ , de sorte que $\abs P$ atinge o seu supremo $2^{1-n}$ no ponto interior $y_k$ , donde $P'(y_k) = 0$ (extremo interior); e $T_n'(y_k) = nU_{n-1}(y_k) = 0$ , pois $\sin(n\cdot\frac{k\pi}n) = 0$ — de modo que $\widetilde T_n'(y_k) = 0$ também, e $D'(y_k) = 0$ : $y_k$ é raiz de $D$ de multiplicidade pelo menos $2$ .

16. Conte as raízes de $D$ com multiplicidade. Seja $z$ o número de pontos interiores $y_k$ com $D(y_k) = 0$ (cada um uma raiz dupla, pela questão 15) e $e \in \{0, 1, 2\}$ o número de extremidades ( $y_0$ ou $y_n$ ) com $D = 0$ (cada uma ao menos uma raiz simples). Um intervalo $(y_{k+1}, y_k)$ cujas duas extremidades têm ambas $D \neq 0$ carrega sinais estritamente alternados, logo uma raiz interior. Cada ponto interior que se anula estraga no máximo os dois intervalos adjacentes, e cada extremidade que se anula, no máximo um intervalo: pelo menos $n - 2z - e$ intervalos ainda contribuem com uma raiz cada, todas distintas das raízes $y$ . Total: pelo menos $(n - 2z - e) + 2z + e = n$ raízes com multiplicidade, para um polinômio de grau $\leq n - 1$ : logo $D = 0$ e $P = \widetilde T_n$ . O minimizante é único.

17. A aplicação afim $t \mapsto x = \frac{a+b}2 + \frac{b-a}2\,t$ é uma bijeção $\intcc{-1}1 \to \intcc ab$ . Se $P$ é mônico de grau $n$ , então $Q(t) = P(x(t))$ é um polinômio em $t$ com coeficiente líder $\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ , e $\sup_{\intcc ab}\abs P = \sup_{\intcc{-1}1}\abs Q$ . O polinômio mônico $Q/\bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n$ tem norma do supremo $\geq 2^{1-n}$ (questões 13–14), de modo que

\sup_{\intcc ab}\abs P \geq \Bigl(\frac{b-a}2\Bigr)^n 2^{1-n} = 2\Bigl(\frac{b-a}4\Bigr)^n ,

com igualdade exatamente para $P(x) = \bigl(\frac{b-a}2\bigr)^n \widetilde T_n\bigl(t(x)\bigr)$ (questão 16).

18. $\widetilde T_3 = \frac{T_3}4 = X^3 - \frac34X$ ; $\widetilde T_3{}' = 3X^2 - \frac34$ se anula em $\pm\frac12$ . Valores: $\widetilde T_3(-1) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(-\tfrac12) = \frac14$ , $\widetilde T_3(\tfrac12) = -\frac14$ , $\widetilde T_3(1) = \frac14$ : quatro extremos alternados de valor absoluto $\frac14$ — de modo que $\norm{\widetilde T_3}_\infty = \frac14$ , e, pelo teorema de Chebyshev, nenhuma cúbica mônica tem norma do supremo menor em $\intcc{-1}1$ .

19. $\omega$ é mônico de grau $n + 1$ , de modo que $\norm\omega_\infty \geq 2^{-n}$ pelo teorema de Chebyshev (grau $n+1$ ), com igualdade se, e somente se, $\omega = \widetilde T_{n+1} = 2^{-n}T_{n+1}$ (questão 16), isto é, se, e somente se, os nós são as $n + 1$ raízes de $T_{n+1}$ . Com os nós de Chebyshev, o fator de erro $\norm\omega_\infty$ vale $2^{-n}$ — o menor possível.

20. $5 \times 36^\circ = 180^\circ$ , de modo que $T_5(c) = \cos180^\circ = -1$ : $16c^5 - 20c^3 + 5c + 1 = 0$ . Testando $x = -1$ : $-16 + 20 - 5 + 1 = 0$ , e a expansão confirma que

16x^5 - 20x^3 + 5x + 1 = (x + 1)\bigl(4x^2 - 2x - 1\bigr)^2 .

Como $c = \cos36^\circ \neq -1$ , $c$ é raiz de $4x^2 - 2x - 1$ , cujas raízes são $\frac{1 \pm \sqrt5}4$ ; como $c > 0$ ,

\cos36^\circ = \frac{1 + \sqrt5}4 .

Coerência: $\cos72^\circ = T_2(c) = 2c^2 - 1 = 2\cdot\frac{3 + \sqrt5}8 - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}4$ , o valor encontrado no Exercício 3.8.

21. $\sqrt{1.1^2 - 1} = \sqrt{0.21} \approx 0.458$ , de modo que $x + \sqrt{x^2-1} \approx 1.558$ e $(1.558)^{10} \approx 84.5$ , ao passo que $(1.1 - 0.458)^{10} \approx 0.01$ : $T_{10}(1.1) \approx \frac{84.5 + 0.01}2 \approx 42$ . Um polinômio preso a $\intcc{-1}1$ no intervalo já cresceu além de $40$ a um décimo fora da sua borda: ser limitado num segmento nada diz uma polegada fora dele.

22. Na fórmula da questão 7 para $T_p$ , o termo $j = 0$ é $X^p$ ; todo outro termo carrega $\binom p{2j}$ com $0 < 2j < p$ (note que $2j \neq p$ , pois $p$ é ímpar), que é divisível por $p$ pelo primeiro passo da demonstração do Teorema 6.23. Portanto, todo coeficiente de $T_p - X^p$ é múltiplo de $p$ . Verificações: $T_3 - X^3 = 3X^3 - 3X = 3(X^3 - X)$ ; $T_5 - X^5 = 15X^5 - 20X^3 + 5X = 5(3X^5 - 4X^3 + X)$ .

23. Pela questão 17 com $\intcc ab = \intcc01$ e $n = 2$ : desvio mínimo $2\bigl(\frac14\bigr)^2 = \frac18$ , atingido por $\bigl(\frac12\bigr)^2\widetilde T_2(2x - 1) = \frac14\bigl((2x-1)^2 - \frac12\bigr) = x^2 - x + \frac18$ . A quadrática mônica mais próxima de zero em $\intcc01$ é $x^2 - x + \frac18$ , com norma do supremo $\frac18$ .

24. (i) A rigidez — um polinômio com mais raízes que o seu grau é nulo — alimentou o princípio de unicidade (questão 3), a transferência de identidades trigonométricas para identidades polinomiais (questões 4, 7, 9 e 11) e os dois argumentos de contagem de raízes da demonstração de extremalidade (questões 14 e 16). (ii) A trigonometria do Capítulo 3 (De Moivre, transformação em produto) e as funções hiperbólicas do Capítulo 4 forneceram todas as identidades por trás da família; a substituição $x = \cos\theta$ é a ponte. (iii) A divisibilidade $p \mid \binom p{2j}$ do Capítulo 6 transformou a fórmula dos coeficientes na congruência da questão 22.

25. O teorema de Chebyshev converte uma otimização sobre uma família de dimensão infinita (todos os polinômios mônicos) em combinatória finita: um concorrente melhor que $\widetilde T_n$ difereria dele por um polinômio de grau baixo obrigado a mudar de sinal $n$ vezes — uma raiz a mais do que o seu grau permite. O padrão de equioscilação não é, portanto, uma curiosidade, mas o próprio certificado de otimalidade, e o caso de igualdade refina a contagem de raízes com multiplicidades. A substituição $x = \cos\theta$ merece a última palavra: ela transporta o mundo rígido e discreto dos polinômios para o mundo periódico da trigonometria, em que as raízes e os extremos de $T_n$ são simplesmente a grade regular de $\cos n\theta$ . Os dois fatos de análise tomados emprestados — a propriedade do valor intermediário (questão 14; demonstrada no Capítulo 13) e a derivada nula num extremo interior (questão 15; demonstrada no Capítulo 14) — são exatamente as ferramentas que esses capítulos posteriores devolverão, fechando o ciclo.

8.1 O anel K[X]K[X]K[X]

8.2 Raízes

8.3 Coeficientes e raízes

8.4 Exercícios

8.5 Problema: Polinômios de Chebyshev e o polinômio mais achatado

8.1 O anel $K[X]$