¿Qué es fracción racional?

Ejemplo 9.2 (Leer polos, órdenes y grado)

Sea $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$. Factorícense las dos capas: numerador $X(X-1)(X+1)$, denominador $X^2(X-1)^2$; cancélese el factor común $X(X-1)$:

Polos: $0$ y $1$, los dos simples — los órdenes se leen en el denominador reducido, así que las aparentes raíces dobles del original son irrelevantes. Grado: $\deg F = 1 - 2 = -1$, visible asintóticamente ($xF(x) \to 1$ cuando $x \to \infty$). El grado se comporta como el grado polinómico ($\deg FG = \deg F + \deg G$, $\deg(F + G) \leq \max$), regla contable que se usa constantemente en las cazas de coeficientes de más abajo: cada argumento del tipo «límite de $xF(x)$» es un recuento de grados disfrazado.

Ejemplo 9.4 (Redúzcase primero, divídase después)

Hállese la parte entera de $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$. Dividiendo a ciegas: $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$, luego $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$. Pero la fracción no era irreducible: $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ y $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ comparten el factor $X + 1$, y

la misma parte entera $X$, pero la parte fraccionaria se reduce a un único ladrillo, y el «polo» en $-1$ nunca fue un polo. Redúzcase siempre a forma irreducible antes de cazar polos: los polos de $F$ son las raíces del denominador reducido. (La parte entera es insensible a la simplificación, como garantiza la unicidad de la Proposición 9.3.)

Ejemplo 9.8

Descompóngase $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$. Tres polos simples; tapado en cada uno:

luego $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$. Comprobación en $X = 3$: directamente, $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$; y con la descomposición, $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$.