परिमेय भिन्न क्या है?

उदाहरण 9.2 (ध्रुव, कोटियाँ और घात पढ़ना)

मान लीजिए $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$। दोनों परतों का गुणनखंडन कीजिए: अंश $X(X-1)(X+1)$, हर $X^2(X-1)^2$; उभयनिष्ठ गुणनखंड $X(X-1)$ काटिए:

ध्रुव: $0$ और $1$, दोनों सरल — कोटियाँ लघुकृत हर पर पढ़ी जाती हैं, अतः मूल हर के प्रत्यक्ष द्विक मूल निरर्थक हैं। घात: $\deg F = 1 - 2 = -1$, जो अनंतस्पर्शी रूप से दिखाई देती है ($x \to \infty$ होने पर $xF(x) \to 1$)। घात बहुपद की घात की भाँति व्यवहार करती है ($\deg FG = \deg F + \deg G$, $\deg(F + G) \leq \max$), और यह लेखा-नियम नीचे गुणांक की खोज में लगातार प्रयुक्त होता है: “$xF(x)$ की सीमा” वाला हर तर्क वेश बदली हुई घात-गणना है।

उदाहरण 9.4 (पहले लघु कीजिए, फिर भाग दीजिए)

$F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$ का पूर्णांक भाग खोजिए। आँख मूँदकर भाग देने पर: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$, अतः $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$। पर भिन्न लघुकृत नहीं थी: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ और $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ में गुणनखंड $X + 1$ साझा है, और

पूर्णांक भाग वही $X$ है, पर भिन्नात्मक भाग सिमटकर एक ही ईंट रह जाता है, और $-1$ पर का “ध्रुव” कभी ध्रुव था ही नहीं। ध्रुव खोजने से पहले सदा न्यूनतम पदों तक लघु कीजिए: $F$ के ध्रुव लघुकृत हर के मूल हैं। (पूर्णांक भाग सरलीकरण से अप्रभावित रहता है, जैसा प्रतिज्ञप्ति 9.3 की अद्वितीयता गारंटी देती है।)

उदाहरण 9.8

$F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$ का वियोजन कीजिए। तीन सरल ध्रुव; हर एक पर आवरण विधि:

अतः $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$। $X = 3$ पर जाँच: सीधे $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$; वियोजन से $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$।