O que é autovalor? — Matemática

Definição 3.1 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 3 — Redução de endomorfismos

$\lambda \in K$ é um autovalor de $u$ quando $u(x) = \lambda x$ para algum $x \neq 0$ (um autovetor); o autoespaço é $E_\lambda(u) = \ker(u - \lambda\,\mathrm{id})$ . O conjunto dos autovalores é o espectro $\operatorname{Sp}(u)$ . Um subespaço $F$ é estável quando $u(F) \subseteq F$ ; os autoespaços são estáveis, e os subespaços estáveis permitem endomorfismos induzidos $u|_F$ .

A matriz A = psmallmatrix2 & 1\\ 1 & 2 psmallmatrix agindo no plano: o vetor genérico e_1 é tirado de sua reta, mas as direções próprias v_1 = (1,1) e v_2 = (1,-1) são apenas esticadas — por 3 e por 1 (de modo que Av_2 = v_2: a imagem tracejada coincide com v_2). A diagonalização é a mudança para a base (v_1, v_2), na qual A se torna diag(3, 1). — A matriz $A = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ agindo no plano: o vetor genérico $e_1$ é tirado de sua reta, mas as direções próprias $v_1 = (1,1)$ e $v_2 = (1,-1)$ são apenas esticadas — por $3$ e por $1$ (de modo que $Av_2 = v_2$ : a imagem tracejada coincide com $v_2$ ). A diagonalização é a mudança para a base $(v_1, v_2)$ , na qual $A$ se torna $\operatorname{diag}(3, 1)$ .

Exemplos

Exemplo 3.4 (Mesmo $\chi$ , geometria diferente)

As matrizes

\begin{pmatrix}2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{pmatrix}

têm o mesmo polinômio característico $(X - 2)^2$ , o mesmo traço, o mesmo determinante, o mesmo espectro — e no entanto não são semelhantes: a primeira tem $E_2$ de dimensão $2$ (multiplicidade geométrica $2$ ), a segunda de dimensão $1$ . O polinômio característico enxerga apenas multiplicidades algébricas; as dimensões dos autoespaços são o invariante mais fino, e o polinômio minimal arbitra ( $X - 2$ contra $(X - 2)^2$ ). Moral para toda discussão de diagonalizabilidade: $\chi$ seleciona os candidatos, mas são os núcleos que depositam os votos.

Exemplo 3.8 (A diagonalização posta a trabalhar)

$A = I + J = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2\end{smallmatrix}\right)$ , com $J$ a matriz de uns: de $\operatorname{Sp}(J) = \{3, 0\}$ (Exemplo 2.19), $\operatorname{Sp}(A) = \{4, 1\}$ , com autoespaços $\R(1,1,1)$ e o plano $\{x + y + z = 0\}$ : dimensões $1 + 2 = 3$ , diagonalizável (Teorema 3.6 (2)). Potências sem nenhuma matriz de mudança de base: com $\Pi = J/3$ o projetor sobre $\R(1,1,1)$ ,

A = 4\,\Pi + 1\cdot(I - \Pi) \quad\Longrightarrow\quad A^k = 4^k\,\Pi + (I - \Pi) = \frac{4^k - 1}{3}\,J + I .

(Confira $k = 1$ : $\frac{4-1}3 J + I = A$ .) A lição final: quando os autoespaços estão visíveis, os projetores espectrais calculam potências mais depressa do que $PDP^{-1}$ jamais fará — e a fórmula exibe a dinâmica: $A^k$ cresce como $4^k$ ao longo de $(1,1,1)$ e fica parado no plano ortogonal.

Exemplo 3.10 (Triangularizando à mão)

$B = \begin{pmatrix}3 & -1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ : $\chi_B = X^2 - 4X + 4 = (X - 2)^2$ , e $\ker(B - 2I) = \ker\left(\begin{smallmatrix}1 & -1\\ 1 & -1\end{smallmatrix}\right)$ é a reta gerada por $e_1' = (1, 1)$ : um único autovalor, um autoespaço de dimensão um — não diagonalizável, mas triangularizável (Teorema 3.9). Complete a base com $e_2' = (1, 0)$ e calcule:

u(e_1') = (2, 2) = 2e_1', \qquad u(e_2') = (3, 1) = 1\cdot e_1' + 2\, e_2' ,

de modo que, na base $(e_1', e_2')$ , a matriz é $T = \left(\begin{smallmatrix}2 & 1\\ 0 & 2\end{smallmatrix}\right)$ . A lição final: a diagonal de $T$ estava forçada (as duas entradas têm de ser o autovalor duplo $2$ ); só a entrada do canto dependia da escolha de $e_2'$ , e reescalar $e_2'$ pode torná-la qualquer valor não nulo — o resistente “ $1$ ” é a sombra da parte nilpotente que Dunford vai isolar.

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