Qu'est-ce que « fraction rationnelle » ?

Exemple 9.2 (Lire les pôles, les ordres et le degré)

Soit $F = \dfrac{X^3 - X}{X^4 - 2X^3 + X^2}$. Factorisons les deux étages : numérateur $X(X-1)(X+1)$, dénominateur $X^2(X-1)^2$ ; on simplifie par le facteur commun $X(X-1)$ :

Pôles : $0$ et $1$, tous deux simples — les ordres se lisent sur le dénominateur irréductible, si bien que les racines doubles apparentes du dénominateur initial n’ont aucune importance. Degré : $\deg F = 1 - 2 = -1$, visible asymptotiquement ($xF(x) \to 1$ quand $x \to \infty$). Le degré se comporte comme le degré polynomial ($\deg FG = \deg F + \deg G$, $\deg(F + G) \leq \max$), règle de comptabilité utilisée constamment dans les chasses aux coefficients ci-dessous : chaque argument « limite de $xF(x)$ » est un comptage de degrés déguisé.

Exemple 9.4 (Simplifier d’abord, diviser ensuite)

Cherchons la partie entière de $F = \dfrac{X^3 + 1}{X^2 - 1}$. En divisant à l’aveugle : $X^3 + 1 = (X^2 - 1)X + (X + 1)$, donc $F = X + \frac{X + 1}{X^2 - 1}$. Mais la fraction n’était pas irréductible : $X^3 + 1 = (X + 1)(X^2 - X + 1)$ et $X^2 - 1 = (X+1)(X-1)$ ont en commun le facteur $X + 1$, et

la même partie entière $X$, mais la partie fractionnaire se réduit à une seule brique, et le « pôle » en $-1$ n’a jamais été un pôle. Toujours réduire à la forme irréductible avant de chasser les pôles : les pôles de $F$ sont les racines du dénominateur irréductible. (La partie entière est insensible à la simplification, comme le garantit l’unicité de la Proposition 9.3.)

Exemple 9.8

Décomposons $F = \dfrac{1}{X(X-1)(X-2)}$. Trois pôles simples ; multiplication-évaluation en chacun :

donc $F = \dfrac{1/2}{X} - \dfrac{1}{X-1} + \dfrac{1/2}{X-2}$. Vérification en $X = 3$ : directement, $F(3) = \frac{1}{3\cdot2\cdot1} = \frac16$ ; par la décomposition, $\frac{1/2}{3} - \frac{1}{2} + \frac{1/2}{1} = \frac16 - \frac12 + \frac12 = \frac16$.