Apa itu pecahan rasional?

Contoh 9.2 (Membaca kutub, orde dan derajatnya)

Misalkan $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$. Faktorkan kedua lapisnya: pembilangnya $X(X-1)(X+1)$, penyebutnya $X^2(X-1)^2$; lalu coret faktor persekutuannya $X(X-1)$:

Kutubnya: $0$ dan $1$, keduanya sederhana — ordenya terbaca pada penyebut yang sudah disederhanakan, sehingga akar ganda yang tampak pada penyebut aslinya tidak relevan. Derajatnya: $\deg F = 1 - 2 = -1$, yang terlihat secara asimtotik ($xF(x) \to 1$ ketika $x \to \infty$). Adapun derajatnya berperilaku seperti derajat polinomial ($\deg FG = \deg F + \deg G$, $\deg(F + G) \leq \max$), yaitu kaidah pembukuan yang dipakai terus-menerus pada perburuan koefisien di bawah: setiap argumen “limit $xF(x)$” sesungguhnya cacahan derajat yang menyamar.

Contoh 9.4 (Sederhanakan dulu, baru bagi)

Carilah bagian bulat $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$. Dengan membagi secara membabi buta: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$, jadi $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$. Tetapi pecahannya belum disederhanakan: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ dan $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ berbagi faktor $X + 1$, sehingga

bagian bulatnya tetap sama, yaitu $X$, tetapi bagian pecahannya runtuh menjadi satu bata saja, dan “kutub” di $-1$ sesungguhnya tak pernah menjadi kutub. Sederhanakanlah selalu sampai bentuk yang terkecil sebelum berburu kutub: karena kutub $F$ adalah akar penyebut yang sudah disederhanakan. (Adapun bagian bulatnya tak peka terhadap penyederhanaan itu, sebagaimana dijamin ketunggalan pada Proposisi 9.3.)

Contoh 9.8

Uraikan $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$. Ada tiga kutub sederhana; lakukan penutupan pada masing-masingnya:

jadi $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$. Periksa di $X = 3$: secara langsung, $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$; sedangkan dari penguraiannya, $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$.