O que é forma quadrática? — Matemática

Definição 12.1 Matemática universitária — Graduação 2 · 第 12 章 — Formas quadráticas

Uma forma bilinear simétrica num espaço vetorial real $E$ é uma aplicação bilinear $\varphi \colon E \times E \to \R$ com $\varphi(x, y) = \varphi(y, x)$ ; a forma quadrática associada é $q(x) = \varphi(x, x)$ . A forma $\varphi$ é recuperada a partir de $q$ por polarização:

\varphi(x, y) = \tfrac12\bigl(q(x + y) - q(x) - q(y)\bigr).

Numa base $(e_i)$ , a matriz de $\varphi$ é a matriz simétrica $B = (\varphi(e_i, e_j))$ , com $q(x) = X^{\mathsf T} B X$ ; uma mudança de base de matriz $P$ substitui $B$ por $P^{\mathsf T} B P$ (congruência — não semelhança!). O posto de $q$ é $\operatorname{rk} B$ (invariante: a congruência multiplica por matrizes invertíveis).

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Exemplo 12.3 (Congruência em ação)

Tome $q(x, y) = x^2 + 4xy + y^2$ (matriz $B = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix}$ ) e a nova base $e_1' = (1, 1)$ , $e_2' = (1, -1)$ , isto é, $P = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$ . Então

P^{\mathsf T}BP = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 0\\ 0 & -2\end{pmatrix} :

nas coordenadas $(u, v)$ ao longo da nova base, $q = 6u^2 - 2v^2$ — confira: $x = u + v$ , $y = u - v$ dá $x^2 + 4xy + y^2 = 6u^2 - 2v^2$ diretamente. Note que as novas entradas diagonais $6, -2$ não são os autovalores $3, -1$ de $B$ : a congruência reescala, só a semelhança preserva espectros — mas os sinais coincidem, como exige o teorema de Sylvester. (A base aqui é ortogonal mas não ortonormal; normalizá-la por $\frac{1}{\sqrt2}$ dividiria a diagonal por $2$ e recuperaria os autovalores.)

Exemplo 12.4 (Determinantes de Gram medem área)

Para $v_1, v_2$ num espaço euclidiano, a matriz de Gram $G = \bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ empacota comprimentos e ângulo; seu determinante empacota a área:

\det G = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2 - \langle v_1, v_2\rangle^2 = \norm{v_1}^2\norm{v_2}^2\bigl(1 - \cos^2\theta\bigr) = \bigl(\norm{v_1}\,\norm{v_2}\sin\theta\bigr)^2 ,

o quadrado da área do paralelogramo sobre $v_1, v_2$ — e Cauchy–Schwarz é exatamente a afirmação $\det G \geq 0$ . Instância trabalhada: $v_1 = (1, 2, 2)$ , $v_2 = (2, 1, -2)$ em $\R^3$ :

G = \begin{pmatrix} 9 & 0\\ 0 & 9 \end{pmatrix}, \qquad \det G = 81 :

os vetores são ortogonais de comprimento $3$ , gerando um paralelogramo (aqui, um quadrado) de área $\sqrt{81} = 9$ . Lição final: nenhum produto vetorial e nenhuma mágica da dimensão $3$ foram usados — $\sqrt{\det G}$ mede volume $k$ -dimensional em qualquer dimensão, o ponto de partida da Parte I do problema de fim de semana e das integrais de área de superfície mais adiante neste volume.

Exemplo 12.16

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix}$ : autovalores $3$ (autovetor $\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$ ) e $1$ ( $\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ ). A forma quadrática $2x^2 + 2xy + 2y^2$ torna-se $3X^2 + Y^2$ no referencial ortonormal girado: os eixos principais de uma elipse, calculados. A redução de Gauss também chega a uma forma diagonal, mas só o teorema espectral chega a ela sem distorcer comprimentos.

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