O que é fração racional?

Exemplo 9.2 (Lendo polos, ordens e grau)

Seja $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$. Fatore as duas camadas: o numerador, $X(X-1)(X+1)$, e o denominador, $X^2(X-1)^2$; cancele o fator comum $X(X-1)$:

Polos: $0$ e $1$, ambos simples — as ordens são lidas no denominador reduzido, de modo que as aparentes raízes duplas do original são irrelevantes. Grau: $\deg F = 1 - 2 = -1$, visível assintoticamente ($xF(x) \to 1$ quando $x \to \infty$). O grau se comporta como o grau polinomial ($\deg FG = \deg F + \deg G$, $\deg(F + G) \leq \max$), regra de escrituração usada constantemente nas caças a coeficientes abaixo: cada argumento do tipo “limite de $xF(x)$” é uma contagem de graus disfarçada.

Exemplo 9.4 (Reduza primeiro, divida depois)

Encontre a parte inteira de $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$. Dividindo às cegas: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$, de modo que $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$. Mas a fração não estava reduzida: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ e $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ partilham o fator $X + 1$, e

a mesma parte inteira $X$, mas a parte fracionária colapsa num único tijolo, e o “polo” em $-1$ nunca foi polo algum. Reduza sempre à forma irredutível antes de caçar polos: os polos de $F$ são as raízes do denominador reduzido. (A parte inteira é insensível à simplificação, como a unicidade da Proposição 9.3 garante.)

Exemplo 9.8

Decomponha $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$. Três polos simples; multiplicação-avaliação em cada um:

de modo que $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$. Verificação em $X = 3$: diretamente, $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$; pela decomposição, $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$.