Matemática universitária — Graduação 1 · Bachelor Year 1

18Espaços Vetoriais

A álgebra linear começa aqui: os axiomas dos espaços vetoriais isolam o que $\R^2$ , $\R^3$ , os espaços de polinômios e os espaços de funções têm em comum — pode-se somar e multiplicar por escalares. Dois capítulos constroem a teoria (o Capítulo 19 acrescenta a dimensão); a linguagem que eles instalam — espaço gerado, família livre, base, soma direta — é o pão de cada dia de todos os capítulos seguintes. Ao longo do texto, $K$ designa $\R$ ou $\C$ (escalares).

18.1 Definição e exemplos

Definição 18.1 (Espaço vetorial)

Um espaço vetorial sobre $K$ é um conjunto $E$ munido de uma adição que faz de $(E, +)$ um grupo abeliano (o zero escrito $0_E$ ou $0$ ), e de uma multiplicação por escalares $K \times E \to E$ tal que, para todos $\lambda, \mu \in K$ e $x, y \in E$ :

\lambda(x + y) = \lambda x + \lambda y,\quad (\lambda + \mu) x = \lambda x + \mu x,\quad \lambda(\mu x) = (\lambda\mu) x,\quad 1\,x = x .

Consequências: $0\,x = 0_E$ , $\lambda\,0_E = 0_E$ , $(-1)x = -x$ , e $\lambda x = 0_E \implies \lambda = 0$ ou $x = 0_E$ (multiplique por $\lambda^{-1}$ ).

Demonstração das consequências. Para $0\,x = 0_E$ : de $(0 + 0)x = 0x + 0x$ e $(0+0)x = 0x$ , cancele $0x$ no grupo $(E, +)$ . Para $\lambda\,0_E$ : o mesmo truque em $\lambda(0_E + 0_E)$ . Para $(-1)x$ : some $x$ ,

x + (-1)x = 1\,x + (-1)x = \bigl(1 + (-1)\bigr)x = 0\,x = 0_E ,

logo $(-1)x$ é o inverso aditivo de $x$ . Por fim, se $\lambda x = 0_E$ com $\lambda \neq 0$ : multiplique por $\lambda^{-1}$ (os escalares formam um corpo) e use os dois axiomas $\lambda^{-1}(\lambda x) = (\lambda^{-1}\lambda)x = 1x = x$ junto com $\lambda^{-1}0_E = 0_E$ : $x = 0_E$ . Por menores que sejam, estas quatro regras são usadas silenciosamente em cada página que se segue — e a última é exatamente onde os corpos são necessários: sobre os escalares $\Z$ , o “espaço” $\Z/2\Z$ a violaria com $2\,x = 0$ . ∎

Exemplo 18.2

$K^n$ (operações coordenada a coordenada); os polinômios $K[X]$ ; as funções $\mathcal{F}(A, K)$ de um conjunto qualquer $A$ em $K$ (operações ponto a ponto) — contendo as funções contínuas, as sequências $\mathcal{F}(\N, \R)$ , etc.; $\C$ como espaço vetorial sobre $\R$ . Em cada caso os axiomas são herdados dos de $K$ .

Definição 18.3 (Subespaço)

$F \subseteq E$ é um subespaço quando $0_E \in F$ e $F$ é estável por adição e por multiplicação por escalares — equivalentemente:

F \neq \emptyset \qquad\text{e}\qquad \forall x, y \in F,\ \forall \lambda \in K,\quad x + \lambda y \in F .

Um subespaço é ele próprio um espaço vetorial. Toda interseção de subespaços é um subespaço; uma união quase nunca é (mesma demonstração do Exercício 7.6).

Exemplo 18.4

Em $\mathcal{F}(\R, \R)$ : as funções contínuas, as deriváveis, os polinômios de grau $\leq n$ (escrito $K_n[X]$ dentro de $K[X]$ ), as soluções de uma equação diferencial linear homogênea (o Teorema 5.10 dizia exatamente isso). Não exemplos: $\{f : f(0) = 1\}$ (sem o zero), grau exatamente $n$ (não estável por adição).

Exemplo 18.5 (Subespaço ou não: quatro veredictos, argumentados)

No espaço das sequências reais:

$\{u : u \text{ limitada}\}$ é um subespaço: $0$ é limitada, e se $\abs{u_n} \leq M$ , $\abs{v_n} \leq M'$ , então $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$ .
$\{u : u_n \to 1\}$ não é: falta a sequência nula (e a soma de dois membros tende a $2$ ).
$\{u : u \text{ monotone}\}$ não é: $u_n = n$ e $v_n = -n + (-1)^n$ são monótonas, e a sua soma $(-1)^n$ não é; a estabilidade por adição é o axioma que falha, embora o conjunto contenha $0$ e todos os múltiplos escalares dos seus membros.
$\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ não é: contém $0$ , mas $2u$ escapa assim que $u$ é um membro não nulo ( $2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ em geral) — a não linearidade está no quadrado.

A ordem de trabalho é sempre a mesma: teste $0$ primeiro (o mais barato), depois a estabilidade — e, para refutar, um único par explícito de contraexemplos vale mais do que qualquer dose de dúvida.

18.2 Espaço gerado, somas, somas diretas

Definição 18.6 (Combinações lineares, espaço gerado)

Uma combinação linear da família $(x_1, \dots, x_p)$ de vetores de $E$ é qualquer $\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p$ ( $\lambda_i \in K$ ). O conjunto de todas elas é o espaço gerado $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$ : é um subespaço, o menor que contém a família.

Demonstração das duas afirmações. Estabilidade: uma soma de duas combinações lineares $\sum\lambda_i x_i + \sum\mu_i x_i = \sum(\lambda_i + \mu_i)x_i$ é ainda uma, e um múltiplo escalar $\mu\sum\lambda_i x_i = \sum(\mu\lambda_i) x_i$ também; a combinação nula mostra que $0$ pertence: o espaço gerado é um subespaço. Minimalidade: seja $H$ um subespaço qualquer contendo $x_1, \dots, x_p$ . Pela estabilidade por multiplicação por escalares, cada $\lambda_i x_i \in H$ , e pela estabilidade por adição a sua soma pertence a $H$ : toda combinação linear pertence a $H$ , isto é, $\operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \subseteq H$ . Assim o espaço gerado está contido em todo subespaço que contém a família: é o menor deles. ∎

Definição 18.7 (Soma, soma direta)

Para subespaços $F, G$ de $E$ :

F + G = \{\,u + v : u \in F,\ v \in G\,\}

é um subespaço (o menor que contém $F \cup G$ ). A soma é direta, escrita $F \oplus G$ , quando todo elemento de $F + G$ se decompõe de modo único como $u + v$ ; equivalentemente (veja abaixo) quando $F \cap G = \{0\}$ . Quando $E = F \oplus G$ , os subespaços são suplementares em $E$ .

Exemplo 18.8 (Uma soma de duas retas)

Em $\R^3$ , sejam $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,1)\bigr)$ e $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1,1)\bigr)$ . A sua soma é

F + G = \{\,a(1,0,1) + b(0,1,1)\,\} = \{(a,\ b,\ a + b)\} = \{(x, y, z) : z = x + y\},

o plano pela origem que contém as duas retas. Ele é estritamente maior do que a união $F \cup G$ (a mera cruz das duas retas): o vetor $(1, 1, 2) = (1,0,1) + (0,1,1)$ está na soma mas em nenhuma das duas retas. E $F \cap G = \{0\}$ (um vetor comum exigiria $a(1,0,1) = b(0,1,1)$ , cujas duas primeiras coordenadas forçam $a = b = 0$ ): a soma é direta, e $F \oplus G$ é exatamente aquele plano.

Proposição 18.9

$F + G$ é direta se e somente se $F \cap G = \{0\}$ .

Demonstração. Se algum $w \neq 0$ pertence a $F \cap G$ : $w = w + 0 = 0 + w$ são duas decomposições de $w$ . Reciprocamente, se $u + v = u' + v'$ com $u, u' \in F$ , $v, v' \in G$ , então $u - u' = v' - v$ pertence a $F \cap G = \{0\}$ : as decomposições são únicas. ∎

Método 18.10 (Demonstrar que $E = F \oplus G$ )

Duas coisas a verificar, cada uma com o seu lance de abertura padrão.

Interseção trivial. Tome $x \in F \cap G$ , escreva as duas condições de pertinência e esprema até $x = 0$ . (Nunca argumente por desenho: cf. as armadilhas abaixo.)
A soma é tudo. Tome um $x \in E$ arbitrário e produza a decomposição $x = f + g$ — seja adivinhando $f$ a partir do alvo ( $f$ deve satisfazer a propriedade que define $F$ , o que em geral dita a sua fórmula), seja resolvendo o sistema linear que exprime $x$ contra geradores de $F$ e de $G$ .

Quando a fórmula da decomposição é adivinhada, a unicidade é automática pelo passo 1; quando só a existência é duvidosa, é no passo 2 que mora o trabalho. Os dois exemplos abaixo executam o método: para as funções pares e ímpares, a fórmula de $f$ é forçada avaliando a identidade desejada em $x$ e em $-x$ ; para os polinômios que se anulam num ponto, avaliando em $a$ .

Exemplo 18.11

Em $\mathcal{F}(\R, \R)$ , as funções pares $\mathcal{P}$ e as funções ímpares $\mathcal{I}$ são suplementares: toda $f$ se escreve

f(x) = \underbrace{\frac{f(x) + f(-x)}{2}}_{\text{par}} + \underbrace{\frac{f(x) - f(-x)}{2}}_{\text{ímpar}},

e uma função ao mesmo tempo par e ímpar é nula. (Aplicado a $\exp$ , isto é o par $(\cosh, \sinh)$ do Capítulo 4.)

Exemplo 18.12 (Um par suplementar em $K_n[X]$ )

Fixe $a \in K$ e ponha $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$ , $G = \operatorname{Vect}(1)$ (as constantes). Então $K_n[X] = F \oplus G$ . De fato $F \cap G$ consiste nas constantes que se anulam em $a$ , isto é, $\{0\}$ ; e todo $P$ se decompõe como

P = \underbrace{\bigl(P - P(a)\bigr)}_{\in F} + \underbrace{P(a)}_{\in G} .

Vale a pena memorizar a decomposição: subtrair o valor num ponto é a maneira padrão de projetar sobre as “funções que se anulam em $a$ ”. Note que $F$ é um subespaço grande e $G$ um pequeno; um par suplementar não precisa ser equilibrado em sentido algum.

Exemplo 18.13 (Um subespaço suplementar nunca é único)

Em $\R^2$ , seja $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ (o eixo $x$ ). Tanto $G = \operatorname{Vect}\bigl((0,1)\bigr)$ quanto $G' = \operatorname{Vect}\bigl((1,1)\bigr)$ são suplementares de $F$ : cada um encontra $F$ apenas em $0$ , e cada par soma $\R^2$ . As decomposições de um mesmo vetor diferem:

(2,\ 1.5) = \underbrace{(2, 0)}_{\in F} + \underbrace{(0, 1.5)}_{\in G} = \underbrace{(0.5,\ 0)}_{\in F} + \underbrace{(1.5,\ 1.5)}_{\in G'} .

De fato, toda reta distinta do próprio $F$ é um suplementar de $F$ em $\R^2$ : os suplementares são abundantes, e falar em “o” suplementar não faz sentido enquanto uma estrutura adicional (um produto interno, Capítulo 23) não singularizar um deles.

Duas decomposições do mesmo ponto de ℝ2 ao longo de F (o eixo x): com o suplementar G (queda vertical) e com o suplementar G' (queda oblíqua). As componentes em F diferem: uma projeção depende da direção da descida. — Duas decomposições do mesmo ponto de $\R^2$ ao longo de $F$ (o eixo $x$ ): com o suplementar $G$ (queda vertical) e com o suplementar $G'$ (queda oblíqua). As componentes em $F$ diferem: uma projeção depende da direção da descida.

18.3 Famílias livres, famílias geradoras, bases

Definição 18.14

Uma família $(x_1, \dots, x_p)$ de vetores de $E$ é:

geradora (de $E$ ) quando $\operatorname{Vect}(x_1,\dots,x_p) = E$ ;
livre (os seus vetores linearmente independentes) quando

$\lambda_1 x_1 + \dots + \lambda_p x_p = 0 \implies \lambda_1 = \dots = \lambda_p = 0 ;$

caso contrário, linearmente dependente;
uma base quando é livre e geradora.

Proposição 18.15 (Coordenadas)

$(e_1, \dots, e_n)$ é uma base de $E$ se e somente se todo $x \in E$ é de modo único uma combinação $x = \lambda_1 e_1 + \dots + \lambda_n e_n$ ; os escalares $\lambda_i$ são as coordenadas de $x$ na base.

Demonstração. Geradora $=$ existência da decomposição. Unicidade $=$ liberdade: duas decomposições do mesmo $x$ diferem por uma combinação igual a $0$ ; a liberdade força todos os seus coeficientes — as diferenças de coordenadas — a se anularem. Reciprocamente, uma combinação nula não trivial dá as duas decomposições $0 = \sum \lambda_i e_i = \sum 0\,e_i$ . ∎

Exemplo 18.16

A base canônica de $K^n$ : $e_i = (0, \dots, 1, \dots, 0)$ ( $1$ na posição $i$ ). Os monômios $(1, X, X^2, \dots, X^n)$ : uma base de $K_n[X]$ (liberdade: uma combinação nula é o polinômio nulo, logo todos os coeficientes se anulam, Definição 8.1). Em $\C$ sobre $\R$ : a base $(1, \iu)$ .

Observação 18.17 (As coordenadas são um trabalho de equipe)

A primeira coordenada de $x$ numa base $(e_1, \dots, e_n)$ depende de todos os vetores da base, e não apenas de $e_1$ . Em $\R^2$ : o vetor $(3, 1)$ tem primeira coordenada $3$ na base canônica, mas primeira coordenada $2$ na base $\bigl((1,0), (1,1)\bigr)$ — resolva $(3,1) = a(1,0) + b(1,1)$ : $b = 1$ , $a = 2$ . Trocar um vetor da base embaralha todas as coordenadas; o Capítulo 21 empacotará esse embaralhamento na matriz de mudança de base.

Exemplo 18.18 (Testar uma candidata a base, do início ao fim)

Será $\mathcal{F} = (1 + X,\ 1 + X^2,\ X + X^2)$ uma base de $\R_2[X]$ ? Escreva $u_1, u_2, u_3$ para os três polinômios. Liberdade: uma combinação nula $a\,u_1 + b\,u_2 + c\,u_3 = 0$ dá, coeficiente a coeficiente,

a + b = 0, \qquad a + c = 0, \qquad b + c = 0 ;

subtraindo as duas primeiras, $b = c$ , e então a terceira dá $2b = 0$ : $a = b = c = 0$ , livre. Geradora: em vez de resolver três sistemas, note a combinação simétrica

u_1 + u_2 - u_3 = (1 + X) + (1 + X^2) - (X + X^2) = 2 ,

logo $1 = \frac12(u_1 + u_2 - u_3)$ ; então

X = u_1 - 1 = \tfrac12\bigl(u_1 - u_2 + u_3\bigr), \qquad X^2 = u_2 - 1 = \tfrac12\bigl(-u_1 + u_2 + u_3\bigr).

Os monômios estão no espaço gerado, logo tudo está: $\mathcal{F}$ é uma base. Como bônus, juntar as três fórmulas exibidas dá as coordenadas de qualquer $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ :

P = \frac{\alpha + \beta - \gamma}{2}\,u_1 + \frac{\alpha - \beta + \gamma}{2}\,u_2 + \frac{-\alpha + \beta + \gamma}{2}\,u_3 .

(Verificação de coerência com $P = X$ : coordenadas $\bigl(\frac12, -\frac12, \frac12\bigr)$ , como encontrado acima.) Duas lições: a simetria numa família costuma esconder uma combinação atalho; e assim que a dimensão estiver disponível (Capítulo 19), toda a metade “geradora” deste trabalho virá sem custo algum — três vetores livres de um espaço de dimensão $3$ formam sempre uma base.

Proposição 18.19 (Critérios úteis de liberdade)

Uma família de polinômios não nulos de graus dois a dois distintos é livre.
Acrescentar um vetor a uma família livre mantém-na livre se e somente se o vetor está fora do espaço gerado pela família.
Toda subfamília de uma família livre é livre; toda família que contém uma família geradora é geradora.

Demonstração. (1) Numa combinação nula, olhe para o maior grau presente: o seu coeficiente deve se anular (nada cancela esse grau), e desça em cascata.

(2) Se $x \in \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p)$ , a relação $x - \sum\lambda_i x_i = 0$ é não trivial. Reciprocamente, uma combinação nula não trivial de $(x_1, \dots, x_p, x)$ deve envolver $x$ com coeficiente não nulo (senão contradiz a liberdade da família pequena), e isolar $x$ o coloca no espaço gerado.

(3) Subfamília: uma combinação nula da subfamília é uma da família inteira com os coeficientes ausentes postos a $0$ ; a liberdade da família grande mata todos eles. Superfamília: todo vetor de $E$ já é uma combinação da parte geradora; dê aos vetores extras o coeficiente $0$ . ∎

Exemplo 18.20 (O princípio da escada)

Sejam $P_0, P_1, \dots, P_n \in K_n[X]$ com $\deg P_k = k$ para cada $k$ (uma “escada” de graus). Então $(P_0, \dots, P_n)$ é uma base de $K_n[X]$ . A liberdade é a Proposição 18.19 (1). Para a propriedade geradora, argumente por descida finita sobre o grau: seja $Q \in K_n[X]$ , $Q \neq 0$ , de grau $d$ , com coeficiente dominante $a$ , e seja $b \neq 0$ o coeficiente dominante de $P_d$ . Então $Q - \frac ab P_d$ tem grau $< d$ (os termos de topo cancelam-se); substituindo $Q$ por essa diferença e iterando, após no máximo $n + 1$ passos chega-se ao polinômio nulo, e desfazer as subtrações exprime $Q$ como combinação dos $P_k$ . Duas escadas já encontradas: as potências transladadas $\bigl((X-a)^k\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ (Exercício 18.4), e os produtos de Newton $\bigl((X - x_0)(X - x_1)\cdots(X - x_{k-1})\bigr)_{0 \leq k \leq n}$ , postos a trabalhar no problema de fim de semana.

Exemplo 18.21 (Liberdade em espaços de funções)

Em $\mathcal{F}(\R,\R)$ , a família $(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ com $a_1 < \dots < a_p$ é livre: divida uma combinação nula por $\eu^{a_p x}$ e faça $x \to +\infty$ ; o último coeficiente morre, e desce-se em cascata (o Exercício 18.8 detalha isto e as suas variantes). A liberdade de funções demonstra-se avaliando: em pontos bem escolhidos, no infinito, ou depois de derivar.

Exemplo 18.22 (Uma relação escondida encolhe um espaço gerado)

Em $\mathcal{F}(\R, \R)$ , o que é $\operatorname{Vect}(1,\ \cos^2,\ \sin^2)$ ? A identidade $\cos^2 + \sin^2 = 1$ é uma combinação nula não trivial

1\cdot\mathbf{1} + (-1)\cos^2 + (-1)\sin^2 = 0 :

a família é linearmente dependente, e o espaço gerado já é gerado apenas por $(1, \cos^2)$ ( $\sin^2 = 1 - \cos^2$ ). Essa família menor é livre: $a + b\cos^2 x = 0$ para todo $x$ dá, em $x = 0$ e $x = \frac\pi2$ : $a + b = 0$ e $a = 0$ . Logo o espaço gerado é um plano dentro do espaço de funções — e ele contém também $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$ : famílias de funções trigonométricas com ar de independentes colapsam rotineiramente sob identidades, razão pela qual a liberdade deve ser demonstrada, nunca suposta a partir do tamanho da lista.

Observação 18.23 (Armadilhas comuns)

Quatro armadilhas clássicas. Dois a dois não basta: em $\R^2$ , os vetores $(1,0)$ , $(0,1)$ , $(1,1)$ são dois a dois não proporcionais, e no entanto linearmente dependentes — a liberdade é uma propriedade da família inteira, testada por uma única combinação global, nunca duas a duas. O vetor nulo envenena tudo: toda família que contém $0$ é linearmente dependente ( $1\cdot 0 = 0$ é uma relação não trivial), por mais inocentes que sejam os outros vetores. União não é soma: $F \cup G$ quase nunca é um subespaço (Definição 18.3); o menor subespaço que contém ambos é $F + G$ , em geral muito maior do que a união — em $\R^2$ , duas retas distintas têm por união uma cruz e por soma o plano inteiro. Direta exige interseção trivial, não disjunção: dois subespaços nunca são disjuntos (ambos contêm $0$ ); a condição correta é $F \cap G = \{0\}$ , e ela deve ser demonstrada, não lida num desenho — cf. o Exemplo 18.13, em que muitos $G$ diferentes servem. A liberdade depende dos escalares: o par $(1, \iu)$ é livre em $\C$ visto como espaço vetorial sobre $\R$ , mas linearmente dependente em $\C$ visto como espaço vetorial sobre $\C$ ( $\iu\cdot 1 + (-1)\cdot\iu = 0$ ). Saiba sempre qual corpo está agindo antes de declarar livre uma família — o problema de fim de semana do Capítulo 19 transforma exatamente essa sensibilidade em demonstrações de irracionalidade.

Observação 18.24 (Para onde vai esta linguagem)

Tudo o que vem depois deste capítulo fala a linguagem instalada aqui. O Capítulo 19 conta vetores de uma base e transforma “livre” e “geradora” em desigualdades sobre um único inteiro, a dimensão. O Capítulo 20 estuda as aplicações compatíveis com as duas operações; as somas diretas tornam-se lá projetores. O Capítulo 21 codifica vetores pelas suas coordenadas numa base — a Proposição 18.15 é a licença para essa codificação — e o Capítulo 23 acrescenta comprimentos e ângulos sobre a estrutura linear. No volume do segundo ano de graduação os mesmos axiomas, palavra por palavra, valem sobre corpos arbitrários e em dimensão infinita; nada neste capítulo usou a finitude em lugar algum.

Observação 18.25 (Três fios a seguir ao longo do Livro 3)

Observe três ideias específicas deste capítulo crescerem. O princípio da escada (Exemplo 18.20) reaparece como a base de Newton no problema de fim de semana deste capítulo, como a base binomial $(B_k)$ ali, e como o truque do alternante polinomial no problema de fim de semana do Capítulo 22: um lema, três dividendos sem determinantes. A avaliação como teste de liberdade (Exemplo 18.21) torna-se o isomorfismo de interpolação do Capítulo 20, depois o critério de Vandermonde do Capítulo 22, depois o teste de Gram do Capítulo 23: o mesmo reflexo, afiado três vezes. As somas diretas (Definição 18.7) tornam-se projetores no Capítulo 20, decomposições ortogonais $E = F \oplus F^\perp$ no Capítulo 23, e a decomposição explicado-mais-resíduo dos mínimos quadrados no problema de fim de semana do Capítulo 25. Muito pouco deste livro não é, no fundo, uma destas três ideias vestindo roupa nova.

18.4 Exercícios

Exercício 18.1 ★

Quais dos seguintes são subespaços?

$\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 0\}$ ;
$\{(x, y, z) \in \R^3 : x + 2y - z = 1\}$ ;
$\{(x, y) \in \R^2 : xy \geq 0\}$ ;
$\{P \in \R[X] : P(1) = 0\}$ ;
$\{f \in \mathcal{F}(\R,\R) : f \text{ limitada}\}$ .

Solução

Solução de Exercício 18.1.

Sim: contém $0$ , e a equação que o define é linear (estável por $x + \lambda y$ ).
Não: não contém $(0,0,0)$ .
Não: $(1, 0)$ e $(0, -1)$ pertencem ( $xy = 0$ ), mas a sua soma $(1, -1)$ não ( $xy = -1 < 0$ ).
Sim: $0$ se anula em $1$ ; $(P + \lambda Q)(1) = P(1) + \lambda Q(1) = 0$ .
Sim: a função nula é limitada; se $\abs f \leq M$ e $\abs g \leq M'$ , então $\abs{f + \lambda g} \leq M + \abs\lambda M'$ .

Exercício 18.2 ★

Em $\R^3$ , $(1, 2, 1)$ pertence a $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),\, (1,1,0)\bigr)$ ? E $(2, 1, 1)$ ? Descreva $\operatorname{Vect}\bigl((1,0,1),(1,1,0)\bigr)$ por uma equação.

Solução

Solução de Exercício 18.2.

$(1,2,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ exige $a + b = 1$ , $b = 2$ , $a = 1$ : incompatível ( $a + b = 3 \neq 1$ ): não está no espaço gerado. $(2,1,1) = a(1,0,1) + b(1,1,0)$ : $b = 1$ , $a = 1$ , $a + b = 2$ : compatível, logo $(2,1,1) = (1,0,1) + (1,1,0)$ , está no espaço gerado.

Equação: $(x, y, z) = (a + b, b, a)$ significa $x = y + z$ : o espaço gerado é o plano $\{x - y - z = 0\}$ .

Exercício 18.3 ★

Decida a liberdade em $\R^3$ : $\;\bigl((1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)\bigr)$ ; $\;\bigl((1,2,3), (2,4,6)\bigr)$ ; $\;\bigl((1,0,0), (1,1,0), (1,1,1), (0,1,1)\bigr)$ .

Solução

Solução de Exercício 18.3.

Primeira família: $\lambda(1,1,0) + \mu(1,0,1) + \nu(0,1,1) = 0$ dá $\lambda + \mu = 0$ , $\lambda + \nu = 0$ , $\mu + \nu = 0$ : somando, $2(\lambda + \mu + \nu) = 0$ , e subtraindo cada equação, $\lambda = \mu = \nu = 0$ : livre.

Segunda: $(2,4,6) = 2(1,2,3)$ : linearmente dependente.

Terceira: quatro vetores em $\R^3$ — necessariamente dependentes assim que a dimensão estiver disponível (Capítulo 19); diretamente: $(0,1,1) = -(1,0,0) + 0\cdot(1,1,0) + (1,1,1)$ , de fato $(-1,0,0) + (1,1,1) = (0,1,1)$ : uma relação não trivial.

Exercício 18.4 ★

Demonstre que $(1, X - 1, (X-1)^2, (X-1)^3)$ é uma base de $\R_3[X]$ , e dê as coordenadas de $X^3$ nela. (Taylor em $1$ !)

Solução

Solução de Exercício 18.4.

Os polinômios $1, (X-1), (X-1)^2, (X-1)^3$ têm graus distintos $0, 1, 2, 3$ : livres (Proposição 18.19 (1)); quatro vetores livres e geradores (todo $P \in \R_3[X]$ se desenvolve em potências de $X - 1$ , por exemplo por Taylor para polinômios, cf. a demonstração da Proposição 8.11): uma base. Para $X^3$ , Taylor em $1$ : $P = X^3$ , $P(1) = 1$ , $P'(1) = 3$ , $P''(1) = 6$ , $P'''(1) = 6$ :

X^3 = 1 + 3(X - 1) + 3(X-1)^2 + (X-1)^3 ,

coordenadas $(1, 3, 3, 1)$ (a linha de Pascal, como se espera de $X^3 = ((X-1)+1)^3$ ).

Exercício 18.5 ★★

Em $\R^4$ , sejam $F = \{(x,y,z,t) : x = y = z\}$ e $G = \{(x,y,z,t) : x = t = 0\}$ . Demonstre que $F \oplus G = \R^4$ , e decomponha $(1,2,3,4)$ em consequência.

Solução

Solução de Exercício 18.5.

$F \cap G$ : as condições $x = y = z$ e $x = t = 0$ dão juntas $x = 0$ , donde $y = z = 0$ , e $t = 0$ : a interseção é $\{0\}$ . Soma: dado $(x,y,z,t)$ , procure $(a,a,a,b) \in F$ e $(0,c,d,0) \in G$ cuja soma seja ele: $a = x$ , $b = t$ , $c = y - x$ , $d = z - x$ : sempre possível. Logo $\R^4 = F \oplus G$ , e

(1,2,3,4) = (1,1,1,4) + (0,1,2,0) .

Exercício 18.6 ★★

No espaço das sequências, seja $F$ o conjunto das sequências convergentes e $G = \operatorname{Vect}(u)$ , onde $u_n = (-1)^n$ . Demonstre que $F \cap G = \{0\}$ . Será $F + G$ o espaço inteiro das sequências?

Solução

Solução de Exercício 18.6.

Um elemento de $G$ é $\lambda u$ ; se ele converge, então (como $\lambda u_n = \lambda(-1)^n$ tem os dois limites de subsequências $\pm \lambda$ ) necessariamente $\lambda = 0$ : $F \cap G = \{0\}$ .

$F + G$ não é tudo: consiste nas sequências da forma $c_n + \lambda(-1)^n$ com $(c_n)$ convergente. A sequência $v_n = n$ não é dessa forma ( $v_n - \lambda(-1)^n$ é ilimitada, nunca convergente). Logo $F \oplus G \subsetneq$ (espaço de todas as sequências).

Exercício 18.7 ★★

Sejam $F, G, H$ subespaços de $E$ . Demonstre que

F \cap (G + (F \cap H)) = (F \cap G) + (F \cap H),

e mostre por um exemplo em $\R^2$ que a distributividade irrestrita $F \cap (G + H) = (F\cap G) + (F \cap H)$ é falsa.

Solução

Solução de Exercício 18.7.

( $\supseteq$ ) Tanto $F \cap G$ quanto $F \cap H$ estão em $F$ , e a sua soma está em $G + (F \cap H)$ : a inclusão segue porque o lado esquerdo é um subespaço que contém as duas partes — concretamente, um elemento $g + h$ com $g \in F\cap G$ , $h \in F \cap H$ está em $F$ (soma de dois elementos de $F$ ) e em $G + (F \cap H)$ .

( $\subseteq$ ) Seja $x \in F$ com $x = g + h$ , $g \in G$ , $h \in F \cap H$ . Então $g = x - h \in F$ (diferença de elementos de $F$ ), logo $g \in F \cap G$ , e $x = g + h \in (F \cap G) + (F \cap H)$ .

Contraexemplo à distributividade plena em $\R^2$ : $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ , $G = \operatorname{Vect}(1,0)$ , $H = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Então $G + H = \R^2$ , logo $F \cap (G+H) = F$ , ao passo que $F \cap G = F \cap H = \{0\}$ : o lado direito é $\{0\} \neq F$ .

Exercício 18.8 ★★★

Demonstre que as seguintes famílias de $\mathcal{F}(\R, \R)$ são livres:

$(\eu^{a_1 x}, \dots, \eu^{a_p x})$ para $a_1 < \dots < a_p$ ;
$(\cos x, \sin x, \cos 2x, \sin 2x)$ ;
$(x \mapsto \abs{x - a_1}, \dots, x \mapsto \abs{x - a_p})$ para $a_i$ distintos (a derivabilidade falha em exatamente um ponto por função).

Solução

Solução de Exercício 18.8.

Suponha $\sum_{i} \lambda_i \eu^{a_i x} = 0$ para todo $x$ . Multiplique por $\eu^{-a_p x}$ : $\lambda_p + \sum_{i < p} \lambda_i \eu^{(a_i - a_p)x} \to \lambda_p$ quando $x \to +\infty$ (cada expoente $a_i - a_p < 0$ ). O lado esquerdo é identicamente $0$ , logo $\lambda_p = 0$ ; itere para baixo.
Seja $a\cos x + b \sin x + c \cos 2x + d\sin 2x = 0$ para todo $x$ . Avalie em $x = 0$ : $a + c = 0$ ; em $x = \pi$ : $-a + c = 0$ ; logo $a = c = 0$ , e a relação reduz-se a $b\sin x + d \sin 2x = 0$ . Avalie em $x = \frac\pi2$ : $b = 0$ ; depois em $x = \frac\pi4$ : $d = 0$ .
Suponha $\sum \lambda_i \abs{x - a_i} = 0$ para todo $x$ . A função $\sum_{i \neq j} \lambda_i\abs{x - a_i}$ é derivável em $a_j$ (cada termo o é, longe do seu próprio bico), logo $-\lambda_j \abs{x - a_j}$ , a diferença delas, também deve ser derivável em $a_j$ — o que força $\lambda_j = 0$ ( $\abs{\,\cdot\,}$ tem um bico). Isto vale para todo $j$ .

Exercício 18.9 ★★★

Seja $E$ um espaço vetorial sobre $K$ e $F, G, H$ subespaços com $F + G = F + H$ , $F \cap G = F \cap H$ e $G \subseteq H$ . Demonstre que $G = H$ . Dê um contraexemplo sem a hipótese $G \subseteq H$ .

Solução

Solução de Exercício 18.9.

Seja $h \in H$ . Como $h \in H \subseteq F + H = F + G$ , escreva $h = f + g$ com $f \in F$ , $g \in G$ . Então $f = h - g \in H$ (os dois termos em $H$ , usando $G \subseteq H$ ), logo $f \in F \cap H = F \cap G \subseteq G$ , e $h = f + g \in G$ . Portanto $H \subseteq G$ , e com a hipótese $G \subseteq H$ : igualdade.

Contraexemplo sem $G \subseteq H$ : em $\R^2$ , tome $F = \operatorname{Vect}(1,0)$ , $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ , $H = \operatorname{Vect}(1,1)$ : então $F + G = F + H = \R^2$ e $F \cap G = F \cap H = \{0\}$ , mas $G \neq H$ .

Exercício 18.10 ★★

Em $\R[X]$ , seja $\mathcal P$ o conjunto dos polinômios pares ( $P(-X) = P(X)$ ) e $\mathcal I$ o conjunto dos ímpares ( $P(-X) = -P(X)$ ). Demonstre que $\R[X] = \mathcal P \oplus \mathcal I$ , e mostre que $\mathcal P = \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$ , isto é, que os polinômios pares são exatamente os polinômios em $X^2$ .

Solução

Solução de Exercício 18.10.

Os dois conjuntos são subespaços (as condições que os definem são lineares e valem para $0$ ). Decomposição: para $P \in \R[X]$ ,

P(X) = \underbrace{\frac{P(X) + P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal P} + \underbrace{\frac{P(X) - P(-X)}{2}}_{\in\,\mathcal I},

e um polinômio ao mesmo tempo par e ímpar satisfaz $P = -P$ , logo $P = 0$ : a soma é direta e vale $\R[X]$ .

Agora seja $P = \sum_k a_k X^k$ par. Então $P(X) - P(-X) = 2 \sum_{k \text{ ímpar}} a_k X^k$ é o polinômio nulo, logo todo coeficiente de grau ímpar se anula (Definição 8.1): $P \in \operatorname{Vect}(1, X^2, X^4, \dots)$ , isto é, $P = Q(X^2)$ para um polinômio $Q$ . Reciprocamente, todo polinômio em $X^2$ é par.

Exercício 18.11 ★★

Seja $(x_1, x_2, x_3)$ uma família livre de um espaço vetorial real $E$ . Demonstre que $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_1)$ é livre. A família análoga de quatro vetores $(x_1 + x_2,\ x_2 + x_3,\ x_3 + x_4,\ x_4 + x_1)$ é livre quando $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ o é?

Solução

Solução de Exercício 18.11.

Suponha $a(x_1 + x_2) + b(x_2 + x_3) + c(x_3 + x_1) = 0$ . Reagrupando na família livre $(x_1, x_2, x_3)$ :

(a + c)\,x_1 + (a + b)\,x_2 + (b + c)\,x_3 = 0 \implies a + c = a + b = b + c = 0 .

Subtrair as duas primeiras equações dá $c = b$ ; a terceira então dá $2b = 0$ , logo $b = c = 0$ , e depois $a = 0$ : a família é livre.

Para quatro vetores a família análoga é sempre linearmente dependente:

(x_1 + x_2) - (x_2 + x_3) + (x_3 + x_4) - (x_4 + x_1) = 0

é uma combinação nula não trivial (coeficientes $1, -1, 1, -1$ ), qualquer que seja $(x_1, x_2, x_3, x_4)$ . É a paridade do comprimento do ciclo que decide.

Exercício 18.12 ★★★

Seja $E$ um espaço vetorial sobre $\R$ (ou $\C$ ) e $F_1, \dots, F_k$ subespaços próprios de $E$ (cada $F_i \neq E$ ).

Trate diretamente o caso $k = 2$ : se $F_1 \not\subseteq F_2$ e $F_2 \not\subseteq F_1$ , tome $x \in F_1 \setminus F_2$ e $y \in F_2 \setminus F_1$ e localize $x + y$ .
Demonstre em geral que $E \neq F_1 \cup \dots \cup F_k$ : um espaço vetorial sobre um corpo infinito nunca é uma união finita de subespaços próprios. (Tome $k$ mínimo, escolha $x \in F_1$ fora dos outros $F_i$ , escolha $y \notin F_1$ , e siga a reta $t \mapsto y + tx$ .)

Solução

Solução de Exercício 18.12.

Se $F_1 \subseteq F_2$ ou $F_2 \subseteq F_1$ , a união é um dos dois, logo própria. Caso contrário, escolha $x \in F_1 \setminus F_2$ e $y \in F_2 \setminus F_1$ , e considere $x + y$ . Se $x + y \in F_1$ , então $y = (x + y) - x \in F_1$ : contradição. Se $x + y \in F_2$ , então $x \in F_2$ : contradição. Logo $x + y \notin F_1 \cup F_2$ , e $E \neq F_1 \cup F_2$ .
Suponha, por absurdo, que $E = F_1 \cup \dots \cup F_k$ , com $k$ escolhido mínimo entre todas essas coberturas. A minimalidade proíbe $F_1 \subseteq F_2 \cup \dots \cup F_k$ (senão descarte $F_1$ ), logo existe $x \in F_1$ com $x \notin F_i$ para todo $i \geq 2$ . Como $F_1$ é próprio, escolha $y \notin F_1$ . Para cada escalar $t$ , o vetor $y + t x$ está em algum $F_i$ . Ele nunca está em $F_1$ : caso contrário $y = (y + tx) - tx \in F_1$ (pois $x \in F_1$ ). O corpo é infinito, logo escolha $k$ escalares distintos $t_1, \dots, t_k$ : os $k$ vetores $y + t_j x$ caem nos $k - 1$ subespaços $F_2, \dots, F_k$ , e dois deles, digamos $y + t x$ e $y + t' x$ com $t \neq t'$ , estão no mesmo $F_i$ ( $i \geq 2$ ). Então a sua diferença $(t - t')x \in F_i$ , logo $x \in F_i$ : contradição. Portanto não existe cobertura finita por subespaços próprios.

18.5 Problema: interpolação, três bases para um espaço

Problema 18.1

Fixe $n + 1$ pontos distintos $x_0, x_1, \dots, x_n$ de $\R$ . Este problema revisita a interpolação de Lagrange (o Teorema 8.23) com os olhos deste capítulo: o espaço $\R_n[X]$ carrega três bases naturais — a de Lagrange, a de Newton e (para pontos igualmente espaçados) a base binomial — e cada base torna fácil uma pergunta. O caminho termina num teorema aritmético genuíno: a caracterização de Pólya dos polinômios que levam $\Z$ em $\Z$ .

Parte I — A base de Lagrange. Para $0 \leq i \leq n$ ponha

L_i \;=\; \prod_{j \neq i} \frac{X - x_j}{x_i - x_j} \;\in\; \R_n[X].

Verifique que $\deg L_i = n$ e que $L_i(x_j) = 1$ se $j = i$ , e $0$ se $j \neq i$ .
Demonstre que a família $(L_0, \dots, L_n)$ é livre.
Demonstre que para todo $P \in \R_n[X]$ ,

$P \;=\; \sum_{i=0}^{n} P(x_i)\, L_i ,$

e conclua que $(L_0, \dots, L_n)$ é uma base de $\R_n[X]$ . (Considere a diferença dos dois lados e conte as suas raízes, Corolário 8.8.)
Deduza o teorema da interpolação: para quaisquer valores $y_0, \dots, y_n \in \R$ existe um único $P \in \R_n[X]$ com $P(x_i) = y_i$ para todo $i$ . Na base de Lagrange, quais são as coordenadas de um polinômio $P$ ?
Demonstre as identidades

$\sum_{i=0}^{n} L_i = 1 \qquad\text{e, para } 0 \leq k \leq n,\qquad \sum_{i=0}^{n} x_i^{k}\, L_i = X^{k} .$

Parte II — A base de Newton e as diferenças divididas. Ponha $N_0 = 1$ e $N_k = (X - x_0)(X - x_1) \cdots (X - x_{k-1})$ para $1 \leq k \leq n$ . Para uma função $f$ definida nos nós, defina as diferenças divididas por $f[x_i] = f(x_i)$ e

f[x_i, \dots, x_{i+k}] \;=\; \frac{f[x_{i+1}, \dots, x_{i+k}] - f[x_i, \dots, x_{i+k-1}]} {x_{i+k} - x_i} .

Demonstre que $(N_0, N_1, \dots, N_n)$ é uma base de $\R_n[X]$ .
Calcule $f[x_0, x_1]$ e $f[x_0, x_1, x_2]$ em termos dos valores de $f$ , e depois calcule todas as diferenças divididas de $f(x) = x^2$ em três nós arbitrários.
(Lema de Aitken) Seja $R$ interpolando $f$ em $x_0, \dots, x_{n-1}$ e $Q$ interpolando $f$ em $x_1, \dots, x_n$ , ambos de grau $\leq n - 1$ . Demonstre que

$S \;=\; \frac{(X - x_0)\,Q - (X - x_n)\,R}{x_n - x_0}$

interpola $f$ em $x_0, x_1, \dots, x_n$ .
Deduza, por indução sobre o número de nós, que o coeficiente de $X^{k}$ no interpolante de $f$ em $x_0, \dots, x_k$ é exatamente $f[x_0, \dots, x_k]$ .
Demonstre a fórmula de interpolação de Newton: o interpolante de $f$ em $x_0, \dots, x_n$ é

$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} f[x_0, \dots, x_k]\, N_k ,$

e deduza a fórmula fechada

$f[x_0, \dots, x_k] \;=\; \sum_{i=0}^{k} \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k} (x_i - x_j)} ,$

que mostra que $f[x_0, \dots, x_k]$ não depende da ordenação dos nós.

Parte III — Nós igualmente espaçados: o operador de diferenças. A partir daqui os nós são $0, 1, 2, \dots$ e, para um polinômio $P$ , pomos

\Delta P(X) = P(X + 1) - P(X), \qquad B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!} \quad (B_0 = 1).

Mostre que se $\deg P = m \geq 1$ com coeficiente dominante $a$ , então $\deg \Delta P = m - 1$ com coeficiente dominante $m\,a$ , e que $\Delta$ mata as constantes.
Mostre que $(B_0, B_1, \dots, B_n)$ é uma base de $\R_n[X]$ e que $\Delta B_k = B_{k-1}$ para $k \geq 1$ .
(Fórmula das diferenças progressivas de Newton) Demonstre que todo $P \in \R_n[X]$ satisfaz

$P \;=\; \sum_{k=0}^{n} \bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0)\, B_k .$
Demonstre que para todo $k \geq 0$ ,

$\bigl(\Delta^{k} P\bigr)(0) \;=\; \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j} \binom{k}{j} P(j) .$
Mostre que se $\deg P = n$ com coeficiente dominante $a_n$ , então $\Delta^{n} P$ é a constante $n!\,a_n$ e $\Delta^{n+1} P = 0$ .

Parte IV — Polinômios a valores inteiros. Um polinômio $P \in \R[X]$ é a valores inteiros quando $P(m) \in \Z$ para todo $m \in \Z$ .

Demonstre que cada $B_k$ é a valores inteiros. (Trate $m \geq k$ , $0 \leq m < k$ e $m < 0$ separadamente; para $m = -q < 0$ , mostre que $B_k(-q) = (-1)^k \binom{q + k - 1}{k}$ .)
Demonstre a caracterização de Pólya: $P \in \R_n[X]$ é a valores inteiros se e somente se as suas coordenadas na base $(B_0, \dots, B_n)$ são inteiras.
Deduza: se $P \in \R_n[X]$ assume valores inteiros em $n + 1$ inteiros consecutivos $a, a+1, \dots, a+n$ , então $P$ é a valores inteiros. (Translade: aplique o estudo a $Q(X) = P(X + a)$ .)
Deduza da questão 16 que um produto de $k$ inteiros consecutivos é sempre divisível por $k!$ .
Seja $P = \dfrac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ . Calcule a sua tabela de Newton em $0, 1, 2, 3$ , escreva $P$ na base $(B_k)$ , e conclua que $P$ é a valores inteiros embora nenhum dos seus coeficientes monomiais seja inteiro. Verifique $\Delta P = (X+1)^2$ e deduza $P(m) = 1^2 + 2^2 + \dots + m^2$ para $m \in \N$ .

Parte V — Dividendos.

Seja $P \in \R_n[X]$ interpolando os valores $2^i$ em $i = 0, 1, \dots, n$ . Mostre que $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ e que $P(n + 1) = 2^{n+1} - 1$ : o “padrão de duplicação” quebra sempre no ponto imediatamente seguinte.
(Primitiva discreta) Demonstre que para todos os inteiros $m \geq 1$ e $k \geq 0$ ,

$\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) \;=\; B_{k+1}(m),$

isto é, a identidade do taco de hóquei $\sum_{j=k}^{m-1} \binom{j}{k} = \binom{m}{k+1}$ .
Expanda $X^2$ e $X^3$ na base $(B_k)$ e deduza fórmulas fechadas para $\sum_{j=0}^{m-1} j^2$ e $\sum_{j=0}^{m-1} j^3$ ; recupere a identidade de Nicômaco $1^3 + \dots + m^3 = (1 + \dots + m)^2$ .
Tome $n = 2$ e os nós $0, 1, 2$ . Escreva as coordenadas de $X^2$ nas três bases deste problema: a base monomial, a base de Lagrange, a base de Newton. Confira as três respostas contra as questões 4 e 9.
Síntese. Em quatro frases: qual conceito de espaço vetorial torna a questão 4 automática; por que a base de Newton calcula as coordenadas recursivamente enquanto a base de Lagrange as lê instantaneamente; qual critério de liberdade as duas bases partilham; e em que sentido preciso o teorema de Pólya diz que a integralidade de um polinômio é uma propriedade das suas coordenadas na base certa.

Solução

Solução de Problema 18.1.

1. $L_i$ é um produto de $n$ fatores lineares dividido por uma constante não nula (os $x_i$ são distintos), logo $\deg L_i = n$ . Avaliando em $x_j$ com $j \neq i$ : o fator $X - x_j$ do numerador se anula, logo $L_i(x_j) = 0$ . Em $x_i$ , numerador e denominador coincidem: $L_i(x_i) = 1$ .

2. Suponha $\sum_i \lambda_i L_i = 0$ . Avalie em $x_j$ : todos os termos morrem exceto $\lambda_j L_j(x_j) = \lambda_j$ , logo $\lambda_j = 0$ para todo $j$ : a família é livre.

3. Seja $D = P - \sum_i P(x_i) L_i$ . Então $\deg D \leq n$ e, pela questão 1, $D(x_j) = P(x_j) - P(x_j) = 0$ nos $n + 1$ pontos distintos $x_0, \dots, x_n$ . Um polinômio não nulo de grau $\leq n$ tem no máximo $n$ raízes (Corolário 8.8), logo $D = 0$ . Assim todo $P \in \R_n[X]$ é uma combinação dos $L_i$ : a família é geradora e, com a questão 2, uma base.

4. Dados $y_0, \dots, y_n$ , o polinômio $P = \sum_i y_i L_i$ tem grau $\leq n$ e interpola. Unicidade: um $P$ interpolador tem, pela questão 3, coordenadas $(P(x_0), \dots, P(x_n)) = (y_0, \dots, y_n)$ na base $(L_i)$ , e as coordenadas numa base são únicas (Proposição 18.15). As coordenadas de $P$ na base de Lagrange são os seus valores nos nós — é este todo o interesse da base.

5. Aplique a questão 3 a $P = X^k$ ( $0 \leq k \leq n$ ):

X^k = \sum_{i=0}^{n} x_i^{k} L_i ,

e $k = 0$ dá $\sum_i L_i = 1$ .

6. $\deg N_k = k$ exatamente: a família $(N_0, \dots, N_n)$ é uma escada de graus em $\R_n[X]$ , logo uma base pelo Exemplo 18.20 (liberdade pela Proposição 18.19 (1), geração por descida finita sobre o grau).

7. Da recorrência,

f[x_0, x_1] = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0}, \qquad f[x_0, x_1, x_2] = \frac{f[x_1, x_2] - f[x_0, x_1]}{x_2 - x_0}.

Para $f(x) = x^2$ :

f[x_0, x_1] = \frac{x_1^2 - x_0^2}{x_1 - x_0} = x_0 + x_1,

e então

f[x_0, x_1, x_2] = \frac{(x_1 + x_2) - (x_0 + x_1)}{x_2 - x_0} = \frac{x_2 - x_0}{x_2 - x_0} = 1 .

8. $\deg S \leq n$ , pois $Q, R$ têm grau $\leq n - 1$ . Em $x_0$ : $S(x_0) = \frac{-(x_0 - x_n) R(x_0)}{x_n - x_0} = R(x_0) = f(x_0)$ . Em $x_n$ : $S(x_n) = \frac{(x_n - x_0) Q(x_n)}{x_n - x_0} = Q(x_n) = f(x_n)$ . Num nó interior $x_i$ ( $1 \leq i \leq n-1$ ), tanto $Q$ quanto $R$ tomam o valor $f(x_i)$ , logo

S(x_i) = \frac{(x_i - x_0) - (x_i - x_n)}{x_n - x_0}\, f(x_i) = f(x_i) .

9. Indução sobre o número de nós. Um nó: o interpolante é a constante $f(x_0) = f[x_0]$ . Suponha a afirmação para $k$ nós e seja $S$ interpolando em $x_0, \dots, x_k$ ; pela unicidade (questão 4), $S$ é dado pelo lema de Aitken a partir de $R$ (nós $x_0, \dots, x_{k-1}$ ) e $Q$ (nós $x_1, \dots, x_k$ ). O coeficiente de $X^{k}$ em $S$ é

\frac{[X^{k-1}]\,Q - [X^{k-1}]\,R}{x_k - x_0} = \frac{f[x_1, \dots, x_k] - f[x_0, \dots, x_{k-1}]}{x_k - x_0} = f[x_0, \dots, x_k]

pela hipótese de indução e pela recorrência que as define.

10. Seja $P_k$ o interpolante de $f$ em $x_0, \dots, x_k$ . A diferença $P_k - P_{k-1}$ tem grau $\leq k$ e anula-se em $x_0, \dots, x_{k-1}$ , logo, pelo teorema do fator aplicado $k$ vezes (Teorema 8.7), ela vale $c\,N_k$ para uma constante $c$ ; comparando os coeficientes de $X^{k}$ e usando a questão 9, $c = f[x_0, \dots, x_k]$ . Telescopando a partir de $P_0 = f(x_0) N_0$ obtém-se a fórmula de Newton. Para a forma fechada, escreva $P_k = \sum_{i \leq k} f(x_i) L_i$ (Lagrange, nos nós $x_0, \dots, x_k$ ) e leia o coeficiente de $X^{k}$ : cada $L_i$ contribui com $\frac{1}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)}$ , donde

f[x_0, \dots, x_k] = \sum_{i=0}^{k} \frac{f(x_i)}{\prod_{j \neq i,\, j \leq k}(x_i - x_j)} .

O lado direito é invariante por qualquer permutação dos nós, logo a diferença dividida não depende da ordenação deles.

11. Se $P = a X^m + (\text{graus inferiores})$ , o teorema binomial dá

\Delta P = a\bigl((X+1)^m - X^m\bigr) + \dots = a\,m\,X^{m-1} + (\text{graus inferiores}),

pois $(X+1)^m - X^m = m X^{m-1} + \dots$ e a parte de grau inferior de $P$ contribui com grau $\leq m - 2$ depois de $\Delta$ (ou seja, com termos de grau $\leq m-2$ ). Logo $\deg \Delta P = m - 1$ com coeficiente dominante $m a$ . Uma constante $c$ dá $\Delta c = c - c = 0$ .

12. $\deg B_k = k$ : escada, logo uma base de $\R_n[X]$ (Exemplo 18.20). Para $\Delta B_k$ ( $k \geq 1$ ), fatore o produto comum:

\begin{align*} k!\,\Delta B_k &= (X+1)X\cdots(X-k+2) - X(X-1)\cdots(X-k+1) \\ &= X(X-1)\cdots(X-k+2)\,\bigl[(X+1) - (X-k+1)\bigr] \\ &= k\,X(X-1)\cdots(X-k+2), \end{align*}

logo $\Delta B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+2)}{(k-1)!} = B_{k-1}$ .

13. Escreva $P = \sum_{k=0}^{n} c_k B_k$ (base, questão 12). Aplique $\Delta^{j}$ : pela questão 12, $\Delta^{j} P = \sum_{k \geq j} c_k B_{k-j}$ . Avalie em $0$ : $B_0(0) = 1$ e $B_m(0) = 0$ para $m \geq 1$ (o fator $X$ se anula), logo $\bigl(\Delta^{j}P\bigr)(0) = c_j$ . Esta é a fórmula das diferenças progressivas.

14. Indução sobre $k$ . Para $k = 0$ a identidade lê-se $P(0) = P(0)$ . Suponha-a para $k$ e aplique-a a $\Delta P$ :

\bigl(\Delta^{k+1} P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^{k} (-1)^{k-j}\binom kj \bigl(P(j+1) - P(j)\bigr).

Junte o coeficiente de $P(i)$ : ele é $(-1)^{k-i+1}\binom k{i-1}\cdot(-1)^{0}$ na primeira soma (deslocada) e $-(-1)^{k-i}\binom ki$ na segunda — juntos

(-1)^{k+1-i}\Bigl(\binom k{i-1} + \binom ki\Bigr) = (-1)^{k+1-i}\binom{k+1}i

pela regra de Pascal, que é a identidade na ordem $k + 1$ .

15. Iterando a questão 11 a partir do grau $n$ , com coeficiente dominante $a_n$ : depois de um $\Delta$ , grau $n-1$ e coeficiente dominante $n a_n$ ; depois de dois, $n(n-1)a_n$ ; depois de $n$ passos, grau $0$ e valor $n(n-1)\cdots 1\, a_n = n!\,a_n$ , uma constante. Mais um $\Delta$ a mata: $\Delta^{n+1}P = 0$ .

16. Se $m \geq k$ : $B_k(m) = \binom mk \in \N$ . Se $0 \leq m < k$ : um fator de $m(m-1)\cdots(m-k+1)$ é nulo, logo $B_k(m) = 0$ . Se $m = -q$ com $q \geq 1$ :

B_k(-q) = \frac{(-q)(-q-1)\cdots(-q-k+1)}{k!} = (-1)^k\,\frac{q(q+1)\cdots(q+k-1)}{k!} = (-1)^k \binom{q+k-1}{k},

um inteiro. Logo todo $B_k$ leva $\Z$ em $\Z$ .

17. ( $\Leftarrow$ ) Se $P = \sum_k c_k B_k$ com $c_k \in \Z$ , então para $m \in \Z$ , $P(m) = \sum_k c_k B_k(m) \in \Z$ pela questão 16. ( $\Rightarrow$ ) Se $P$ é a valores inteiros, as suas coordenadas são $c_k = \bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = \sum_{j=0}^k (-1)^{k-j}\binom kj P(j)$ (questões 13 e 14), uma combinação inteira dos inteiros $P(0), \dots, P(k)$ . Esta é a caracterização de Pólya dos polinômios a valores inteiros.

18. Ponha $Q(X) = P(X + a)$ , um polinômio de grau $\leq n$ com $Q(0), Q(1), \dots, Q(n) \in \Z$ . As suas coordenadas em $(B_k)_{k \leq n}$ são $c_k = \sum_{j \leq k}(-1)^{k-j}\binom kj Q(j) \in \Z$ (a questão 14 usa apenas os valores em $0, \dots, k \leq n$ ). Pela questão 17 ( $\Leftarrow$ ), $Q$ é a valores inteiros em todo o $\Z$ , e portanto $P(X) = Q(X - a)$ também.

19. Um produto de $k$ inteiros consecutivos é $m(m-1) \cdots(m-k+1) = k!\,B_k(m)$ para algum $m \in \Z$ , e $B_k(m) \in \Z$ pela questão 16: o produto é divisível por $k!$ .

20. Valores de $P = \frac{X(X+1)(2X+1)}{6}$ em $0,1,2,3$ : $0, 1, 5, 14$ . Tabela de diferenças: linha $\Delta$ : $1, 4, 9$ ; linha $\Delta^2$ : $3, 5$ ; linha $\Delta^3$ : $2$ . Logo, pela questão 13,

P = 0\cdot B_0 + 1\cdot B_1 + 3\,B_2 + 2\,B_3 ,

com coordenadas inteiras: $P$ é a valores inteiros (questão 17), ao passo que os seus coeficientes monomiais $\frac13, \frac12, \frac16$ não são inteiros. Cálculo direto:

\begin{align*} \Delta P &= \frac{(X+1)(X+2)(2X+3) - X(X+1)(2X+1)}{6} \\ &= \frac{(X+1)\bigl[(X+2)(2X+3) - X(2X+1)\bigr]}{6} = \frac{(X+1)(6X+6)}{6} = (X+1)^2 . \end{align*}

Telescopando $P(m) = \sum_{j=0}^{m-1}\Delta P(j) = \sum_{j=1}^{m} j^2$ (com $P(0) = 0$ ): a fórmula da soma dos quadrados.

21. Os valores $2^i$ em $i = 0, \dots, n$ têm tabela de diferenças constantemente igual a $1$ na borda esquerda: $\Delta^k$ da sequência $(2^i)$ é de novo $(2^i)$ (pois $2^{i+1} - 2^i = 2^i$ ), logo $\bigl(\Delta^k P\bigr)(0) = 2^0 = 1$ para todo $k \leq n$ , e $P = B_0 + B_1 + \dots + B_n$ pela questão 13. Então

P(n+1) = \sum_{k=0}^{n}\binom{n+1}{k} = 2^{n+1} - \binom{n+1}{n+1} = 2^{n+1} - 1 \neq 2^{n+1}:

o padrão quebra no primeiro ponto não controlado.

22. Pela questão 12, $B_k = \Delta B_{k+1}$ , logo

\sum_{j=0}^{m-1} B_k(j) = \sum_{j=0}^{m-1}\bigl(B_{k+1}(j+1) - B_{k+1}(j)\bigr) = B_{k+1}(m) - B_{k+1}(0) = B_{k+1}(m).

Para $j < k$ os termos $B_k(j)$ se anulam, logo a soma começa de fato em $j = k$ : $\sum_{j=k}^{m-1}\binom jk = \binom m{k+1}$ , a identidade do taco de hóquei.

23. As tabelas de diferenças (ou o desenvolvimento direto) dão

X^2 = B_1 + 2 B_2, \qquad X^3 = B_1 + 6 B_2 + 6 B_3

(verificação: $B_1 + 2B_2 = X + X(X-1) = X^2$ ; em $X = 1, 2, 3$ o segundo dá $1, 8, 27$ ). A questão 22 fornece então

\sum_{j=0}^{m-1} j^2 = B_2(m) + 2B_3(m) = \binom m2 + 2\binom m3 = \frac{m(m-1)(2m-1)}{6},

\sum_{j=0}^{m-1} j^3 = B_2(m) + 6B_3(m) + 6B_4(m) = \binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 .

Desenvolvendo a última expressão: $\binom m2 + 6\binom m3 + 6\binom m4 = \frac{m(m-1)}{2}\bigl[1 + 2(m-2) + \frac{(m-2)(m-3)}{2}\bigr] = \frac{m^2(m-1)^2}{4} = \binom m2^2$ . Substituindo $m$ por $m + 1$ : $1^3 + \dots + m^3 = \bigl(\frac{m(m+1)}2\bigr)^2 = (1 + \dots + m)^2$ , a identidade de Nicômaco.

24. Nós $0, 1, 2$ , polinômio $X^2$ . Base monomial $(1, X, X^2)$ : coordenadas $(0, 0, 1)$ . Base de Lagrange: as coordenadas são os valores $(0, 1, 4)$ (questão 4). Base de Newton $(1, X, X(X-1))$ : diferenças divididas $f[0] = 0$ , $f[0,1] = 1$ , $f[0,1,2] = \frac{3 - 1}{2} = 1$ (questão 9), logo coordenadas $(0, 1, 1)$ — de fato $X + X(X-1) = X^2$ . Três bases, três vetores de coordenadas, um só polinômio.

25. (i) A questão 4 é automática porque $(L_i)$ é uma base: existência e unicidade da interpolação são exatamente existência e unicidade das coordenadas. (ii) A base de Newton é uma escada, de modo que as coordenadas se calculam por divisões sucessivas — cada novo nó acrescenta um termo sem perturbar os anteriores — ao passo que as coordenadas de $P$ na base de Lagrange são os valores $P(x_i)$ , disponíveis sem cálculo algum. (iii) As duas bases são livres pelos mesmos dois critérios da Proposição 18.19: graus distintos para Newton, avaliação nos nós para Lagrange. (iv) O teorema de Pólya diz que “ $P(\Z) \subseteq \Z$ ”, uma propriedade dos valores, equivale à integralidade das coordenadas na base $(B_k)$ — a aritmética de um polinômio só se torna visível na base adaptada à pergunta.