Matemática universitária — Graduação 3 · Bachelor Year 3

7Espaços completos: Baire, Ascoli, Stone–Weierstrass

A completude — toda sequência de Cauchy converge — é a propriedade que permite à análise produzir objetos: pontos fixos de contrações, somas de séries, soluções de equações obtidas como limites. Este capítulo reúne as três grandes máquinas de existência da teoria métrica. O teorema de Baire mostra que um espaço completo não pode ser reunião enumerável de pedaços desprezíveis e conjura objetos (funções contínuas em parte alguma deriváveis!) a partir de um raciocínio de puro tipo cardinal. Arzelà–Ascoli identifica os subconjuntos compactos de $\mathcal C(K)$ e é o cavalo de batalha da análise em matéria de compacidade — o problema de fim de semana o usa para demonstrar o teorema de existência de Peano para equações diferenciais. Stone–Weierstrass mostra que os polinômios, e muito mais, são densos em $\mathcal C(K)$ : a aproximação torna-se uma verificação algébrica. Pelo caminho, construímos completamentos e demonstramos o teorema de extensão das aplicações uniformemente contínuas, o pão de cada dia do Capítulos 12, 13 e 14.

7.1 Espaços completos, completamentos, extensões

Definição 7.1

Um espaço métrico é completo se toda sequência de Cauchy converge (segundo ano: $\R^n$ é completo; $\mathcal C(\intcc01)$ com $\norm\cdot_\infty$ é completo). Um subconjunto fechado de um espaço completo é completo; um subconjunto completo de um espaço métrico qualquer é fechado.

Demonstração. Quanto às duas afirmações: uma sequência de Cauchy do fechado $F$ converge em $X$ , e seu limite, aderente a $F$ , está em $F$ ; uma sequência de um $A$ completo que converge em $X$ é de Cauchy, logo converge em $A$ , e os limites são únicos. ∎

Teorema 7.2 (Extensão das aplicações uniformemente contínuas)

Sejam $D \subseteq X$ denso, $Y$ completo e $f \colon D \to Y$ uniformemente contínua. Então $f$ se estende de maneira única a uma aplicação contínua $\bar f \colon X \to Y$ , e $\bar f$ é uniformemente contínua.

Demonstração. Unicidade: duas extensões contínuas coincidem no denso $D$ e, portanto, em toda parte (o conjunto de coincidência $\{g = h\}$ é fechado: pré-imagem da diagonal fechada por $x\mapsto(g(x), h(x))$ ). Existência: para $x \in X$ tome $d_n \to x$ , $d_n \in D$ . A sequência $(f(d_n))$ é de Cauchy: dado $\varepsilon$ , a continuidade uniforme fornece $\delta$ com $d(u,v) < \delta \Rightarrow d(f(u), f(v)) < \varepsilon$ , e $(d_n)$ é de Cauchy. Defina $\bar f(x) = \lim f(d_n)$ ; o limite não depende da sequência escolhida (entrelace duas delas). $\bar f$ estende $f$ (sequências constantes) e herda o módulo de continuidade: se $d(x, x') < \delta$ , aproximar ambos por pontos de $D$ a distância $< \frac{\delta - d(x,x')}2$ dá $d(\bar f(x), \bar f(x')) \leq \varepsilon$ no limite — $\bar f$ é uniformemente contínua. ∎

Teorema 7.3 (Completamento)

Todo espaço métrico $X$ mergulha isometricamente como subconjunto denso de um espaço métrico completo $\hat X$ , único a menos de uma isometria que fixa $X$ ponto a ponto: seu completamento.

Demonstração. Existência. Seja $\mathcal X$ o conjunto das sequências de Cauchy de $X$ , com a pseudodistância

D\bigl((x_n), (y_n)\bigr) = \lim_n d(x_n, y_n),

cujo limite existe porque $\abs{d(x_n, y_n) - d(x_m, y_m)} \leq d(x_n, x_m) + d(y_n, y_m)$ torna a sequência real de Cauchy. Ponha $\hat X = \mathcal X/{\sim}$ , identificando as sequências a $D$ -distância $0$ ; $D$ desce a uma distância. Mergulhe $X$ pelas sequências constantes: uma isometria de imagem densa (uma sequência de Cauchy é $D$ -aproximada pelas constantes construídas sobre seus próprios termos: $D\bigl((x_n), (x_k)_{\rm const}\bigr) = \lim_n d(x_n, x_k) \to 0$ quando $k \to \infty$ , por ser de Cauchy). Completude de $\hat X$ : seja $(\xi^k)$ de Cauchy em $\hat X$ ; por densidade, escolha $x_k \in X$ com $D(\xi^k, x_k) \leq 2^{-k}$ ; então $(x_k)$ é de Cauchy em $X$ (desigualdade triangular através dos $\xi$ ), define um ponto $\xi \in \hat X$ , e $D(\xi^k, \xi) \leq 2^{-k} + D(x_k, \xi) \to 0$ (a distância da constante $x_k$ à classe de $(x_j)_j$ é $\lim_j d(x_k, x_j)$ , pequena para $k$ grande).

Unicidade: dois completamentos $\hat X_1, \hat X_2$ contêm $X$ densamente; a identidade de $X$ , uma isometria, é uniformemente contínua, logo se estende a $\hat X_1 \to \hat X_2$ (Teorema 7.2), ainda uma isometria em um conjunto denso e, portanto, em toda parte; simetricamente no outro sentido, e as compostas fixam o denso $X$ : elas são as identidades. ∎

Teorema 7.4 (Ponto fixo de Banach)

Sejam $X$ completo e não vazio e $f \colon X \to X$ uma contração: $d(f(x), f(y)) \leq k\,d(x,y)$ com $k < 1$ . Então $f$ tem um único ponto fixo $x^*$ , e toda órbita converge para ele, com a taxa explícita $d(x_n, x^*) \leq \frac{k^n}{1-k}\,d(x_1, x_0)$ .

Demonstração. (O segundo ano demonstrou isto; registramos de novo o argumento de duas linhas para que o texto se baste.) A órbita $x_{n+1} = f(x_n)$ satisfaz $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^nd(x_1, x_0)$ , logo é de Cauchy (série geométrica); seu limite $x^*$ é fixo (continuidade de $f$ ) e único, pois dois pontos fixos satisfazem $d \leq k\,d$ . A taxa: some a cauda geométrica. ∎

Exemplo 7.5 (Perturbando a identidade)

Seja $g \colon \R^d \to \R^d$ $k$ -lipschitziana com $k < 1$ . Então $\varphi = \mathrm{id} + g$ é um homeomorfismo de $\R^d$ sobre $\R^d$ . Injetividade, com um módulo quantitativo:

\norm{\varphi(x) - \varphi(y)} \geq \norm{x - y} - \norm{g(x) - g(y)} \geq (1 - k)\norm{x - y} .

A sobrejetividade é o teorema do ponto fixo: resolver $\varphi(x) = y$ significa $x = y - g(x)$ , e $x \mapsto y - g(x)$ é uma $k$ -contração do espaço completo $\R^d$ — existe uma única solução $x = \psi(y)$ para cada $y$ . A desigualdade exibida torna a inversa $\psi$ lipschitziana de constante $\frac1{1-k}$ : um homeomorfismo, com cotas explícitas para ambos os módulos. Esse enunciado de aparência inofensiva é o motor dentro do teorema da função inversa (Capítulo 20): perto de um ponto em que $Df$ é inversível, $f$ é uma aplicação linear inversível mais uma pequena perturbação lipschitziana, e o exemplo de hoje faz o resto. Ele também quantifica a robustez numérica: um sistema perturbado por menos do que a margem da inversa permanece solúvel, com a solução deslocando-se no máximo $\frac{1}{1-k}$ vezes a perturbação.

7.2 O teorema de Baire

Teorema 7.6 (Baire)

Em um espaço métrico completo, uma interseção enumerável de abertos densos é densa. Equivalentemente: se $X = \bigcup_{n}F_n$ com cada $F_n$ fechado, então algum $F_n$ tem interior não vazio.

Demonstração. Sejam $(U_n)$ abertos densos e $B_0 = B(x_0, r_0)$ uma bola aberta qualquer; encontramos um ponto de $\bigcap U_n$ em $B_0$ . Indutivamente: sendo $U_{n}$ denso e aberto, ele encontra a bola aberta $B_{n-1}$ em um aberto, que contém uma bola fechada $\bar B(x_n, r_n)$ com $0 < r_n \leq r_{n-1}/2$ e $\bar B(x_n, r_n) \subseteq B_{n-1}\cap U_n$ . Os centros formam uma sequência de Cauchy ( $x_m \in B_n$ para $m \geq n$ , com raios $\to 0$ ); o limite $x$ está em toda $\bar B(x_n, r_n)$ (por serem fechadas), logo em todo $U_n$ e em $B_0$ . Quanto à segunda forma: se nenhum $F_n$ tem interior, os $U_n = X \setminus F_n$ são abertos e densos, e um ponto de $\bigcap U_n$ escapa a $\bigcup F_n = X$ : absurdo. ∎

Observação 7.7

Vocabulário: um conjunto é nunca denso se seu fecho tem interior vazio, e magro (de primeira categoria) se é uma reunião enumerável de conjuntos nunca densos. Baire: um espaço métrico completo não é magro em si mesmo, e o complementar de um conjunto magro é denso. “Magro” é uma noção de pequenez ortogonal à de medida (o Capítulo 9 produzirá conjuntos magros de medida total), e os argumentos de Baire demonstram existência por abundância: para exibir um objeto sem a propriedade P, mostre que os objetos com P formam um conjunto magro.

Corolário 7.8

(a) $\R$ é não enumerável. (b) $\Q$ não é uma interseção enumerável de abertos de $\R$ , e um espaço métrico completo não vazio sem pontos isolados é não enumerável.

Demonstração. (a) $\R = \bigcup_{x}\{x\}$ sobre um conjunto enumerável faria algum conjunto unitário ter interior. (b) Se $\Q = \bigcap_n V_n$ com $V_n$ abertos (necessariamente densos, pois $\supseteq \Q$ ), então os conjuntos $V_n$ e os complementares $\R\setminus\{q\}$ , $q \in \Q$ , formam uma família enumerável de abertos densos com interseção vazia — contradizendo Baire. Se $X$ é completo, sem pontos isolados e enumerável, $X = \bigcup_{x \in X}\{x\}$ o exibe como reunião enumerável de fechados de interior vazio (ausência de pontos isolados): Baire de novo. ∎

Teorema 7.9 (Os monstros de Weierstrass existem)

Existem funções contínuas em $\intcc01$ que não são deriváveis em ponto algum. Mais ainda: o conjunto das $f \in \mathcal C(\intcc01)$ que têm derivada (finita) em ao menos um ponto é magro em $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_\infty)$ .

Demonstração. Para $n \geq 1$ , ponha

F_n = \Bigl\{f : \exists x \in \intcc01,\ \forall h \neq 0 \text{ com } x + h \in \intcc01,\ \abs{f(x+h) - f(x)} \leq n\abs h \Bigr\}.

Se $f$ é derivável em $x$ , então $f \in F_n$ para algum $n$ : o quociente $\abs{f(x+h)-f(x)}/\abs h$ é limitado para $\abs h \leq \delta$ (derivabilidade: ele tende a $\abs{f'(x)}$ ) e limitado por $2\norm f_\infty/\delta$ para $\abs h \geq \delta$ . Assim $\bigcup F_n$ contém todas as funções deriváveis em algum ponto, e basta mostrar que cada $F_n$ é fechado e tem interior vazio.

Fechado: seja $f_k \to f$ uniformemente, com $f_k \in F_n$ e testemunhas $x_k \to x$ (compacidade, após extração). Para $h$ com $x + h \in \intcc01$ : escolha $h_k \to h$ com $x_k + h_k \in \intcc01$ (por exemplo $h_k = h + x - x_k$ truncado); então $\abs{f(x + h) - f(x)} = \lim \abs{f_k(x_k + h_k) - f_k(x_k)} \leq \lim n\abs{h_k} = n\abs h$ , usando a convergência uniforme e a continuidade de $f$ nos pontos relevantes: $f \in F_n$ .

Interior vazio: dados $f \in F_n$ e $\varepsilon > 0$ , encontramos $g$ com $\norm{g - f}_\infty \leq \varepsilon$ e $g \notin F_n$ . Primeiro, aproxime $f$ a menos de $\varepsilon/2$ por uma função $\varphi$ afim por partes (continuidade uniforme: interpole em uma grade fina), de inclinações limitadas por algum $M$ . Some um pequeno dente de serra: $g = \varphi + \frac\varepsilon2\,s_N$ , em que $s_N(x)$ é o zigue-zague $\frac1N$ -periódico de amplitude $1$ e inclinação $\pm 2N$ . Em todo $x$ , de um dos lados existe $h$ arbitrariamente pequeno com o dente de serra contribuindo com inclinação $\pm 2N\cdot\frac\varepsilon2 = \pm\varepsilon N$ em $[x, x+h]$ : o quociente de diferenças de $g$ ultrapassa $\varepsilon N - M > n$ para $N$ grande. Logo $g \notin F_n$ , a qualquer distância uniforme $\leq \varepsilon$ de $f$ . Conclusão: $\bigcup F_n$ é magro; por Baire, seu complementar — formado por funções em parte alguma deriváveis — é denso em $\mathcal C(\intcc01)$ : tais funções existem em abundância. ∎

7.3 Arzelà–Ascoli

Ao longo de toda esta seção, $K$ é um espaço métrico compacto e $\mathcal C(K) = \mathcal C(K, \R^d)$ , com $\norm f_\infty = \sup_K \norm{f(x)}$ : um espaço completo (limites uniformes de contínuas são contínuas — segundo ano).

Definição 7.10

Uma família $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ é equicontínua se, para todo $\varepsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que

d(x, y) < \delta \implies \norm{f(x) - f(y)} < \varepsilon \quad\text{para \emph{toda} } f \in \mathcal F

(um único $\delta$ para toda a família — por exemplo, qualquer família com uma constante de Lipschitz comum, ou um módulo de Hölder comum), e é pontualmente limitada se $\sup_{f}\norm{f(x)} < \infty$ para cada $x$ .

Teorema 7.11 (Arzelà–Ascoli)

Um subconjunto $\mathcal F \subseteq \mathcal C(K)$ é relativamente compacto (tem fecho compacto) se, e somente se, é equicontínuo e pontualmente limitado. Em particular, toda sequência equicontínua e pontualmente limitada tem uma subsequência uniformemente convergente.

Demonstração. ( $\Leftarrow$ ) Seja $(f_k)$ uma sequência de $\mathcal F$ . O compacto métrico $K$ é separável: para cada $n$ , um número finito de bolas de raio $\frac1n$ cobre $K$ (Teorema 6.16); seus centros formam um conjunto enumerável denso $D = \{x_1, x_2, \dots\}$ . Pela limitação pontual e por Bolzano–Weierstrass, extraia sucessivamente subsequências que convergem em $x_1$ , depois também em $x_2$ , etc., e tome a subsequência diagonal $(g_j)$ : ela converge em todo ponto de $D$ . A equicontinuidade eleva isso a uniformemente de Cauchy: dado $\varepsilon$ , tome $\delta$ como na definição, cubra $K$ por um número finito de bolas $B(x_i, \delta)$ com $x_i \in D$ ( $i \leq m$ ) e escolha $J$ tão grande que $\norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} < \varepsilon$ para $j, j' \geq J$ , $i \leq m$ . Para $x \in B(x_i, \delta)$ arbitrário:

\norm{g_j(x) - g_{j'}(x)} \leq \norm{g_j(x) - g_j(x_i)} + \norm{g_j(x_i) - g_{j'}(x_i)} + \norm{g_{j'}(x_i) - g_{j'}(x)} < 3\varepsilon .

Logo $(g_j)$ é uniformemente de Cauchy e converge no espaço completo $\mathcal C(K)$ . Assim, toda sequência de $\mathcal F$ tem subsequência convergente: $\bar{\mathcal F}$ é compacto (sequencialmente e, portanto, pelo Teorema 6.16).

( $\Rightarrow$ ) Se $\bar{\mathcal F}$ é compacto: a limitação pontual é clara (a avaliação é contínua). Quanto à equicontinuidade, cubra $\mathcal F$ por um número finito de bolas $B(f_i, \varepsilon)$ de raio $\mathcal C(K)$ ; cada $f_i$ é uniformemente contínua (Heine, Corolário 6.17), o que dá um $\delta$ comum para $i \leq m$ ; então, para $f \in B(f_i, \varepsilon)$ e $d(x,y) < \delta$ : $\norm{f(x)-f(y)} \leq 2\varepsilon + \norm{f_i(x)-f_i(y)} < 3\varepsilon$ . ∎

Exemplo 7.12

A bola unitária fechada de $\mathcal C(\intcc01)$ não é compacta ( $f_n(x) = x^n$ não tem subsequência uniformemente convergente: o limite pontual é descontínuo) e, com efeito, $(x^n)$ não é equicontínua em $1$ . Em contraste, $\{f : \norm f_\infty \leq 1,\ \operatorname{Lip}(f) \leq 1\}$ é compacto: limitado, equicontínuo por serem todas $1$ -lipschitzianas, e fechado. Ascoli explica por que a compacidade falha em dimensão infinita (Riesz, segundo ano) e o que acrescentar para restaurá-la: um módulo de continuidade uniforme.

7.4 Stone–Weierstrass

Lema 7.13 (Dini)

Sejam $K$ compacto e $(f_n)$ uma sequência monótona de funções reais contínuas que converge pontualmente para uma função contínua $f$ . Então a convergência é uniforme.

Demonstração. Digamos $f_n \uparrow f$ ; ponha $g_n = f - f_n \downarrow 0$ , contínua. Dado $\varepsilon$ , os abertos $U_n = \{g_n < \varepsilon\}$ crescem e cobrem $K$ (convergência pontual); extraia uma subcobertura finita: $K = U_{n_0}$ para algum $n_0$ (família crescente), isto é, $0 \leq g_n < \varepsilon$ em toda parte para $n \geq n_0$ . ∎

Lema 7.14

Existe uma sequência de polinômios $u_n$ com $u_n(t) \to \sqrt t$ uniformemente em $\intcc01$ .

Demonstração. Defina $u_0 = 0$ , $u_{n+1}(t) = u_n(t) + \frac12\bigl(t - u_n(t)^2\bigr)$ : são polinômios. Por indução, $0 \leq u_n(t) \leq \sqrt t$ em $\intcc01$ : admitindo isso para $n$ ,

\sqrt t - u_{n+1}(t) = \bigl(\sqrt t - u_n(t)\bigr) \Bigl(1 - \tfrac12\bigl(\sqrt t + u_n(t)\bigr)\Bigr) \geq 0,

pois $\sqrt t + u_n \leq 2$ ; e $u_{n+1} \geq u_n \geq 0$ . Assim $(u_n(t))$ é não decrescente e limitada por $\sqrt t$ : ela converge pontualmente, e o limite $\ell(t)$ satisfaz $\ell = \ell + \frac12(t - \ell^2)$ : $\ell(t) = \sqrt t$ , que é contínua. Dini (Lema 7.13) eleva a convergência a uniforme. ∎

Teorema 7.15 (Stone–Weierstrass, versão real)

Sejam $K$ um espaço compacto (de Hausdorff) e $\mathcal A \subseteq \mathcal C(K, \R)$ uma subálgebra (estável por somas, produtos e múltiplos escalares) que contém as constantes e separa pontos (para $x \neq y$ , algum $f \in \mathcal A$ satisfaz $f(x) \neq f(y)$ ). Então $\mathcal A$ é densa em $(\mathcal C(K,\R), \norm\cdot_\infty)$ .

Demonstração. Seja $\bar{\mathcal A}$ o fecho, ainda uma álgebra (produtos de limites uniformes em conjuntos limitados convergem).

Etapa 1: $\bar{\mathcal A}$ é um reticulado, isto é, estável por $\max$ e $\min$ . Como $\max(f,g) = \frac{f + g + \abs{f-g}}2$ , e analogamente para $\min$ , basta que $f \in \bar{\mathcal A} \Rightarrow \abs f \in \bar{\mathcal A}$ : com $M = \norm f_\infty > 0$ , $\abs f = M\sqrt{(f/M)^2}$ , e o Lema 7.14 dá polinômios $u_n$ com $u_n\bigl((f/M)^2\bigr) \to \abs f/M$ uniformemente; polinômios em membros da álgebra (com termo constante: as constantes lá estão) permanecem em $\bar{\mathcal A}$ .

Etapa 2: interpolação em dois pontos. Para $x \neq y$ e $a, b \in \R$ , algum $g \in \mathcal A$ satisfaz $g(x) = a$ , $g(y) = b$ : tome $h$ que separe $x, y$ e ponha $g = a + (b - a)\frac{h - h(x)}{h(y) - h(x)}$ .

Etapa 3. Sejam $f \in \mathcal C(K)$ , $\varepsilon > 0$ . Para cada par $x, y$ escolha $g_{x,y} \in \mathcal A$ com $g_{x,y}(x) = f(x)$ , $g_{x,y}(y) = f(y)$ (Etapa 2; para $x = y$ tome a função constante $g_{x,x} = f(x)$ ). Fixe $x$ : para cada $y$ , o aberto $V_y = \{g_{x,y} < f + \varepsilon\}$ contém $y$ ; a compacidade extrai $y_1, \dots, y_m$ com $K = \bigcup V_{y_j}$ , e $h_x = \min_j g_{x, y_j} \in \bar{\mathcal A}$ (Etapa 1) satisfaz $h_x < f + \varepsilon$ em toda parte, além de $h_x(x) = f(x)$ . Agora varie $x$ : $W_x = \{h_x > f - \varepsilon\}$ é aberto e contém $x$ ; extraia $x_1, \dots, x_l$ cobrindo $K$ , e $h = \max_i h_{x_i} \in \bar{\mathcal A}$ satisfaz $f - \varepsilon < h < f + \varepsilon$ : $\norm{f - h}_\infty \leq \varepsilon$ . Logo $f \in \bar{\mathcal A}$ . ∎

Corolário 7.16

(a) (Weierstrass) Os polinômios são densos em $\mathcal C(\intcc ab, \R)$ ; os polinômios em $n$ variáveis são densos em $\mathcal C(K, \R)$ para $K \subseteq \R^n$ compacto. (b) (Versão complexa) Se $\mathcal A \subseteq \mathcal C(K, \C)$ é uma subálgebra que contém as constantes, separa pontos e é estável por conjugação, então ela é densa. (c) (Versão trigonométrica) Os polinômios trigonométricos $\sum_{\abs n \leq N}c_n\eu^{\iu n t}$ são densos no espaço das funções contínuas $2\pi$ -periódicas com $\norm\cdot_\infty$ .

Demonstração. (a) Os polinômios formam uma álgebra com constantes; as funções coordenadas separam os pontos de $\R^n$ . (b) As partes real e imaginária $\frac{f + \bar f}2$ , $\frac{f - \bar f}{2\iu}$ dos membros de $\mathcal A$ formam uma álgebra real $\mathcal A_\R \subseteq \mathcal C(K, \R)$ com constantes; ela separa pontos ( $f(x) \ne f(y)$ força $\operatorname{Re}f$ ou $\operatorname{Im}f$ a separar). Aplique o teorema real e recombine. (c) Veja as funções $2\pi$ -periódicas como $\mathcal C(S^1, \C)$ ( $S^1 = \R/2\pi\Z$ , compacto: Exercício 6.5); a álgebra gerada por $\eu^{\iu t}, \eu^{-\iu t}$ e pelas constantes é estável por conjugação e separa os pontos do círculo ( $\eu^{\iu t}$ é injetora nele). Aplique (b). ∎

Observação 7.17

A versão trigonométrica repara, e generaliza amplamente, a lacuna deixada no capítulo de Fourier do segundo ano: a densidade dos polinômios trigonométricos em $(\mathcal C(S^1), \norm\cdot_2)$ decorre a fortiori ( $\norm\cdot_2 \leq \norm\cdot_\infty$ a menos da constante de normalização), o que fará do sistema de Fourier uma base ortonormal no Capítulo 13, demonstrando enfim Parseval em plena generalidade.

7.5 Exercícios

Exercício 7.1 ★

(a) Mostre que $\mathcal C(\intcc01, \R)$ com $\norm f_1 = \int_0^1\abs f$ não é completo: as funções $f_n$ iguais a $0$ em $\intcc0{\frac12}$ , a $1$ em $\intcc{\frac12 + \frac1n}1$ e afins entre esses trechos são de Cauchy para $\norm\cdot_1$ sem limite contínuo. (b) Mostre que um espaço normado em que toda série absolutamente convergente converge é completo. (Extraia de uma sequência de Cauchy uma subsequência com $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$ .)

Solução

Solução de Exercício 7.1.

(a) Para $m \geq n$ , $f_n - f_m$ se anula fora de um intervalo de comprimento $\frac1n$ e é limitada por $1$ : $\norm{f_n - f_m}_1 \leq \frac1n \to 0$ : de Cauchy. Se $f_n \to f$ em $\norm\cdot_1$ com $f$ contínua: para $\alpha < \frac12$ fixo, $\int_0^{\alpha}\abs f = \lim \int_0^\alpha\abs{f - f_n + f_n} \leq \lim\bigl(\norm{f - f_n}_1 + 0\bigr) = 0$ ( $f_n \equiv 0$ ali para $n$ grande), de modo que $f \equiv 0$ em $[0, \frac12)$ (continuidade); do mesmo modo $f \equiv 1$ em $(\frac12, 1]$ : nenhuma função contínua faz as duas coisas. Logo o espaço é incompleto — o completado é $L^1$ , construído no Capítulo 12.

(b) Seja $(x_n)$ de Cauchy; escolha $n_1 < n_2 < \cdots$ com $\norm{x_{n_{k+1}} - x_{n_k}} \leq 2^{-k}$ . A série $\sum_k (x_{n_{k+1}} - x_{n_k})$ converge absolutamente, logo converge; suas somas parciais são $x_{n_{k+1}} - x_{n_1}$ , de modo que $(x_{n_k})$ converge, e uma sequência de Cauchy com uma subsequência convergente converge.

Exercício 7.2 ★

Usando Baire: (a) mostre que um espaço normado completo não tem base (algébrica) enumerável — deduza que o espaço dos polinômios não é completo para norma alguma; (b) mostre que, se uma sequência de funções contínuas $f_n \colon \R \to \R$ converge pontualmente para $f$ , o conjunto dos pontos de continuidade de $f$ é denso. (Para (b): admita ou demonstre que $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_x f < \delta\}$ é aberto, e mostre que ele é denso usando $F_{N} = \{x: \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \delta/3\ \forall n,m \geq N\}$ , fechados que cobrem $\R$ ; trabalhe em uma bola fechada arbitrária para aplicar Baire.)

Solução

Solução de Exercício 7.2.

(a) Suponha $E$ completo com base algébrica $(e_n)_{n\in\N}$ e seja $F_n = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_n)$ : fechado (subespaços de dimensão finita são completos, logo fechados — volume do segundo ano), de interior vazio: se $B(x, r) \subseteq F_n$ , tome $v \notin F_n$ ; então $x + \frac{r}{2\norm v}v \in B(x,r) \setminus F_n$ , absurdo. Mas $E = \bigcup F_n$ (todo vetor é uma combinação finita): contradiz Baire (Teorema 7.6). O espaço $\R[X]$ tem a base enumerável $(X^n)$ , de modo que nenhuma norma o torna completo.

(b) Fixe $\delta > 0$ e uma bola aberta não vazia $B$ ; encontramos em $B$ um ponto de $\Omega_\delta = \{x : \operatorname{osc}_xf < \delta\}$ , onde $\operatorname{osc}_xf = \inf_{V \ni x}\operatorname{diam} f(V)$ . ( $\Omega_\delta$ é aberto: se $\operatorname{diam}f(V) < \delta$ para um aberto $V \ni x$ , todo $y \in V$ tem oscilação $< \delta$ .) Os conjuntos

F_N = \bigl\{x : \abs{f_n(x) - f_m(x)} \leq \tfrac\delta3\ \ \forall\, n, m \geq N \bigr\}

são fechados (interseções de pré-imagens de fechados) e cobrem $\R$ (a convergência pontual torna $(f_n(x))$ de Cauchy). Aplicando Baire dentro do completo $\bar B$ : algum $F_N \cap \bar B$ contém uma bola $B' = B(x_0, \rho)$ . Fazendo $m \to \infty$ : $\abs{f_N - f} \leq \frac\delta3$ em $B'$ . Pela continuidade de $f_N$ em $x_0$ , encolha para $B'' \ni x_0$ onde $\abs{f_N - f_N(x_0)} \leq \frac\delta3$ ; então, para $x \in B''$ ,

\abs{f(x) - f(x_0)} \leq \abs{f - f_N}(x) + \abs{f_N(x) - f_N(x_0)} + \abs{f_N - f}(x_0) \leq \delta:

$\operatorname{diam} f(B'') \leq 2\delta$ , de modo que $x_0 \in \Omega_{3\delta} \cap B$ . Assim, cada $\Omega_\delta$ é aberto e denso; $\bigcap_k\Omega_{1/k}$ — o conjunto dos pontos de continuidade — é denso por Baire.

Exercício 7.3 ★★

(a) Mostre que $f(x) = \frac12\bigl(x + \frac ax\bigr)$ ( $a > 1$ ) é uma contração de $[\sqrt a, +\infty)$ e identifique seu ponto fixo — o método de Heron. Estime o número de iterações para uma precisão de $10^{-12}$ partindo de $x_0 = a$ , no caso $a = 2$ . (b) (Equação de Kepler) Para $0 \leq e < 1$ e $m \in \R$ , mostre que $x = m + e\sin x$ tem uma única solução, que depende continuamente de $m$ .

Solução

Solução de Exercício 7.3.

(a) $f(x) = \frac12(x + \frac ax)$ leva $[\sqrt a, \infty)$ em si mesmo (MA–MG: $f(x) \geq \sqrt{x \cdot \frac ax} = \sqrt a$ ), e $f'(x) = \frac12(1 - \frac a{x^2}) \in [0, \frac12)$ ali: uma contração $\frac12$ -lipschitziana de um conjunto fechado (completo). Ponto fixo: $x = f(x) \iff x^2 = a$ : $x^* = \sqrt a$ . Velocidade (Teorema 7.4): $d(x_n, \sqrt a) \leq 2^{-n+1}\,d(x_1, x_0)$ . Para $a = 2$ , $x_0 = 2$ : $d(x_1, x_0) = \frac12$ , de modo que $n = 40$ garante $2^{-40} < 10^{-12}$ . (Na realidade, o método de Newton converge quadraticamente: um punhado de iterações basta; a estimativa por contração é pessimista, mas gratuita.)

(b) $f_m(x) = m + e\sin x$ é $e$ -lipschitziana com $e < 1$ no completo $\R$ : único ponto fixo $x(m)$ . Para dois parâmetros:

\abs{x(m) - x(m')} = \abs{f_m(x(m)) - f_{m'}(x(m'))} \leq \abs{m - m'} + e\abs{x(m) - x(m')},

de modo que $\abs{x(m) - x(m')} \leq \frac{\abs{m - m'}}{1 - e}$ : até lipschitziana em $m$ .

Exercício 7.4 ★★

(a) Sejam $X$ completo e $f \colon X \to X$ tal que algum iterado $f^p$ é uma contração. Mostre que $f$ tem um único ponto fixo. Aplicação: o operador integral $T$ em $\mathcal C(\intcc0a)$ , $Tf(x) = \int_0^x f$ , satisfaz $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ — deduza que $u = g + \lambda Tu$ é solúvel para toda $\lambda$ . (b) (Edelstein) Sejam $K$ compacto e $f\colon K \to K$ com $d(f(x), f(y)) < d(x, y)$ para $x \neq y$ . Mostre que $f$ tem um único ponto fixo, mas que a taxa de contração pode se perder: em $X = [1, +\infty)$ (completo, não compacto), $f(x) = x + \frac1x$ não tem ponto fixo, apesar de diminuir estritamente as distâncias.

Solução

Solução de Exercício 7.4.

(a) Seja $x^*$ o único ponto fixo de $f^p$ . Então $f^p(f(x^*)) = f(f^p(x^*)) = f(x^*)$ : $f(x^*)$ é um ponto fixo de $f^p$ , de modo que $f(x^*) = x^*$ . Um ponto fixo de $f$ é um de $f^p$ : a unicidade se transfere. Para $T$ : por indução $\abs{T^pf(x)} \leq \norm f_\infty x^p/p!$ (cada integração acrescenta um fator $\frac xk$ ), de modo que $\norm{T^p} \leq a^p/p!$ . A aplicação $S(u) = g + \lambda Tu$ satisfaz $S^p(u) - S^p(v) = \lambda^pT^p(u - v)$ , de norma $\leq \abs\lambda^pa^p/p!\,\norm{u - v} \to 0$ : algum $S^p$ é uma contração, e $S$ tem um único ponto fixo: a equação de Volterra $u = g + \lambda Tu$ é unicamente solúvel para toda $\lambda$ .

(b) $\varphi(x) = d(x, f(x))$ é contínua no compacto $K$ : atinge seu mínimo em algum $x_0$ . Se $f(x_0) \neq x_0$ , então $\varphi(f(x_0)) = d(f(x_0), f^2(x_0)) < d(x_0, f(x_0)) = \min\varphi$ : absurdo. Unicidade: dois pontos fixos $x \ne y$ dariam $d(x,y) = d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ . Sem compacidade: $f(x) = x + \frac1x$ em $[1, \infty)$ satisfaz, para $x < y$ , $f(y) - f(x) = (y - x)\bigl(1 - \frac1{xy}\bigr) < y - x$ , e, no entanto, $f(x) > x$ sempre: nenhum ponto fixo — a diminuição estrita das distâncias é mais fraca que um fator de contração uniforme.

Exercício 7.5 ★★

(a) Duas aplicações contínuas em um espaço de Hausdorff que coincidem em um subconjunto denso coincidem em toda parte; onde isso foi usado no capítulo? (b) Sejam $D \subseteq X$ denso e $f \colon D \to Y$ uma bijeção isométrica sobre um subconjunto denso de um $Y$ completo, com $X$ completo. Mostre que $f$ se estende a uma bijeção isométrica $X \to Y$ . Deduza novamente a unicidade dos completamentos.

Solução

Solução de Exercício 7.5.

(a) O conjunto $A = \{g = h\}$ é a pré-imagem da diagonal $\Delta_Y$ por $x \mapsto (g(x), h(x))$ , contínua; $\Delta_Y$ é fechada porque $Y$ é de Hausdorff (para $y_1 \neq y_2$ , vizinhanças abertas disjuntas dão um bloco aberto em torno de $(y_1, y_2)$ disjunto da diagonal, de modo que o complementar de $\Delta_Y$ é aberto): logo $A$ é fechado, contém um conjunto denso e é igual a $X$ . Usado: a unicidade no Teorema 7.2 e, portanto, na unicidade dos completados.

(b) $f$ , uma isometria, é uniformemente contínua: estende-se a $F\colon X \to Y$ (Teorema 7.2), ainda isométrica (a relação $d(F(x), F(x')) = d(x, x')$ vale num conjunto denso de pares e ambos os membros são contínuos). Do mesmo modo, $f^{-1}\colon f(D) \to X$ se estende a $G \colon Y \to X$ . A composta $G \circ F$ é contínua e fixa o denso $D$ : é $\mathrm{id}_X$ (parte (a)); simetricamente $F \circ G = \mathrm{id}_Y$ . Logo $F$ é uma bijeção isométrica. Unicidade dos completados: aplique isso a $D = X$ mergulhado densamente em dois completados.

Exercício 7.6 ★★

Quais das famílias seguintes são equicontínuas, pontualmente limitadas e relativamente compactas em $\mathcal C(\intcc01)$ ?

\{x \mapsto \sin(nx)\}_{n},\qquad \{x \mapsto x^n\}_n,

\Bigl\{f \in \mathcal C^1 : \norm f_\infty \leq 1,\ \norm{f'}_\infty \leq 1\Bigr\},\qquad \{f : \operatorname{Lip}(f)\leq 1,\ f(0) = 0\}.

Justifique cada resposta com Ascoli ou com uma sequência que sirva de contraexemplo.

Solução

Solução de Exercício 7.6.

$\{\sin(nx)\}$ : pontualmente limitada por $1$ ; não equicontínua: em $x = 0$ , $\sin(n\cdot\frac{\pi}{2n}) = 1$ com $\frac\pi{2n} \to 0$ , violando qualquer $\delta$ comum para $\varepsilon = \frac12$ . Não relativamente compacta (necessidade em Ascoli, Teorema 7.11).

$\{x^n\}$ : limitada; não equicontínua em $1$ : $1 - (1 - \delta)^n \to 1$ quando $n \to \infty$ para $\delta$ fixo. Não relativamente compacta — coerentemente, seu limite pontual é descontínuo, de modo que nenhuma subsequência converge uniformemente.

$\{\norm f_\infty \leq 1, \norm{f'}_\infty \leq 1\}$ : a desigualdade do valor médio torna a família $1$ -lipschitziana, logo equicontínua; limitada: relativamente compacta por Ascoli. (Não compacta: ela não é fechada — limites uniformes não precisam ser $\mathcal C^1$ ; seu fecho são as funções $1$ -lipschitzianas de norma $\leq 1$ .)

$\{\operatorname{Lip}(f) \leq 1, f(0) = 0\}$ : equicontínua; pontualmente limitada ( $\abs{f(x)} \leq x \leq 1$ ); e fechada por limites uniformes (a desigualdade de Lipschitz e o valor em $0$ passam ao limite): compacta.

Exercício 7.7 ★★★

(Operadores integrais compactos) Sejam $k \in \mathcal C(\intcc01^2)$ e, para $f \in \mathcal C(\intcc01)$ , $Tf(x) = \int_0^1k(x,y)f(y)\,\dd y$ . (a) Mostre que $T$ leva a bola unitária de $\mathcal C(\intcc01)$ em um conjunto equicontínuo e uniformemente limitado; conclua que $T$ é um operador compacto: as imagens de conjuntos limitados são relativamente compactas. (b) Deduza que, se $(f_n)$ é limitada, $(Tf_n)$ tem subsequência uniformemente convergente, e que $T$ não pode ser uma bijeção de inversa contínua. (A imagem da bola unitária seria uma vizinhança compacta de $0$ em $\mathcal C(\intcc01)$ : proibido pelo teorema de Riesz do segundo ano.)

Solução

Solução de Exercício 7.7.

(a) Para $\norm f_\infty \leq 1$ : $\abs{Tf(x)} \leq \norm k_\infty$ , e

\abs{Tf(x) - Tf(x')} \leq \int_0^1\abs{k(x,y) - k(x',y)}\,\dd y \leq \omega_k\bigl(\abs{x - x'}\bigr),

onde $\omega_k$ é um módulo de continuidade uniforme de $k$ no quadrado compacto (Heine): a imagem da bola unitária é uniformemente limitada e equicontínua, logo relativamente compacta (Ascoli). Por linearidade, todo conjunto limitado tem imagem relativamente compacta: $T$ é um operador compacto.

(b) A afirmação sobre subsequências é a definição de compacidade relativa aplicada a $\{Tf_n\}$ . Se $T$ fosse bijetor com inverso contínuo, então $T(B(0,1)) \supseteq B(0, \varepsilon)$ para algum $\varepsilon > 0$ ( $T^{-1}$ contínuo em $0$ ); a bola fechada $\bar B(0,\varepsilon)$ , subconjunto fechado do compacto $\overline{T(B(0,1))}$ , seria compacta — impossível no espaço de dimensão infinita $\mathcal C(\intcc01)$ pelo teorema de Riesz (volume do segundo ano).

Exercício 7.8 ★★

Demonstre ou refute, para $f_n \colon \intcc01 \to \R$ contínuas: (a) $f_n \downarrow 0$ pontualmente $\Rightarrow$ uniformemente (Dini — redemonstre-o); (b) o mesmo sem monotonicidade; (c) o mesmo com monotonicidade, mas com $f$ descontínua; (d) o mesmo com monotonicidade e limite contínuo, mas em $\intoo01$ .

Solução

Solução de Exercício 7.8.

(a) Dini: veja o Lema 7.13 — o argumento de cobertura. (b) Falso: o pico móvel $f_n(x) = \max(0, 1 - \abs{nx - 1})$ tende a $0$ pontualmente (para $x > 0$ , $f_n(x) = 0$ assim que $n > 2/x$ ; $f_n(0) = 0$ ), mas $\norm{f_n}_\infty = 1$ . (c) Falso: $f_n(x) = x^n$ decresce para a descontínua $\mathbf 1_{\{1\}}$ ; $\sup_{[0,1]}\abs{f_n - f} = \sup_{[0,1)} x^n = 1$ . (d) Falso: $x^n \downarrow 0$ pontualmente no não compacto $\intoo01$ , com $\sup_{(0,1)}x^n = 1$ . Cada hipótese de Dini é necessária.

Exercício 7.9 ★★

(a) (Os momentos determinam) Seja $f \in \mathcal C(\intcc01)$ com $\int_0^1 f(x)\,x^n\,\dd x = 0$ para todo $n \in \N$ . Mostre que $f = 0$ . (Aproxime $f$ uniformemente por polinômios e calcule $\int f^2$ .) (b) Mostre que os polinômios pares são densos em $\mathcal C(\intcc01)$ mas não em $\mathcal C(\intcc{-1}1)$ ; onde falha a hipótese de Stone–Weierstrass? (c) A álgebra gerada apenas por $x \mapsto \eu^{\iu x}$ (sem $\eu^{-\iu x}$ ) é densa em $\mathcal C(S^1, \C)$ ? (Considere $\int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\dd t$ .)

Solução

Solução de Exercício 7.9.

(a) Por linearidade, $\int_0^1 fP = 0$ para todo polinômio $P$ . Escolha $P_n \to f$ uniformemente (Corolário 7.16): $\int_0^1 f^2 = \lim\int_0^1 fP_n = 0$ , e a função contínua $f^2 \geq 0$ de integral nula se anula identicamente.

(b) Em $\intcc01$ : os polinômios em $x^2$ formam uma álgebra com as constantes, que separa pontos ( $x \mapsto x^2$ é injetora em $\intcc01$ ): densa por Stone–Weierstrass. Em $\intcc{-1}1$ : $x^2$ assume valores iguais em $\pm x$ , e todo polinômio em $x^2$ também: um limite uniforme desses é uma função par. Se funções pares $g_n$ convergissem uniformemente para a identidade, então $x = \lim g_n(x) = \lim g_n(-x) = -x$ para todo $x$ : absurdo — não é densa. A hipótese de separação falha nos pares $\{x, -x\}$ .

(c) Não. Para $f$ na álgebra $\mathcal A$ gerada pelas constantes e por $\eu^{\iu t}$ — combinações lineares de $\eu^{\iu nt}$ , $n \geq 0$ —, tem-se $\Lambda(f) = \int_0^{2\pi}f(t)\,\eu^{\iu t}\,\dd t = 0$ (cada $\int_0^{2\pi}\eu^{\iu(n+1)t}\dd t = 0$ ). $\Lambda$ é contínua para $\norm\cdot_\infty$ ( $\abs{\Lambda(f)}\leq 2\pi\norm f_\infty$ ), de modo que $\Lambda$ se anula em $\bar{\mathcal A}$ ; mas $\Lambda(\eu^{-\iu t}) = 2\pi \neq 0$ : $\eu^{-\iu t} \notin \bar{\mathcal A}$ . (Stone–Weierstrass não se aplica: $\mathcal A$ não é estável por conjugação — e o obstáculo é precisamente o que a teoria das funções holomorfas sistematizará no Capítulo 16.)

Exercício 7.10 ★★★

(Limitação uniforme, versão métrica) Sejam $X$ um espaço métrico completo e $\mathcal F \subseteq \mathcal C(X, \R)$ uma família pontualmente limitada: $\sup_{f \in \mathcal F}\abs{f(x)} < \infty$ para cada $x$ . Mostre que existe um aberto não vazio $U \subseteq X$ no qual $\mathcal F$ é uniformemente limitada: $\sup_{f}\sup_U \abs f < \infty$ . (Considere $F_n = \{x : \abs{f(x)} \leq n\ \forall f\}$ .) Este é o motor por trás de Banach–Steinhaus no Capítulo 8.

Solução

Solução de Exercício 7.10.

$F_n = \bigcap_{f \in \mathcal F}\{x : \abs{f(x)} \leq n\}$ é uma interseção de fechados: fechado. A limitação pontual dá $X = \bigcup_n F_n$ . Baire (Teorema 7.6) fornece $n_0$ com $U = \mathring F_{n_0} \neq \varnothing$ : em $U$ , $\abs f \leq n_0$ para toda $f \in \mathcal F$ simultaneamente.

Exercício 7.11 ★★

( $\mathcal C^1$ precisa de sua própria norma) Em $E = \mathcal C^1(\intcc01, \R)$ , considere $\norm f_{\mathcal C^1} = \norm f_\infty + \norm{f'}_\infty$ . (a) Mostre que $(E, \norm\cdot_{\mathcal C^1})$ é completo (uma sequência de Cauchy para $\mathcal C^1$ tem $f_n \to f$ e $f_n' \to g$ uniformemente; identifique $g = f'$ passando ao limite em $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'$ ). (b) Mostre que $(E, \norm\cdot_\infty)$ não é completo: exiba um limite uniforme de funções $\mathcal C^1$ que não é derivável (por exemplo, aproximações suaves de $\abs{x - \tfrac12}$ ). (c) Deduza de (a), (b) e do círculo de ideias da aplicação aberta — ou diretamente — que nenhuma constante $C$ satisfaz $\norm{f'}_\infty \leq C\,\norm f_\infty$ em $E$ : exiba uma sequência que o ateste. A derivação é ilimitada; esse é o precipício por trás do Teorema 7.9.

Solução

Solução de Exercício 7.11.

(a) Uma sequência de Cauchy para $\norm\cdot_{\mathcal C^1}$ é uniformemente de Cauchy junto com suas derivadas: $f_n \to f$ e $f_n' \to g$ uniformemente, com $f, g$ contínuas. Passando ao limite (a convergência uniforme o permite sob o sinal de integral) em $f_n(x) = f_n(0) + \int_0^xf_n'(t)\,\dd t$ , obtém-se $f(x) = f(0) + \int_0^xg$ : $f$ é $\mathcal C^1$ com $f' = g$ , e $\norm{f_n - f}_{\mathcal C^1} \to 0$ . Completo.

(b) $h(x) = \abs{x - \frac12}$ é um limite uniforme de funções $\mathcal C^1$ , por exemplo $h_n(x) = \sqrt{(x - \frac12)^2 + \frac1n}$ ( $\abs{h_n - h} \leq \frac1{\sqrt n}$ pela cota da quantidade conjugada), e, no entanto, $h \notin E$ : a norma $\sup$ em $E$ não é completa — seu completado é $\mathcal C(\intcc01)$ .

(c) $f_n(x) = \sin(2\pi nx)$ tem $\norm{f_n}_\infty = 1$ e $\norm{f_n'}_\infty = 2\pi n \to \infty$ : não existe $C$ . (Conceitualmente: se a derivação fosse limitada para a norma do sup, as duas normas de (a)–(b) seriam equivalentes, tornando $(E, \norm\cdot_\infty)$ completo — contradizendo (b). Essa ilimitação é exatamente a razão pela qual funções contínuas genéricas podem não ser deriváveis em ponto algum, Teorema 7.9.)

Exercício 7.12 ★★★

(Lema de Croft) Seja $f\colon\intoo0\infty\to\R$ contínua e suponha que, para todo $x > 0$ , $f(nx) \to 0$ quando o inteiro $n \to \infty$ . Mostre que $f(t) \to 0$ quando $t \to +\infty$ . (Fixe $\varepsilon > 0$ ; os conjuntos $F_N = \{x > 0 : \abs{f(nx)} \leq \varepsilon\ \ \forall n \geq N\}$ são fechados e cobrem $\intoo0\infty$ ; Baire em algum intervalo $\intcc ab$ dá $N$ e um subintervalo $\intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$ ; então os dilatados $\bigl[na', nb'\bigr]$ , $n \geq N$ , cobrem toda uma vizinhança de $+\infty$ assim que $n(b' - a') \geq a'$ .) Onde se usa a hipótese “para todo $x$ ” (e não apenas para $x$ racional)?

Solução

Solução de Exercício 7.12.

Fixe $\varepsilon > 0$ . Cada $F_N$ é uma interseção, sobre $n \geq N$ , de pré-imagens do fechado $\intcc{-\varepsilon} \varepsilon$ pela contínua $x \mapsto f(nx)$ : fechado. A hipótese diz que todo $x > 0$ está em algum $F_N$ . Por Baire aplicado dentro do completo $\intcc ab$ (qualquer $0 < a < b$ ), algum $F_N$ é denso num subintervalo; sendo fechado, ele contém um intervalo $\intcc{a'}{b'}$ com $0 < a' < b'$ . Então, para todo $n \geq \max(N, \frac{a'}{b' - a'})$ , os intervalos $\intcc{na'}{nb'}$ e $\intcc{(n+1)a'}{(n+1)b'}$ se sobrepõem ( $nb' \geq (n+1)a'$ ), de modo que

\bigcup_{n \geq n_0}\intcc{na'}{nb'} \supseteq \intco{n_0a'}{+\infty},

e todo $t \geq n_0a'$ é $t = nx$ com $n \geq N$ , $x \in \intcc{a'}{b'} \subseteq F_N$ : $\abs{f(t)} \leq \varepsilon$ . Logo $\limsup_{t\to\infty}\abs f \leq \varepsilon$ para todo $\varepsilon$ : $f \to 0$ . A hipótese completa é necessária porque $F_N$ precisa cobrir um intervalo inteiro de $x$ — só com $x$ racionais, a união dos $F_N$ é enumerável e Baire nada dá; e, de fato, há contraexemplos contínuos que se anulam ao longo de todas as semirretas racionais, mas não no infinito.

7.6 Problema: o teorema de existência de Peano

Problema 7.1

Problema de fim de semana — existência de soluções de $x' = f(t, x)$ sem Lipschitz

Cauchy–Lipschitz (segundo ano; redemonstrado no Capítulo 19) exige $f$ lipschitziana em $x$ . Peano (1890): a continuidade de $f$ já garante a existência — embora não a unicidade. Demonstramo-lo com poligonais de Euler e Ascoli. Cenário: $f \colon R \to \R^d$ contínua no retângulo $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 + a}\times \bar B(x_0, b) \subseteq \R\times\R^d$ , $M = \sup_R\norm f$ , e

T = \min\bigl(a,\ b/M\bigr) \qquad (\text{se } M = 0 \text{ o problema é trivial}).

Parte I — Poligonais de Euler. Para $n \geq 1$ , subdivida $[t_0, t_0 + T]$ por $t_k = t_0 + kT/n$ ( $0 \leq k \leq n$ ) e defina $\varphi_n$ de maneira afim por partes: $\varphi_n(t_0) = x_0$ e, em $[t_k, t_{k+1}]$ ,

\varphi_n(t) = \varphi_n(t_k) + (t - t_k)\,f\bigl(t_k, \varphi_n(t_k)\bigr).

Mostre por indução que $\varphi_n$ está bem definida, com $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq M(t - t_0) \leq b$ em $[t_0, t_0 + T]$ — de modo que os pontos de avaliação permanecem em $R$ . (É aqui que $T \leq b/M$ entra.)
Mostre que cada $\varphi_n$ é $M$ -lipschitziana.
Deduza de Arzelà–Ascoli (Teorema 7.11) que uma subsequência $(\varphi_{n_j})$ converge uniformemente em $[t_0, t_0 + T]$ para alguma $\varphi$ , ela própria $M$ -lipschitziana e com $\varphi(t_0) = x_0$ .

Parte II — O limite resolve a equação. Defina o defeito $\Delta_n(t) = \varphi_n'(t) - f\bigl(t, \varphi_n(t)\bigr)$ nos pontos que não são da grade.

Mostre que $f$ é uniformemente contínua em $R$ e deduza: para todo $\varepsilon > 0$ existe $n_0$ tal que, para $n \geq n_0$ e todo $t$ fora da grade, $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ . (Em $(t_k, t_{k+1})$ , $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$ , e $(t, \varphi_n(t))$ está a distância no máximo $(1 + M)\,T/n$ de $(t_k, \varphi_n(t_k))$ .)
Estabeleça a forma integral: para todo $t$ ,

$\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, \varphi_n(s)\bigr)\dd s + \int_{t_0}^t \Delta_n(s)\,\dd s,$

sendo o integrando do meio contínuo por partes.
Passe ao limite ao longo de $(n_j)$ : mostre que $f(s, \varphi_{n_j}(s)) \to f(s, \varphi(s))$ uniformemente (continuidade uniforme de $f$ , de novo), e conclua

$\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^t f\bigl(s, \varphi(s)\bigr)\dd s .$
Deduza que $\varphi$ é $\mathcal C^1$ em $[t_0, t_0 + T]$ e resolve $x' = f(t, x)$ , $x(t_0) = x_0$ ; estenda a construção a $[t_0 - T, t_0]$ (inversão do tempo). Este é o teorema de Peano.

Parte III — A unicidade falha de verdade. Considere $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ , em $\R$ .

Verifique que $f(x) = 2\sqrt{\abs x}$ é contínua mas não é lipschitziana em vizinhança alguma de $0$ .
Verifique que $x \equiv 0$ e, para todo $c \geq 0$ ,

$x_c(t) = \begin{cases} 0 & t \leq c,\\ (t - c)^2 & t \geq c,\end{cases}$

são todas soluções por $(0,0)$ : um contínuo de soluções distintas.
Onde exatamente a iteração de Picard (ponto fixo de Banach) se quebra para esse $f$ ?

Parte IV — Limites do método.

Mostre que o teorema de Peano falha em dimensão infinita: admitimos (ou você pode aceitar de boa-fé) o exemplo clássico de Dieudonné no espaço $c_0$ das sequências nulas; em vez disso, demonstre o ingrediente de dimensão finita que ali falha: a bola unitária fechada de $c_0$ (norma do supremo) não é compacta — exiba uma sequência limitada sem subsequência convergente e explique qual etapa da Parte I se quebra.
Resuma: que hipóteses dão existência? e existência mais unicidade? Enuncie com precisão os dois teoremas (Peano; Cauchy–Lipschitz) lado a lado.

Parte V — Osgood: unicidade além de Lipschitz. Seja $\omega\colon\intoo0\infty\to\intoo0\infty$ contínua, não decrescente, com

\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} = +\infty \qquad(\text{divergência em } 0),

e suponha que $f$ satisfaça $\norm{f(t, x) - f(t, y)} \leq \omega\bigl(\norm{x - y}\bigr)$ em $R$ .

Verifique que $\omega(r) = Lr$ serve (é lipschitziana), que $\omega(r) = r\log\frac1r$ (estendida por continuidade, para $r$ pequeno) serve, embora não seja $O(r)$ , e que $\omega(r) = 2\sqrt r$ não serve. Calcule a integral em cada caso.
Sejam $x_1, x_2$ soluções da equação em $[t_0, t_0 + T]$ com $x_1(t_0) = x_2(t_0)$ , e ponha $\delta(t) = \norm{x_1(t) - x_2(t)}$ . Mostre, apenas a partir das formas integrais, que para $t_0 \leq s \leq t$ :

$\delta(t) \leq \delta(s) + \int_s^t\omega\bigl(\delta(v)\bigr)\dd v .$
(Teorema de Osgood) Suponha $\delta(t_1) > 0$ para algum $t_1$ , e seja $\tau = \sup\{t \leq t_1 : \delta(t) = 0\}$ . Para $s \in \intoo\tau{t_1}$ , ponha $u(t) = \delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$ . Mostre que $\delta \leq u$ , $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$ , e deduza

$\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)} \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .$

Faça $s \downarrow \tau$ e obtenha uma contradição com a divergência da integral. Conclua: soluções que passam por uma mesma condição inicial coincidem — unicidade sob a condição de Osgood.
Tire as consequências: a unicidade de Cauchy–Lipschitz é o caso $\omega(r) = Lr$ ; a equação $x' = x\log\frac1{\abs x}$ (estendida por $0$ em $0$ ) tem soluções únicas embora seu lado direito não seja lipschitziano em $0$ ; e, para $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , a convergência de $\int_0\frac{\dd r}{2\sqrt r}$ é exatamente o que permite a uma solução deixar $0$ em tempo finito — compare o valor da integral $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ com o comportamento de fuga de $x_c$ .

Parte VI — Taxas, esquemas, funis.

(Lema integral de Grönwall) Seja $e, \eta \geq 0$ contínua em $[t_0, t_0+T]$ com $e(t) \leq \int_{t_0} ^t\bigl(L\,e(s) + \eta(s)\bigr)\dd s$ para todo $t$ . Mostre que

$e(t) \leq \frac{\sup\eta}{L}\bigl(\eu^{L(t - t_0)} - 1\bigr)$

(ponha $G(t) = \int_{t_0}^t(Le + \eta)$ , note que $G' \leq LG + \sup\eta$ e derive $\eu^{-Lt}G(t)$ ).
(Euler converge com uma taxa) Suponha agora $f$ $L$ -lipschitziana em $x$ e $L'$ -lipschitziana em $t$ em $R$ . Combinando a cota do defeito da questão 4 (tornada quantitativa: $\norm{\Delta_n} \leq (L' + LM)T/n$ ) com a questão 17, demonstre

$\sup_{[t_0, t_0+T]}\norm{\varphi_n - \varphi} \;\leq\; \frac{(L' + LM)\,T}{n}\cdot \frac{\eu^{LT} - 1}{L} = O\Bigl(\frac1n\Bigr),$

em que $\varphi$ é a solução: com dados lipschitzianos, a sequência inteira converge, com uma taxa explícita — sem precisar de subsequências. Por que a unicidade eleva a convergência de subsequências à convergência plena, mesmo sem esse cálculo?
(O esquema escolhe) Para $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ : mostre que toda poligonal de Euler é identicamente nula, de modo que o esquema converge para a solução $x \equiv 0$ ; mas, iniciado em $x(0) = \varepsilon > 0$ , ele converge (quando $n \to \infty$ e, em seguida, $\varepsilon \to 0$ ) para $t \mapsto t^2$ , uma solução diferente pela origem. A não unicidade ressurge como sensibilidade do esquema numérico a perturbações.
Mostre que o conjunto $\mathcal S$ de todas as soluções de $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ em $[t_0, t_0+T]$ (com valores em $\bar B(x_0, b)$ ) é não vazio (Parte II), uniformemente $M$ -lipschitziano e fechado em $\bigl(\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d), \norm\cdot_\infty\bigr)$ ; conclua por Ascoli que $\mathcal S$ é compacto. (O teorema de Kneser acrescenta que $\mathcal S$ é conexo; não o demonstraremos.)
Verifique o fenômeno de Kneser no exemplo: para $x' = 2\sqrt{\abs x}$ , $x(0) = 0$ , em $[0, 1]$ , mostre que $\mathcal S = \{x_c : c \in \intcc0\infty\}$ com $x_\infty \equiv 0$ (para uma solução qualquer, ponha $c = \sup\{t : x(t) = 0\}$ e integre $(\sqrt x)' = 1$ em $\{x > 0\}$ ), que $c \mapsto x_c$ é contínua de $\intcc0\infty$ (compactificação por um ponto, isto é, com $c = \infty$ colado como limite) em $\mathcal C([0,1])$ , e conclua que $\mathcal S$ é de fato compacto e conexo — um funil em forma de segmento.
(Conjuntos atingíveis) Deduza da questão 20 que, para cada $t$ fixado, o conjunto atingível $\mathcal S(t) = \{x(t) : x \in \mathcal S\}$ é compacto; calcule-o para o exemplo da questão 21 e verifique que ele é também conexo: $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ — todo estado intermediário é atingido por alguma solução.

Parte VII — Complementos: dependência, otimalidade e um esquema calculado à mão.

(Dependência contínua) Suponha $f$ $L$ -lipschitziana em $x$ em $R$ e sejam $x, y$ duas soluções com valores iniciais $x_0, y_0$ em $t_0$ . Adaptando a demonstração da questão 17 à desigualdade $e(t) \leq \norm{x_0 - y_0} + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s$ , mostre que

$\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x_0 - y_0}\, \eu^{L(t - t_0)},$

e verifique em $x' = Lx$ que a cota é atingida: Grönwall é ótimo. Deduza de novo a unicidade ( $x_0 = y_0$ ) e que a aplicação de fluxo $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ é lipschitziana, de constante $\eu^{LT}$ , onde quer que esteja definida.
(Osgood é ótimo) Reciprocamente, seja $\omega$ contínua, não decrescente, positiva em $\intoo0\infty$ , com $\omega(r) \to 0$ quando $r \to 0^+$ , mas

$\int_0^1\frac{\dd r}{\omega(r)} < +\infty,$

e estenda $f(x) = \omega(\abs x)$ por $f(0) = 0$ . Mostre que $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{\omega(r)}$ é uma bijeção crescente de $\intoc0{1}$ sobre $\intoc0{\Omega(1)}$ , que sua inversa $g$ resolve $g' = \omega(g)$ com $g(0^+) = 0$ , e que $g$ , estendida por $0$ para $t \leq 0$ , é uma solução $\mathcal C^1$ de $x' = f(x)$ por $(0, 0)$ distinta de $x \equiv 0$ (para $g'(0) = 0$ , limite $\frac{g(t)}t$ por $\omega(g(t))$ ). Conclua: a hipótese de divergência da questão 15 não é uma comodidade, mas a fronteira exata da unicidade; recupere a Parte III a partir de $\omega(r) = 2\sqrt r$ , $\Omega(x) = \sqrt x$ .
(Euler calculado à mão) Para $x' = x$ , $x(0) = 1$ em $[0, 1]$ : mostre que a poligonal de Euler satisfaz $\varphi_n(1) = \bigl(1 + \frac1n\bigr)^n$ . Demonstre a expansão

$\Bigl(1 + \frac1n\Bigr)^{n} = \eu\Bigl(1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr) \Bigr),$

de modo que o erro em $t = 1$ é $\frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$ : a taxa $O(\frac1n)$ da questão 18, com a constante exata. Confira numericamente para $n = 10$ : $1.1^{10} = 2.59374$ contra $\eu \approx 2.71828$ , um erro $0.12454$ a comparar com $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$ .

Solução

Solução de Problema 7.1.

1. Indução sobre $k$ : se $\norm{\varphi_n(t_k) - x_0} \leq M(t_k - t_0) \leq MT \leq b$ , o ponto $(t_k, \varphi_n(t_k))$ está em $R$ , de modo que a inclinação $f(t_k, \varphi_n(t_k))$ está definida, de norma $\leq M$ ; então, para $t \in [t_k, t_{k+1}]$ , $\norm{\varphi_n(t) - x_0} \leq \norm{\varphi_n(t_k) - x_0} + M(t - t_k) \leq M(t - t_0) \leq MT \leq b$ .

2. Cada peça afim tem inclinação de norma $\leq M$ ; uma função afim por partes com inclinações limitadas por $M$ é $M$ -lipschitziana (encadeie pelos pontos da malha).

3. A família $(\varphi_n)$ é pontualmente limitada (valores em $\bar B(x_0, b)$ ) e equicontínua (constante de Lipschitz comum $M$ ): Ascoli (Teorema 7.11) extrai $\varphi_{n_j} \to \varphi$ uniformemente em $[t_0, t_0 + T]$ . As cotas passam ao limite: $\varphi$ é $M$ -lipschitziana, $\varphi(t_0) = x_0$ .

4. $R$ é compacto e $f$ contínua: uniformemente contínua (Heine, Corolário 6.17); seja $\delta(\varepsilon)$ um módulo. Para $t \in (t_k, t_{k+1})$ fora da malha: $\varphi_n'(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k))$ , e os dois pontos de avaliação de $f$ diferem de $\abs{t - t_k} \leq T/n$ no tempo e de $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ no espaço. Para $n \geq n_0$ com $(1 + M)T/n_0 < \delta(\varepsilon)$ : $\norm{\Delta_n(t)} \leq \varepsilon$ .

5. Em cada $[t_k, t_{k+1}]$ , $\varphi_n$ é afim, de modo que $\varphi_n(t_{k+1}) - \varphi_n(t_k) = \int_{t_k}^{t_{k+1}} \varphi_n'(s)\dd s$ , sendo a derivada a inclinação constante; somando sobre as peças (e cortando a última em $t$ ): $\varphi_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^t\varphi_n'(s)\,\dd s$ . Escrevendo $\varphi_n' = f(s, \varphi_n(s)) + \Delta_n(s)$ (integrandos contínuos por partes, com finitos saltos), obtém-se a fórmula em destaque.

6. Dado $\varepsilon$ : para $j$ grande, $\norm{\varphi_{n_j} - \varphi}_\infty < \delta(\varepsilon)$ , de modo que $\norm{f(s, \varphi_{n_j}(s)) - f(s, \varphi(s))} \leq \varepsilon$ para todo $s$ : convergência uniforme dos integrandos, e $\int_{t_0}^t f(s,\varphi_{n_j}(s))\dd s \to \int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\dd s$ uniformemente em $t$ . Além disso, $\norm{\int_{t_0}^t\Delta_{n_j}} \leq T\sup\norm{\Delta_{n_j}} \to 0$ (questão 4). Passando ao limite na identidade da questão 5: $\varphi(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, \varphi(s))\,\dd s$ .

7. O integrando $s \mapsto f(s, \varphi(s))$ é contínuo, de modo que o membro direito é $\mathcal C^1$ em $t$ , com derivada $f(t, \varphi(t))$ : $\varphi$ resolve o problema de Cauchy em $[t_0, t_0 + T]$ . Para a metade esquerda, ponha $g(t, x) = -f(2t_0 - t, x)$ , contínua no retângulo refletido com a mesma cota $M$ ; uma solução $\psi$ de $y' = g(t,y)$ , $y(t_0) = x_0$ em $[t_0, t_0 + T]$ fornece $\varphi(t) = \psi(2t_0 - t)$ , que resolve a equação original em $[t_0 - T, t_0]$ ; as duas metades se colam numa solução $\mathcal C^1$ (as duas derivadas laterais em $t_0$ valem $f(t_0, x_0)$ ). — Teorema de Peano: uma $f$ contínua admite uma solução local por toda condição inicial.

8. A continuidade é clara. A condição de Lipschitz perto de $0$ falha: $\abs{f(h) - f(0)} = 2\sqrt h$ , e $2\sqrt h \leq L h$ é falso para $h < 4/L^2$ .

9. Para $t \leq c$ : $x_c \equiv 0$ resolve. Para $t \geq c$ : $x_c'(t) = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{x_c}}$ . Em $t = c$ , as duas derivadas laterais valem $0$ : $x_c$ é $\mathcal C^1$ e resolve globalmente, com $x_c(0) = 0$ para todo $c \geq 0$ — junto com $x \equiv 0$ , um contínuo de soluções pela origem.

10. A iteração de Picard monta $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_0^t f(x(s))\dd s$ e precisa de $\norm{\Phi(x) - \Phi(y)} \leq k\norm{x - y}$ com $k < 1$ numa bola adequada — o que decorre de uma cota de Lipschitz sobre $f$ , transferida para debaixo da integral. Aqui $\sqrt\cdot$ não admite cota de Lipschitz perto de $0$ , e nenhuma escolha de intervalo ou de bola conserta isso. E, de fato, nenhuma demonstração de unicidade poderia ter êxito: a unicidade é falsa (questão 9).

11. Em $c_0$ , os vetores unitários $e_n = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots)$ satisfazem $\norm{e_n - e_m}_\infty = 1$ para $n \neq m$ : nenhuma subsequência é de Cauchy, de modo que a bola unitária fechada não é compacta. O passo que se quebra é a extração (questão 3): Ascoli para $\mathcal C([t_0, t_0+T], E)$ exige que os valores vivam num espaço em que os limitados sejam relativamente compactos — verdade em $\R^d$ (Bolzano–Weierstrass), falso em $c_0$ ; a extração pontual deixa de estar disponível (de fato, o exemplo de Dieudonné não tem solução local alguma).

12. Peano: $f$ contínua numa vizinhança de $(t_0, x_0)$ em $\R\times\R^d$ $\Rightarrow$ existe uma solução $\mathcal C^1$ de $x' = f(t,x)$ , $x(t_0) = x_0$ , em algum $[t_0 - T, t_0 + T]$ . Cauchy–Lipschitz (Capítulo 19): se, além disso, $f$ é localmente lipschitziana na variável $x$ , a solução é única (duas quaisquer coincidem em seu intervalo comum) — existência e unicidade. O par $(x' = 2\sqrt{\abs x},\ x(0) = 0)$ separa os dois teoremas.

13. $\omega(r) = Lr$ : $\int_0^1\frac{\dd r}{Lr} = +\infty$ : serve. $\omega(r) = r\log\frac1r$ (perto de $0$ ): $\int\frac{\dd r}{r\log(1/r)} = \bigl[-\log\log\frac1r\bigr] \to +\infty$ quando $r \to 0$ : serve — e, no entanto, $\omega(r)/r = \log\frac1r \to \infty$ : não lipschitziana. $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $\int_0^1\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \bigl[\sqrt r\bigr]_0^1 = 1 < \infty$ : falha.

14. Subtraia as duas formas integrais:

x_1(t) - x_2(t) = x_1(s) - x_2(s) + \int_s^t\bigl(f(v, x_1(v)) - f(v, x_2(v))\bigr)\dd v,

tome normas e use o módulo de Osgood: $\delta(t) \leq \delta(s) + \int_s^t\omega(\delta(v))\,\dd v$ .

15. $\tau$ está bem definido ( $\delta(t_0) = 0$ ), com $\delta(\tau) = 0$ (continuidade) e $\delta > 0$ em $\intoc\tau{t_1}$ . Fixe $s \in \intoo\tau{t_1}$ . Então $u$ é $\mathcal C^1$ , $u(s) = \delta(s) > 0$ , $u \geq \delta$ em $[s, t_1]$ (questão 14), e $u' = \omega(\delta) \leq \omega(u)$ ( $\omega$ não decrescente, $u > 0$ ). Divida e integre:

\int_{\delta(s)}^{u(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)} = \int_s^{t_1}\frac{u'(v)}{\omega(u(v))}\,\dd v \leq t_1 - s \leq t_1 - \tau .

Embora $u$ dependa de $s$ , a cota $u(t_1) \geq \delta(t_1)$ vale para todo $s$ , de modo que o membro esquerdo é pelo menos $\int_{\delta(s)}^{\delta(t_1)}\frac{\dd r}{\omega(r)}$ , que tende a $+\infty$ quando $s \downarrow \tau$ (então $\delta(s) \to \delta(\tau) = 0$ , e a integral diverge em $0$ ): o membro direito, limitado, é contradito. Logo $\delta \equiv 0$ : unicidade.

16. Lipschitz é $\omega = Lr$ : unicidade recuperada. Para $x' = x\log\frac1{\abs x}$ : o membro direito satisfaz o módulo de Osgood $\omega(r) = r\log\frac1r$ perto de $0$ (desigualdade do valor médio em $x \mapsto x\log\frac1x$ , cuja derivada $\log\frac1x - 1$ é ilimitada — Lipschitz falha, Osgood vale): soluções únicas; note que $x \equiv 0$ é uma delas, de modo que nenhuma outra solução pode tocar $0$ . Para $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $\int_0^{h^2}\frac{\dd r}{2\sqrt r} = h$ — o “orçamento de Osgood” para subir de $0$ até a altura $h^2$ é exatamente o tempo $h$ e, de fato, $x_c(c + h) = h^2$ : a solução gasta o tempo $h$ fazendo precisamente o que a integral convergente permite. A divergência da integral é a impossibilidade de deixar $0$ em tempo finito; a convergência é a rota de fuga.

17. $G(t) = \int_{t_0}^t(Le(s) + \eta(s))\dd s$ é $\mathcal C^1$ com $G' = Le + \eta \leq LG + \sup\eta$ (hipótese $e \leq G$ ). Então $\bigl(\eu^{-Lt}(G + \tfrac{\sup\eta}L)\bigr)' = \eu^{-Lt}(G' - LG - \sup\eta) \leq 0$ : o colchete decresce, de modo que $G(t) + \frac{\sup\eta}L \leq \eu^{L(t - t_0)}\bigl(G(t_0) + \frac{\sup\eta}L\bigr) = \eu^{L(t-t_0)}\frac{\sup\eta}L$ , isto é, $e(t) \leq G(t) \leq \frac{\sup\eta}L(\eu^{L(t-t_0)} - 1)$ .

18. Defeito quantitativo: em $(t_k, t_{k+1})$ , $\Delta_n(t) = f(t_k, \varphi_n(t_k)) - f(t, \varphi_n(t))$ com $\abs{t - t_k} \leq T/n$ e $\norm{\varphi_n(t) - \varphi_n(t_k)} \leq MT/n$ , de modo que $\norm{\Delta_n} \leq L'T/n + LMT/n$ . Subtraindo as identidades integrais de $\varphi_n$ (questão 5) e de $\varphi$ e usando a cota de Lipschitz:

\norm{\varphi_n(t) - \varphi(t)} \leq \int_{t_0}^t L\,\norm{\varphi_n - \varphi}(s)\,\dd s + \int_{t_0}^t\norm{\Delta_n(s)}\,\dd s,

e a questão 17 com $\eta = \norm{\Delta_n}$ dá a cota $O(1/n)$ enunciada, sendo $\varphi$ única por Cauchy–Lipschitz (ou Osgood). Mesmo sem velocidades: toda subsequência das $(\varphi_n)$ , equilimitadas e equilipschitzianas, tem uma sub-subsequência que converge (Ascoli + Parte II) para uma solução, que a unicidade obriga a ser $\varphi$ : uma sequência cujas subsequências têm todas sub-subsequências de mesmo limite converge.

19. De $\varphi_n(t_k) = 0$ : a inclinação $2\sqrt0 = 0$ dá $\varphi_n(t_{k+1}) = 0$ ; indução: $\varphi_n \equiv 0$ , convergindo para a solução nula. De $\varepsilon > 0$ : em $[\varepsilon', \infty)$ com $\varepsilon' < \varepsilon$ , a função $2\sqrt x$ é lipschitziana, de modo que a questão 18 se aplica e Euler converge para a única solução por $(0, \varepsilon)$ , a saber $x(t) = (t + \sqrt\varepsilon)^2$ (verifique: $x' = 2(t + \sqrt \varepsilon) = 2\sqrt x$ ). Quando $\varepsilon \to 0$ , $(t + \sqrt\varepsilon)^2 \to t^2$ uniformemente em $[0,1]$ : o limite duplo cai em $x_0(t) = t^2$ , não em $0$ . Uma perturbação arbitrariamente pequena do dado inicial redireciona o esquema de uma solução para outra: a não unicidade lida como instabilidade numérica.

20. Não vazio: Parte II. Toda solução satisfaz $\norm{x'} = \norm{f(t, x)} \leq M$ : $\mathcal S$ é uniformemente $M$ -lipschitziana e uniformemente limitada (valores em $\bar B(x_0, b)$ ). Fechado: se $x_n \in \mathcal S \to x$ uniformemente, passe ao limite em $x_n(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x_n(s))\dd s$ (os integrandos convergem uniformemente pela continuidade uniforme de $f$ no compacto $R$ ): $x \in \mathcal S$ . Ascoli: $\mathcal S$ é um subconjunto fechado, limitado e equicontínuo de $\mathcal C([t_0, t_0+T], \R^d)$ : compacto.

21. Toda solução é não decrescente ( $x' = 2\sqrt{\abs x} \geq 0$ ) com $x(0) = 0$ , logo $x \geq 0$ . Seja $c = \sup\{t \in [0,1] : x(t) = 0\}$ (possivelmente $c = \infty$ se $x \equiv 0$ , caso em que $x = x_\infty$ ). Para $t > c$ : $x > 0$ (monotonicidade mais a definição de $c$ ), e ali $(\sqrt x)' = \frac{x'}{2\sqrt x} = 1$ , de modo que $\sqrt{x(t)} = t - c$ (continuidade em $c$ ): $x = x_c$ . Continuidade de $c \mapsto x_c$ : para $c, c' \in [0, 1]$ , $\sup_{[0,1]}\abs{(t - c)_+^2 - (t - c')_+^2} \leq 2\abs{c - c'}$ (a aplicação $c \mapsto (t-c)_+^2$ é $2$ -lipschitziana uniformemente em $t \in [0,1]$ ) e, como $x_c \equiv 0$ em $[0,1]$ para todo $c \geq 1$ , a família se reduz a $\mathcal S = \{x_c : c \in [0,1]\}$ (com $x_1 = 0 = x_\infty$ ). Logo $\mathcal S$ é a imagem do compacto conexo $[0,1]$ pela aplicação contínua $c \mapsto x_c$ : compacto e conexo. O funil de soluções é um segmento contínuo que vai de $t^2$ (fuga imediata) até $0$ (repouso eterno).

22. A avaliação $\operatorname{ev}_t\colon \mathcal C([0,1]) \to \R$ , $x \mapsto x(t)$ , é contínua ( $\abs{x(t) - y(t)} \leq \norm{x - y}_\infty$ ), de modo que $\mathcal S(t) = \operatorname{ev}_t(\mathcal S)$ é imagem contínua de um compacto: compacto — e de um conexo: conexo. Para o exemplo: $x_c(t) = (t - c)_+^2$ varre, quando $c$ percorre $[0, 1]$ , todos os valores de $t^2$ (em $c = 0$ ) até $0$ (em $c \geq t$ ), continuamente: $\mathcal S(t) = \intcc0{t^2}$ . Em cada instante, a seção transversal do funil é um segmento inteiro: entre o repouso e a fuga máxima, todo compromisso é realizado por uma solução efetiva.

23. Subtraindo as formas integrais $x(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ e sua análoga para $y$ , e pondo $e(t) = \norm{x(t) - y(t)}$ , $d = \norm{x_0 - y_0}$ :

e(t) \leq d + \int_{t_0}^tL\,e(s)\dd s = G(t).

Então $G(t_0) = d$ e $G' = Le \leq LG$ , de modo que $\bigl(\eu^{-L(t - t_0)}G\bigr)' \leq 0$ e $G(t) \leq d\,\eu^{L(t - t_0)}$ ; logo $e(t) \leq d\,\eu^{L(t-t_0)}$ . Otimalidade: para $x' = Lx$ , as soluções por $x_0$ e $y_0$ são $x_0\eu^{L(t - t_0)}$ e $y_0\eu^{L(t-t_0)}$ , cuja distância é exatamente $d\,\eu^{L(t-t_0)}$ . Com $d = 0$ , $e \equiv 0$ : a unicidade de Cauchy–Lipschitz, reobtida em duas linhas. E, para $t \in [t_0, t_0 + T]$ fixo, $\norm{x(t; x_0) - x(t; y_0)} \leq \eu^{LT}\norm{x_0 - y_0}$ : o fluxo é lipschitziano na condição inicial — dependência determinística, a um preço exponencial controlado.

24. Em $\intoc01$ , $\Omega$ está bem definida (a integral converge em $0$ por hipótese), $\mathcal C^1$ com $\Omega' = \frac1\omega > 0$ : uma bijeção crescente sobre $\intoc0{\Omega(1)}$ , com $\Omega(x) \to 0$ quando $x \to 0^+$ . Sua inversa $g \colon \intoc0{\Omega(1)} \to \intoc01$ é $\mathcal C^1$ com

g'(t) = \frac1{\Omega'(g(t))} = \omega\bigl(g(t)\bigr) > 0, \qquad g(t) \xrightarrow[t \to 0^+]{} 0 .

Estenda $g$ por $0$ em $t \leq 0$ : a continuidade é clara e, em $t = 0$ , para $t > 0$ ,

\frac{g(t)}t = \frac1t\int_0^tg'(s)\dd s = \frac1t\int_0^t\omega\bigl(g(s)\bigr)\dd s \leq \omega\bigl(g(t)\bigr) \xrightarrow[t\to0^+]{} 0

( $\omega$ não decrescente, $g$ crescente, $\omega(0^+) = 0$ ): $g'(0) = 0 = f(g(0))$ , e $g' = f(g)$ vale dos dois lados de $0$ . Logo $x \equiv 0$ e $g$ são duas soluções $\mathcal C^1$ distintas por $(0, 0)$ : quando $\int_0\frac{\dd r} {\omega(r)}$ converge, a unicidade falha — a divergência da questão 15 é exatamente a fronteira. Para $\omega(r) = 2\sqrt r$ : $\Omega(x) = \int_0^x\frac{\dd r}{2\sqrt r} = \sqrt x$ , $g(t) = t^2$ , e as translações no tempo dão toda a família $x_c$ da Parte III.

25. Com passo $h = \frac1n$ : $\varphi_n(t_{k+1}) = \varphi_n(t_k) + h\,\varphi_n(t_k) = (1 + h)\varphi_n(t_k)$ , de modo que $\varphi_n(1) = (1 + \frac1n)^n$ após $n$ passos. Desenvolvimento:

n\log\Bigl(1 + \frac1n\Bigr) = n\Bigl(\frac1n - \frac1{2n^2} + O\Bigl(\frac1{n^3}\Bigr) \Bigr) = 1 - \frac1{2n} + O\Bigl(\frac1{n^2}\Bigr),

e, exponenciando, $(1 + \frac1n)^n = \eu\,\eu^{-1/(2n) + O(n^{-2})} = \eu\bigl(1 - \frac1{2n} + O(n^{-2})\bigr)$ . O erro em $t = 1$ é, portanto, $\eu - \varphi_n(1) = \frac{\eu}{2n} + O(n^{-2})$ : o $O(\frac1n)$ da questão 18, aqui com sua constante exata $\frac\eu2$ . Numericamente, $n = 10$ : $1.1^{10} = 2.5937424601$ ( $1.1^2 = 1.21$ , $1.1^4 = 1.4641$ , $1.1^8 = 2.14358881$ , vezes $1.21$ ), e $\eu - 2.59374 \approx 0.12454$ , contra a previsão assintótica $\frac{\eu}{20} \approx 0.13591$ : acordo a menos da correção $O(n^{-2})$ , cujo termo dominante aqui rebaixa a previsão em direção ao valor observado.