Matemática universitária — Graduação 1 · Bachelor Year 1

19Dimensão Finita

Um espaço gerado por um número finito de vetores carrega uma dimensão bem definida — o tamanho comum de todas as suas bases. As demonstrações abaixo decorrem todas de um único motor combinatório, o lema da troca: uma família livre nunca pode ser mais numerosa do que uma geradora. Com a dimensão vêm as ferramentas usadas em toda parte depois: o teorema da base incompleta, o posto de uma família, a fórmula de Grassmann.

19.1 Existência de bases

Definição 19.1

$E$ tem dimensão finita quando possui uma família geradora finita. (Caso contrário, tem dimensão infinita: é o caso de $K[X]$ , cujas famílias finitas só geram polinômios de grau limitado.)

Teorema 19.2 (Lema da troca)

Seja $(g_1, \dots, g_n)$ geradora de $E$ e $(f_1, \dots, f_p)$ livre em $E$ . Então $p \leq n$ .

Demonstração. Demonstramos por indução sobre $k \leq p$ : depois de renumerar os $g_j$ , a família $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ gera $E$ — o que força $k \leq n$ em cada etapa, e $p \leq n$ no final.

$k = 0$ : é a hipótese. Passo: suponha-o para $k - 1$ ; então $f_k$ é uma combinação de $(f_1, \dots, f_{k-1},$ $g_k, \dots, g_n)$ . Nessa combinação algum $g_j$ ( $j \geq k$ ) tem coeficiente não nulo — caso contrário $f_k$ seria uma combinação de $f_1, \dots, f_{k-1}$ , contradizendo a liberdade. Renumere de modo que $j = k$ , e isole $g_k$ : $g_k$ é uma combinação de $(f_1, \dots, f_k, g_{k+1}, \dots, g_n)$ . Todo vetor de $E$ , expresso através da família com $k - 1$ elementos, pode então ser reexpresso através da família com $k$ elementos: ela gera. (Se $k - 1 = n$ , nenhum $g$ resta e $f_k$ seria uma combinação apenas dos $f_i$ : impossível; logo $k \leq n$ .) ∎

Exemplo 19.3 (A troca, observada uma vez)

Em $\R^2$ , tome a família geradora $\bigl(g_1, g_2\bigr) = \bigl((1,0), (0,1)\bigr)$ e a família livre $\bigl(f_1, f_2\bigr) = \bigl((1,2), (3,4)\bigr)$ . Passo $1$ : $f_1 = 1\cdot g_1 + 2\cdot g_2$ ; o coeficiente de $g_2$ é não nulo, logo troque $g_2$ por $f_1$ : a família $\bigl(f_1, g_1\bigr)$ ainda gera ( $g_2 = \frac12(f_1 - g_1)$ ). Passo $2$ : $f_2 = (3,4) = 2\,f_1 + 1\cdot g_1$ ; o coeficiente do $g_1$ restante é não nulo (e tem de ser: $f_2$ não é múltiplo de $f_1$ ), logo troque de novo: $\bigl(f_1, f_2\bigr)$ gera $\R^2$ . Se houvesse um terceiro vetor livre $f_3$ , nenhum $g$ restaria para absorvê-lo — e é precisamente assim que o lema proíbe $3$ vetores livres em $\R^2$ . A demonstração acima é esta contabilidade feita em geral.

Teorema 19.4 (Bases em dimensão finita)

Seja $E \neq \{0\}$ de dimensão finita.

De toda família geradora finita pode-se extrair uma base.
(Teorema da base incompleta) Toda família livre estende-se a uma base, usando vetores de qualquer família geradora escolhida.
Todas as bases de $E$ são finitas e têm o mesmo número de elementos: a dimensão $\dim E$ . (Convenção: $\dim\{0\} = 0$ .)

Demonstração. (1) Descarte, um de cada vez, qualquer vetor que seja combinação dos outros; a família continua geradora, pois em qualquer expressão que use o vetor descartado pode-se substituir a sua combinação dos sobreviventes. O processo termina — cada passo encolhe em um uma família finita — e para exatamente quando nenhum vetor restante é combinação dos outros. A família final ainda é geradora, e é livre: uma combinação nula não trivial teria algum coeficiente não nulo, e dividir por ele permitiria isolar o vetor correspondente em função dos outros, tornando-o descartável afinal — em contradição com o fato de o processo já ter parado.

(2) Seja $(f_1, \dots, f_p)$ livre e $(g_1, \dots, g_n)$ geradora. Percorra $g_1, \dots, g_n$ , acrescentando $g_j$ à família corrente sempre que ele ainda não estiver no espaço gerado por ela (a Proposição 18.19 (2) mantém a família livre). A família final é livre, e geradora: todo $g_j$ está no seu espaço gerado — ou foi acrescentado, ou já era uma combinação.

(3) Duas bases são cada uma livre e cada uma geradora: o lema da troca dá as duas desigualdades entre as suas cardinalidades. (Finitude: uma base é livre, logo, pela troca, não é maior do que uma família geradora finita.) ∎

Exemplo 19.5

$\dim K^n = n$ (base canônica); $\dim K_n[X] = n + 1$ (monômios); $\dim_\R \C = 2$ ; o espaço das soluções de $y'' + ay' + by = 0$ tem dimensão $2$ (Teorema 5.10: as soluções são parametrizadas bijetiva e linearmente por $(\lambda, \mu) \in K^2$ ).

Exemplo 19.6 (O mesmo conjunto, duas dimensões)

O conjunto $\C^2$ dos pares de números complexos é um espaço vetorial sobre $\C$ de dimensão $2$ (base canônica $e_1, e_2$ ) — e um espaço vetorial sobre $\R$ de dimensão $4$ , com base

(1, 0),\quad (\iu, 0),\quad (0, 1),\quad (0, \iu):

todo $(z, w) = (a + \iu b,\ c + \iu d)$ tem coordenadas reais $(a, b, c, d)$ , de modo único. A dimensão não é uma propriedade do conjunto de vetores sozinho: ela conta os graus de liberdade relativamente aos escalares permitidos, e reduzir pela metade o estoque de escalares, de $\C$ para $\R$ , duplica a contagem. (O problema de fim de semana explora o caso extremo dessa sensibilidade, com os escalares encolhidos até $\Q$ .)

Exemplo 19.7 (Executando o algoritmo de completamento)

Complete a família livre $\bigl((1,1,1)\bigr)$ numa base de $\R^3$ usando os vetores canônicos. Execute a demonstração do Teorema 19.4 (2) sobre a família geradora $(e_1, e_2, e_3)$ : será $e_1 \in \operatorname{Vect}(1,1,1)$ ? Não (os múltiplos de $(1,1,1)$ têm coordenadas iguais) — acrescente-o. Será $e_2 \in \operatorname{Vect}\bigl((1,1,1), e_1\bigr)$ ? Uma combinação $\alpha(1,1,1) + \beta e_1$ tem a segunda e a terceira coordenadas iguais, e $e_2$ não as tem — acrescente-o. A família $\bigl((1,1,1), e_1, e_2\bigr)$ é livre e tem $3$ vetores: pare, ela é uma base (a Proposição 19.8 tornará esse reflexo oficial). Note que o resultado depende da ordem em que os $g_j$ são percorridos: completar é um algoritmo, não uma fórmula.

Proposição 19.8 (A regra dois em três)

Seja $\dim E = n$ e $\mathcal{F}$ uma família de exatamente $n$ vetores de $E$ . Então

\mathcal{F} \text{ livre} \iff \mathcal{F} \text{ geradora} \iff \mathcal{F} \text{ base}.

Além disso, toda família livre tem $\leq n$ vetores, e toda família geradora $\geq n$ .

Demonstração. As cotas de cardinalidade são o lema da troca contra uma base. Se $\mathcal{F}$ (de tamanho $n$ ) é livre mas não geradora, algum $x$ está fora do seu espaço gerado; acrescentar $x$ dá uma família livre com $n + 1$ vetores: impossível. Se $\mathcal{F}$ é geradora mas não livre, extrair uma base (o Teorema 19.4 (1)) dá uma base com $< n$ vetores: impossível. ∎

Exemplo 19.9 (Dois em três, poupando metade do trabalho)

Será $\bigl((1,1,0), (0,1,1), (1,0,1)\bigr)$ uma base de $\R^3$ ? Conte: três vetores, dimensão três — logo só a liberdade decide. Uma combinação nula dá $a + c = 0$ , $a + b = 0$ , $b + c = 0$ ; somando as três, $2(a + b + c) = 0$ , e subtraindo cada equação original de $a + b + c = 0$ resta $b = c = a = 0$ : livre, logo uma base, com a metade “geradora” da verificação fornecida de graça pelo teorema. Compare com o Exemplo 18.18, em que a mesma verificação dupla teve de ser feita à mão — um capítulo de teoria converte-se exatamente nessa economia, em cada verificação de base do resto do livro.

Método 19.10 (Calcular uma dimensão)

Três vias padrão, em ordem decrescente de frequência.

Parametrize e leia uma base. Resolva as restrições que definem o espaço, exprima o elemento geral linearmente nos parâmetros sobreviventes, e verifique que os vetores que multiplicam os parâmetros são livres: a dimensão é o número de parâmetros. (Executada abaixo num subespaço concreto de $\R^4$ .)
Exiba uma parametrização linear bijetiva. Quando os elementos são determinados por um número finito de valores — condições iniciais de uma recorrência (Exercício 19.10), coeficientes de uma fórmula de solução (o Exemplo 19.5) — a dimensão é o número desses valores.
Use as fórmulas. Grassmann para interseções e somas, o posto para espaços gerados, e mais tarde o teorema do núcleo e da imagem para núcleos e imagens: as dimensões são em geral calculadas, não adivinhadas.

Nas três vias, a regra dois em três é o remate: assim que a contagem bate, só a liberdade ou só a geração já concluem.

Exemplo 19.11 (Via 1, por extenso)

Dimensão de $H = \{(x, y, z, t) \in \R^4 : x + y + z + t = 0 \text{ e } x = t\}$ . Resolva: $t = x$ e $y + z = -2x$ , logo $z = -2x - y$ com $x, y$ livres:

(x,\ y,\ -2x - y,\ x) = x\,(1, 0, -2, 1) + y\,(0, 1, -1, 0) .

Os dois vetores são livres (olhe para as duas primeiras coordenadas: $(x, y) = (0,0)$ ), logo formam uma base de $H$ e $\dim H = 2$ . A contagem era previsível — duas restrições lineares independentes em $\R^4$ deveriam comer uma dimensão cada — mas a parametrização a demonstra e entrega uma base, o que a previsão sozinha nunca faz; o Exercício 19.9 transforma o lema “cada equação come no máximo uma dimensão” num teorema.

Exemplo 19.12 (Via 2, por extenso)

Dimensão de $W = \{P \in \R_n[X] : P(1) = P(2) = 0\}$ (para $n \geq 2$ ). Pelo teorema do fator aplicado duas vezes (Teorema 8.7; as raízes $1$ e $2$ são distintas), $P \in W$ exatamente quando $P = (X - 1)(X - 2)\,Q$ com $\deg Q \leq n - 2$ . A correspondência $Q \mapsto (X-1)(X-2)Q$ é linear, atinge todo o $W$ e é injetiva (um produto só é nulo se $Q = 0$ ): $W$ é parametrizado bijetiva e linearmente por $\R_{n-2}[X]$ , logo

\dim W = \dim \R_{n-2}[X] = n - 1 .

Uma base vem junto com a parametrização: as imagens dos monômios, $\bigl((X-1)(X-2),\ (X-1)(X-2)X,\ \dots,\ (X-1)(X-2)X^{n-2}\bigr)$ . Cada nova restrição de avaliação num ponto novo custa exatamente uma dimensão — a espinha dorsal de contagem da interpolação de Lagrange (Teorema 8.23).

Exemplo 19.13 (Uma restrição integral também custa uma dimensão)

Dimensão de $H = \{P \in \R_2[X] : \int_0^1 P = 0\}$ . Escrevendo $P = a + bX + cX^2$ , a restrição lê-se $a + \frac b2 + \frac c3 = 0$ ; isole $a$ e parametrize:

P = b\Bigl(X - \frac12\Bigr) + c\Bigl(X^2 - \frac13\Bigr),

logo $H = \operatorname{Vect}\bigl(X - \frac12,\ X^2 - \frac13\bigr)$ , dimensão $2$ (os dois polinômios têm graus distintos: livres). Uma condição linear — seja uma avaliação, uma integral ou qualquer outra receita linear — remove no máximo uma dimensão, e exatamente uma assim que a condição não é identicamente nula. O Capítulo 20 chamará tais receitas de formas lineares e os seus conjuntos de soluções de hiperplanos; os vetores de base encontrados aqui reaparecem no Capítulo 23 como o início da família de Legendre.

19.2 Subespaços, posto, Grassmann

Teorema 19.14 (Subespaços)

Seja $E$ de dimensão finita e $F$ um subespaço. Então $F$ tem dimensão finita, $\dim F \leq \dim E$ , com igualdade se e somente se $F = E$ . Além disso, todo subespaço tem um subespaço suplementar.

Demonstração. As famílias livres de $F$ têm no máximo $\dim E$ vetores (lema da troca em $E$ : uma família livre de $F$ é em particular livre em $E$ , e $E$ tem uma família geradora finita). Entre as famílias livres de $F$ escolha uma de tamanho máximo $p$ — possível, pois os tamanhos são inteiros majorados por $\dim E$ . Ela gera $F$ : caso contrário algum $x \in F$ ficaria fora do seu espaço gerado, e acrescentar $x$ daria uma família livre de $F$ de tamanho $p + 1$ (a Proposição 18.19 (2)), contradizendo a maximalidade. Sendo livre e geradora, é uma base de $F$ , e $\dim F = p \leq \dim E$ . Se $p = \dim E = n$ : uma família livre de $n$ vetores de $E$ é uma base de $E$ (a Proposição 19.8), logo $F \supseteq \operatorname{span} = E$ . Suplementar: complete uma base $(f_1, \dots, f_p)$ de $F$ numa base $(f_1, \dots, f_p, g_{p+1}, \dots, g_n)$ de $E$ (teorema da base incompleta); então $G = \operatorname{Vect}(g_{p+1}, \dots, g_n)$ satisfaz $E = F \oplus G$ (existência e unicidade das decomposições = coordenadas na base grande). ∎

Definição 19.15 (Posto de uma família)

O posto de uma família finita de vetores é a dimensão do seu espaço gerado: $\operatorname{rk}(x_1, \dots, x_p) = \dim \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_p) \leq \min(p, \dim E)$ , com igualdade a $p$ se e somente se a família é livre.

Exemplo 19.16 (Calcular um posto por eliminação)

Posto de $\bigl((1,2,3), (2,3,4), (3,4,5), (1,1,1)\bigr)$ em $\R^3$ . O espaço gerado não muda quando se subtrai de um vetor uma combinação dos outros (as duas famílias geram as mesmas combinações): substitua $(2,3,4)$ por $(2,3,4) - (1,2,3) = (1,1,1)$ e $(3,4,5)$ por $(3,4,5) - (1,2,3) = (2,2,2)$ . O espaço gerado é agora $\operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1), (2,2,2), (1,1,1)\bigr) = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3), (1,1,1)\bigr)$ , e estes dois vetores não são proporcionais: o posto é $2$ . Este procedimento de subtrair e descartar é sistematizado como eliminação de Gauss no Capítulo 22.

Exemplo 19.17 (Somar por concatenação)

Tome, em $\R^3$ ,

F = \operatorname{Vect}\bigl((1,2,3),\ (1,1,1)\bigr), \qquad G = \operatorname{Vect}\bigl((2,3,4)\bigr) .

A soma $F + G$ é gerada pela família concatenada dos três geradores, e

(2, 3, 4) = (1, 2, 3) + (1, 1, 1)

mostra que o terceiro é redundante: $F + G = F$ , de dimensão $2$ — equivalentemente $G \subseteq F$ , o que a relação exibe. Grassmann confirma: $\dim(F \cap G) = 2 + 1 - 2 = 1 = \dim G$ . As somas calculam-se concatenando geradores e depois reduzindo a pilha pelo algoritmo do posto; nenhuma técnica nova é jamais necessária.

Teorema 19.18 (Fórmula de Grassmann)

Para subespaços $F, G$ de $E$ de dimensão finita:

\dim(F + G) = \dim F + \dim G - \dim(F \cap G) .

Em particular, $F + G$ é direta se e somente se $\dim(F + G) = \dim F + \dim G$ .

Demonstração. Parta de uma base $(e_1, \dots, e_r)$ de $F \cap G$ ; complete-a numa base $(e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s)$ de $F$ e numa base $(e_1, \dots, e_r, g_1, \dots, g_t)$ de $G$ (o Teorema 19.4 (2)). Afirmamos que

\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_r, f_1, \dots, f_s, g_1, \dots, g_t)

é uma base de $F + G$ ; a fórmula segue por contagem: $(r + s) + (r + t) - r = r + s + t$ .

$\mathcal{B}$ gera $F + G$ : todo $u + v$ ( $u \in F$ , $v \in G$ ) se desenvolve nela. Liberdade: suponha $\sum \alpha_i e_i + \sum \beta_j f_j + \sum \gamma_k g_k = 0$ . O vetor $w = \sum \gamma_k g_k = -\sum\alpha_i e_i - \sum\beta_j f_j$ está em $G \cap F$ , logo desenvolve-se apenas nos $(e_i)$ ; mas $w$ também se desenvolve nos $(g_k)$ , e na base de $G$ essas duas expressões devem coincidir: todos os $\gamma_k = 0$ (e as coordenadas em $e$ coincidem). A relação reduz-se a $\sum\alpha_i e_i + \sum\beta_j f_j = 0$ , uma relação na base de $F$ : todos os coeficientes restantes se anulam. ∎

Exemplo 19.19

Dois planos distintos $F, G$ (dimensão $2$ ) de $\R^3$ satisfazem $F + G = \R^3$ (a sua soma contém estritamente um plano), logo $\dim(F \cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ : eles sempre se intersectam ao longo de uma reta — não há “planos paralelos” pela origem.

Exemplo 19.20 (Grassmann em ação, em $\R^4$ )

Sejam $F = \operatorname{Vect}\bigl(e_1,\ e_2,\ (1,1,1,0)\bigr)$ e $G = \operatorname{Vect}(e_3, e_4)$ em $\R^4$ . Dimensões: $\dim F = 3$ (o terceiro gerador tem terceira coordenada não nula, fora de $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ ) e $\dim G = 2$ . Soma: $F + G$ contém $e_1, e_2, e_4$ e $e_3 = (1,1,1,0) - e_1 - e_2$ : é todo o $\R^4$ . Grassmann então calcula o tamanho da interseção sem eliminação alguma:

\dim(F \cap G) = 3 + 2 - 4 = 1 .

Para identificar a reta, olhe dentro de $G$ : um vetor $(0, 0, c, d)$ está em $F$ exatamente quando é $a e_1 + b e_2 + \lambda(1,1,1,0)$ , o que força $\lambda = -a = -b$ e $d = 0$ : a interseção é $\operatorname{Vect}(e_3)$ — coerente, pois $e_3$ foi exibido em $F$ acima e está em $G$ por definição. Divisão de trabalho típica: Grassmann prevê quanto procurar, e o sistema linear encontra o quê.

Exemplo 19.21 (Intersectar por equações)

Quando os dois subespaços vêm como conjuntos de soluções, intersectar é apenas empilhar as equações. Em $\R^3$ : $F = \{x + y + z = 0\}$ e $G = \{x = y\}$ dão

F \cap G = \{x = y,\ 2x + z = 0\} = \{(x,\ x,\ -2x)\} = \operatorname{Vect}(1, 1, -2),

uma reta. Confira por Grassmann: $F + G = \R^3$ (os planos são distintos, logo a sua soma contém estritamente um plano), donde $\dim(F\cap G) = 2 + 2 - 3 = 1$ . As duas descrições de um subespaço — por equações e por geradores — tornam trivial, cada uma, uma operação: as equações intersectam-se empilhando, os geradores somam-se concatenando; converter de uma para a outra é exatamente o que significa resolver um sistema linear (Capítulo 22).

Observação 19.22 (Armadilhas comuns)

As dimensões não se somam ao longo das somas a não ser que a soma seja direta: dois planos de $\R^3$ têm $\dim(F + G) = 3$ , e não $4$ ; corrija sempre pelo termo de interseção (Grassmann). Uma inclusão precisa da dimensão e da inclusão: $\dim F = \dim G$ sozinho nunca dá $F = G$ (duas retas distintas de $\R^2$ ); o caso de igualdade do Teorema 19.14 exige antes $F \subseteq G$ . Contar parâmetros ainda não é uma demonstração: “duas equações em $\R^4$ , logo dimensão $2$ ” falha quando as equações são dependentes ( $x + y = 0$ e $2x + 2y = 0$ deixam dimensão $3$ ); só uma parametrização efetiva ou um cálculo de posto decide. Não fale da dimensão de algo que não é subespaço: os conjuntos de soluções de sistemas não homogêneos não contêm $0$ ; a sua “dimensão” é a do espaço de soluções homogêneas associado (o Capítulo 22 torna isto preciso). A dimensão infinita existe: $K[X]$ contém famílias livres de todo tamanho (os monômios), logo nenhuma família geradora finita pode existir — enunciados como a regra dois em três são estritamente de dimensão finita e falham feio em $K[X]$ (o Corolário 20.9 mostrará o mesmo para injetividade e sobrejetividade). O posto diz respeito ao espaço gerado, não à lista: repetir um vetor, reordenar ou reescalar por constantes não nulas deixa o posto inalterado, e $\operatorname{rk} = p$ (o número de vetores) é uma propriedade a demonstrar — ela é exatamente a liberdade. Uma família de $5$ vetores de posto $2$ carrega redundância equivalente a três vetores, que a eliminação (o Exemplo 19.16) localiza explicitamente.

Observação 19.23 (Onde a dimensão vai trabalhar)

Daqui em diante, a dimensão é o argumento de contagem favorito do livro. O Capítulo 20 demonstra o teorema do núcleo e da imagem, a versão funcional da fórmula de Grassmann; o Capítulo 21 calcula postos por redução de linhas; o Capítulo 22 transforma “ $n$ vetores de $K^n$ formam uma base” num único número ser não nulo. O problema de fim de semana abaixo mostra a dimensão fazendo aritmética: contar dimensões sobre o corpo $\Q$ demonstra afirmações de irracionalidade que parecem intocáveis à mão. No volume do terceiro ano de graduação, as mesmas contagens de dimensão, refinadas pela teoria de grupos, decidem quais problemas clássicos de construção são solúveis — essa história é a teoria de Galois.

Observação 19.24 (Perspectivas dentro do Livro 3)

A dimensão é a grandeza conservada do resto deste volume, e vale a pena nomear as leis de conservação com antecedência. O Capítulo 20 demonstra $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ : o que uma aplicação linear esmaga mais o que ela conserva totaliza sempre o espaço de partida. O Capítulo 22 refina isto na estrutura dos conjuntos de soluções: $p$ incógnitas menos $\operatorname{rk} A$ pivôs deixam a dimensão do espaço de soluções, que a eliminação de Gauss exibe como parâmetros livres. O Capítulo 23 divide $\dim E = \dim F + \dim F^\perp$ ortogonalmente, e o problema de fim de semana do Capítulo 25 gasta exatamente este orçamento: $n$ pontos de dados, $2$ parâmetros ajustados, $n - 2$ dimensões de resíduo. Sempre que uma contagem se recusar a fechar num capítulo posterior, o erro é um núcleo esquecido ou uma soma não direta — volte primeiro à fórmula de Grassmann.

19.3 Exercícios

Exercício 19.1 ★

Dê uma base e a dimensão de:

$F = \{(x,y,z) \in \R^3 : x + y + z = 0\}$ ;
$G = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x = y,\ z = 2t\}$ ;
$H = \{P \in \R_3[X] : P(1) = P'(1) = 0\}$ .

Solução

Solução de Exercício 19.1.

$z = -x - y$ : $F = \{(x, y, -x-y)\} = \operatorname{Vect}\bigl((1,0,-1), (0,1,-1)\bigr)$ ; os dois vetores são livres (coordenadas): $\dim F = 2$ .
$G = \{(x, x, 2t, t)\} = \operatorname{Vect}\bigl((1,1,0,0), (0,0,2,1)\bigr)$ : livres, $\dim G = 2$ .
$P(1) = P'(1) = 0$ significa $(X-1)^2 \mid P$ (Proposição 8.11): $P = (X-1)^2(aX + b)$ . Base $\bigl((X-1)^2, X(X-1)^2\bigr)$ , dimensão $2$ .

Exercício 19.2 ★

Calcule o posto da família $\bigl((1,1,1), (1,2,3), (3,5,7), (0,1,2)\bigr)$ em $\R^3$ , e extraia uma base do seu espaço gerado.

Solução

Solução de Exercício 19.2.

$(3,5,7) = (1,1,1) + 2(1,2,3)$ e $(0,1,2) = (1,2,3) - (1,1,1)$ : ambos são combinações dos dois primeiros, que são livres (não proporcionais). Posto $2$ ; base do espaço gerado: $\bigl((1,1,1), (1,2,3)\bigr)$ .

Exercício 19.3 ★

Complete a família livre $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1)\bigr)$ numa base de $\R^4$ usando vetores canônicos, e justifique.

Solução

Solução de Exercício 19.3.

Tente acrescentar $e_1 = (1,0,0,0)$ e $e_3 = (0,0,1,0)$ . A família $\bigl((1,1,0,0), (0,0,1,1), e_1, e_3\bigr)$ é livre: uma combinação nula $\alpha(1,1,0,0) + \beta(0,0,1,1) + \gamma e_1 + \delta e_3 = 0$ lê-se $(\alpha + \gamma, \alpha, \beta + \delta, \beta) = 0$ , logo $\alpha = \beta = 0$ , e depois $\gamma = \delta = 0$ . Quatro vetores livres em dimensão $4$ : uma base (a Proposição 19.8).

Exercício 19.4 ★

Demonstre que $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ é uma base de $\R_3[X]$ , e encontre as coordenadas de $X^3$ nela.

Solução

Solução de Exercício 19.4.

Graus $0, 1, 2, 3$ dois a dois distintos: livres (a Proposição 18.19), quatro vetores em dimensão $4$ : base. Para $X^3$ : desenvolva para baixo,

X(X-1)(X-2) = X^3 - 3X^2 + 2X, \qquad X(X-1) = X^2 - X,

logo $X^3 - X(X-1)(X-2) = 3X^2 - 2X$ ; e $3X^2 - 2X = 3(X^2 - X) + X = 3\,X(X-1) + X$ . Logo

X^3 = X(X-1)(X-2) + 3\,X(X-1) + 1\cdot X + 0\cdot 1 :

coordenadas $(0, 1, 3, 1)$ em $\bigl(1, X, X(X-1), X(X-1)(X-2)\bigr)$ . (São números de Stirling disfarçados.)

Exercício 19.5 ★★

Sejam $F$ e $G$ subespaços de dimensões $4$ e $5$ de um espaço $E$ com $\dim E = 7$ . Quais são os valores possíveis de $\dim(F \cap G)$ ? Dê um exemplo realizando cada valor com $E = \R^7$ .

Solução

Solução de Exercício 19.5.

Grassmann: $\dim(F \cap G) = 4 + 5 - \dim(F + G)$ , e $F + G$ é um subespaço de $E$ que contém $G$ : $5 \leq \dim(F+G) \leq 7$ . Logo $\dim(F \cap G) \in \{2, 3, 4\}$ . Realizações em $\R^7$ com a base canônica $(e_1, \dots, e_7)$ , tomando $G = \operatorname{Vect}(e_1, \dots, e_5)$ :

$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_6, e_7)$ : $F + G = \R^7$ , interseção $\operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , dimensão $2$ ;
$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_6)$ : interseção de dimensão $3$ ;
$F = \operatorname{Vect}(e_1, e_2, e_3, e_4) \subseteq G$ : dimensão $4$ .

Exercício 19.6 ★★

Seja $H = \{P \in \R_n[X] : P(1) = 0\}$ . Demonstre que $H$ é um hiperplano de $\R_n[X]$ (um subespaço de dimensão $n$ ), exiba uma base de $H$ (pense no teorema do fator: $P = (X-1)Q$ ), e dê uma reta suplementar.

Solução

Solução de Exercício 19.6.

$H$ é um subespaço (o Exercício 18.1 (4), palavra por palavra). Pelo teorema do fator (Teorema 8.7), $P \in H \iff P = (X-1)Q$ com $\deg Q \leq n - 1$ : a aplicação $Q \mapsto (X-1)Q$ é uma bijeção linear de $\R_{n-1}[X]$ sobre $H$ , logo uma base de $H$ é

\bigl((X-1),\ (X-1)X,\ (X-1)X^2,\ \dots,\ (X-1)X^{n-1}\bigr), \qquad \dim H = n .

Uma reta suplementar: $\operatorname{Vect}(1)$ (as constantes). De fato $H \cap \operatorname{Vect}(1) = \{0\}$ (uma constante não nula não se anula em $1$ ) e as dimensões somam $n + 1$ : por Grassmann, $H \oplus \operatorname{Vect}(1) = \R_n[X]$ .

Exercício 19.7 ★★

Sejam $u_1, \dots, u_p$ vetores de posto $r$ . Demonstre que retirar um vetor dá uma família de posto $r$ ou $r - 1$ , e que acrescentar um vetor dá posto $r$ ou $r + 1$ . Deduza que o posto varia no máximo em $1$ sob qualquer inserção ou remoção isolada.

Solução

Solução de Exercício 19.7.

Remoção: retirando $u_p$ , o espaço gerado só pode encolher; e encolhe no máximo uma dimensão, pois recolocar $u_p$ numa base do espaço menor dá uma família geradora do maior com no máximo um vetor a mais. Simetricamente, ao acrescentar um vetor $v$ : o novo espaço gerado contém o antigo com no máximo um gerador a mais, logo a sua dimensão é $r$ (se $v$ já estava no espaço gerado) ou $r + 1$ (caso contrário, pela Proposição 18.19 (2) uma base se estende). Os dois enunciados juntos dão a conclusão “o posto é $1$ -lipschitziano”.

Exercício 19.8 ★★★

Sejam $F_1 \subseteq F_2 \subseteq \dots \subseteq F_k$ subespaços de $E$ ( $\dim E = n$ ) com $F_i \neq F_{i+1}$ para todo $i$ . Demonstre que $k \leq n + 1$ . Deduza que uma cadeia estritamente crescente de subespaços de $\R^n$ tem comprimento no máximo $n + 1$ , e exiba uma de comprimento máximo.

Solução

Solução de Exercício 19.8.

Ao longo de uma cadeia estritamente crescente, as dimensões crescem estritamente ( $F_i \subseteq F_{i+1}$ , $F_i \neq F_{i+1}$ e o Teorema 19.14: a igualdade das dimensões forçaria a igualdade dos espaços). Logo $\dim F_1 < \dim F_2 < \dots < \dim F_k$ é uma sequência estritamente crescente de inteiros em $\intint{0}{n}$ : no máximo $n + 1$ valores, $k \leq n + 1$ . Cadeia maximal em $\R^n$ :

\{0\} \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1) \subsetneq \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \subsetneq \dots \subsetneq \R^n ,

de comprimento exatamente $n + 1$ .

Exercício 19.9 ★★★

Seja $E$ de dimensão $n$ e $F$ , $G$ dois hiperplanos (dimensão $n - 1$ ), $F \neq G$ . Calcule $\dim(F \cap G)$ . Generalize: a interseção de $k$ hiperplanos tem dimensão $\geq n - k$ .

Solução

Solução de Exercício 19.9.

$F + G$ contém estritamente $F$ (pois $G \not\subseteq F$ ), logo $\dim(F + G) = n$ e Grassmann dá $\dim(F \cap G) = (n-1) + (n-1) - n = n - 2$ .

Afirmação geral, por indução sobre $k$ : a interseção $I_k$ de $k$ hiperplanos tem $\dim I_k \geq n - k$ . Verdadeira para $k = 1$ . Passo: $I_{k+1} = I_k \cap H_{k+1}$ , e Grassmann dentro de $E$ :

\dim(I_k \cap H_{k+1}) = \dim I_k + (n - 1) - \dim(I_k + H_{k+1}) \geq \dim I_k + (n-1) - n \geq n - k - 1 . \qedhere

Exercício 19.10 ★★

Seja $E$ o conjunto das sequências reais que satisfazem $u_{n+2} = 3u_{n+1} - 2u_n$ para todo $n$ .

Mostre que $E$ é um subespaço do espaço das sequências, e que uma sequência de $E$ está inteiramente determinada, de modo linear, pelo par $(u_0, u_1)$ ; deduza $\dim E = 2$ .
Verifique que a sequência constante $(1)$ e a sequência geométrica $(2^n)$ estão em $E$ e formam uma base de $E$ .
Encontre a sequência de $E$ com $u_0 = 0$ , $u_1 = 1$ .

Solução

Solução de Exercício 19.10.

A condição $u_{n+2} - 3u_{n+1} + 2u_n = 0$ é linear e satisfeita pela sequência nula: $E$ é um subespaço. Por indução, $u_0$ e $u_1$ determinam todo $u_n$ , e a dependência é linear (cada passo é uma combinação linear dos dois valores anteriores); reciprocamente, todo par $(a, b)$ provém de exatamente uma sequência de $E$ (defina $u_n$ pela recorrência). Como no Exemplo 19.5, $E$ é parametrizado bijetiva e linearmente por $(u_0, u_1) \in \R^2$ : $\dim E = 2$ .
Constantes: $3\cdot1 - 2\cdot1 = 1$ . Geométrica: $3\cdot 2^{n+1} - 2\cdot 2^n = (6 - 2)2^n = 2^{n+2}$ . Ambas estão em $E$ . Liberdade: $a\cdot 1 + b\cdot 2^n = 0$ para todo $n$ dá, em $n = 0$ e $n = 1$ : $a + b = 0$ , $a + 2b = 0$ , logo $a = b = 0$ . Dois vetores livres em dimensão $2$ : uma base (a Proposição 19.8).
Resolva $a + b = 0$ , $a + 2b = 1$ : $b = 1$ , $a = -1$ , logo $u_n = 2^n - 1$ (a sequência de Mersenne).

Exercício 19.11 ★★

Seja $E$ de dimensão $n$ .

Se $F, G$ são subespaços com $\dim F + \dim G > n$ , demonstre que $F \cap G \neq \{0\}$ . Ilustre: dois subespaços de dimensões $51$ e $50$ de $\R^{100}$ sempre partilham um vetor não nulo.
Se $H$ é um hiperplano e $F$ um subespaço com $F \cap H = \{0\}$ , demonstre que $\dim F \leq 1$ .

Solução

Solução de Exercício 19.11.

Grassmann: $\dim(F \cap G) = \dim F + \dim G - \dim(F + G) \geq \dim F + \dim G - n > 0$ , logo $F \cap G \neq \{0\}$ . Com $n = 100$ : $51 + 50 - 100 = 1 > 0$ , e a interseção contém uma reta.
Se $F \cap H = \{0\}$ , a soma é direta e $\dim F + (n - 1) = \dim(F \oplus H) \leq n$ , logo $\dim F \leq 1$ . (Reciprocamente, uma reta não contida em $H$ satisfaz isto: os hiperplanos deixam escapar quase nada.)

Exercício 19.12 ★★★

(Suplementar comum) Sejam $F, G$ subespaços de $E$ (de dimensão finita) com $\dim F = \dim G$ . Demonstre que $F$ e $G$ admitem um suplementar comum: existe um subespaço $S$ com $E = F \oplus S = G \oplus S$ . (Faça indução decrescente sobre $\dim F$ : se $F \neq G \neq E$ , escolha $x \notin F \cup G$ — o Exercício 18.12 o permite — e considere $F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ e $G \oplus \operatorname{Vect}(x)$ .)

Solução

Solução de Exercício 19.12.

Indução decrescente sobre $d = \dim F = \dim G$ , de $d = n$ até $d = 0$ . Se $d = n$ : $F = G = E$ e $S = \{0\}$ serve. Suponha o enunciado válido para pares de subespaços de dimensão $d + 1 \leq n$ , e seja $\dim F = \dim G = d < n$ .

Se $F = G$ : tome para $S$ um suplementar qualquer de $F$ (o Teorema 19.14). Se $F \neq G$ : ambos são próprios, logo pelo Exercício 18.12 existe $x \notin F \cup G$ . As somas $F' = F \oplus \operatorname{Vect}(x)$ e $G' = G \oplus \operatorname{Vect}(x)$ são diretas ( $x \notin F$ , $x \notin G$ ) e têm dimensão $d + 1$ ; pela hipótese de indução elas admitem um suplementar comum $S'$ : $E = F' \oplus S' = G' \oplus S'$ . Ponha $S = \operatorname{Vect}(x) \oplus S'$ — direta, porque $S' \cap \operatorname{Vect}(x) \subseteq S' \cap F' = \{0\}$ .

Então $F + S = F + \operatorname{Vect}(x) + S' = F' + S' = E$ , e $F \cap S = \{0\}$ : se $f = \lambda x + s'$ com $f \in F$ , $s' \in S'$ , então $s' = f - \lambda x \in F' \cap S' = \{0\}$ , logo $f = \lambda x$ , o que força $\lambda = 0$ ( $x \notin F$ ) e $f = 0$ . Logo $E = F \oplus S$ , e simetricamente $E = G \oplus S$ .

19.4 Problema: a lei das torres de Dedekind

Problema 19.1

Nada nos Capítulos 18–19 usou coisa alguma sobre os escalares além dos axiomas de corpo (a Definição 7.22): pode-se portanto tomar $K = \Q$ e medir conjuntos de números reais com a régua da $\Q$ -dimensão. Este problema calcula a dimensão de $\Q(\sqrt2, \sqrt3)$ , demonstra a lei das torres de Dedekind $\dim_\Q M = \dim_\Q K \cdot \dim_K M$ , e colhe teoremas de irracionalidade por pura contagem de dimensões — sem $\varepsilon$ , sem decimais, apenas bases.

Parte I — Escalares racionais.

Verifique que $\Q$ é um corpo e que toda definição e toda demonstração dos Capítulos 18–19 usam apenas os axiomas de corpo dos escalares; conclua que $\R$ é um espaço vetorial sobre $\Q$ e que o lema da troca, os teoremas sobre bases e a fórmula de Grassmann valem sobre $\Q$ . Aponte o único passo da demonstração do Teorema 19.2 em que se efetua uma divisão por um escalar não nulo.
Mostre que $(1, \sqrt2)$ é livre sobre $\Q$ mas linearmente dependente sobre $\R$ . Ponha $\Q(\sqrt2) = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2) = \{a + b\sqrt2 : a, b \in \Q\}$ ; quanto vale $\dim_\Q \Q(\sqrt2)$ ?
Mostre que $\Q(\sqrt2)$ é estável por multiplicação. Para $u = a + b\sqrt2$ ponha $\sigma(u) = a - b\sqrt2$ e $N(u) = u\,\sigma(u) = a^2 - 2b^2$ . Mostre que $\sigma(uv) = \sigma(u)\sigma(v)$ , deduza $N(uv) = N(u)N(v)$ , e mostre que $N(u) \neq 0$ sempre que $u \neq 0$ .
Deduza que todo $u \in \Q(\sqrt2)$ não nulo tem o seu inverso em $\Q(\sqrt2)$ , a saber $u^{-1} = \sigma(u)/N(u)$ : $\Q(\sqrt2)$ é um subcorpo de $\R$ . Calcule $\dfrac1{3 + 2\sqrt2}$ e $\dfrac1{1 + \sqrt2}$ .

Parte II — Adjungindo $\sqrt3$ .

Demonstre que $\sqrt6 \notin \Q$ (compare o expoente de $2$ nos dois lados de $6q^2 = p^2$ , como no Exercício 6.7), e depois que $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$ (eleve $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ ao quadrado e discuta os casos $ab \neq 0$ , $b = 0$ , $a = 0$ ).
Seja $M = \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ . Mostre que $M$ é estável por multiplicação (basta uma tabela dos produtos dos vetores da base).
Escreva $K = \Q(\sqrt2)$ . Mostre que $(1, \sqrt3)$ é livre sobre o corpo $K$ , e deduza que $M = K + K\sqrt3$ é um espaço vetorial sobre $K$ de dimensão $2$ com base $(1, \sqrt3)$ .
Demonstre que $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ é livre sobre $\Q$ , logo $\dim_\Q M = 4$ . (Agrupe uma relação nula como $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ e aplique as questões 7 e depois 2.)

Parte III — A lei das torres. Sejam $\Q \subseteq K \subseteq M \subseteq \R$ , onde $K$ e $M$ são subcorpos, $(e_1, \dots, e_m)$ é uma base de $K$ como espaço vetorial sobre $\Q$ , e $(f_1, \dots, f_n)$ uma base de $M$ como espaço vetorial sobre $K$ .

Mostre que os $mn$ produtos $(e_i f_j)$ geram $M$ sobre $\Q$ .
Mostre que a família $(e_i f_j)$ é livre sobre $\Q$ . (Reorganize uma $\Q$ -combinação nula como $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j$ , cujos coeficientes internos vivem em $K$ .)
Conclua com a lei das torres de Dedekind:

$\dim_\Q M \;=\; \dim_\Q K \,\cdot\, \dim_K M ,$

e verifique-a em $\Q \subseteq \Q(\sqrt2) \subseteq M$ contra as questões 7 e 8.
(Corpos de graça) Seja $A \subseteq \R$ um $\Q$ -subespaço de dimensão finita contendo $1$ e estável por multiplicação, e seja $u \in A$ , $u \neq 0$ . Mostre que se $(a_1, \dots, a_d)$ é uma base de $A$ , então $(u a_1, \dots, u a_d)$ é ainda uma base de $A$ ; deduza que $u$ tem um inverso em $A$ : $A$ é um subcorpo de $\R$ . Que questões anteriores isto recupera?
Mostre que para todo $x \in A$ (como na questão 12, $\dim_\Q A = d$ ) a família $(1, x, x^2, \dots, x^{d})$ é linearmente dependente: todo elemento de $A$ é raiz de um polinômio não nulo com coeficientes racionais, de grau no máximo $d$ .

Parte IV — Um número gera tudo. Ponha $s = \sqrt2 + \sqrt3$ .

Calcule as coordenadas de $s^2$ , $s^3$ e $s^4$ na base $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ de $M$ .
Mostre que $(1, s, s^2, s^3)$ é livre sobre $\Q$ , e deduza $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ : todo elemento de $M$ é um polinômio racional em $s$ . Exprima $\sqrt2$ e $\sqrt3$ como tais polinômios.
Verifique $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ , e mostre que $X^4 - 10X^2 + 1$ é o polinômio mônico de menor grau que se anula em $s$ . Determine as suas quatro raízes reais.
Deduza: $1/s = 10s - s^3$ ; identifique este número. Mostre que $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ ( $a,b,c,d \in \Q$ ) é racional se e somente se $b = c = d = 0$ ; em particular $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ é irracional (o que reforça o Exercício 10.7).

Parte V — A raiz cúbica fica de fora. Ponha $t = 2^{1/3}$ .

Mostre que $X^3 - 2$ não tem raiz racional (o critério da raiz racional do Exercício 8.5, ou uma contagem de valorações); deduza que $(1, t)$ é livre sobre $\Q$ .
Mostre que $(1, t, t^2)$ é livre sobre $\Q$ . (Se algum $P \in \Q[X]$ não nulo de grau $\leq 2$ anula $t$ , tome um de menor grau e divida $X^3 - 2$ por ele, Teorema 8.3; conclua que $X^3 - 2$ teria uma raiz racional.) Deduza que $A = \operatorname{Vect}_\Q(1, t, t^2)$ tem dimensão $3$ , é estável por multiplicação e é um subcorpo de $\R$ .
Demonstre que $t \notin M$ : caso contrário $M$ seria um espaço vetorial sobre o corpo $A$ , e a lei das torres forçaria $3 \mid 4$ . Logo $2^{1/3}$ não é uma combinação racional de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ .
Deduza que $t \notin \Q(\sqrt2)$ , que $t + \sqrt2$ é irracional, e que nenhuns racionais $a, b$ satisfazem $2^{1/3} = a + b\sqrt3$ .

Parte VI — Todos os subcorpos, e síntese.

Demonstre a divisibilidade dos graus: se $\Q \subseteq A \subseteq B \subseteq \R$ são subcorpos com $\dim_\Q B$ finita, então $\dim_\Q A$ divide $\dim_\Q B$ . Quais são as dimensões possíveis dos subcorpos de $M$ ?
Determine todos os subcorpos de $M$ de dimensão $2$ sobre $\Q$ . (Reduza a encontrar os $w = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 \in M \setminus \Q$ com $w^2 \in \Q$ : desenvolva $w^2$ e anule as três coordenadas irracionais.)
Exprima $\dfrac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3}$ na base $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ (multiplique por conjugados bem escolhidos).
Síntese, em quatro frases: por que a $\Q$ -dimensão é um invariante aritmético de um conjunto de reais; o que a finitude da dimensão força sobre cada elemento (questão 13); como a regra dois em três produziu inversos do nada (questão 12); e o que a lei das torres proíbe (questão 20). Nomeie o teorema demonstrado na Parte III.

Solução

Solução de Problema 19.1.

1. $\Q$ contém $0 \neq 1$ , é estável por adição, multiplicação e opostos, e todo racional não nulo tem inverso racional: um corpo (a Definição 7.22). As definições de espaço gerado, liberdade e base e as demonstrações dos Capítulos 18–19 usam apenas a adição de vetores, a distributividade e a aritmética dos escalares num corpo — nunca um valor absoluto, uma ordem ou um limite. Logo $\R$ , com a sua própria adição e a multiplicação $\Q \times \R \to \R$ , é um espaço vetorial sobre $\Q$ , e todos os teoremas se aplicam. A divisão por um escalar ocorre uma única vez na demonstração do Teorema 19.2: para “isolar $g_k$ ” divide-se pelo seu coeficiente não nulo.

2. Se $a + b\sqrt2 = 0$ com $a, b \in \Q$ não ambos nulos: $b \neq 0$ daria $\sqrt2 = -a/b \in \Q$ , contradizendo a irracionalidade de $\sqrt2$ (o Exercício 6.7 com $p = 2$ ); logo $b = 0$ , e então $a = 0$ : livre sobre $\Q$ . Sobre $\R$ a relação $\sqrt2\cdot 1 + (-1)\cdot\sqrt2 = 0$ é não trivial: linearmente dependente. Logo $\dim_\Q \Q(\sqrt2) = 2$ , com coordenadas $(a, b)$ únicas.

3. $(a + b\sqrt2)(c + d\sqrt2) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$ . Então

\sigma(uv) = (ac + 2bd) - (ad + bc)\sqrt2 = (a - b\sqrt2)(c - d\sqrt2) = \sigma(u)\sigma(v),

logo $N(uv) = uv\,\sigma(uv) = u\sigma(u)\,v\sigma(v) = N(u)N(v)$ . Se $N(u) = a^2 - 2b^2 = 0$ com $u \neq 0$ : $b \neq 0$ daria $(a/b)^2 = 2$ , uma raiz quadrada racional de $2$ ; logo $b = 0$ , e então $a = 0$ e $u = 0$ : contradição. Portanto $N(u) \neq 0$ para $u \neq 0$ .

4. $u \cdot \dfrac{\sigma(u)}{N(u)} = \dfrac{N(u)}{N(u)} = 1$ , e $\sigma(u)/N(u) \in \Q(\sqrt2)$ : todo elemento não nulo é invertível dentro de $\Q(\sqrt2)$ , que é portanto um subcorpo de $\R$ . Exemplos: $N(3 + 2\sqrt2) = 9 - 8 = 1$ , logo

\frac1{3 + 2\sqrt2} = 3 - 2\sqrt2 ; \qquad N(1 + \sqrt2) = -1, \quad \frac1{1 + \sqrt2} = \sqrt2 - 1 .

5. Se $\sqrt6 = p/q$ então $6q^2 = p^2$ ; o expoente de $2$ é $1 + 2v_2(q)$ , ímpar, à esquerda, e $2v_2(p)$ , par, à direita: impossível. Agora suponha $\sqrt3 = a + b\sqrt2$ com $a, b \in \Q$ . Elevando ao quadrado: $3 = a^2 + 2b^2 + 2ab\sqrt2$ . Se $ab \neq 0$ , então $\sqrt2 = (3 - a^2 - 2b^2)/(2ab) \in \Q$ : impossível. Se $b = 0$ : $\sqrt3 = a \in \Q$ , contradizendo o Exercício 6.7 ( $p = 3$ ). Se $a = 0$ : $\sqrt3 = b\sqrt2$ , e multiplicando por $\sqrt2$ : $\sqrt6 = 2b \in \Q$ : impossível. Logo $\sqrt3 \notin \Q(\sqrt2)$ .

6. Os produtos dos vetores da base são

\sqrt2\,\sqrt3 = \sqrt6,\quad \sqrt2\,\sqrt6 = 2\sqrt3,\quad \sqrt3\,\sqrt6 = 3\sqrt2,\quad (\sqrt2)^2 = 2,\ (\sqrt3)^2 = 3,\ (\sqrt6)^2 = 6,

todos em $M$ . Um produto de dois elementos de $M$ desenvolve-se por bilinearidade em combinações racionais destes: $M$ é estável por multiplicação.

7. Seja $x + y\sqrt3 = 0$ com $x, y \in K = \Q(\sqrt2)$ . Se $y \neq 0$ , então $\sqrt3 = -x/y \in K$ (questão 4: $K$ é um corpo), contradizendo a questão 5. Logo $y = 0$ , e então $x = 0$ : $(1, \sqrt3)$ é livre sobre $K$ . E gera: $K + K\sqrt3 = \{(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3\} = \operatorname{Vect}_\Q (1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6) = M$ . Logo $\dim_K M = 2$ .

8. Uma relação $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ reagrupa-se como $(a + b\sqrt2) + (c + d\sqrt2)\sqrt3 = 0$ com coeficientes em $K$ ; pela questão 7 ambos se anulam, e pela questão 2 $a = b = 0$ e $c = d = 0$ . Logo a família é livre e $\dim_\Q M = 4$ .

9. Todo $x \in M$ se escreve $x = \sum_j y_j f_j$ com $y_j \in K$ (base de $M$ sobre $K$ ), e cada $y_j = \sum_i \lambda_{ij} e_i$ com $\lambda_{ij} \in \Q$ (base de $K$ sobre $\Q$ ); substituindo, $x = \sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j$ : os produtos geram $M$ sobre $\Q$ .

10. Suponha $\sum_{i,j} \lambda_{ij}\, e_i f_j = 0$ com $\lambda_{ij} \in \Q$ . Reagrupe: $\sum_j \bigl(\sum_i \lambda_{ij} e_i\bigr) f_j = 0$ , e as somas internas pertencem a $K$ . A liberdade de $(f_j)$ sobre $K$ dá $\sum_i \lambda_{ij} e_i = 0$ para cada $j$ ; a liberdade de $(e_i)$ sobre $\Q$ dá então $\lambda_{ij} = 0$ para todos $i, j$ .

11. Pelas questões 9 e 10, $(e_i f_j)_{i \leq m,\, j \leq n}$ é uma base de $M$ sobre $\Q$ com $mn$ elementos:

\dim_\Q M = m\,n = \dim_\Q K \cdot \dim_K M .

Verificação: $\dim_\Q K = 2$ e $\dim_K M = 2$ (questões 2 e 7) dão $\dim_\Q M = 4$ , que é a questão 8.

12. Os vetores $u a_1, \dots, u a_d$ pertencem a $A$ (estabilidade). Eles são livres: se $\sum_i \lambda_i\, u a_i = 0$ , então $u \sum_i \lambda_i a_i = 0$ em $\R$ , e $u \neq 0$ força $\sum_i \lambda_i a_i = 0$ , donde $\lambda_i = 0$ (os $a_i$ formam uma base). Logo $(u a_1, \dots, u a_d)$ é uma família livre de $d$ vetores em $A$ , $\dim_\Q A = d$ : uma base (a Proposição 19.8). Em particular, $1 \in A$ decompõe-se como $1 = \sum_i \mu_i\, u a_i = u\,v$ com $v = \sum_i \mu_i a_i \in A$ : o inverso de $u$ está em $A$ . Isto recupera a questão 4 ( $A = \Q(\sqrt2)$ ) e demonstra de uma só vez que $M$ é um subcorpo de $\R$ (com a questão 6).

13. Os $d + 1$ vetores $1, x, x^2, \dots, x^{d}$ estão todos em $A$ (estabilidade por produtos); uma família livre de $A$ tem no máximo $d$ vetores (a Proposição 19.8), logo eles são linearmente dependentes: existem racionais $\lambda_0, \dots, \lambda_d$ , não todos nulos, com $\sum_k \lambda_k x^k = 0$ . O polinômio $P = \sum_k \lambda_k X^k$ é não nulo, tem coeficientes racionais, grau $\leq d$ , e $P(x) = 0$ .

14. $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ : coordenadas $(5, 0, 0, 2)$ . Então

s^3 = s\,s^2 = (\sqrt2 + \sqrt3)(5 + 2\sqrt6) = 5\sqrt2 + 2\sqrt{12} + 5\sqrt3 + 2\sqrt{18} = 11\sqrt2 + 9\sqrt3 ,

coordenadas $(0, 11, 9, 0)$ (usando $\sqrt{12} = 2\sqrt3$ , $\sqrt{18} = 3\sqrt2$ ). Por fim $s^4 = (s^2)^2 = 25 + 20\sqrt6 + 24 = 49 + 20\sqrt6$ : coordenadas $(49, 0, 0, 20)$ .

15. Suponha $a + bs + cs^2 + ds^3 = 0$ . Lendo as quatro coordenadas em $(1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6)$ :

a + 5c = 0,\qquad b + 11d = 0,\qquad b + 9d = 0,\qquad 2c = 0 .

Logo $c = 0$ , e então $a = 0$ ; subtraindo as equações do meio, $2d = 0$ , e então $b = 0$ : $(1, s, s^2, s^3)$ é livre. Quatro vetores livres em $M$ , de dimensão $4$ : uma base, logo $\operatorname{Vect}_\Q(1, s, s^2, s^3) = M$ . Da questão 14, $s^3 - 9s = 2\sqrt2$ e $11s - s^3 = 2\sqrt3$ :

\sqrt2 = \frac{s^3 - 9s}{2}, \qquad \sqrt3 = \frac{11s - s^3}{2} .

16. $s^4 - 10s^2 + 1 = (49 + 20\sqrt6) - 10(5 + 2\sqrt6) + 1 = 0$ . Um polinômio mônico de grau $\leq 3$ que se anulasse em $s$ produziria uma combinação nula não trivial de $(1, s, s^2, s^3)$ , contradizendo a questão 15: $X^4 - 10X^2 + 1$ tem grau mínimo. As suas raízes: $X^2 = 5 \pm 2\sqrt6 = (\sqrt3 \pm \sqrt2)^2$ , logo as quatro raízes reais são $\pm(\sqrt3 + \sqrt2)$ e $\pm(\sqrt3 - \sqrt2)$ , isto é, $\pm\sqrt2 \pm \sqrt3$ .

17. De $s^4 - 10s^2 + 1 = 0$ : $s\,(10s - s^3) = 1$ , logo

\frac1s = 10s - s^3 = 10(\sqrt2 + \sqrt3) - (11\sqrt2 + 9\sqrt3) = \sqrt3 - \sqrt2 ,

coerente com $(\sqrt3 + \sqrt2)(\sqrt3 - \sqrt2) = 1$ . Se $a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = r \in \Q$ , então $(a - r) + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6 = 0$ , e a liberdade (questão 8) força $b = c = d = 0$ (e $a = r$ ). Para $\sqrt2 + \sqrt3 + \sqrt6$ , as coordenadas $(0, 1, 1, 1)$ não são dessa forma: irracional — um enunciado mais forte do que o Exercício 10.7, obtido sem nenhum truque de elevar ao quadrado.

18. Uma raiz racional $p/q$ (em forma irredutível) de $X^3 - 2$ satisfaz $p^3 = 2q^3$ , e o critério do Exercício 8.5 dá $p \mid 2$ , $q \mid 1$ : candidatos $\pm1, \pm2$ , cujos cubos são $\pm1, \pm8 \neq 2$ . Nenhuma raiz racional; em particular $t = 2^{1/3} \notin \Q$ , logo $(1, t)$ é livre sobre $\Q$ (como na questão 2).

19. Suponha $(1, t, t^2)$ linearmente dependente: algum $P \in \Q[X]$ não nulo com $\deg P \leq 2$ tem $P(t) = 0$ ; escolha um tal $P$ de grau mínimo $d \geq 1$ . Pela questão 18, $d \neq 1$ , logo $d = 2$ . Divisão euclidiana (Teorema 8.3): $X^3 - 2 = PQ + R$ com $Q, R \in \Q[X]$ , $\deg R < 2$ . Avaliando em $t$ : $0 = P(t)Q(t) + R(t) = R(t)$ , logo $R$ se anula em $t$ ; a minimalidade de $d$ força $R = 0$ . Então $X^3 - 2 = PQ$ com $\deg Q = 1$ : a raiz racional de $Q$ é uma raiz racional de $X^3 - 2$ , contradizendo a questão 18. Logo $(1, t, t^2)$ é livre e $\dim_\Q A = 3$ . Estabilidade: $t^3 = 2$ reduz todo produto de $1, t, t^2$ a uma combinação deles ( $t\cdot t^2 = 2$ , $t^2\cdot t^2 = 2t$ ); $A$ contém $1$ : pela questão 12, $A$ é um subcorpo de $\R$ .

20. Suponha $t \in M$ . Então $t^2 \in M$ (estabilidade), logo $A \subseteq M$ , e $M$ é um espaço vetorial sobre o corpo $A$ : os axiomas são os da aritmética de $\R$ , restrita. Ele tem dimensão finita sobre $A$ (uma família $\Q$ -geradora finita gera a fortiori sobre $A \supseteq \Q$ ). A lei das torres para $\Q \subseteq A \subseteq M$ dá

4 = \dim_\Q M = \dim_\Q A \cdot \dim_A M = 3\,\dim_A M ,

impossível: $3$ não divide $4$ . Logo $2^{1/3} \notin M$ : nenhuma combinação racional de $1, \sqrt2, \sqrt3, \sqrt6$ é igual a $2^{1/3}$ .

21. $\Q(\sqrt2) \subseteq M$ , logo $t \notin \Q(\sqrt2)$ . Se $t + \sqrt2 = r \in \Q$ , então $t = r - \sqrt2 \in \Q(\sqrt2)$ : contradição — $2^{1/3} + \sqrt2$ é irracional. Se $t = a + b\sqrt3$ , então $t \in \operatorname{Vect}_\Q(1, \sqrt3) \subseteq M$ : contradição de novo.

22. $B$ é um espaço vetorial sobre o corpo $A$ (restrição dos escalares), de dimensão finita já que $\dim_\Q B$ é finita. A lei das torres para $\Q \subseteq A \subseteq B$ dá $\dim_\Q B = \dim_\Q A \cdot \dim_A B$ : o fator da esquerda divide. Os subcorpos de $M$ têm portanto $\Q$ -dimensão $1$ , $2$ ou $4$ : a dimensão $1$ é o próprio $\Q$ , e a dimensão $4$ é $M$ .

23. Seja $F \subseteq M$ um subcorpo com $\dim_\Q F = 2$ , e $w \in F \setminus \Q$ : $(1, w)$ é livre, logo uma base de $F$ . Pela questão 13 ( $d = 2$ ), $w^2 = \alpha + \beta w$ para racionais $\alpha, \beta$ . Pondo $v = w - \beta/2 \in F \setminus \Q$ :

v^2 = w^2 - \beta w + \frac{\beta^2}4 = \alpha + \frac{\beta^2}4 \;\in\; \Q,

e $F = \operatorname{Vect}(1, v)$ . Escreva agora $v = a + b\sqrt2 + c\sqrt3 + d\sqrt6$ e desenvolva:

v^2 = (a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2) + (2ab + 6cd)\sqrt2 + (2ac + 4bd)\sqrt3 + (2ad + 2bc)\sqrt6 .

As três coordenadas irracionais se anulam: $ab + 3cd = ac + 2bd = ad + bc = 0$ . Se $a \neq 0$ : $b = -3cd/a$ , e a segunda condição torna-se $c(a^2 - 6d^2) = 0$ ; como $a^2 = 6d^2$ com $d \neq 0$ tornaria $\sqrt6 = \abs{a/d}$ racional, ou $c = 0$ ou $d = 0$ , e nos dois casos as condições restantes forçam $b = c = d = 0$ , isto é, $v \in \Q$ : excluído. Logo $a = 0$ , e as condições leem-se $3cd = 2bd = bc = 0$ : no máximo um dentre $b, c, d$ é não nulo. Portanto $v$ é um múltiplo racional de $\sqrt2$ , $\sqrt3$ ou $\sqrt6$ , e

F \in \bigl\{\Q(\sqrt2),\ \Q(\sqrt3),\ \Q(\sqrt6)\bigr\} ,

cada um dos quais é de fato um subcorpo de dimensão $2$ (estabilidade como na questão 6, inversos pela questão 12): exatamente três subcorpos quadráticos.

24. $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(1 + \sqrt2 - \sqrt3) = (1 + \sqrt2)^2 - 3 = 2\sqrt2$ , logo

\frac1{1 + \sqrt2 + \sqrt3} = \frac{1 + \sqrt2 - \sqrt3}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt2 + 2 - \sqrt6}{4} = \frac12 + \frac14\sqrt2 + 0\cdot\sqrt3 - \frac14\sqrt6 .

(Verificação: $(1 + \sqrt2 + \sqrt3)(2 + \sqrt2 - \sqrt6) = 4$ após o desenvolvimento.)

25. (i) A $\Q$ -dimensão associa um inteiro a cada subcorpo de $\R$ , e a lei das torres faz esses inteiros multiplicarem-se ao longo das inclusões: a dimensão comporta-se como um invariante aritmético, e as restrições de divisibilidade tornam-se demonstrações de impossibilidade. (ii) A dimensão finita força todo elemento a satisfazer uma equação polinomial racional não nula de grau no máximo igual à dimensão: finitude significa algebricidade. (iii) A regra dois em três transformou “a multiplicação por $u$ leva uma base numa família livre de tamanho máximo” em sobrejetividade, produzindo $u^{-1}$ sem nenhuma fórmula: os inversos vieram da contagem. (iv) A lei das torres proíbe um corpo de dimensão $3$ dentro de um de dimensão $4$ , e é por isso que $2^{1/3}$ não pode ser alcançado a partir de $\sqrt2$ e $\sqrt3$ . O teorema da Parte III é a lei das torres de Dedekind, o lance de abertura da teoria de Galois, desenvolvida no volume do terceiro ano de graduação.