Wat is rationale breuk? — Wiskunde

Definitie 9.1 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 9 — Rationale breuken

Een rationale breuk over $K$ ( $= \R$ of $\C$ ) is een quotiënt $F = \frac{A}{B}$ met $A, B \in K[X]$ en $B \neq 0$ ; twee quotiënten $\frac AB$ en $\frac{A'}{B'}$ worden vereenzelvigd wanneer $AB' = A'B$ . Elke breuk heeft een onvereenvoudigbare vorm met $\gcd(A, B) = 1$ , uniek op constanten na. Met de natuurlijke bewerkingen is de verzameling $K(X)$ van de rationale breuken een lichaam.

De polen van $F$ (in onvereenvoudigbare vorm) zijn de wortels van $B$ ; de orde van een pool is haar multipliciteit als wortel van $B$ . De graad van $F$ is $\deg F = \deg A - \deg B \in \Z \cup \{-\infty\}$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 9.2 (Polen, ordes en graad aflezen)

Zij $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$ . Ontbind beide lagen: teller $X(X-1)(X+1)$ , noemer $X^2(X-1)^2$ ; schrap de gemeenschappelijke factor $X(X-1)$ :

F = \frac{X + 1}{X(X - 1)} \quad\text{(onvereenvoudigbare vorm).}

Polen: $0$ en $1$ , beide enkelvoudig — de ordes lees je op de onvereenvoudigde noemer af, zodat de schijnbare dubbele wortels van de oorspronkelijke noemer er niet toe doen. Graad: $\deg F = 1 - 2 = -1$ , asymptotisch zichtbaar ( $xF(x) \to 1$ als $x \to \infty$ ). De graad gedraagt zich als de graad van een veelterm ( $\deg FG = \deg F + \deg G$ , $\deg(F + G) \leq \max$ ), een boekhoudregel die hieronder voortdurend bij de jacht op coëfficiënten gebruikt wordt: elk argument met “de limiet van $xF(x)$ ” is een vermomde graadtelling.

Voorbeeld 9.4 (Eerst vereenvoudigen, dan delen)

Bepaal het gehele deel van $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$ . Blind delen: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$ , dus $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$ . Maar de breuk was niet onvereenvoudigbaar: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ en $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ delen de factor $X + 1$ , en

F = \frac{X^2 - X + 1}{X - 1} = X + \frac{1}{X - 1} :

hetzelfde gehele deel $X$ , maar het breukdeel stort in tot één enkele bouwsteen, en de “pool” in $-1$ was nooit een pool. Vereenvoudig altijd eerst tot de onvereenvoudigbare vorm vóór je op polen jaagt: de polen van $F$ zijn de wortels van de onvereenvoudigde noemer. (Het gehele deel is ongevoelig voor die vereenvoudiging, zoals de uniciteit in Propositie 9.3 waarborgt.)

Voorbeeld 9.8

Splits $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$ . Drie enkelvoudige polen; afdekken in elk ervan:

c_0 = \frac{1}{(0-1)(0-2)} = \frac12, \quad c_1 = \frac{1}{1 \times (1 - 2)} = -1, \quad c_2 = \frac{1}{2 \times 1} = \frac12,

zodat $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$ . Controle in $X = 3$ : rechtstreeks is $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$ ; uit de splitsing $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$ .

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen