Matemática universitária — Graduação 2 · Bachelor Year 2

20Integrais de linha e integrais múltiplas

Este capítulo estende a integração de intervalos a curvas e a domínios do plano e do espaço. As integrais de linha integram uma forma diferencial $P\,\dd x + Q\,\dd y$ ao longo de um arco orientado; as integrais duplas e triplas integram funções sobre domínios de dimensão dois e três. As duas teorias se encontram no teorema de Green–Riemann, o teorema fundamental do cálculo em dimensão dois, e a principal ferramenta de cálculo em todo o capítulo é a fórmula de mudança de variáveis, cujo fator de distorção é o valor absoluto do determinante jacobiano.

20.1 Integrais de linha

Definição 20.1 (Forma diferencial; integral de linha)

Seja $U \subseteq \R^2$ um aberto. Uma forma diferencial de grau $1$ e classe $\mathcal{C}^0$ em $U$ é uma expressão $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ com $P, Q \colon U \to \R$ contínuas — formalmente, uma aplicação contínua de $U$ no dual de $\R^2$ , $\omega(M) = P(M)\,e_1^* + Q(M)\,e_2^*$ . Para um arco $\gamma \colon [a, b] \to U$ de classe $\mathcal{C}^1$ , $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ , a integral de linha de $\omega$ ao longo de $\gamma$ é

\int_\gamma \omega = \int_a^b \Bigl(P(\gamma(t))\,x'(t) + Q(\gamma(t))\,y'(t)\Bigr)\,\dd t .

As definições se estendem literalmente a $\R^3$ (formas $P\,\dd x + Q\,\dd y + R\,\dd z$ ) e a arcos $\mathcal{C}^1$ por pedaços (soma sobre os pedaços).

Proposição 20.2 (Invariância e orientação)

A integral de linha não muda sob uma mudança de parâmetro $\mathcal{C}^1$ crescente, e muda de sinal sob uma decrescente. Ela depende portanto apenas do arco geométrico orientado.

Demonstração. Se $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ é uma mudança de parâmetro e $\tilde\gamma = \gamma \circ \theta$ , então, pela regra da cadeia e pela mudança de variáveis a uma variável $t = \theta(u)$ ,

\int_{\tilde\gamma}\omega = \int_c^d \bigl(P(\gamma(\theta(u)))\,x'(\theta(u)) + Q(\gamma(\theta(u)))\,y'(\theta(u))\bigr)\,\theta'(u)\,\dd u = \pm\int_a^b \bigl(Px' + Qy'\bigr)(t)\,\dd t ,

com sinal $+$ se $\theta$ é crescente ( $\theta(c) = a$ ) e $-$ se for decrescente (os limites se trocam). ∎

Exemplo 20.3 (Trabalho de uma força; circulação)

Se $F = (P, Q)$ é um campo de forças, $\int_\gamma P\dd x + Q\dd y = \int_a^b \langle F(\gamma(t)), \gamma'(t)\rangle\,\dd t$ é o trabalho de $F$ ao longo de $\gamma$ . Para $\omega = -y\,\dd x + x\,\dd y$ ao longo do círculo unitário $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ percorrido no sentido anti-horário:

\int_\gamma \omega = \int_0^{2\pi}\bigl((-\sin t)(-\sin t) + \cos t\cos t\bigr)\,\dd t = 2\pi ,

o dobro da área encerrada — um primeiro indício de Green–Riemann.

Exemplo 20.4 (Uma integral, duas parametrizações, uma armadilha de sinal)

Calcule $\int_\gamma x\,\dd y$ ao longo do semicírculo unitário superior de $(1, 0)$ a $(-1, 0)$ . Com $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ , $t \in \intcc0\pi$ :

\int_0^\pi\cos t\cdot\cos t\,\dd t = \frac\pi2 .

Com a parametrização por gráfico $x \mapsto (x, \sqrt{1 - x^2})$ , $x$ indo de $1$ a $-1$ (atenção ao sentido!):

\int_1^{-1}x\cdot\frac{-x}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \int_{-1}^{1}\frac{x^2}{\sqrt{1 - x^2}}\,\dd x = \frac\pi2

( $x = \sin u$ a reduz a uma integral de Wallis). Mesmo valor, como a Proposição 20.2 garante — mas só porque os dois percursos vão de $(1,0)$ a $(-1,0)$ ; inverter o sentido troca o sinal. Fechar o caminho ao longo do eixo $x$ (em que $\dd y = 0$ ) não acrescenta nada, e o total $\frac\pi2$ é a área do semidisco: a primeira instância das fórmulas de área pelo bordo de Green–Riemann abaixo.

Definição 20.5 (Formas exatas e fechadas)

A forma $\omega = P\,\dd x + Q\,\dd y$ de classe $\mathcal{C}^0$ é exata em $U$ se existe $f \in \mathcal{C}^1(U)$ (um potencial) com $\omega = \dd f$ , isto é, $P = f_x$ e $Q = f_y$ . Uma forma $\mathcal{C}^1$ é fechada se $P_y = Q_x$ em $U$ .

Teorema 20.6 (Teorema fundamental para integrais de linha)

Se $\omega = \dd f$ é exata e $\gamma$ é um arco $\mathcal{C}^1$ por pedaços em $U$ de $A$ a $B$ , então

\int_\gamma \omega = f(B) - f(A) .

Em particular, a integral de uma forma exata ao longo de qualquer arco fechado é nula, e toda forma $\mathcal{C}^1$ exata é fechada.

Demonstração. $\frac{\dd}{\dd t}f(\gamma(t)) = f_x(\gamma(t))x'(t) + f_y(\gamma(t))y'(t)$ pela regra da cadeia (Capítulo 15), de modo que o integrando em Definição 20.1 é a derivada de $t \mapsto f(\gamma(t))$ , e o teorema fundamental do cálculo dá o resultado em cada pedaço; os valores intermediários se telescopam. Que as formas $\mathcal{C}^1$ exatas sejam fechadas é o teorema de Schwarz: $P_y = f_{xy} = f_{yx} = Q_x$ . ∎

Exemplo 20.7 (Reconstruindo um potencial)

Seja $\omega = y\,\eu^{xy}\,\dd x + (x\,\eu^{xy} + 2y)\,\dd y$ em $\R^2$ . Ela é fechada: ambas as derivadas cruzadas valem $\eu^{xy}(1 + xy)$ . Para achar um potencial, integre $P$ em $x$ com $y$ fixo:

f(x, y) = \int y\,\eu^{xy}\,\dd x = \eu^{xy} + c(y),

depois ajuste $c$ igualando $f_y$ : $x\,\eu^{xy} + c'(y) = x\,\eu^{xy} + 2y$ dá $c(y) = y^2$ . Assim $f(x,y) = \eu^{xy} + y^2$ e, para qualquer arco $\mathcal C^1$ por pedaços de $(0,0)$ a $(1,1)$ ,

\int_\gamma\omega = f(1,1) - f(0,0) = (\eu + 1) - 1 = \eu ,

independentemente do caminho — a receita em dois passos (integrar em $x$ , corrigir em $y$ ) é a recíproca prática do Teorema 20.6 em domínios em que as formas fechadas são exatas.

Exemplo 20.8 (Fechada não implica exata)

Em $U = \R^2 \setminus \{0\}$ , a forma ângulo

\omega = \frac{-y\,\dd x + x\,\dd y}{x^2 + y^2}

é fechada (cálculo direto: tanto $P_y$ quanto $Q_x$ valem $\frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}$ ), mas sua integral ao longo do círculo unitário vale $2\pi \neq 0$ (mesmo cálculo do Exemplo 20.3, dividido por $1$ ): $\omega$ não é exata em $U$ . Localmente, $\omega = \dd\theta$ para uma determinação $\theta$ do ângulo polar; a falha é global — o ângulo não pode ser definido continuamente em torno do furo. Em domínios sem buracos a patologia desaparece: num aberto estrelado, toda forma $\mathcal{C}^1$ fechada é exata (lema de Poincaré, Exercício 20.8).

20.2 Integrais duplas

Tomamos por adquirida a teoria da integral de Riemann a uma variável (volume do primeiro ano de graduação e Capítulo 9) e esboçamos sua versão a duas variáveis. Uma função $f$ contínua num retângulo $R = [a, b] \times [c, d]$ tem uma integral dupla $\iint_R f$ , definida por somas de Riemann sobre grades exatamente como a uma variável, e calculada por iteração:

Teorema 20.9 (Fubini num retângulo)

Para $f$ contínua em $R = [a,b] \times [c,d]$ ,

\iint_R f = \int_a^b \Bigl(\int_c^d f(x, y)\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_c^d \Bigl(\int_a^b f(x, y)\,\dd x\Bigr)\dd y .

Demonstração. Ponha $F(x) = \int_c^d f(x, y)\,\dd y$ . A continuidade uniforme de $f$ no compacto $R$ torna $F$ contínua (estimativa dominada: $\abs{F(x) - F(x')} \leq (d - c)\sup_y\abs{f(x,y) - f(x',y)}$ ). Subdivida agora $[a,b]$ e $[c,d]$ em $n$ partes iguais, o que dá uma grade de células $R_{ij}$ de área $\Delta x\,\Delta y$ . Em cada célula, $\inf_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y \leq \int_{x_{i-1}}^{x_i}\int_{y_{j-1}}^{y_j} f(x,y)\,\dd y\,\dd x \leq \sup_{R_{ij}} f \cdot \Delta x \Delta y$ pela monotonia da integral a uma variável (aplicada duas vezes). Somando sobre as células, a integral iterada $\int_a^b F$ fica espremida entre as somas de Riemann inferior e superior da grade; pela continuidade uniforme, ambas as somas convergem ao valor comum que define $\iint_R f$ quando $n \to \infty$ . O mesmo argumento se aplica com os papéis de $x$ e $y$ trocados, de modo que ambas as integrais iteradas valem $\iint_R f$ . ∎

Observação 20.10

A continuidade num retângulo compacto faz trabalho de verdade na demonstração de Fubini: ela fornece a continuidade uniforme que espreme as somas de Riemann. Para integrandos mais selvagens o enunciado realmente falha — há funções cujas duas integrais iteradas existem e diferem. O teorema geral honesto, com a integrabilidade como única hipótese, é o teorema de Fubini para a integral de Lebesgue, demonstrado no volume do terceiro ano de graduação; tudo neste capítulo permanece no quadro contínuo em que a demonstração elementar acima é completa.

Definição 20.11 (Domínios elementares)

Um domínio $D \subseteq \R^2$ é elementar em $y$ se

D = \{(x, y) : a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}

com $\varphi_1 \leq \varphi_2$ contínuas em $[a,b]$ (elementar em $x$ : simetricamente). Para $f$ contínua num $D$ elementar em $y$ ,

\iint_D f = \int_a^b\Bigl( \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)\,\dd y\Bigr)\dd x ,

e verifica-se (estendendo $f$ por um argumento de aproximação, ou subdividindo) que, quando $D$ é elementar nos dois sentidos, as duas integrais iteradas coincidem. Domínios recortados em finitos pedaços elementares são tratados por aditividade, e a área de $D$ é $\operatorname {Area}(D) = \iint_D 1$ .

Exemplo 20.12

No triângulo $D = \{0 \leq x \leq 1,\ 0 \leq y \leq x\}$ :

\iint_D xy \,\dd x\,\dd y = \int_0^1 x\Bigl(\int_0^x y\,\dd y\Bigr)\dd x = \int_0^1 x\cdot\frac{x^2}{2}\,\dd x = \frac18 .

Trocando a ordem ( $x$ de $y$ a $1$ ): $\int_0^1 y\bigl(\int_y^1 x\,\dd x\bigr)\dd y = \int_0^1 y\,\frac{1 - y^2}{2}\,\dd y = \frac18$ — mesmo valor, cálculo diferente: escolher bem a ordem de integração é metade do ofício.

Exemplo 20.13 (Quando só uma ordem funciona)

Calcule $I = \displaystyle\int_0^1\!\!\int_x^1 \eu^{y^2}\,\dd y\,\dd x$ . Como está escrita, a integral interna $\int\eu^{y^2}\dd y$ não tem primitiva elementar: o cálculo trava. Mas o domínio é o triângulo $0 \leq x \leq y \leq 1$ , que é elementar nos dois sentidos; trocando a ordem,

I = \int_0^1\!\!\int_0^y \eu^{y^2}\,\dd x\,\dd y = \int_0^1 y\,\eu^{y^2}\,\dd y = \Bigl[\tfrac12\eu^{y^2}\Bigr]_0^1 = \frac{\eu - 1}{2} .

A variável interna $x$ não aparecia em lugar algum do integrando, de modo que integrá-la primeiro produziu exatamente o fator $y$ que torna imediata a integral externa. Moral: Fubini não é apenas uma licença para iterar — é uma licença para escolher, e a ordem certa pode transformar uma integral impossível numa única linha. Esboce sempre o domínio e leia as duas descrições antes de começar.

Teorema 20.14 (Mudança de variáveis)

Seja $\Phi \colon U' \to U$ um difeomorfismo $\mathcal{C}^1$ entre abertos de $\R^2$ , seja $K \subseteq U$ um domínio compacto recortado em pedaços elementares com $K' = \Phi^{-1}(K)$ , e seja $f$ contínua em $K$ . Então

\iint_K f(x, y)\,\dd x\,\dd y = \iint_{K'} f\bigl(\Phi(u, v)\bigr)\, \abs{\det J_\Phi(u, v)}\,\dd u\,\dd v .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 20.15

A demonstração completa — aproximar $\Phi$ por sua diferencial numa grade fina e controlar as células do bordo — é longa, embora não profunda; ela é feita por inteiro na teoria da medida do terceiro ano, como consequência da teoria de Lebesgue. A heurística é a imagem já usada para a área de superfícies: um pequeno quadrado de lado $\dd u$ em $(u, v)$ é aplicado, em primeira ordem, sobre o paralelogramo gerado por $\Phi_u\,\dd u$ e $\Phi_v\,\dd v$ , cuja área é $\abs{\det J_\Phi}\,\dd u\,\dd v$ (Lema 19.18).

Observação 20.16 (Método: escolhendo a mudança de variáveis)

Três reflexos cobrem a maioria dos casos. Simetria do integrando: $x^2 + y^2$ pede polares, uma estrutura de produto pede que se mantenham os eixos cartesianos. Forma do bordo: bordos $u(x,y) = c_1$ , $v(x,y) = c_2$ imploram pelas próprias coordenadas $(u, v)$ , como no exemplo da região hiperbólica abaixo — o domínio se torna um retângulo, o que já é toda a vitória. Estrutura linear: expressões em $x + y$ e $x - y$ convidam à rotação de $45$ graus ou a um cisalhamento (Exemplo 20.18). Em todos os casos, três caixas a marcar antes de integrar: a aplicação é uma bijeção do novo domínio sobre o antigo; seu jacobiano é calculado no sentido efetivamente usado (inverta no fim, se for mais fácil); e o jacobiano entra com seu valor absoluto.

Exemplo 20.17 (Coordenadas polares)

$\Phi(\rho, \alpha) = (\rho\cos\alpha,\ \rho\sin\alpha)$ tem

J_\Phi = \begin{pmatrix} \cos\alpha & -\rho\sin\alpha\\ \sin\alpha & \rho\cos\alpha \end{pmatrix}, \qquad \det J_\Phi = \rho ,

logo $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$ . Para o disco $D_R$ de raio $R$ :

\iint_{D_R} e^{-(x^2 + y^2)}\,\dd x\,\dd y = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R e^{-\rho^2}\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = \pi\bigl(1 - e^{-R^2}\bigr) \xrightarrow[R\to\infty]{} \pi .

Comparando com o quadrado $[-R, R]^2$ (que fica espremido entre os discos $D_R$ e $D_{R\sqrt2}$ , todos os integrandos positivos) obtém-se $\bigl(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\dd x\bigr)^2 = \pi$ :

\boxed{\ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2}\,\dd x = \sqrt{\pi}\ }

— de novo a integral de Gauss, agora por sua demonstração mais famosa (compare com a dedução a uma variável em Capítulo 9).

Exemplo 20.18 (Mudanças de variáveis afins)

Para uma aplicação afim $\Phi(u, v) = M(u, v)^{\mathsf T} + C$ com $M$ invertível, o jacobiano é a matriz constante $M$ : as áreas são multiplicadas pelo fator constante $\abs{\det M}$ — a promessa feita no Capítulo 17 é agora um teorema. Dois usos imediatos. A elipse $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} \leq 1$ é a imagem do disco unitário por $(u, v) \mapsto (au, bv)$ , de modo que sua área é $ab \cdot \pi$ — sem cálculo algum. E, para a integral de $f(x + y)$ sobre o quadrado $K = \intcc01^2$ , o cisalhamento $\Phi(u, v) = (u - v, v)$ (determinante $1$ ) a transforma numa integral de $f(u)$ sobre um paralelogramo, que Fubini fatia a $u$ constante: com $f = \exp$ ,

\iint_K \eu^{x+y}\,\dd x\,\dd y = \Bigl(\int_0^1 \eu^x\,\dd x\Bigr)^2 = (\eu - 1)^2,

como a estrutura de produto confirma. Escolher coordenadas adaptadas ao integrando — e não ao domínio — é a outra metade do ofício.

Exemplo 20.19 (Coordenadas adaptadas a um domínio curvilíneo)

Seja $D$ a região do primeiro quadrante limitada pelas hipérboles $xy = 1$ e $xy = 3$ e pelas retas $y = x$ e $y = 3x$ . Nas coordenadas $u = xy$ , $v = y/x$ o domínio se torna o quadrado $\intcc13 \times \intcc13$ ; invertendo,

x = \sqrt{u/v}, \qquad y = \sqrt{uv}, \qquad \det J = x_uy_v - x_vy_u = \frac{1}{2v}

(um cálculo de duas linhas com $x = u^{1/2}v^{-1/2}$ , $y = u^{1/2}v^{1/2}$ ). Portanto

\operatorname{Area}(D) = \int_1^3\!\!\int_1^3\frac{\dd u\,\dd v}{2v} = 2\cdot\frac{\ln 3}{2} = \ln 3 \approx 1.10 .

Tentar fatiar $D$ em coordenadas cartesianas significa recortá-lo em três pedaços com bordos hiperbólicos e lineares — factível, sem alegria e propenso a erros. A moral repete a Exemplo 20.18 com força total: leia as equações do bordo e deixe que elas escolham as coordenadas; o jacobiano então converte a área da célula da malha curvilínea, exatamente como o $\rho$ fez para as coordenadas polares.

Exemplo 20.20 (Valores médios)

O valor médio de $f$ num domínio $D$ é $\frac1{\operatorname{Area}(D)}\iint_Df$ . Amostra: a distância média ao centro para um ponto escolhido uniformemente no disco de raio $R$ é

\frac{1}{\pi R^2}\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R \rho\cdot\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = \frac{2\pi R^3/3}{\pi R^2} = \frac{2R}3 ,

e não $R/2$ : a área uniforme põe mais massa nos raios grandes (a coroa de raio $\rho$ tem peso proporcional a $\rho$ ), de modo que a média fica além da metade. Acertar esse fator é exatamente o jacobiano polar em ação, e a mesma ponderação explica o centroide $\bar z = 3R/8$ da meia-bola calculado adiante no capítulo, em vez de $R/2$ .

20.3 O teorema de Green–Riemann

Teorema 20.21 (Green–Riemann)

Seja $K \subseteq \R^2$ um domínio compacto elementar nos dois sentidos (ou uma união finita de tais domínios colados ao longo de segmentos), com bordo $\partial K$ uma curva fechada $\mathcal{C}^1$ por pedaços orientada no sentido anti-horário (o domínio fica à esquerda). Para $P, Q$ de classe $\mathcal{C}^1$ numa vizinhança de $K$ :

\oint_{\partial K} P\,\dd x + Q\,\dd y = \iint_K \Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,\dd x\,\dd y .

Demonstração. Primeiro, ambos os membros são aditivos quando se corta $K$ ao longo de um segmento em dois pedaços $K_1, K_2$ : as integrais duplas se somam pela aditividade de $\iint$ ; quanto às integrais de bordo, os bordos anti-horários de $K_1$ e de $K_2$ percorrem cada um o corte interior uma vez, em sentidos opostos, de modo que, na soma

\oint_{\partial K_1} + \oint_{\partial K_2} = \oint_{\partial K} + (\text{corte, nos dois sentidos}) = \oint_{\partial K},

as duas passagens ao longo do corte se cancelam (Proposição 20.2) e só o bordo exterior sobrevive. Iterando finitos cortes, basta tratar um domínio elementar. Demonstramos $\oint P\,\dd x = -\iint_K P_y$ num domínio $D = \{a \leq x \leq b,\ \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}$ elementar em $y$ ; a identidade $\oint Q\,\dd y = \iint_K Q_x$ é simétrica (elementar em $x$ ), e o teorema é a soma das duas.

Calcule a integral dupla por Fubini e pelo teorema fundamental a uma variável:

\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y = \int_a^b \bigl(P(x, \varphi_2(x)) - P(x, \varphi_1(x))\bigr) \,\dd x .

Ora, o bordo de $D$ , no sentido anti-horário, consiste em: o gráfico inferior $y = \varphi_1(x)$ percorrido da esquerda para a direita, o segmento vertical direito $x = b$ (para cima), o gráfico superior $y = \varphi_2(x)$ percorrido da direita para a esquerda, o segmento vertical esquerdo $x = a$ (para baixo). Ao longo dos segmentos verticais $x$ é constante, de modo que eles contribuem com $0$ para $\oint P\,\dd x$ ; os gráficos, parametrizados por $x$ , dão

\oint_{\partial D} P\,\dd x = \int_a^b P(x, \varphi_1(x))\,\dd x - \int_a^b P(x, \varphi_2(x))\,\dd x = -\iint_D \frac{\partial P}{\partial y}\,\dd x\,\dd y . \qedhere

∎

Corolário 20.22 (Área pelo bordo)

Sob as hipóteses do Teorema 20.21,

\operatorname{Area}(K) = \oint_{\partial K} x\,\dd y = -\oint_{\partial K} y\,\dd x = \frac12\oint_{\partial K} x\,\dd y - y\,\dd x .

Demonstração. Aplique Green–Riemann a $(P, Q) = (0, x)$ , $(-y, 0)$ e $\frac12(-y, x)$ : de cada vez, $Q_x - P_y = 1$ . ∎

Observação 20.23 (Escolhendo entre as três fórmulas de área)

As três fórmulas de bordo são iguais, mas não intercambiáveis na prática. Use $\oint x\,\dd y$ quando a parametrização torna $\dd y$ simples (gráficos sobre o eixo $y$ ), $-\oint y\,\dd x$ simetricamente, e a semissoma simétrica quando a parametrização trata $x$ e $y$ de modo equilibrado — para a elipse ela produziu um integrando constante, sem nenhuma linearização trigonométrica. Em bordos poligonais a semissoma se torna a fórmula do cadarço do Exercício 20.12, o algoritmo dos agrimensores. E quando o bordo é percorrido no sentido horário pela parametrização dada, as três fórmulas devolvem menos a área: um resultado negativo não é um erro de cálculo, mas um relatório de orientação — inverta o sinal, ou a parametrização.

Exemplo 20.24 (Área da elipse)

Para $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ , $t \in [0, 2\pi]$ :

\operatorname{Area} = \frac12\int_0^{2\pi}\bigl(a\cos t \cdot b\cos t - b\sin t\cdot(-a\sin t)\bigr)\,\dd t = \frac{ab}{2}\int_0^{2\pi}\dd t = \pi ab .

Exemplo 20.25 (Green–Riemann como verificação cruzada)

Tome $P = -y^3$ , $Q = x^3$ no disco unitário fechado $D$ . Lado do bordo, com $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ :

\oint_{\partial D}P\,\dd x + Q\,\dd y = \int_0^{2\pi}\bigl(\sin^4 t + \cos^4 t\bigr)\dd t = 2\pi\cdot\Bigl(\frac38 + \frac38\Bigr) = \frac{3\pi}2 ,

por linearização ( $\sin^4 + \cos^4 = \tfrac34 + \tfrac14\cos4t$ ). Lado do interior:

\iint_D(Q_x - P_y)\,\dd x\,\dd y = \iint_D 3(x^2 + y^2)\,\dd x\,\dd y = 3\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1\rho^3\,\dd\rho\,\dd\alpha = \frac{3\pi}2 .

Mesmo número, dois cálculos muito diferentes — e esse é o uso prático: o lado da identidade de Green que for mais fácil torna-se o cálculo, o outro uma verificação. Para circulações de campos polinomiais em torno de curvas fechadas, a integral dupla é quase sempre o lado fácil.

Observação 20.26

Green–Riemann explica o Exemplo 20.8: para uma forma fechada ( $Q_x = P_y$ ), a integral em torno do bordo de qualquer domínio contido em $U$ se anula. A forma ângulo deixa de ser exata apenas porque o furo na origem impede que o disco limitado pelo círculo unitário esteja dentro de $U$ — as integrais de linha de formas fechadas detectam os buracos do domínio. (Levada mais longe, essa observação se torna a cohomologia de de Rham.)

20.4 Integrais triplas

A teoria se estende a três variáveis sem ideia nova alguma: Fubini reduz $\iiint$ a três integrais a uma variável (seja por fatiamento: $\iiint_K f = \int\bigl(\iint_{K_z} f\bigr)\dd z$ sobre as fatias horizontais $K_z$ , seja por empilhamento: integrando primeiro em $z$ ao longo de varetas verticais), e a fórmula de mudança de variáveis vale com o jacobiano $3 \times 3$ .

Exemplo 20.27 (Coordenadas cilíndricas e esféricas)

Cilíndricas $(x, y, z) = (\rho\cos\alpha, \rho\sin\alpha, z)$ : $\dd x\,\dd y\,\dd z = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha\,\dd z$ . Esféricas $(x, y, z) = (r\cos\theta\cos\varphi,\ r\sin\theta\cos\varphi,\ r\sin\varphi)$ ( $\theta$ a longitude, $\varphi \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$ a latitude): desenvolvendo o determinante $3 \times 3$ pela última linha,

\det J = r^2\cos\varphi , \qquad \dd x\,\dd y\,\dd z = r^2\cos\varphi\;\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi .

Volume da bola de raio $R$ :

V = \int_0^R\!\!\int_0^{2\pi}\!\!\int_{-\pi/2}^{\pi/2} r^2\cos\varphi\;\dd\varphi\,\dd\theta\,\dd r = \frac{R^3}{3}\cdot 2\pi \cdot 2 = \boxed{\frac43\pi R^3} ,

quitando enfim a fórmula admitida nos capítulos de volume dos livros anteriores.

Exemplo 20.28 (O tetraedro, duas vezes)

O volume de $T = \{x, y, z \geq 0,\ x + y + z \leq 1\}$ , por empilhamento: para $(x, y)$ fixo no triângulo $x + y \leq 1$ , $z$ percorre $\intcc0{1 - x - y}$ , logo

V = \int_0^1\!\!\int_0^{1-x}(1 - x - y)\,\dd y\,\dd x = \int_0^1\frac{(1 - x)^2}{2}\,\dd x = \frac16 .

Por fatiamento: a seção à altura $z$ é o triângulo $\{x, y \geq 0,\ x + y \leq 1 - z\}$ , de área $\frac{(1-z)^2}2$ , e $V = \int_0^1\frac{(1-z)^2}2\,\dd z = \frac16$ de novo — os dois cálculos são as mesmas integrais em ordem diferente, que é tudo o que Fubini afirma. O valor $\frac16 = \frac13\cdot\frac12\cdot1$ é a fórmula do cone (Exemplo 20.30) com base triangular, e a versão em dimensão $n$ , $1/n!$ , é demonstrada exatamente por esse fatiamento no problema de fim de semana.

Exemplo 20.29 (Centroide de uma meia-bola)

Para a meia-bola superior $H$ de raio $R$ ( $z \geq 0$ ), a altura do centroide é $\bar z = \frac1{V}\iiint_H z$ , com $V = \frac23\pi R^3$ . Em coordenadas esféricas ( $z = r\sin\varphi$ , $\varphi \in \intcc0{\pi/2}$ ):

\iiint_H z = \int_0^R r^3\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta \int_0^{\pi/2}\sin\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi = \frac{R^4}4\cdot2\pi\cdot\frac12 = \frac{\pi R^4}4 ,

logo

\bar z = \frac{\pi R^4/4}{2\pi R^3/3} = \frac{3R}8 :

o ponto de equilíbrio de um hemisfério maciço fica a três oitavos do raio acima da face plana — abaixo da meia-altura $R/2$ , como deve ser, pois o sólido é mais gordo perto da base. Todo cálculo de centroide tem essa forma: uma integral de momento, um volume, uma razão e uma verificação de plausibilidade contra a geometria.

Exemplo 20.30 (Volume por fatiamento: o cone)

Um cone de área de base $A$ e altura $h$ (vértice em cima, base em $z = 0$ ): a fatia à altura $z$ é a base escalada pelo fator $(1 - z/h)$ , de área $A(1 - z/h)^2$ . Portanto

V = \int_0^h A\Bigl(1 - \frac zh\Bigr)^2\dd z = \frac{Ah}{3} :

o um terço das fórmulas da escola, válido para qualquer forma de base — o fatiamento o transforma na integral de um quadrado.

Exemplo 20.31 (Limiares de integrabilidade no plano)

Para quais $\alpha > 0$ a integral $\iint_{D}\rho^{-\alpha}\,\dd x\,\dd y$ converge no disco unitário perfurado $D$ (limite sobre coroas $\varepsilon \leq \rho \leq 1$ )? Em coordenadas polares,

\int_0^{2\pi}\!\!\int_\varepsilon^1\rho^{-\alpha}\, \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\int_\varepsilon^1\rho^{1-\alpha}\,\dd\rho ,

que converge quando $\varepsilon \to 0$ se e somente se $1 - \alpha > -1$ , isto é, $\alpha < 2$ : em dimensão $2$ o expoente crítico de singularidade é a própria dimensão, o $\rho$ suplementar vindo do jacobiano suavizando a singularidade em uma potência. (Do mesmo modo, $\alpha < 3$ para uma singularidade pontual no espaço, via $r^2$ .) Contabilidade radial desse tipo é como a integrabilidade é decidida num relance no quadro de Lebesgue do terceiro ano — e é a razão pela qual $\iiint 1/r$ convergiu sem esforço no Exercício 20.7.

Observação 20.32 (Armadilhas comuns)

(i) Orientação: uma integral de linha muda de sinal com o sentido de percurso, e Green–Riemann exige o bordo no sentido anti-horário (domínio à esquerda); para um domínio com um buraco, o bordo interno é percorrido no sentido horário. (ii) O jacobiano entra com valor absoluto: a mudança de variáveis nunca produz área negativa, e esquecer $\abs{\det}$ tipicamente inverte sinais exatamente quando a aplicação inverte a orientação. (iii) O fator polar $\rho$ : $\dd x\,\dd y = \rho\,\dd\rho\,\dd\alpha$ , e não $\dd\rho\,\dd\alpha$ — o erro mais comum de todo o capítulo; a análise dimensional o pega, pois $\dd\rho\,\dd\alpha$ tem dimensão de comprimento, não de área. (iv) Integrais duplas impróprias: os limites sobre discos crescentes e sobre quadrados crescentes coincidem aqui porque os integrandos são positivos (aperto); para integrandos que mudam de sinal o limite pode depender da exaustão, e nenhuma afirmação é feita sem convergência absoluta. (v) Domínios contra integrandos: um integrando produto num domínio que não é produto não fatora a integral — a fatoração precisa dos dois, como no quadrado do Exemplo 20.17.

Observação 20.33 (Perspectivas dentro deste volume)

A integral de Gauss aqui calculada está discretamente em toda parte nos capítulos de probabilidade: a constante $\sqrt\pi$ dentro da fórmula de Stirling (Teorema 6.13) é a integral deste capítulo e, através de Stirling, ela fixa a assintótica em $1/\sqrt{\pi n}$ das probabilidades de retorno do passeio aleatório no Capítulo 21. As integrais de Wallis do problema de fim de semana reaparecem lá também, movendo as mesmas estimativas do binomial central. Na outra direção, os elementos de área e de volume deste capítulo completam a geometria do Capítulo 19, e a fórmula de Green recalcula as áreas das envoltórias do Capítulo 18 (o astroide, no Exercício 20.5). Um capítulo, três serviços: medida para a geometria, constantes para a probabilidade e a disciplina da mudança de variáveis usada pelas duas.

20.5 Exercícios

Exercício 20.1 ★

Calcule $\int_\gamma y^2\,\dd x + x\,\dd y$ ao longo de: (a) o segmento de $(0,0)$ a $(1,1)$ ; (b) o arco de parábola $y = x^2$ de $(0,0)$ a $(1,1)$ . A forma é exata?

Solução

Solução de Exercício 20.1.

(a) Segmento $\gamma(t) = (t, t)$ , $t \in [0,1]$ :

\int_\gamma y^2\dd x + x\dd y = \int_0^1 (t^2 + t)\,\dd t = \frac13 + \frac12 = \frac56 .

(b) Parábola $\gamma(t) = (t, t^2)$ :

\int_0^1 \bigl(t^4\cdot 1 + t\cdot 2t\bigr)\dd t = \frac15 + \frac23 = \frac{13}{15} .

Os dois valores diferem, de modo que a integral depende do caminho: a forma não é exata — coerentemente, $P_y = 2y \neq 1 = Q_x$ , logo ela não é sequer fechada.

Exercício 20.2 ★

Mostre que $\omega = (2xy + y^3)\,\dd x + (x^2 + 3xy^2 + 1)\,\dd y$ é fechada em $\R^2$ , determine um potencial e calcule $\int_\gamma\omega$ ao longo de qualquer arco de $(0, 0)$ a $(1, 2)$ .

Solução

Solução de Exercício 20.2.

$P = 2xy + y^3$ , $Q = x^2 + 3xy^2 + 1$ : $P_y = 2x + 3y^2 = Q_x$ , fechada em $\R^2$ . Procure $f$ com $f_x = P$ : $f = x^2y + xy^3 + g(y)$ ; então $f_y = x^2 + 3xy^2 + g'(y) = Q$ força $g'(y) = 1$ , digamos $g(y) = y$ . Assim

f(x, y) = x^2y + xy^3 + y

é um potencial ( $\R^2$ é estrelado, de modo que um potencial tinha de existir pelo lema de Poincaré — mas exibi-lo é mais rápido). Pelo Teorema 20.6, para qualquer arco de $(0,0)$ a $(1,2)$ :

\int_\gamma\omega = f(1, 2) - f(0, 0) = 2 + 8 + 2 = 12 .

Exercício 20.3 ★

Calcule $\iint_D (x + y)\,\dd x\,\dd y$ em que $D$ é o domínio limitado por $y = x^2$ e $y = x$ ( $0 \leq x \leq 1$ ), nas duas ordens de integração.

Solução

Solução de Exercício 20.3.

O domínio é $\{0 \leq x \leq 1,\ x^2 \leq y \leq x\}$ . Primeiro em $y$ :

\int_0^1\!\int_{x^2}^{x}(x + y)\,\dd y\,\dd x = \int_0^1\Bigl(x(x - x^2) + \frac{x^2 - x^4}{2}\Bigr)\dd x = \int_0^1\Bigl(\frac{3x^2}{2} - x^3 - \frac{x^4}{2}\Bigr)\dd x = \frac12 - \frac14 - \frac1{10} = \frac{3}{20} .

Primeiro em $x$ : a fatia à altura $y \in [0, 1]$ é $y \leq x \leq \sqrt y$ , logo

\int_0^1\!\int_{y}^{\sqrt y}(x + y)\,\dd x\,\dd y = \int_0^1\Bigl(\frac{y - y^2}{2} + y(\sqrt y - y)\Bigr)\dd y = \frac14 - \frac16 + \frac25 - \frac13 = \frac{3}{20} .

Exercício 20.4 ★★

Usando coordenadas polares, calcule $\iint_D \frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2}$ em todo o plano (como limite sobre discos) e $\iint_{D'} xy\,\dd x\,\dd y$ no quarto de disco $D' = \{x, y \geq 0,\ x^2 + y^2 \leq 1\}$ .

Solução

Solução de Exercício 20.4.

Primeira integral. No disco $D_R$ , em coordenadas polares:

\iint_{D_R}\frac{\dd x\,\dd y}{(1 + x^2 + y^2)^2} = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^R \frac{\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha}{(1 + \rho^2)^2} = 2\pi\Bigl[-\frac{1}{2(1 + \rho^2)}\Bigr]_0^R = \pi\Bigl(1 - \frac{1}{1 + R^2}\Bigr) \xrightarrow[R \to \infty]{} \pi .

Segunda integral. O quarto de disco é $0 \leq \alpha \leq \frac\pi2$ , $0 \leq \rho \leq 1$ , e $xy = \rho^2\cos\alpha\sin\alpha$ :

\iint_{D'}xy\,\dd x\,\dd y = \int_0^{\pi/2}\!\!\cos\alpha\sin\alpha\,\dd\alpha \int_0^1 \rho^3\,\dd\rho = \frac12\cdot\frac14 = \frac18 .

Exercício 20.5 ★★

Calcule a área encerrada pelo astroide $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ , $t \in [0, 2\pi]$ , usando o Corolário 20.22. (Linearize $\sin^2 t\cos^2 t$ .)

Solução

Solução de Exercício 20.5.

Pelo Corolário 20.22 com $x = \cos^3 t$ , $y = \sin^3 t$ : $x' = -3\cos^2 t\sin t$ , $y' = 3\sin^2 t\cos t$ , logo

xy' - yx' = 3\cos^4 t\sin^2 t + 3\sin^4 t\cos^2 t = 3\sin^2 t\cos^2 t = \frac{3}{4}\sin^2 2t = \frac{3}{8}(1 - \cos 4t) .

Portanto

A = \frac12\int_0^{2\pi}\frac38(1 - \cos 4t)\,\dd t = \frac{3}{16}\cdot 2\pi = \frac{3\pi}{8} .

(O astroide cabe no disco unitário de área $\pi$ ; três oitavos de $\pi$ é plausível para sua forma de estrela de quatro cúspides.)

Exercício 20.6 ★★

Calcule o volume do sólido limitado abaixo pelo paraboloide $z = x^2 + y^2$ e acima pelo plano $z = 1$ , pelos dois métodos: empilhamento (integre $1 - x^2 - y^2$ sobre o disco unitário, coordenadas polares) e fatiamento (as fatias horizontais são discos de raio $\sqrt z$ ).

Solução

Solução de Exercício 20.6.

Empilhamento: acima de cada $(x, y)$ do disco unitário $D$ , $z$ vai de $x^2 + y^2$ a $1$ :

V = \iint_D \bigl(1 - x^2 - y^2\bigr)\dd x\,\dd y = \int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1 (1 - \rho^2)\rho\,\dd\rho\,\dd\alpha = 2\pi\Bigl(\frac12 - \frac14\Bigr) = \frac\pi2 .

Fatiamento: a fatia à altura $z \in [0, 1]$ é o disco $x^2 + y^2 \leq z$ , de área $\pi z$ :

V = \int_0^1 \pi z\,\dd z = \frac\pi2 .

Exercício 20.7 ★★

(Atração gravitacional de uma bola — teorema de Newton, caso particular) Mostre que o volume da casca esférica $a \leq r \leq b$ é $\frac43\pi(b^3 - a^3)$ e calcule $\iiint_{B} \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r}$ na bola $B$ de raio $R$ ( $r$ a distância à origem). (Coordenadas esféricas.)

Solução

Solução de Exercício 20.7.

Em coordenadas esféricas o elemento de volume é $r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ (Exemplo 20.27), e a parte angular integra a $4\pi$ ( $2\pi$ vindo de $\theta$ , $\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos = 2$ ). O volume da casca é

\int_a^b 4\pi r^2\,\dd r = \frac43\pi\bigl(b^3 - a^3\bigr).

Para a segunda integral, o integrando $1/r$ depende apenas de $r$ :

\iiint_B \frac{\dd x\,\dd y\,\dd z}{r} = \int_0^R 4\pi r^2\cdot\frac1r\,\dd r = 4\pi\,\frac{R^2}{2} = 2\pi R^2 .

(O integrando explode na origem, mas inofensivamente: $r^2/r = r$ é contínua — a integral sobre as cascas $\varepsilon \leq r \leq R$ converge quando $\varepsilon \to 0$ , que é o sentido preciso do enunciado. Esse tipo de cálculo é o primeiro passo rumo ao teorema de Newton segundo o qual uma bola homogênea atrai como uma massa pontual em seu centro.)

Exercício 20.8 ★★★

(Lema de Poincaré, caso estrelado) Seja $U$ estrelado em relação a $0$ (isto é, $M \in U \Rightarrow [0, M] \subseteq U$ ) e seja $\omega = P\dd x + Q\dd y$ uma forma $\mathcal{C}^1$ fechada em $U$ . Defina

f(x, y) = \int_0^1 \bigl(x\,P(tx, ty) + y\,Q(tx, ty)\bigr)\dd t .

Usando a derivação sob o sinal de integral (Capítulo 9) e $P_y = Q_x$ , mostre que $f_x = P$ e $f_y = Q$ : toda forma fechada num aberto estrelado é exata.

Solução

Solução de Exercício 20.8.

O integrando $g(t; x, y) = xP(tx, ty) + yQ(tx, ty)$ é $\mathcal{C}^1$ em $(x, y)$ , contínuo em $t$ , com derivadas parciais contínuas em $[0,1] \times U$ ; a derivação sob o sinal de integral (Capítulo 9, aplicada no intervalo compacto de $t$ , $[0,1]$ , sendo a dominação automática ali) dá

f_x(x, y) = \int_0^1 \bigl(P(tx, ty) + tx\,P_x(tx, ty) + ty\,Q_x(tx, ty)\bigr)\dd t .

Usando o fato de a forma ser fechada, $Q_x = P_y$ :

tx\,P_x(tx, ty) + ty\,P_y(tx, ty) = t\,\frac{\dd}{\dd t}\bigl[P(tx, ty)\bigr] ,

de modo que o integrando é $P(tx, ty) + t\frac{\dd}{\dd t}P(tx, ty) = \frac{\dd}{\dd t}\bigl[t\,P(tx, ty)\bigr]$ e

f_x(x, y) = \Bigl[t\,P(tx, ty)\Bigr]_0^1 = P(x, y) .

Simetricamente, $f_y = Q$ (mesmo cálculo com $P_y = Q_x$ usado no outro sentido). Note onde a hipótese entra: $f$ é definida integrando ao longo do segmento $[0, M]$ , que está em $U$ precisamente porque $U$ é estrelado.

Exercício 20.9 ★★★

(Integral de Dirichlet por integração dupla) Justifique e explore

\int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd y\,\dd x \quad\text{vs}\quad \int_0^\infty\!\!\int_0^\infty e^{-xy}\sin x\;\dd x\,\dd y

em $[0, A] \times [0, \infty)$ : mostre que $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\dd x = \frac\pi2 - \int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\dd y$ e recupere $\int_0^\infty \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac\pi2$ , comparando com a demonstração por integral com parâmetro do Capítulo 9.

Solução

Solução de Exercício 20.9.

Na faixa $[0, A] \times [0, \infty)$ a função $(x, y) \mapsto e^{-xy}\sin x$ não é absolutamente integrável até $y = \infty$ uniformemente num sentido ingênuo, mas cada integral iterada converge e sua igualdade decorre de Fubini em $[0, A] \times [0, B]$ mais um limite $B \to \infty$ (a cauda $\int_0^A\int_B^\infty e^{-xy}\abs{\sin x}\,\dd y\,\dd x \leq \int_0^A \frac{e^{-Bx}\abs{\sin x}}{x}\dd x \leq \int_0^A e^{-Bx} \dd x\to 0$ , usando $\abs{\sin x} \leq x$ ).

Primeiro em $y$ : $\int_0^\infty e^{-xy}\,\dd y = \frac1x$ para $x > 0$ , de modo que a primeira integral vale $\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x$ .

Primeiro em $x$ : duas integrações por partes (ou tomar a parte imaginária de $\int_0^A e^{(i - y)x}\dd x$ ) dão

\int_0^A e^{-xy}\sin x\,\dd x = \frac{1 - e^{-Ay}(y\sin A + \cos A)}{1 + y^2} .

Integrando em $y$ sobre $[0, \infty)$ , o termo $\int_0^\infty \frac{\dd y}{1 + y^2} = \frac\pi2$ se destaca:

\int_0^A \frac{\sin x}{x}\,\dd x = \frac{\pi}{2} - \int_0^\infty e^{-Ay}\,\frac{y\sin A + \cos A}{1 + y^2}\,\dd y .

O resto é majorado por $\int_0^\infty e^{-Ay}\frac{y + 1}{1 + y^2}\dd y \leq \int_0^\infty e^{-Ay}\cdot\frac{1+y}{1+y^2} \,\dd y \to 0$ quando $A \to \infty$ (convergência dominada, ou a majoração grosseira $\frac{1 + y}{1 + y^2} \leq \frac32$ , que dá $\frac{3}{2A}$ ). Portanto $\int_0^\infty\frac{\sin x}{x}\dd x = \frac\pi2$ — o mesmo valor obtido no Capítulo 9 derivando uma integral com parâmetro; aqui Fubini faz o trabalho no lugar.

Exercício 20.10 ★★★

(Desigualdade isoperimétrica via Wirtinger) Seja $\gamma$ uma curva fechada simples $\mathcal{C}^1$ de comprimento $2\pi$ , parametrizada por comprimento de arco em $[0, 2\pi]$ , encerrando área $A$ . Usando o Corolário 20.22, Parseval e a desigualdade de Wirtinger (exercícios do Capítulo 14), demonstre que $A \leq \pi$ , com igualdade para o círculo. (Normalize $\int_0^{2\pi} x(s)\dd s = 0$ ; escreva $2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x$ e majore $2A \leq \int (x^2 + y'^2)$ com cuidado via $2A = \int_0^{2\pi}(xy' - yx')\dd s$ e $x^2 + y'^2 \geq 2xy'$ .)

Solução

Solução de Exercício 20.10.

Parametrize por comprimento de arco $s \in [0, 2\pi]$ , de modo que $x'^2 + y'^2 = 1$ , e translade para que $\int_0^{2\pi} x(s)\,\dd s = 0$ . Pelo Corolário 20.22,

2A = \oint x\,\dd y - y\,\dd x = \int_0^{2\pi}\bigl(xy' - yx'\bigr)\dd s .

Integrando $\oint y\,\dd x$ por partes sobre o período (os termos de bordo se cancelam por periodicidade), $-\int yx' = \int y'x$ , de modo que, de fato, $2A = 2\int_0^{2\pi}xy'\,\dd s$ . Então $2xy' \leq x^2 + y'^2$ dá

2A \leq \int_0^{2\pi}\bigl(x^2 + y'^2\bigr)\dd s = \int_0^{2\pi} x^2 + \int_0^{2\pi}\bigl(1 - x'^2\bigr) = 2\pi - \int_0^{2\pi}\bigl(x'^2 - x^2\bigr)\dd s .

A desigualdade de Wirtinger (exercícios do Capítulo 14: para uma função $\mathcal{C}^1$ de período $2\pi$ e média nula, $\int x^2 \leq \int x'^2$ ) torna a última integral não negativa: $A \leq \pi$ . A igualdade exige igualdade em Wirtinger ( $x(s) = a\cos s + b\sin s$ ) e em $2xy' \leq x^2 + y'^2$ ( $y' = x$ pontualmente), o que força $y = a\sin s - b\cos s + c$ : a curva é o círculo unitário (convenientemente centrado). Como uma curva de comprimento $L$ se reescala para comprimento $2\pi$ , o enunciado geral é $A \leq \frac{L^2}{4\pi}$ : entre todas as curvas fechadas de perímetro dado, o círculo encerra a maior área.

Exercício 20.11 ★★

(Momentos da bola) Para a bola $B$ de raio $R$ em $\R^3$ , calcule $\iiint_B z^2\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ em coordenadas esféricas e deduza $\iiint_B (x^2 + y^2 + z^2)\,\dd x\,\dd y\,\dd z$ por simetria. Confira o último resultado contra o cálculo por cascas $\int_0^R r^2\cdot4\pi r^2\,\dd r$ .

Solução

Solução de Exercício 20.11.

Em coordenadas esféricas $z = r\sin\varphi$ e $\dd x\,\dd y\,\dd z = r^2\cos\varphi\,\dd r\,\dd\theta\,\dd\varphi$ :

\iiint_B z^2 = \int_0^R r^4\,\dd r\int_0^{2\pi}\dd\theta \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sin^2\varphi\cos\varphi\,\dd\varphi = \frac{R^5}5\cdot2\pi\cdot \Bigl[\frac{\sin^3\varphi}3\Bigr]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{4\pi R^5}{15}.

Pela simetria da bola sob permutação das coordenadas, $\iiint_B x^2 = \iiint_B y^2 = \iiint_B z^2$ , logo $\iiint_B(x^2 + y^2 + z^2) = 3\cdot\frac{4\pi R^5}{15} = \frac{4\pi R^5}5$ . Verificação por cascas: $\int_0^R r^2\cdot 4\pi r^2\,\dd r = \frac{4\pi R^5}5$ — o integrando $r^2$ é constante na esfera de raio $r$ , de área $4\pi r^2$ .

Exercício 20.12 ★★

(Fórmula do cadarço) Seja $K$ um polígono de vértices $(x_1, y_1), \dots, (x_m, y_m)$ em ordem anti-horária (índices módulo $m$ ). Deduza do Corolário 20.22 que

\operatorname{Area}(K) = \frac12\sum_{i=1}^m \bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr) ,

e confira a fórmula no triângulo $(0,0)$ , $(1,0)$ , $(0,1)$ .

Solução

Solução de Exercício 20.12.

Parametrize a aresta de $(x_i, y_i)$ a $(x_{i+1}, y_{i+1})$ por $\gamma(t) = \bigl((1-t)x_i + tx_{i+1},\ (1-t)y_i + ty_{i+1}\bigr)$ . Sua contribuição a $\frac12\oint(x\,\dd y - y\,\dd x)$ é

\frac12\int_0^1\Bigl(\bigl((1-t)x_i + tx_{i+1}\bigr)(y_{i+1} - y_i) - \bigl((1-t)y_i + ty_{i+1}\bigr)(x_{i+1} - x_i)\Bigr)\dd t ,

e, como $\int_0^1\bigl((1-t)u + tv\bigr)\dd t = \frac{u + v}2$ , isso vale

\frac14\Bigl((x_i + x_{i+1})(y_{i+1} - y_i) - (y_i + y_{i+1})(x_{i+1} - x_i)\Bigr) = \frac12\bigl(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i\bigr),

cancelando-se os termos cruzados. Somando sobre as $m$ arestas obtém-se a fórmula do cadarço, pelo Corolário 20.22. Triângulo $(0,0), (1,0), (0,1)$ : $\frac12\bigl((0\cdot0 - 1\cdot0) + (1\cdot1 - 0\cdot0) + (0\cdot0 - 0\cdot1)\bigr) = \frac12$ , a área correta.

20.6 Problema: o volume da bola em dimensão $n$

Problema 20.1

Problema de fim de semana — $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ , e a estranheza das dimensões altas

O disco tem área $\pi$ , o volume da bola vale $\frac43\pi$ — e depois? Este problema calcula o volume da bola unitária de $\R^n$ para todo $n$ , duas vezes (por uma recursão de fatiamento movida pelas integrais de Wallis, depois via a função $\Gamma$ e a integral de Gauss do Exemplo 20.17), e depois lê a geometria: os volumes atingem o máximo na dimensão cinco e correm para zero, e quase toda a bola de dimensão alta se esconde numa casca fina perto de seu bordo. Para uma função contínua numa bola de $\R^n$ , a integral é entendida como a integral iterada $n$ vezes (fatiando uma coordenada de cada vez, como no capítulo para $n \leq 3$ ); escrevemos $B_n(R)$ para a bola fechada de raio $R$ centrada em $0$ , $v_n(R)$ para seu volume e $V_n = v_n(1)$ , com $V_0 = 1$ por convenção.

Parte I — A recursão de fatiamento.

Substituindo $x_i = Ru_i$ em cada uma das $n$ integrais iteradas, mostre que $v_n(R) = V_nR^n$ .
Fatiando $B_n(1)$ ao longo de sua última coordenada, mostre que

$V_n = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .$
Com $t = \sin\theta$ , identifique a integral como uma integral de Wallis: $\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = 2W_n$ , em que $W_n = \int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = \int_0^{\pi/2}\sin^n\theta\,\dd\theta$ .
Demonstre as duas identidades de Wallis (integre por partes; depois telescope $nW_nW_{n-1}$ ):

$W_n = \frac{n-1}nW_{n-2} \quad (n \geq 2), \qquad W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n} \quad (n \geq 1).$

Parte II — A recursão resolvida.

Combine as questões 2–4 na recursão de dois passos

$V_n = \frac{2\pi}{n}\,V_{n-2} \qquad (n \geq 2).$
Deduza as formas fechadas, para $k \geq 0$ :

$V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}, \qquad V_{2k+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots (2k+1)} .$
Tabule $V_1, \dots, V_7$ numericamente. Usando a razão $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n$ e os valores de $2W_5$ e de $2W_6$ , demonstre que a sequência $(V_n)$ cresce até seu máximo $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.26$ e decresce a partir daí.
Mostre que $V_n \to 0$ mais rápido que qualquer sequência geométrica, e que $\sum_{n\geq1} V_n$ converge: todas as bolas unitárias juntas têm volume total finito.
Demonstre a identidade geradora

$\sum_{k\geq0} V_{2k}\,x^{2k} = \eu^{\pi x^2} \qquad (x \in \R),$

e deduza $\sum_{k\geq0}V_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$ .

Parte III — Segunda via: $\Gamma$ e a integral de Gauss.

Mostre, por Fubini (o integrando é um produto), que

$I_n = \int_{\R^n}\eu^{-\norm x^2}\dd x = \Bigl(\int_{-\infty}^{+\infty} \eu^{-t^2}\dd t\Bigr)^{\!n} = \pi^{n/2},$

a integral de Gauss em dimensão $n$ , entendida como limite sobre cubos $\intcc{-R}{R}^n$ .
Recorde $\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\eu^{-t}\dd t$ (Definição 9.17). A partir de $\Gamma(s+1) = s\,\Gamma(s)$ (Teorema 9.18) e de $\Gamma(\tfrac12) = \sqrt\pi$ (substitua $t = u^2$ e invoque a integral de Gauss), calcule

$\Gamma(k + 1) = k!, \qquad \Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) = \frac{1\cdot3\cdots(2k+1)}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .$
Demonstre, por indução através da recursão da questão 5, a fórmula única

$V_n = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac n2 + 1\bigr)} \qquad (n \geq 1),$

e verifique que ela reproduz ambas as formas fechadas da questão 6.
Mostre que $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = \tfrac12\Gamma\bigl(\tfrac n2\bigr)$ e deduza a identidade

$I_n = n\,V_n\int_0^\infty \eu^{-r^2}\,r^{n-1}\,\dd r.$

Interprete-a: a massa gaussiana de $\R^n$ é recolhida ao longo de cascas esféricas cuja “área em dimensão $(n-1)$ ” no raio $r$ vale $nV_nr^{n-1}$ — ambos os membros estão agora demonstrados independentemente, de modo que a interpretação não custa nada.
Ponha $s_{n-1} = nV_n$ (a área da esfera unitária $S^{n-1}$ , coerentemente com $v_n(R) = \int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r$ ). Tabule $s_0, \dots, s_3$ e verifique $s_1 = 2\pi$ , $s_2 = 4\pi$ , $s_3 = 2\pi^2$ .

Parte IV — As dimensões altas são estranhas.

A partir da fórmula de Stirling (Teorema 6.13) aplicada a $k!$ , mostre que, para $n = 2k$ par:

$V_n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}} \Bigl(\frac{2\pi\eu}{n}\Bigr)^{n/2} \qquad (n \to \infty, \ n \text{ par}),$

e explique por que a mesma cota de decaimento supergeométrico se estende aos $n$ ímpares via a recursão.
A bola unitária está no cubo $\intcc{-1}1^n$ de volume $2^n$ . Calcule a razão de preenchimento $V_n/2^n$ para $n = 2, 3, 10$ e mostre que ela tende a $0$ : em dimensão alta, essencialmente todo o cubo está em seus cantos.
Mostre que a fração de $v_n(1)$ situada a distância no máximo $\varepsilon$ da esfera de bordo é $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$ ; numericamente, que fração de uma bola de dimensão $100$ está na casca externa de espessura $1\%$ ?
Demonstre a assintótica de Wallis $W_n \sim \sqrt{\dfrac{\pi}{2n}}$ (monotonia de $(W_n)$ , a razão $W_n/W_{n-2} \to 1$ e $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$ ), e a cota inferior $W_n \geq \sqrt{\dfrac{\pi}{2(n+1)}}$ para todo $n$ .
(Concentração numa faixa) A fração da bola unitária com primeira coordenada além de $\delta$ vale $\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \,\big/\, (2W_n)$ . Usando $1 - u \leq \eu^{-u}$ e a cota de cauda $\int_\delta^\infty \eu^{-a x^2}\dd x \leq \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta}$ , mostre que essa fração é no máximo

$\frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\,\delta} \Big/ \sqrt{\frac{2\pi}{n+1}}$

e conclua: para $\delta = s/\sqrt{n-1}$ , tudo salvo uma fração $O(\eu^{-s^2/2}/s)$ da bola está na faixa $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ . Uma bola de dimensão alta é, estatisticamente, uma panqueca fina em todas as direções ao mesmo tempo.
Reúna as questões 16–19 num parágrafo: onde está o volume de $B_n(1)$ (perto da esfera de bordo, e no entanto dentro de faixas $O(1/\sqrt n)$ de todo hiperplano pelo centro), e por que essas duas afirmações não se contradizem.

Parte V — Outros corpos, e síntese.

(Simplexo) Seja $\Delta_n = \{x \in \R^n : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1\}$ . Mostre, por fatiamento e indução, que $\operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}$ .
(Politopo cruzado) Deduza que $C_n = \{x : \sum\abs{x_i} \leq 1\}$ tem volume $\frac{2^n}{n!}$ e verifique o sanduíche $C_n \subseteq B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ ao nível dos volumes: $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ .
Calcule $V_4$ de uma terceira maneira: fatie $\R^4 = \R^2 \times \R^2$ , integre a área do disco em $(z, w)$ sobre o disco em $(x, y)$ em coordenadas polares e recupere $V_4 = \frac{\pi^2}2$ .
(Monte Carlo em apuros) Sorteia-se um ponto uniformemente no cubo $\intcc{-1}1^{20}$ . Mostre que a probabilidade de ele cair na bola inscrita é $V_{20}/2^{20} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ , de modo que cerca de quarenta milhões de sorteios são necessários antes que o primeiro acerto seja esperado: estimar $V_n$ por amostragem por rejeição desmorona em dimensão alta (a maldição da dimensionalidade).
Síntese. Duas deduções independentes se encontraram em $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ : liste qual teorema deste capítulo cada uma usou (Fubini, mudança de variáveis, a integral de Gauss em polares) e quais insumos a uma variável (Wallis, $\Gamma$ , Stirling). Onde o volume do terceiro ano de graduação refaz esse cálculo com a teoria de Lebesgue, e o que ela acrescenta?

Solução

Solução de Problema 20.1.

1. A bola $B_n(R)$ é descrita por cotas iteradas $-R \leq x_n \leq R$ , depois $\abs{x_{n-1}} \leq \sqrt{R^2 - x_n^2}$ e assim por diante; substituir $x_i = Ru_i$ em cada uma das $n$ integrais a uma variável multiplica cada uma por $R$ e leva as cotas nas de $B_n(1)$ : $v_n(R) = R^n\,v_n(1) = V_nR^n$ .

2. Fatiando ao longo de $x_n = t$ : a fatia de $B_n(1)$ é a bola $B_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)$ , logo, pela questão 1,

V_n = \int_{-1}^1 v_{n-1}\bigl(\sqrt{1 - t^2}\bigr)\,\dd t = V_{n-1}\int_{-1}^{1}(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\,\dd t .

3. Com $t = \sin\theta$ , $\dd t = \cos\theta\,\dd\theta$ e $(1 - t^2)^{\frac{n-1}2} = \cos^{n-1}\theta$ em $\intcc{-\pi/2}{\pi/2}$ :

\int_{-1}^1(1 - t^2)^{\frac{n-1}2}\dd t = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2\int_0^{\pi/2}\cos^n\theta\,\dd\theta = 2W_n,

e $\theta \mapsto \frac\pi2 - \theta$ troca as formas em seno e cosseno de $W_n$ .

4. Escreva $\sin^n = \sin^{n-2}(1 - \cos^2)$ e integre $\int\sin^{n-2}\cos\cdot\cos$ por partes ( $v = \frac{\sin^{n-1}}{n-1}$ ):

W_n = W_{n-2} - \frac{W_n}{n-1} \quad\Longrightarrow\quad W_n = \frac{n-1}{n}W_{n-2}.

Portanto $nW_nW_{n-1} = (n-1)W_{n-1}W_{n-2}$ : a sequência $(nW_nW_{n-1})$ é constante, igual a $1\cdot W_1W_0 = 1\cdot\frac\pi2$ , logo $W_nW_{n-1} = \frac{\pi}{2n}$ .

5. As questões 2–3 dão $V_n = 2W_nV_{n-1}$ , duas vezes:

V_n = 2W_n\cdot 2W_{n-1}\,V_{n-2} = 4\,\frac{\pi}{2n}\,V_{n-2} = \frac{2\pi}n\,V_{n-2}.

6. De $V_0 = 1$ : $V_{2k} = \frac{2\pi}{2k}V_{2k-2} = \frac\pi kV_{2k-2}$ , logo $V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!}$ por indução. De $V_1 = 2$ : $V_{2k+1} = \frac{2\pi}{2k+1}V_{2k-1}$ , logo

V_{2k+1} = 2\prod_{j=1}^k\frac{2\pi}{2j+1} = \frac{2^{k+1}\pi^k}{1\cdot3\cdot5\cdots(2k+1)} .

7. $V_1 = 2$ , $V_2 = \pi \approx 3.142$ , $V_3 = \frac{4\pi}3 \approx 4.189$ , $V_4 = \frac{\pi^2}2 \approx 4.935$ , $V_5 = \frac{8\pi^2}{15} \approx 5.264$ , $V_6 = \frac{\pi^3}6 \approx 5.168$ , $V_7 = \frac{16\pi^3}{105} \approx 4.725$ . A razão de um passo é $V_n/V_{n-1} = 2W_n$ , e $(W_n)$ é decrescente ( $\sin^n \leq \sin^{n-1}$ pontualmente). Ora, $2W_5 = 2\cdot\frac45\cdot\frac23 = \frac{16}{15} > 1$ enquanto $2W_6 = 2\cdot\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 = \frac{5\pi}{16} < 1$ : as razões excedem $1$ até $n = 5$ e ficam abaixo de $1$ a partir de $n = 6$ — $(V_n)$ cresce até seu máximo $V_5$ e depois decresce.

8. Para $n \geq 13 > 4\pi$ : $V_n/V_{n-2} = 2\pi/n < \tfrac12$ , logo $V_{n} \leq C\cdot 2^{-n/2}$ com uma constante fixa; melhor, para todo $q > 0$ , $2\pi/n < q^2$ para $n$ grande, de modo que $V_n/q^n \to 0$ : o decaimento bate toda sequência geométrica. A convergência de $\sum V_n$ decorre da razão $V_n/V_{n-2} \to 0$ (compare com uma série geométrica a partir de certa ordem).

9. $\sum_{k\geq0}V_{2k}x^{2k} = \sum_{k\geq0}\frac{(\pi x^2)^k}{k!} = \eu^{\pi x^2}$ , a série exponencial (Capítulo 11), convergente para todo $x$ . Em $x = 1$ : $\sum_kV_{2k} = \eu^\pi \approx 23.14$ .

10. No cubo $\intcc{-R}R^n$ o integrando é o produto $\prod_i\eu^{-x_i^2}$ , de modo que a integral iterada se fatora: $\bigl(\int_{-R}^R\eu^{-t^2}\dd t\bigr)^n$ . Fazendo $R \to \infty$ e usando $\int_\R\eu^{-t^2}\dd t = \sqrt\pi$ (Exemplo 20.17): $I_n = \pi^{n/2}$ .

11. $t = u^2$ dá $\Gamma(\tfrac12) = \int_0^\infty t^{-1/2}\eu^{-t}\dd t = 2\int_0^\infty\eu^{-u^2}\dd u = \sqrt\pi$ . Iterando $\Gamma(s+1) = s\Gamma(s)$ : $\Gamma(k+1) = k!\,\Gamma(1) = k!$ , e

\Gamma\Bigl(k + \frac32\Bigr) = \Bigl(k + \frac12\Bigr)\Bigl(k - \frac12\Bigr)\cdots \frac12\cdot\Gamma\Bigl(\frac12\Bigr) = \frac{(2k+1)(2k-1)\cdots1}{2^{k+1}}\,\sqrt\pi .

12. Ponha $F_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ . Como $\Gamma(\frac n2 + 1) = \frac n2\,\Gamma(\frac n2) = \frac n2\,\Gamma(\frac{n-2}2 + 1)$ , obtemos $F_n = \frac{2\pi}nF_{n-2}$ : a mesma recursão de $V_n$ (questão 5). Bases: $F_1 = \sqrt\pi/\Gamma(\frac32) = \sqrt\pi/(\frac{\sqrt\pi}2) = 2 = V_1$ e $F_2 = \pi/\Gamma(2) = \pi = V_2$ . Por indução, $V_n = F_n$ para todo $n$ ; a questão 11 transforma isso de volta nas duas formas fechadas da questão 6.

13. Com $r = \sqrt t$ : $\int_0^\infty \eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = \frac12\int_0^\infty t^{\frac n2 - 1}\eu^{-t}\dd t = \frac12\Gamma(\frac n2)$ . Portanto

n\,V_n\int_0^\infty\eu^{-r^2}r^{n-1}\dd r = V_n\cdot\frac n2\,\Gamma\Bigl(\frac n2\Bigr) = V_n\,\Gamma\Bigl(\frac n2 + 1\Bigr) = \pi^{n/2} = I_n .

Estando ambos os membros demonstrados, a identidade pode ser lida como a decomposição em cascas da integral gaussiana: a esfera de raio $r$ carrega área $nV_nr^{n-1}$ , e o peso gaussiano $\eu^{-r^2}$ é integrado sobre as cascas.

14. $s_0 = V_1 = 2$ (a esfera de dimensão $0$ são dois pontos), $s_1 = 2V_2 = 2\pi$ , $s_2 = 3V_3 = 4\pi$ , $s_3 = 4V_4 = 2\pi^2$ ; e $\int_0^R s_{n-1}r^{n-1}\dd r = V_nR^n = v_n(R)$ : a área é a derivada radial do volume.

15. Para $n = 2k$ , Stirling (Teorema 6.13) dá $k! \sim \sqrt{2\pi k}\,(k/\eu)^k$ , logo

V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!} \sim \frac{(\pi\eu/k)^k}{\sqrt{2\pi k}} = \frac1{\sqrt{\pi n}}\Bigl(\frac{2\pi\eu}n\Bigr)^{n/2} \qquad (n = 2k).

Para $n$ ímpar: $V_{2k+1} = 2W_{2k+1}V_{2k} \leq 2V_{2k}$ , de modo que valem as mesmas cotas de decaimento supergeométrico (a menos de um fator $2$ e de um deslocamento de um no expoente) — para todo $q > 0$ , $V_n = o(q^n)$ .

16. $V_2/4 = \pi/4 \approx 0.785$ ; $V_3/8 = \pi/6 \approx 0.524$ ; $V_{10}/2^{10} = \frac{\pi^5}{120\cdot1024} \approx 0.0025$ . Em geral $\frac{V_n/2^n}{V_{n-2}/2^{n-2}} = \frac{2\pi}{4n} = \frac{\pi}{2n} \to 0$ : a razão tende a $0$ (supergeometricamente). A bola inscrita ocupa uma fração que se anula: o volume do cubo migra para seus cantos.

17. Pela questão 1, a bola interna de raio $1 - \varepsilon$ tem volume $V_n(1-\varepsilon)^n$ , de modo que a casca externa carrega a fração $1 - (1 - \varepsilon)^n \to 1$ . Para $n = 100$ , $\varepsilon = 0.01$ : $(0.99)^{100} = \eu^{100\ln0.99} \approx \eu^{-1.005} \approx 0.366$ : cerca de $63\%$ da bola está a menos de $1\%$ de sua superfície.

18. $(W_n)$ decresce, logo $W_n \leq W_{n-1} \leq W_{n-2} = \frac{n}{n-1}W_n$ : espremendo, $W_{n-1}/W_n \to 1$ . Multiplicando por $W_nW_{n-1} = \frac\pi{2n}$ : $W_n^2 \sim \frac\pi{2n}$ , isto é, $W_n \sim \sqrt{\pi/(2n)}$ . Cota inferior: $W_n^2 \geq W_nW_{n+1} = \frac{\pi}{2(n+1)}$ , logo $W_n \geq \sqrt{\pi/(2(n+1))}$ para todo $n$ .

19. Numerador: $1 - x^2 \leq \eu^{-x^2}$ dá $(1 - x^2)^{\frac{n-1}2} \leq \eu^{-(n-1)x^2/2}$ e, com $a = \frac{n-1}2$ ,

\int_\delta^1(1 - x^2)^{\frac{n-1}2}\dd x \leq \int_\delta^\infty\eu^{-ax^2}\dd x \leq \int_\delta^\infty\frac x\delta\,\eu^{-ax^2}\dd x = \frac{\eu^{-a\delta^2}}{2a\delta} = \frac{\eu^{-(n-1)\delta^2/2}}{(n-1)\delta}.

Denominador: $2W_n \geq \sqrt{2\pi/(n+1)}$ pela questão 18. Dividindo obtém-se a cota exibida. Para $\delta = s/\sqrt{n-1}$ ela se torna $\sqrt{\tfrac{n+1}{2\pi(n-1)}}\;\eu^{-s^2/2}/s = O\bigl( \eu^{-s^2/2}/s\bigr)$ , uniformemente em $n$ : fora da faixa $\abs{x_1} \leq s/\sqrt{n-1}$ quase não há volume, para $s$ moderadamente grande — e, por simetria, o mesmo vale para toda direção.

20. As duas afirmações coexistem porque descrevem coordenadas diferentes do mesmo ponto. Quase todo ponto de $B_n(1)$ tem norma próxima de $1$ (questão 17: concentração radial perto da esfera) e, no entanto, cada uma de suas $n$ coordenadas é pequena, da ordem de $1/\sqrt n$ (questão 19), o que é coerente, pois $n$ coordenadas de tamanho $1/\sqrt n$ têm norma da ordem de $1$ . O volume em dimensão alta se concentra onde todas as coordenadas repartem igualmente o orçamento de norma — perto da esfera, mas longe de todo polo dos eixos coordenados.

21. Fatie $\Delta_n$ em $x_n = t \in \intcc01$ : a fatia é $\{x' \in \R^{n-1} : x_i \geq 0,\ \sum x_i \leq 1 - t\} = (1-t)\Delta_{n-1}$ , de volume $(1-t)^{n-1}\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})$ por homogeneidade. Assim

\operatorname{vol}(\Delta_n) = \operatorname{vol}(\Delta_{n-1})\int_0^1(1 - t)^{n-1}\dd t = \frac{\operatorname{vol}(\Delta_{n-1})}{n} \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{vol}(\Delta_n) = \frac1{n!}\,.

22. Os $2^n$ ortantes de sinais recortam $C_n$ em $2^n$ cópias de $\Delta_n$ (com sobreposições desprezíveis nos hiperplanos coordenados): $\operatorname{vol}(C_n) = \frac{2^n}{n!}$ . Se $\sum\abs{x_i} \leq 1$ , então $\sum x_i^2 \leq \bigl(\sum\abs{x_i}\bigr)^2 \leq 1$ : $C_n \subseteq B_n(1)$ ; e $B_n(1) \subseteq \intcc{-1}1^n$ pois $\abs{x_i} \leq \norm x$ . Portanto $\frac{2^n}{n!} \leq V_n \leq 2^n$ — coerente com a questão 15, que situa $V_n$ entre as escalas fatorial e geométrica.

23. Para $(x, y)$ no disco unitário, a fatia de $B_4(1)$ é o disco de raio $\sqrt{1 - x^2 - y^2}$ no plano $(z, w)$ , de área $\pi(1 - x^2 - y^2)$ . Em coordenadas polares:

V_4 = \iint_{x^2+y^2\leq1}\pi(1 - x^2 - y^2)\,\dd x\,\dd y = \pi\int_0^{2\pi}\!\!\int_0^1(1 - \rho^2)\rho\, \dd\rho\,\dd\alpha = \pi\cdot2\pi\cdot\frac14 = \frac{\pi^2}2 ,

em acordo com a questão 6.

24. A probabilidade é a razão de volumes $\dfrac{V_{20}}{2^{20}} = \dfrac{\pi^{10}}{10!\cdot2^{20}} \approx \dfrac{0.0258}{1\,048\,576} \approx 2.5\cdot10^{-8}$ . O número de sorteios até o primeiro acerto é da ordem do inverso, cerca de $4\cdot10^7$ : um amostrador por rejeição que funcionava lindamente para o disco ( $\pi/4$ de acertos) é inútil em dimensão $20$ — a maldição da dimensionalidade em uma linha.

25. A primeira via (Partes I–II) usou: fatiamento à Fubini da integral iterada, substituição a uma variável em cada coordenada (homogeneidade) e as integrais de Wallis — cálculo a uma variável puro mais indução. A segunda via (Parte III) usou: Fubini para a estrutura de produto de $I_n$ , a mudança de variáveis polar através da integral de Gauss do Exemplo 20.17 e a equação funcional da função $\Gamma$ . Elas se encontram em $V_n = \pi^{n/2}/\Gamma(\frac n2 + 1)$ , com Stirling (Teorema 6.13) convertendo a fórmula em assintótica. O volume do terceiro ano de graduação reconstrói tudo isso sobre a integral de Lebesgue: lá Fubini e a mudança de variáveis são teoremas para funções integráveis gerais, as coordenadas esféricas existem em toda dimensão e os mesmos volumes de bolas reaparecem como dividendos trabalhados dos problemas de medida-produto e de Stirling — com a convergência dominada substituindo nossos apertos artesanais.

20.1 Integrais de linha

20.2 Integrais duplas

20.3 O teorema de Green–Riemann

20.4 Integrais triplas

20.5 Exercícios

20.6 Problema: o volume da bola em dimensão nnn

20.6 Problema: o volume da bola em dimensão $n$