Matemática universitária — Graduação 3 · स्नातक वर्ष 3

9Teoria da medida

Qual é o comprimento de um subconjunto de $\R$ ? A resposta ingênua — atribuir a todo conjunto um comprimento invariante por translação que estenda o dos intervalos — é impossível: a construção de Vitali, no fim deste capítulo, produz um conjunto sem comprimento coerente. A teoria da medida é a retirada disciplinada: restringimos a atenção a uma classe rica de conjuntos mensuráveis, sobre a qual existe, e é única, uma noção de comprimento enumeravelmente aditiva. As recompensas são imensas — a integral de Lebesgue (Capítulo 10), os espaços $L^p$ da análise funcional e toda a probabilidade moderna (Capítulo 22) assentam-se sobre os três teoremas aqui demonstrados: o lema de unicidade de Dynkin, o teorema de extensão de Carathéodory e a existência da medida de Lebesgue.

9.1 $\sigma$ -álgebras

Definição 9.1

Uma $\sigma$ -álgebra sobre um conjunto $X$ é uma família $\mathcal A$ de subconjuntos que contém $\varnothing$ e é estável por complementação e por reuniões enumeráveis (logo, por interseções enumeráveis e por diferenças de conjuntos, e contém $X$ ). O par $(X, \mathcal A)$ é um espaço mensurável; os membros de $\mathcal A$ são os conjuntos mensuráveis. Para uma família $\mathcal E$ de subconjuntos, $\sigma(\mathcal E)$ denota a menor $\sigma$ -álgebra que contém $\mathcal E$ (a interseção de todas elas — uma interseção de $\sigma$ -álgebras também o é).

Definição 9.2

A $\sigma$ -álgebra de Borel de um espaço topológico é $\mathcal B(X) = \sigma(\{\text{abertos}\})$ . Em $\R$ : $\mathcal B(\R)$ é gerada também pelos intervalos abertos, pelos intervalos fechados, pelas semirretas $(-\infty, a]$ e pelas semirretas com extremidades racionais (Exercício 9.1) — cada família gera os abertos por operações enumeráveis; por exemplo, todo aberto de $\R$ é uma reunião enumerável de intervalos abertos com dados racionais.

Definição 9.3

Um $\pi$ -sistema é uma família estável por interseções finitas. Um $\lambda$ -sistema (classe de Dynkin) é uma família $\mathcal D$ com: $X \in \mathcal D$ ; $A, B \in \mathcal D$ , $A \subseteq B$ $\Rightarrow$ $B \setminus A \in \mathcal D$ ; e $A_n \uparrow A$ , $A_n \in \mathcal D$ $\Rightarrow$ $A \in \mathcal D$ .

Teorema 9.4 (Lema $\pi$ – $\lambda$ de Dynkin)

Se um $\lambda$ -sistema $\mathcal D$ contém um $\pi$ -sistema $\mathcal P$ , então $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$ .

Demonstração. Seja $\mathcal D_0$ o menor $\lambda$ -sistema que contém $\mathcal P$ (interseção de todos eles); basta mostrar que $\mathcal D_0$ é uma $\sigma$ -álgebra, pois então $\sigma(\mathcal P) \subseteq \mathcal D_0 \subseteq \mathcal D$ . Um $\lambda$ -sistema estável por interseções finitas é uma $\sigma$ -álgebra: complementos ( $X \setminus A = X \setminus A$ com $A \subseteq X$ ), reuniões finitas ( $A \cup B = X \setminus ((X\setminus A)\cap(X\setminus B))$ ) e reuniões enumeráveis via $\bigcup_{k \leq n}A_k \uparrow \bigcup_kA_k$ . Demonstramos, portanto, que $\mathcal D_0$ é um $\pi$ -sistema, em duas etapas. Seja

\mathcal D_1 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap P \in \mathcal D_0 \ \forall P \in \mathcal P\}.

$\mathcal D_1$ é um $\lambda$ -sistema (os três axiomas se verificam intersectando com $P$ : por exemplo, $(B\setminus A)\cap P = (B \cap P)\setminus(A \cap P)$ , uma diferença própria dentro de $\mathcal D_0$ ) e contém $\mathcal P$ (que é $\pi$ -sistema): $\mathcal D_1 = \mathcal D_0$ . Seja agora

\mathcal D_2 = \{A \in \mathcal D_0 : A \cap D \in \mathcal D_0\ \forall D \in \mathcal D_0\}.

Pela etapa anterior, $\mathcal D_2 \supseteq \mathcal P$ ; e $\mathcal D_2$ é um $\lambda$ -sistema pela mesma verificação: $\mathcal D_2 = \mathcal D_0$ , o que diz exatamente que $\mathcal D_0$ é estável por interseções. ∎

9.2 Medidas

Definição 9.5

Uma medida em $(X, \mathcal A)$ é uma aplicação $\mu \colon \mathcal A \to [0, +\infty]$ com $\mu(\varnothing) = 0$ que é $\sigma$ -aditiva: para $(A_n)_{n\in\N}$ dois a dois disjuntos,

\mu\Bigl(\bigsqcup_n A_n\Bigr) = \sum_n \mu(A_n).

$(X, \mathcal A, \mu)$ é um espaço de medida; $\mu$ é finita se $\mu(X) < \infty$ , é uma medida de probabilidade se $\mu(X) = 1$ , e é $\sigma$ -finita se $X$ é reunião enumerável de conjuntos de medida finita. Exemplos: a medida de contagem em $(\N, \mathcal P(\N))$ ; a massa de Dirac $\delta_a(A) = \mathbf 1_{a \in A}$ ; e, objeto deste capítulo, a medida de Lebesgue.

Proposição 9.6

Seja $\mu$ uma medida. (a) Monotonicidade: $A \subseteq B \Rightarrow \mu(A) \leq \mu(B)$ . (b) Subaditividade enumerável: $\mu(\bigcup A_n) \leq \sum\mu(A_n)$ . (c) Continuidade por baixo: $A_n \uparrow A \Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$ . (d) Continuidade por cima: $A_n \downarrow A$ com $\mu(A_1) < \infty$ $\Rightarrow \mu(A_n) \to \mu(A)$ .

Demonstração. (a) $B = A \sqcup (B\setminus A)$ . (b) Disjuntifique: os $B_n = A_n \setminus \bigcup_{k<n}A_k$ são disjuntos com a mesma reunião, e $\mu(B_n) \leq \mu(A_n)$ . (c) $A = \bigsqcup_n (A_n \setminus A_{n-1})$ ( $A_0 = \varnothing$ ): as somas parciais de $\sum\mu(A_n\setminus A_{n-1})$ valem $\mu(A_n)$ . (d) Aplique (c) a $A_1 \setminus A_n \uparrow A_1 \setminus A$ e subtraia de $\mu(A_1)$ — a finitude torna a subtração legítima. Contraexemplo sem ela: $A_n = [n, \infty)$ para a medida de Lebesgue: $A_n \downarrow \varnothing$ , mas $\mu(A_n) = \infty$ . ∎

Teorema 9.7 (Unicidade)

Sejam $\mu, \nu$ medidas em $\sigma(\mathcal P)$ e $\mathcal P$ um $\pi$ -sistema, com $\mu = \nu$ em $\mathcal P$ . Se existem conjuntos $P_k \in \mathcal P$ com $P_k \uparrow X$ e $\mu(P_k) < \infty$ , então $\mu = \nu$ em todo $\sigma(\mathcal P)$ .

Demonstração. Fixe $k$ e considere as medidas finitas $\mu_k(A) = \mu(A \cap P_k)$ e $\nu_k(A) = \nu(A \cap P_k)$ em $\sigma(\mathcal P)$ : elas coincidem em $\mathcal P$ , pois $P \cap P_k \in \mathcal P$ ( $\pi$ -sistema), e atribuem a $X$ o mesmo valor finito $\mu(P_k)$ . A classe $\mathcal D = \{A : \mu_k(A) = \nu_k(A)\}$ é um $\lambda$ -sistema: $X \in \mathcal D$ ; as diferenças próprias, por subtração (valores finitos); e os limites crescentes, por continuidade por baixo (Proposição 9.6(c)). Ela contém o $\pi$ -sistema $\mathcal P$ , de modo que Dynkin (Teorema 9.4) dá $\mathcal D \supseteq \sigma(\mathcal P)$ : $\mu_k = \nu_k$ em toda parte. Por fim, para $A \in \sigma(\mathcal P)$ qualquer, a continuidade por baixo ao longo de $A \cap P_k \uparrow A$ dá $\mu(A) = \lim_k\mu_k(A) = \lim_k\nu_k(A) = \nu(A)$ . ∎

9.3 Medidas exteriores e o teorema de Carathéodory

Definição 9.8

Uma medida exterior em $X$ é uma aplicação $\mu^* \colon \mathcal P(X) \to [0, \infty]$ com $\mu^*(\varnothing) = 0$ , monótona e enumeravelmente subaditiva. Um conjunto $A$ é $\mu^*$ -mensurável (Carathéodory) se ele reparte aditivamente todo conjunto:

\mu^*(E) = \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E \setminus A) \qquad \text{para todo } E \subseteq X

( $\leq$ vale sempre, por subaditividade; o conteúdo está em $\geq$ ).

Teorema 9.9 (Carathéodory)

Os conjuntos $\mu^*$ -mensuráveis formam uma $\sigma$ -álgebra $\mathcal M$ , e $\mu^*\restriction_{\mathcal M}$ é uma medida. Além disso, todo conjunto com $\mu^*(N) = 0$ pertence a $\mathcal M$ (a medida é completa).

Demonstração. $\mathcal M$ contém $\varnothing$ e é estável por complementação (a condição de definição é simétrica em $A$ e $X\setminus A$ ). Reuniões finitas: sejam $A, B \in \mathcal M$ e $E$ arbitrário; repartindo $E$ por $A$ e, depois, cada pedaço por $B$ :

\mu^*(E) = \mu^*(E\cap A\cap B) + \mu^*(E\cap A\setminus B) + \mu^*(E\cap B\setminus A) + \mu^*(E\setminus(A\cup B)).

Os três primeiros pedaços cobrem $E \cap (A \cup B)$ , de modo que a subaditividade dá $\mu^*(E) \geq \mu^*(E\cap(A\cup B)) + \mu^*(E\setminus(A\cup B))$ : $A \cup B \in \mathcal M$ . Por indução, obtêm-se as reuniões finitas; com os complementos, ficam disponíveis as manipulações de disjunção finita.

Aditividade em $\mathcal M$ : para $A, B \in \mathcal M$ disjuntos e $E$ qualquer: $\mu^*(E\cap(A\sqcup B)) = \mu^*(E\cap A) + \mu^*(E \cap B)$ (repartindo por $A$ ); por indução,

\mu^*\Bigl(E \cap \bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) = \sum_{k\leq n}\mu^*(E\cap A_k). \tag{$*$}

Reuniões enumeráveis: sejam $(A_k) \subseteq \mathcal M$ disjuntos (o que basta, por disjuntificação dentro da álgebra $\mathcal M$ ), $A = \bigsqcup A_k$ e $E$ arbitrário. Usando $\bigsqcup_{k\leq n}A_k \in \mathcal M$ e a monotonicidade:

\mu^*(E) = \mu^*\Bigl(E\cap\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) + \mu^*\Bigl(E\setminus\bigsqcup_{k\leq n}A_k\Bigr) \geq \sum_{k \leq n}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A)

por ( $*$ ). Faça $n \to \infty$ e use a subaditividade enumerável ao contrário:

\mu^*(E) \geq \sum_{k}\mu^*(E\cap A_k) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E \cap A) + \mu^*(E\setminus A) \geq \mu^*(E):

todas as desigualdades são igualdades. Isso demonstra tanto $A \in \mathcal M$ quanto, tomando $E = A$ , a aditividade enumerável de $\mu^*$ em $\mathcal M$ .

Conjuntos nulos: se $\mu^*(N) = 0$ , então, para $E$ qualquer, $\mu^*(E \cap N) + \mu^*(E\setminus N) \leq 0 + \mu^*(E)$ : $N \in \mathcal M$ . ∎

9.4 A medida de Lebesgue em $\R$

Definição 9.10

A medida exterior de Lebesgue de $A \subseteq \R$ é

\lambda^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_{n} (b_n - a_n) : A \subseteq \bigcup_n \intoo{a_n}{b_n}\Bigr\}

(coberturas enumeráveis por intervalos abertos).

Lema 9.11

$\lambda^*$ é uma medida exterior, invariante por translações, e $\lambda^*(I) = \ell(I)$ (o comprimento) para todo intervalo $I$ .

Demonstração. Medida exterior: $\varnothing$ é coberto por intervalos arbitrariamente pequenos; a monotonicidade é clara; subaditividade: dadas coberturas de cada $A_n$ a menos de $\varepsilon 2^{-n}$ do ínfimo, sua reunião cobre $\bigcup A_n$ com comprimento total $\leq \sum \lambda^*(A_n) + \varepsilon$ . Invariância por translação: translade as coberturas.

Comprimento: basta tratar $I = \intcc ab$ (os outros tipos diferem pelas extremidades, que têm medida exterior $0$ : cubra-as por intervalos minúsculos; depois, comprima por comparações do tipo $\intcc{a+\varepsilon}{b - \varepsilon} \subseteq \intoo ab$ ). $\lambda^*(\intcc ab) \leq b - a$ : cubra por $\intoo{a-\varepsilon}{b+\varepsilon}$ . Reciprocamente, seja $\intcc ab \subseteq \bigcup_n\intoo{a_n}{b_n}$ : por compacidade (Borel–Lebesgue, Teorema 6.16), um número finito de intervalos basta, digamos $I_1, \dots, I_N$ . Mostramos que $\sum_{k\leq N}(b_k - a_k) \geq b - a$ por indução sobre $N$ : escolha $I_{k_1} \ni a$ ; se $b_{k_1} > b$ , terminamos ( $b_{k_1} - a_{k_1} > b - a$ ); do contrário, o segmento $\intcc{b_{k_1}}b$ é coberto pelos $N - 1$ intervalos restantes, e a indução dá $\sum_{k \neq k_1}(b_k - a_k) \geq b - b_{k_1}$ , ao passo que $b_{k_1} - a_{k_1} > b_{k_1} - a$ : some. ∎

Teorema 9.12 (Medida de Lebesgue)

Todo boreliano de $\R$ é $\lambda^*$ -mensurável. A restrição $\lambda$ de $\lambda^*$ à $\sigma$ -álgebra $\mathcal L = \mathcal M_{\lambda^*} \supseteq \mathcal B(\R)$ (a $\sigma$ -álgebra de Lebesgue) é a única medida em $\mathcal B(\R)$ que atribui a cada intervalo seu comprimento; ela é invariante por translações e $\sigma$ -finita.

Demonstração. Pelo Teorema 9.9, basta mostrar que cada semirreta $A = \intoo{-\infty}c$ é $\lambda^*$ -mensurável (as semirretas geram $\mathcal B$ , Definição 9.2). Sejam $E \subseteq \R$ com $\lambda^*(E) < \infty$ e $\bigcup I_n \supseteq E$ uma cobertura com $\sum\ell(I_n) \leq \lambda^*(E) + \varepsilon$ . Cada $I_n$ se reparte nos dois intervalos $I_n' = I_n \cap A$ e $I_n'' = I_n\setminus A$ (um intervalo menos uma semirreta é um intervalo) com $\ell(I_n') + \ell(I_n'') = \ell(I_n)$ ; os $I_n'$ cobrem $E \cap A$ e os $I_n''$ cobrem $E \setminus A$ (aumente cada um até um intervalo aberto de comprimento $\ell + \varepsilon2^{-n}$ para permanecer dentro da definição), de modo que

\lambda^*(E\cap A) + \lambda^*(E\setminus A) \leq \sum_n\bigl(\ell(I_n') + \ell(I_n'')\bigr) + 2\varepsilon \leq \lambda^*(E) + 3\varepsilon .

Unicidade: duas medidas que coincidem com o comprimento no $\pi$ -sistema dos intervalos $\intoc ab$ (finitas neles) coincidem em $\sigma(\text{intervalos}) = \mathcal B$ pelo Teorema 9.7 com $P_k = \intoc{-k}k$ . $\sigma$ -finitude: $\R = \bigcup(-k, k]$ . ∎

Teorema 9.13 (Regularidade)

Para todo $A \in \mathcal L$ :

\lambda(A) = \inf\{\lambda(U) : U \supseteq A \text{ aberto}\} = \sup\{\lambda(K) : K \subseteq A \text{ compacto}\}.

Demonstração. Exterior: uma cobertura $\bigcup I_n$ com $\sum\ell(I_n) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ é um aberto $U \supseteq A$ com $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ (subaditividade); se $\lambda(A) = \infty$ , o enunciado é trivial. Interior: primeiro suponha $A$ limitado, $A \subseteq [-M, M]$ . Escolha um aberto $U \supseteq ([-M,M]\setminus A)$ com $\lambda(U) \leq \lambda([-M,M]\setminus A) + \varepsilon$ ; então $K = [-M, M]\setminus U$ é compacto, $K \subseteq A$ , e

\lambda(K) = \lambda([-M,M]) - \lambda([-M,M]\cap U) \geq \lambda([-M,M]) - \bigl(\lambda([-M,M]) - \lambda(A) + \varepsilon\bigr) = \lambda(A) - \varepsilon .

Para $A$ geral: $\lambda(A) = \lim_M\lambda(A\cap[-M,M])$ (continuidade por baixo) e aplique o caso limitado por dentro. ∎

Exemplo 9.14

O conjunto de Cantor (Exercício 6.10) satisfaz $\lambda(C) = 0$ : $C \subseteq C_n$ , reunião de $2^n$ intervalos de comprimento $3^{-n}$ , de modo que $\lambda(C) \leq (2/3)^n \to 0$ . Um conjunto nulo não enumerável — a cardinalidade não enxerga a medida. Reciprocamente, os conjuntos de Cantor gordos (Exercício 9.5) são nunca densos e têm medida positiva: a topologia tampouco enxerga a medida. O problema de fim de semana leva essa interação à sua conclusão marcante: existem conjuntos Lebesgue-mensuráveis que não são borelianos.

Teorema 9.15 (Vitali)

Não existe medida sobre todos os subconjuntos de $\R$ que seja invariante por translações e atribua a cada intervalo seu comprimento. Em particular, $\mathcal L \neq \mathcal P(\R)$ : existem conjuntos não mensuráveis.

Demonstração. Suponha que $\mu$ fosse uma tal medida. Em $\intcc01$ , considere a equivalência $x \sim y \iff x - y \in \Q$ ; pelo axioma da escolha, tome um representante em $\intcc01$ por classe: um conjunto $V$ . Para $q \in \Q\cap\intcc{-1}1$ , os transladados $V + q$ são dois a dois disjuntos (dois pontos de $V$ que diferissem por um racional seriam equivalentes e, no entanto, representantes distintos) e

\intcc01 \subseteq \bigsqcup_{q \in \Q\cap\intcc{-1}1}(V + q) \subseteq \intcc{-1}2 :

a primeira inclusão porque todo $x \in \intcc01$ difere de seu representante $v$ por um racional $q = x - v \in \intcc{-1}1$ . A monotonicidade e a $\sigma$ -aditividade dão

1 \leq \sum_{q}\mu(V + q) \leq 3, \qquad\text{com } \mu(V + q) = \mu(V) \text{ para todo } q .

Uma soma infinita da constante $\mu(V)$ vale $0$ ou $\infty$ : as duas cotas não podem valer simultaneamente. Logo, não existe uma tal $\mu$ — e $V \notin \mathcal L$ , pois $\lambda$ em $\mathcal L$ tem todas as propriedades usadas. ∎

Observação 9.16

Em $\R^3$ o fracasso é mais dramático: o paradoxo de Banach–Tarski decompõe uma bola em cinco pedaços que se remontam, por rotações e translações, em duas bolas do mesmo raio — de modo que não existe sequer um volume finitamente aditivo e invariante por rotações sobre todos os subconjuntos de $\R^3$ . Os pedaços são, claro, não mensuráveis. A mensurabilidade não é cautela burocrática; é a fronteira da coerência.

Método 9.17

O princípio dos bons conjuntos: para demonstrar que todos os conjuntos de $\sigma(\mathcal E)$ têm uma propriedade, mostre que os bons conjuntos formam uma $\sigma$ -álgebra (ou um $\lambda$ -sistema, se a propriedade for de natureza medida-teórica e $\mathcal E$ for um $\pi$ -sistema — e então use Dynkin) contendo $\mathcal E$ . Quase toda demonstração deste capítulo e do próximo é um caso particular. Para demonstrar que duas medidas são iguais: verifique-o em um $\pi$ -sistema gerador, mais a $\sigma$ -finitude (Teorema 9.7). Para construir uma medida: construa uma medida exterior por coberturas e invoque Carathéodory.

9.5 Exercícios

Exercício 9.1 ★

(a) Mostre que $\{A \subseteq X : A$ ou $X\setminus A$ é enumerável $\}$ é uma $\sigma$ -álgebra: a gerada pelos conjuntos unitários. (b) Mostre que $\mathcal B(\R)$ é gerada por cada uma das famílias: intervalos abertos; intervalos fechados; semirretas $\intoc{-\infty}a$ ; semirretas com $a \in \Q$ . (c) A família das reuniões finitas disjuntas de intervalos $\intoc ab$ é uma $\sigma$ -álgebra? É uma álgebra (estável por complementação e reuniões finitas)?

Solução

Solução de Exercício 9.1.

(a) A complementação troca os dois casos da definição. Uma união enumerável de conjuntos enumeráveis é enumerável; se um dos membros é coenumerável, a união é coenumerável: a estabilidade vale. Ela contém os conjuntos unitários, e toda $\sigma$ -álgebra que os contenha contém todos os conjuntos enumeráveis (uniões enumeráveis) e seus complementares: ela é $\sigma(\{\text{conjuntos unitários}\})$ .

(b) Escreva $\mathcal B = \sigma(\text{abertos})$ . Todo aberto de $\R$ é união enumerável de intervalos abertos de extremos racionais (em torno de cada ponto racional do aberto, um intervalo de raio racional contido nele), de modo que os abertos $\in \sigma(\text{intervalos abertos}) \subseteq \sigma(\text{rational data})$ . Conversões: $\intoo ab = \bigcup_n\intcc{a + \frac1n}{b - \frac1n}$ ; $\intcc ab = \bigcap_n \intoo{a - \frac1n}{b + \frac1n}$ ; $\intoc{-\infty}a = \bigcap_n \intoo{-\infty}{a + \frac1n}$ e reciprocamente $\intoo ab = \intoo{-\infty}b \setminus \intoc{-\infty}a$ ; semirretas racionais: $\intoc{-\infty}a = \bigcap_{q \in \Q,\, q > a}\intoc{-\infty}q$ . Cada família gera as outras por operações enumeráveis: todas as quatro geram $\mathcal B$ .

(c) Com extremos apenas finitos, a família nem sequer é uma álgebra: o complementar de $\intoc01$ contém semirretas ilimitadas. Permitindo extremos infinitos ( $\intoc{-\infty}b$ , $\intoo a{+\infty}$ ), ela se torna uma álgebra (complementares e uniões finitas de tais uniões são desse tipo), mas não uma $\sigma$ -álgebra: $\{0\} = \bigcap_n\intoc{-\frac1n}0$ não é união finita de intervalos não degenerados.

Exercício 9.2 ★

(a) Demonstre o princípio da inclusão–exclusão para uma medida finita: $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ , e a versão com três conjuntos. (b) Dê um exemplo mostrando que a continuidade por cima (Proposição 9.6(d)) falha sem a hipótese de finitude. (c) Mostre que um conjunto enumerável tem medida de Lebesgue nula. Deduza $\lambda(\Q) = 0$ e $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$ .

Solução

Solução de Exercício 9.2.

(a) $A \cup B = A \sqcup (B \setminus (A\cap B))$ , de modo que $\mu(A\cup B) = \mu(A) + \mu(B) - \mu(A\cap B)$ (a finitude permite a subtração). Três conjuntos: aplique duas vezes a fórmula para dois conjuntos,

\mu(A\cup B\cup C) = \sum\mu(A) - \sum\mu(A\cap B) + \mu(A\cap B\cap C)

(somas sobre os conjuntos de índices evidentes).

(b) Para a medida de Lebesgue, $A_n = [n, +\infty) \downarrow \varnothing$ , mas $\lambda(A_n) = \infty \not\to 0$ .

(c) Um ponto está num intervalo de comprimento $\varepsilon$ : $\lambda(\{x\}) = 0$ ; a subaditividade enumerável mata os conjuntos enumeráveis. Logo $\lambda(\Q \cap \intcc01) = 0$ e, por aditividade, $\lambda(\intcc01\setminus\Q) = 1$ : os irracionais carregam todo o comprimento.

Exercício 9.3 ★★

Sejam $\mu, \nu$ medidas de probabilidade em $\mathcal B(\R)$ com $\mu(\intoc{-\infty}t) = \nu(\intoc{-\infty}t)$ para todo $t \in \R$ . Mostre que $\mu = \nu$ . (Isso faz da função de distribuição $F(t) = \mu(\intoc{-\infty}t)$ um invariante completo — o fundamento do Capítulo 22.)

Solução

Solução de Exercício 9.3.

As semirretas $\intoc{-\infty}t$ formam um $\pi$ -sistema (a interseção de duas é a menor) que gera $\mathcal B(\R)$ (Exercício 9.1). Os conjuntos $P_k = \intoc{-\infty}k$ crescem para $\R$ com $\mu(P_k) \leq 1 < \infty$ : o Teorema 9.7 se aplica, e $\mu = \nu$ em $\mathcal B(\R)$ . Assim, a função de distribuição determina a medida.

Exercício 9.4 ★★

(Borel–Cantelli, versão de medida) Sejam $(A_n)$ mensuráveis com $\sum_n\mu(A_n) < \infty$ , e $\limsup A_n = \bigcap_N\bigcup_{n\geq N}A_n$ (os pontos que pertencem a uma infinidade de $A_n$ ). Mostre que $\mu(\limsup A_n) = 0$ . Aplicação: para quase todo $x \in \intcc01$ , apenas um número finito de $n$ satisfaz $\abs{x - p/q_n} \leq 4^{-n}$ para o $n$ -ésimo racional $p/q_n$ de uma enumeração de $\Q\cap\intcc01$ .

Solução

Solução de Exercício 9.4.

Para todo $N$ , $\limsup A_n \subseteq \bigcup_{n \geq N}A_n$ , de modo que $\mu(\limsup A_n) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n)$ , a cauda de uma série convergente: faça $N \to \infty$ . Aplicação: com $A_n = \{x \in \intcc01 : \abs{x - r_n} \leq 4^{-n}\}$ ( $r_n$ o $n$ -ésimo racional), $\lambda(A_n) \leq 2\cdot4^{-n}$ é somável: $\lambda(\limsup A_n) = 0$ , isto é, quase todo $x$ pertence a apenas finitos $A_n$ . (E, no entanto, todo $x$ é limite de racionais: o que importa é a velocidade $4^{-n}$ .)

Exercício 9.5 ★★

(Conjunto de Cantor gordo) Repita a construção de Cantor em $\intcc01$ , mas, na etapa $n$ , retire de cada um dos $2^{n-1}$ intervalos apenas um intervalo aberto centrado de comprimento $4^{-n}$ . Mostre que o $K = \bigcap K_n$ resultante é compacto, tem interior vazio (nenhum intervalo sobrevive) e

\lambda(K) = 1 - \sum_{n\geq1}2^{n-1}4^{-n} = \tfrac12 :

um conjunto nunca denso de medida $\frac12$ . Deduza um subconjunto magro de $\intcc01$ de medida total $1$ e um subconjunto aberto denso de medida $< \varepsilon$ .

Solução

Solução de Exercício 9.5.

$K = \bigcap K_n$ é uma interseção de uniões finitas de intervalos fechados: compacto. Na etapa $n$ restam $2^n$ intervalos de comprimento comum $\ell_n \leq 2^{-n}$ (cada etapa divide ao meio e encolhe); um intervalo $I \subseteq K$ estaria dentro de um único intervalo da etapa $n$ para todo $n$ , forçando $\ell(I) = 0$ : interior vazio. A medida retirada é $\sum_{n\geq1}2^{n-1}\cdot 4^{-n} = \frac12\sum_{n\geq1}2^{-n} = \frac12$ , sendo todas as retiradas intervalos abertos disjuntos: $\lambda(K) = \frac12$ .

Variante: retirar intervalos centrais de comprimento $\varepsilon 4^{-n}$ deixa um compacto de interior vazio $K^{(\varepsilon)}$ de medida $1 - \frac\varepsilon2$ . Então $\bigcup_m K^{(1/m)}$ é magro (união enumerável de conjuntos nunca densos) de medida $\geq \sup_m(1 - \frac1{2m}) = 1$ : um conjunto magro de medida total — e seu complementar em $\intoo01$ é um $G_\delta$ denso de medida $0$ (topologicamente gordo, metricamente nulo). O complementar de $K^{(\varepsilon)}$ em $\intoo01$ é aberto, denso, de medida $\frac\varepsilon2 < \varepsilon$ .

Exercício 9.6 ★★

Seja $\mu$ uma medida em $\mathcal B(\R)$ , invariante por translações, com $c = \mu(\intoc01) < \infty$ . Mostre que $\mu = c\,\lambda$ em $\mathcal B(\R)$ . (Calcule $\mu$ nos intervalos diádicos dividindo $\intoc01$ em $2^n$ transladados e invoque em seguida o Teorema 9.7.)

Solução

Solução de Exercício 9.6.

Cortando $\intoc01$ em $2^n$ transladados de $\intoc0{2^{-n}}$ : $c = 2^n\,\mu(\intoc0{2^{-n}})$ , de modo que $\mu(\intoc0{2^{-n}}) = c\,2^{-n} = c\,\lambda(\intoc0{2^{-n}})$ . Por invariância por translação e aditividade, $\mu = c\lambda$ em todo intervalo $\intoc ab$ com $b - a$ um racional diádico e qualquer $a$ ; um $\intoc ab$ geral é uma união crescente de tais intervalos ( $b_k \uparrow b$ passos diádicos a partir de $a$ ), e a continuidade por baixo estende a igualdade. Os intervalos $\intoc ab$ formam um $\pi$ -sistema que gera $\mathcal B(\R)$ , com $\intoc{-k}k \uparrow \R$ de medida finita ( $\mu(\intoc{-k}k) = 2kc$ ): o Teorema 9.7 dá $\mu = c\lambda$ em $\mathcal B(\R)$ .

Exercício 9.7 ★★

(Aproximação) Sejam $A \in \mathcal L$ com $\lambda(A) < \infty$ e $\varepsilon > 0$ . Mostre que existe uma reunião finita de intervalos $B$ com $\lambda(A\,\triangle\,B) < \varepsilon$ ( $\triangle$ = diferença simétrica). (Regularidade: comprima $K \subseteq A \subseteq U$ e use a estrutura do aberto $U$ como reunião enumerável de intervalos, mais a compacidade de $K$ .)

Solução

Solução de Exercício 9.7.

Por regularidade (Teorema 9.13), escolha $K \subseteq A \subseteq U$ com $K$ compacto, $U$ aberto, $\lambda(U\setminus K) < \varepsilon$ (ambas as aproximações a menos de $\varepsilon/2$ , e $\lambda(U \setminus K) = \lambda(U\setminus A) + \lambda(A \setminus K)$ ). Escreva $U$ como união enumerável disjunta de intervalos abertos $(I_n)$ (as componentes do aberto); o compacto $K$ é coberto por finitos deles, $K \subseteq B = I_1\cup\dots\cup I_N \subseteq U$ . Então $A \setminus B \subseteq A\setminus K \subseteq U\setminus K$ e $B \setminus A \subseteq U \setminus A \subseteq U\setminus K$ : $\lambda(A\,\triangle\,B) \leq 2\lambda(U\setminus K)$ — comece com $\varepsilon/2$ para cair abaixo de $\varepsilon$ .

Exercício 9.8 ★★★

(Steinhaus) Seja $A \in \mathcal L$ com $\lambda(A) > 0$ . Mostre que $A - A = \{x - y : x, y \in A\}$ contém um intervalo em torno de $0$ . (Reduza a $\lambda(A) < \infty$ ; por regularidade no estilo do Exercício 9.7, encontre um intervalo $I$ com $\lambda(A \cap I) > \frac34\ell(I)$ ; então, para $\abs t < \frac12\ell(I)$ , os conjuntos $A\cap I$ e $(A\cap I) + t$ estão ambos em um intervalo de comprimento $\frac32\ell(I)$ e têm medida total $> \frac32\ell(I)$ : eles têm de se intersectar.)

Solução

Solução de Exercício 9.8.

Substituindo $A$ por $A \cap [-M, M]$ de medida positiva (algum $M$ serve, por continuidade por baixo), suponha $0 < \lambda(A) < \infty$ . Tome $U \supseteq A$ aberto com $\lambda(U) < \frac43\lambda(A)$ e decomponha $U = \bigsqcup_nI_n$ em intervalos abertos disjuntos: $\lambda(A) = \sum_n\lambda(A\cap I_n)$ . Se todo $n$ tivesse $\lambda(A\cap I_n) \leq \frac34\ell(I_n)$ , somando obteríamos $\lambda(A) \leq \frac34\lambda(U) < \lambda(A)$ : algum intervalo $I$ satisfaz $\lambda(A\cap I) > \frac34\ell(I)$ . Ponha $B = A \cap I$ e seja $\abs t < \frac12\ell(I)$ : tanto $B$ quanto $B + t$ estão no intervalo $I \cup (I + t)$ , de comprimento $< \frac32\ell(I)$ . Se fossem disjuntos, $\lambda(B) + \lambda(B + t) = 2\lambda(B) > \frac32\ell(I)$ superaria a medida do intervalo que os contém — impossível. Logo $B \cap (B + t) \neq \varnothing$ : algum $x \in B$ se escreve $x = y + t$ com $y \in B$ , e $t = x - y \in A - A$ . Logo $\intoo{-\frac{\ell(I)}2}{\frac{\ell(I)}2} \subseteq A - A$ .

Exercício 9.9 ★★★

Mostre que todo $A \in \mathcal L$ com $\lambda(A) > 0$ contém um subconjunto não mensurável. (Intersecte $A$ com os transladados $V + q$ do conjunto de Vitali: se todos os $A \cap (V+q)$ fossem mensuráveis, cada um seria nulo pelo argumento do Teorema 9.15 — Steinhaus (Exercício 9.8) ajuda: um conjunto mensurável de medida positiva dentro de $V + q$ daria a $(V+q) - (V+q) \supseteq$ um intervalo, contradizendo o fato de que esse conjunto de diferenças encontra $\Q$ apenas em $0$ ; conclua por subaditividade.)

Solução

Solução de Exercício 9.9.

Os transladados de Vitali $(V + q)_{q\in\Q}$ formam uma partição de $\R$ (todo real é equivalente a exatamente um representante). Suponha que todos os conjuntos $B_q = A \cap (V + q)$ fossem mensuráveis. Dois elementos quaisquer de $V + q$ diferem por um irracional ou por zero (dois representantes distintos não são equivalentes), de modo que $B_q - B_q$ encontra $\Q$ apenas em $\{0\}$ : ele não contém intervalo algum, e Steinhaus (Exercício 9.8) força $\lambda(B_q) = 0$ . Então $\lambda(A) \leq \sum_{q}\lambda(B_q) = 0$ , contradizendo $\lambda(A) > 0$ . Logo algum $B_q \subseteq A$ não é mensurável.

Exercício 9.10 ★★

Mostre que $A \subseteq \R$ com $\lambda^*(A) < \infty$ é Lebesgue-mensurável se, e somente se, para todo $\varepsilon > 0$ existe um aberto $U \supseteq A$ com $\lambda^*(U \setminus A) < \varepsilon$ , e se, e somente se, existe um conjunto $G_\delta$ $G \supseteq A$ com $\lambda^*(G\setminus A) = 0$ . (Assim, os conjuntos de Lebesgue são os borelianos a menos de conjuntos nulos.)

Solução

Solução de Exercício 9.10.

Mensurável $\Rightarrow$ aproximação a $\varepsilon$ : pela regularidade exterior (Teorema 9.13), tome $U \supseteq A$ aberto com $\lambda(U) \leq \lambda(A) + \varepsilon$ ; a mensurabilidade permite a subtração $\lambda(U\setminus A) = \lambda(U) - \lambda(A) \leq \varepsilon$ . Versão $\varepsilon$ $\Rightarrow$ versão $G_\delta$ : tome $U_n$ com $\lambda^*(U_n\setminus A) < \frac1n$ e $G = \bigcap U_n$ : um $G_\delta$ com $\lambda^*(G\setminus A) \leq \lambda^*(U_n\setminus A) \to 0$ . Versão $G_\delta$ $\Rightarrow$ mensurável: $G\setminus A$ é $\lambda^*$ -nulo, logo mensurável por completude (Teorema 9.9), e $A = G \setminus (G\setminus A)$ é mensurável ( $G$ é boreliano). Assim, os conjuntos de Lebesgue são exatamente “borelianos módulo nulos”.

Exercício 9.11 ★★

(Continuidade ao longo de limites monótonos, e sua precisão) (a) Mostre que, para conjuntos mensuráveis, $\mu(\liminf A_n) \leq \liminf\mu(A_n)$ (Fatou para conjuntos) e que, se $\mu\bigl(\bigcup A_n\bigr) < \infty$ , também $\limsup\mu(A_n) \leq \mu(\limsup A_n)$ . (b) Exiba, para a medida de Lebesgue em $\R$ , uma sequência com $\mu(A_n) = 1$ para todo $n$ e, no entanto, $\mu(\limsup A_n) = 0$ : a hipótese de finitude na segunda desigualdade não é decorativa. (c) Deduza: se $\sum\mu(A_n) < \infty$ , então $\mu(\limsup A_n) = 0$ (Borel–Cantelli de novo), e, se os $A_n$ crescem ou decrescem (com $\mu(A_1) < \infty$ no caso decrescente), $\mu(\lim A_n) = \lim\mu(A_n)$ .

Solução

Solução de Exercício 9.11.

(a) $\liminf A_n = \bigcup_N\bigcap_{n\geq N}A_n$ é uma união crescente dos conjuntos $B_N = \bigcap_{n\geq N}A_n$ , de modo que $\mu(\liminf A_n) = \lim_N\mu(B_N)$ (continuidade por baixo); e $\mu(B_N) \leq \inf_{n \geq N}\mu(A_n)$ , cujo limite é $\liminf\mu(A_n)$ . Para o $\limsup$ : aplique o mesmo aos complementares dentro do ambiente de medida finita $U = \bigcup A_n$ — a continuidade por cima na sequência decrescente $C_N = \bigcup_{n\geq N}A_n$ exige $\mu(C_1) \leq \mu(U) < \infty$ e dá $\mu(\limsup A_n) = \lim\mu(C_N) \geq \limsup\mu(A_n)$ .

(b) O intervalo móvel $A_n = \intcc n{n+1}$ : todo ponto pertence a no máximo dois dos $A_n$ e a nenhum a partir de certa ordem, de modo que $\limsup A_n = \varnothing$ ; e, no entanto, $\mu(A_n) = 1$ . Assim, $\limsup\mu(A_n) = 1 > 0 = \mu(\limsup A_n)$ : sem um envelope de medida finita, a segunda desigualdade de (a) falha — a massa escapa para o infinito, onde nenhum conjunto fixo pode capturá-la.

(c) Se $\sum\mu(A_n) < \infty$ : $\mu(C_N) \leq \sum_{n\geq N}\mu(A_n) \to 0$ e $\limsup A_n = \bigcap C_N$ tem medida $\leq \inf\mu(C_N) = 0$ . Casos monótonos: crescente é a continuidade por baixo; decrescente com $\mu(A_1) < \infty$ é a continuidade por cima — ambas demonstradas nas propriedades básicas do Capítulo 9; o contraexemplo $A_n = \intco n\infty$ (decrescendo para $\varnothing$ com $\mu \equiv \infty$ ) mostra que a finitude é, de novo, essencial.

Exercício 9.12 ★★★

(Teorema de Egorov) Sejam $\mu(X) < \infty$ e $f_n \to f$ pontualmente, todas mensuráveis (a valores reais). Para $k, N \geq 1$ , ponha

E_{k,N} = \bigcap_{n \geq N}\Bigl\{x : \abs{f_n(x) - f(x)} \leq \tfrac1k\Bigr\} .

(a) Mostre que, para $k$ fixado, $E_{k,N} \nearrow X$ quando $N \to \infty$ , e deduza a existência de $N_k$ com $\mu(X \setminus E_{k,N_k}) \leq \varepsilon2^{-k}$ . (b) Conclua o teorema de Egorov: para todo $\varepsilon > 0$ existe um conjunto mensurável $A$ com $\mu(X\setminus A) \leq \varepsilon$ tal que $f_n \to f$ uniformemente em $A$ — a convergência pontual é convergência uniforme fora de um conjunto arbitrariamente pequeno. (c) Mostre que o teorema falha em $(\R, \lambda)$ : as ondas móveis $f_n = \mathbf 1_{\intcc n{n+1}}$ convergem pontualmente para $0$ , mas não uniformemente no complementar de nenhum conjunto de medida finita. Onde (a) usou $\mu(X) < \infty$ ?

Solução

Solução de Exercício 9.12.

(a) Os conjuntos $E_{k,N}$ crescem com $N$ (menos restrições), e todo $x$ acaba satisfazendo $\abs{f_n(x) - f(x)} \leq \frac1k$ para todo $n \geq N(x)$ (convergência pontual): $\bigcup_NE_{k,N} = X$ . Continuidade por baixo: $\mu(E_{k,N}) \to \mu(X) < \infty$ , de modo que $\mu(X\setminus E_{k,N}) \to 0$ ; escolha $N_k$ de acordo.

(b) Seja $A = \bigcap_kE_{k,N_k}$ : $\mu(X\setminus A) \leq \sum_k\varepsilon2^{-k} = \varepsilon$ . Em $A$ : para todo $k$ , todos os $n \geq N_k$ satisfazem $\sup_A\abs{f_n - f} \leq \frac1k$ — exatamente a convergência uniforme em $A$ .

(c) Para o pico móvel, a convergência uniforme em $A$ exige que $A$ acabe evitando todo $\intcc n{n+1}$ — mais precisamente, $\sup_A\abs{f_n} < \frac12$ força $A \cap \intcc n{n+1}$ a ser vazio para $n$ grande, de modo que $X \setminus A$ contém uma cauda $\bigcup_{n\geq n_0}\intcc n{n+1}$ , de medida infinita. Em (a), a finitude converteu “ $E_{k,N}\nearrow X$ ” em “as medidas dos complementares tendem a $0$ ”: a continuidade por cima precisa de um início finito, e, em espaços de medida infinita, a fuga para o infinito é precisamente o que ela não consegue ver.

9.6 Problema: a escada de Cantor–Vitali e um conjunto mensurável que não é boreliano

A escada de Cantor–Vitali: constante em toda lacuna do conjunto de Cantor e, ainda assim, subindo continuamente de 0 a 1. Sua derivada se anula quase em toda parte — toda a subida acontece em um conjunto nulo. — A escada de Cantor–Vitali: constante em toda lacuna do conjunto de Cantor e, ainda assim, subindo continuamente de $0$ a $1$ . Sua derivada se anula quase em toda parte — toda a subida acontece em um conjunto nulo.

Problema 9.1

Problema de fim de semana — a escada do diabo, e $\mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L$

Construímos a função de Cantor–Vitali (a escada do diabo), usamo-la para transportar medida de maneira patológica e concluímos com um teorema que nenhum argumento leve fornece: existem conjuntos Lebesgue-mensuráveis que não são borelianos. Notação: $C$ é o conjunto de Cantor, $C_n$ sua $n$ -ésima etapa ( $2^n$ intervalos de comprimento $3^{-n}$ ), e todo $x \in C$ tem dígitos ternários $x = \sum 2b_n3^{-n}$ , $b_n \in \{0,1\}$ (Exercício 6.10).

Parte I — A escada. Defina $c_0(x) = x$ e $c_{n+1}$ a partir de $c_n$ por

c_{n+1}(x) = \begin{cases} \tfrac12\,c_n(3x) & 0 \leq x \leq \tfrac13,\\[2pt] \tfrac12 & \tfrac13 \leq x \leq \tfrac23,\\[2pt] \tfrac12 + \tfrac12\,c_n(3x - 2) & \tfrac23 \leq x \leq 1. \end{cases}

Mostre que cada $c_n$ é contínua, não decrescente, com $c_n(0) = 0$ , $c_n(1) = 1$ , e que $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq \tfrac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ .
Deduza que $(c_n)$ converge uniformemente para uma função $c$ contínua e não decrescente com $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ (a função de Cantor–Vitali), que satisfaz as mesmas relações autossemelhantes que os $c_{n+1}$ acima.
Mostre que $c$ é constante em cada componente conexa de $\intcc01\setminus C$ e que, para $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ , $c(x) = \sum_n b_n2^{-n}$ : a escada lê em binário os dígitos de Cantor (a função $g$ do Problema 6.1, tornada monótona e global).
Deduza que $c$ é derivável, com $c' = 0$ , em todo ponto de $\intcc01\setminus C$ : $c' = 0$ $\lambda$ -quase em toda parte (Exemplo 9.14). Conclua que o teorema fundamental do cálculo falha para $c$ :

$c(1) - c(0) = 1 \neq 0 = \int_0^1 c'(t)\,\dd t$

(a integral sendo tomada sobre o conjunto de medida total em que $c' = 0$ ; antecipando o Capítulo 10, os conjuntos nulos não afetam integrais). Que hipótese do teorema fundamental $\mathcal C^1$ é violada?
Mostre que $c(C) = \intcc01$ : o conjunto nulo $C$ é levado sobre um conjunto de medida total.

Parte II — O homeomorfismo torto. Seja $h(x) = \frac{c(x) + x}{2}$ .

Mostre que $h \colon \intcc01 \to \intcc01$ é um homeomorfismo (estritamente crescente, contínuo, sobrejetor).
Mostre que $\lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = \tfrac12$ : em cada lacuna de comprimento $\ell$ , $h$ age como uma aplicação afim de inclinação $\tfrac12$ , e as lacunas têm comprimento total $1$ .
Deduza que $\lambda\bigl(h(C)\bigr) = \tfrac12$ : a imagem homeomorfa de um conjunto nulo pode ter medida positiva. (Em que ponto isso contraria a intuição ingênua sobre “tamanho”?)

Parte III — Um conjunto mensurável que não é boreliano.

Pelo Exercício 9.9, escolha um $W \subseteq h(C)$ não mensurável. Mostre que $Z = h^{-1}(W) \subseteq C$ é Lebesgue-mensurável. (É subconjunto de um conjunto nulo; completude, Teorema 9.9.)
Mostre que a pré-imagem de um boreliano por uma aplicação contínua é boreliana. (Princípio dos bons conjuntos: $\{B : h^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ é uma $\sigma$ -álgebra que contém os abertos — atenção ao sentido da aplicação.)
Conclua que $Z$ não é boreliano: se fosse, $W = (h^{-1})^{-1}(Z)$ seria boreliano (aplique a questão 10 à aplicação contínua $h^{-1}$ ), logo mensurável — contradição. Portanto,

$\boxed{\ \mathcal B(\R) \subsetneq \mathcal L\ }$

e a completude amplia genuinamente o mundo boreliano.
Exiba uma função Lebesgue-mensurável $g$ e uma função contínua $\varphi$ tais que $g \circ \varphi$ não seja Lebesgue-mensurável: a mensurabilidade, ao contrário da continuidade, não se compõe. (Tome $g = \mathbf 1_Z$ e $\varphi = h^{-1}$ , antecipando a definição de funções mensuráveis do Capítulo 10: as pré-imagens de borelianos são conjuntos de Lebesgue. Onde é preciso cuidado quanto a qual $\sigma$ -álgebra se usa no alvo?)

Parte IV — Epílogo.

Ordene por inclusão estrita as classes seguintes e justifique cada estrita com um exemplo deste capítulo ou de seu problema: conjuntos enumeráveis; borelianos nulos; conjuntos nulos de Lebesgue; borelianos; conjuntos de Lebesgue; conjuntos arbitrários.

Parte V — A medida de Cantor: massa em um conjunto nulo. A escada é a função de distribuição de uma medida notável, que construímos agora com as ferramentas do próprio capítulo.

(Lebesgue–Stieltjes, existência) Seja $F\colon\R\to\R$ não decrescente, contínua e limitada. Em intervalos semiabertos, defina $\rho\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ e, para $A \subseteq \R$ ,

$\mu_F^*(A) = \inf\Bigl\{\sum_k\bigl(F(b_k) - F(a_k)\bigr) : A \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}\Bigr\} .$

Mostre que $\mu_F^*$ é uma medida exterior e que $\mu_F^*\bigl(\intoc ab\bigr) = F(b) - F(a)$ (imite o argumento de compacidade do Teorema 9.12, aumentando cada $\intoc{a_k}{b_k}$ até um intervalo aberto a um custo em $F$ de $\leq \varepsilon2^{-k}$ — onde se usa a continuidade de $F$ ?).
Mostre que todo boreliano é $\mu_F^*$ -mensurável no sentido de Carathéodory (como no caso de Lebesgue, basta testar semirretas; siga a demonstração da aplicação do Teorema 9.9), de modo que $\mu_F = \mu_F^*$ restrita a $\mathcal B(\R)$ é uma medida com $\mu_F(\intoc ab) = F(b) - F(a)$ : a medida de Lebesgue–Stieltjes de $F$ .
Aplique isso à escada ( $F = c$ estendida por $0$ em $\R_-$ e por $1$ em $\intco1\infty$ ): a medida de Cantor $\mu$ . Mostre que $\mu(\R) = 1$ , que toda lacuna do conjunto de Cantor é $\mu$ -nula ( $c$ é ali constante) e conclua

$\mu(C) = 1, \qquad \lambda(C) = 0 :$

$\mu$ e $\lambda$ vivem em suportes disjuntos ( $C$ e seu complementar). Duas medidas nessa situação são ditas mutuamente singulares, o que se escreve $\mu \perp \lambda$ .
Mostre que $\mu$ não tem átomos: $\mu(\{x\}) = 0$ para todo $x$ (continuidade de $c$ ). Uma medida de probabilidade sem átomos, carregada por um compacto de medida de Lebesgue nula: compare com as únicas medidas vistas até aqui.
(Lançamentos de moeda disfarçados) Para uma palavra $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_m) \in \{0,1\}^m$ , seja $C_{\varepsilon}$ o conjunto dos $x \in C$ cujos dígitos ternários satisfazem $b_i(x) = \varepsilon_i$ para $i \leq m$ (uma das $2^m$ peças de Cantor de profundidade $m$ ). Mostre que $\mu(C_\varepsilon) = 2^{-m}$ (a escada sobe $2^{-m}$ ao atravessar essa peça: use a questão 3 da Parte I). A medida de Cantor é a lei de uma sequência infinita de lançamentos de uma moeda honesta lidos em ternário — o Capítulo 22 tornará isso exato.
Demonstre a autossemelhança: para todo boreliano $A$ ,

$\mu(A) = \tfrac12\,\mu(3A) + \tfrac12\,\mu(3A - 2) ,$

em que $3A - 2 = \{3x - 2 : x \in A\}$ (verifique-a nos intervalos geradores $\intoc ab$ via as relações autossemelhantes de $c$ e invoque em seguida a unicidade, Teorema 9.7).
Mostre que a reflexão $s(x) = 1 - x$ preserva $\mu$ : $\mu(s(A)) = \mu(A)$ (via $c(1 - x) = 1 - c(x)$ , que decorre da simetria da construção — demonstre-a).
Calcule os dois primeiros momentos de $\mu$ , isto é, de um ponto aleatório $X$ de lei $\mu$ (as integrais podem ser tratadas como limites de somas sobre as peças de profundidade $m$ , antecipando o Capítulo 10): a simetria dá $\int x\,\dd\mu = \frac12$ , e a autossemelhança dá

$\int x^2\,\dd\mu = \frac38, \qquad\text{logo}\qquad \operatorname{Var}(X) = \frac18 .$

Compare com a lei uniforme em $\intcc01$ (variância $\frac1{12}$ ): a massa de Cantor, empurrada para as bordas, espalha-se mais.
Mostre que o suporte (topológico) de $\mu$ — o menor fechado de medida total — é exatamente $C$ .
(Síntese) A escada $c$ é contínua e não decrescente e, ainda assim, falha o teorema fundamental do cálculo (Parte I); a medida $\mu_c$ é uma probabilidade, sem átomos, singular em relação a $\lambda$ . Explique em um parágrafo curto como essas são duas faces de um mesmo fenômeno e enuncie a moral geral: as funções não decrescentes correspondem a medidas ( $F \leftrightarrow \mu_F$ ), a derivabilidade q.t.p. corresponde à “parte absolutamente contínua”, e $c$ é a testemunha padrão de que uma $F$ contínua pode não carregar parte absolutamente contínua alguma.
(O módulo de continuidade exato) Seja $s = \frac{\ln 2}{\ln 3}$ . Mostre que $c$ é hölderiana de expoente $s$ :

$\abs{c(x) - c(y)} \leq 4\,\abs{x - y}^{s} \qquad (x, y \in \intcc01),$

e que nenhum expoente $t > s$ pode funcionar, nem mesmo localmente. Deduza a forma medida-teórica: para todo $x$ e todo $r \in \intoc01$ ,

$\mu\bigl(\intcc{x - r}{x + r}\bigr) \leq 8\,r^{s} .$

(Compare uma grade triádica de profundidade $m$ com a escala de $\abs{x - y}$ ; a questão 18 dá a subida ao longo de cada peça. O expoente $s$ é a dimensão de Hausdorff de $C$ , como dirão cursos posteriores.)
(A autossemelhança caracteriza $\mu$ ) Demonstre a recíproca da questão 19: se $\nu$ é uma medida de probabilidade em $\mathcal B(\R)$ carregada por $\intcc01$ e satisfaz

$\nu(A) = \tfrac12\,\nu(3A) + \tfrac12\,\nu(3A - 2) \qquad (A \in \mathcal B(\R)),$

então $\nu = \mu$ . (Itere a relação $m$ vezes para espalhar $\nu$ sobre as $2^m$ peças de Cantor de profundidade $m$ , estime $\nu(\intoc ab)$ contra a contagem de peças dentro de $\intoc ab$ , e faça $m \to \infty$ ; termine com o Teorema 9.7.)

Solução

Solução de Problema 9.1.

1. Indução. Continuidade: as três fórmulas coincidem nas junções ( $\frac12c_n(1) = \frac12$ e $\frac12 + \frac12c_n(0) = \frac12$ ); cada peça é contínua. A monotonicidade e os valores nos extremos são herdados. Para a estimativa de contração: em $[0,\frac13]$ , $\abs{c_{n+1} - c_n}(x) = \frac12\abs{c_n - c_{n-1}}(3x) \leq \frac12\norm{c_n - c_{n-1}}_\infty$ ; no terço médio a diferença é $0$ ; no terço direito, o mesmo que no esquerdo.

2. $\norm{c_{n+1} - c_n}_\infty \leq 2^{-n}\norm{c_1 - c_0}_\infty$ : a série dos incrementos converge uniformemente, de modo que $c_n \to c$ uniformemente; $c$ é contínua, não decrescente, $c(0) = 0$ , $c(1) = 1$ (tudo preservado por limites uniformes) e, passando ao limite na recursão que a define, vê-se que $c$ satisfaz ela própria as três identidades autossemelhantes.

3. Pela identidade do meio, $c \equiv \frac12$ em $\intcc{\frac13}{\frac23}$ , a primeira lacuna. Toda lacuna de $C$ é imagem da primeira lacuna por uma composição das duas contrações afins $x \mapsto \frac x3$ , $x\mapsto\frac{x + 2}3$ ; as identidades transportam a constância correspondentemente (com valores nos racionais diádicos). Para a fórmula dos dígitos, tome $x = \sum_n 2b_n3^{-n} \in C$ : se $b_1 = 0$ , então $x \in [0,\frac13]$ e $c(x) = \frac12c(3x)$ , com $3x$ tendo dígitos $(b_2, b_3, \dots)$ ; se $b_1 = 1$ , então $x \in [\frac23, 1]$ e $c(x) = \frac12 + \frac12c(3x - 2)$ , mesmo deslocamento. Por indução, os $N$ primeiros dígitos binários de $c(x)$ são $b_1, \dots, b_N$ para todo $N$ : $c(x) = \sum_nb_n2^{-n}$ .

4. Fora de $C$ , $c$ é localmente constante: derivável, com derivada $0$ . Como $\lambda(C) = 0$ (Exemplo 9.14), $c' = 0$ quase em toda parte. E, no entanto, $c(1) - c(0) = 1$ : o teorema fundamental na forma $\mathcal C^1$ exige que $c$ seja derivável em toda parte, com derivada contínua (ou ao menos integrável, mais a continuidade absoluta — veja o Capítulo 10); $c$ não é derivável nos pontos de $C$ e, mais fundamentalmente, $c$ falha na continuidade absoluta: ela sobe num conjunto nulo.

5. Dado $y = \sum_n\beta_n2^{-n} \in \intcc01$ ( $\beta_n \in \{0,1\}$ ), o ponto $x = \sum_n2\beta_n3^{-n} \in C$ tem $c(x) = y$ pela questão 3: $c(C) = \intcc01$ , um conjunto de medida $1$ — o conjunto nulo $C$ carrega, através de $c$ , o intervalo inteiro.

6. $h$ é contínua e estritamente crescente ( $x$ é, $c$ é não decrescente); $h(0) = 0$ , $h(1) = 1$ , de modo que, pelo teorema do valor intermediário, $h$ é uma bijeção contínua de $\intcc01$ ; uma bijeção contínua de um espaço compacto em um de Hausdorff é um homeomorfismo (Corolário 6.14).

7. Numa lacuna $(u, v)$ (comprimento $\ell$ ), $c$ é constante, de modo que $h$ é afim de inclinação $\frac12$ : $h((u,v))$ é um intervalo de comprimento $\frac\ell2$ . As lacunas são disjuntas e $h$ é injetora: as imagens são disjuntas, de medida total $\frac12\sum\ell = \frac12(1 - \lambda(C)) = \frac12$ .

8. $h(\intcc01) = \intcc01$ e $h(C)$ é compacto (imagem contínua), logo mensurável, com

\lambda\bigl(h(C)\bigr) = 1 - \lambda\bigl(h(\intcc01\setminus C)\bigr) = 1 - \tfrac12 = \tfrac12 .

Um homeomorfismo pode inflar um conjunto nulo até a medida $\frac12$ : “tamanho topológico” (categoria, dimensão) e “medida” são transportados por homeomorfismos de maneiras muito diferentes — só o primeiro é um invariante topológico.

9. $Z = h^{-1}(W) \subseteq h^{-1}(h(C)) = C$ tem $\lambda^*(Z) \leq \lambda(C) = 0$ : um conjunto nulo, logo Lebesgue-mensurável por completude (Teorema 9.9).

10. Seja $\varphi$ contínua e $\mathcal D = \{B : \varphi^{-1}(B) \in \mathcal B\}$ . As pré-imagens comutam com complementares e uniões enumeráveis, de modo que $\mathcal D$ é uma $\sigma$ -álgebra; ela contém os abertos (continuidade): $\mathcal D \supseteq \mathcal B$ — pré-imagens de borelianos por aplicações contínuas são borelianas.

11. Se $Z$ fosse boreliano, aplique a questão 10 à contínua $\varphi = h^{-1}$ : $\varphi^{-1}(Z) = h(Z) = W$ seria boreliano, logo Lebesgue-mensurável — contradizendo a escolha de $W$ . Logo $Z \in \mathcal L \setminus \mathcal B$ : a $\sigma$ -álgebra de Lebesgue contém estritamente a de Borel.

12. $g = \mathbf 1_Z$ é Lebesgue-mensurável ( $Z \in \mathcal L$ ) e $\varphi = h^{-1}$ é contínua, mas $(g\circ\varphi)^{-1}(\{1\}) = \varphi^{-1}(Z) = W$ não é mensurável: $g \circ \varphi$ não é Lebesgue-mensurável. O cuidado necessário: “função Lebesgue-mensurável” significa que as pré-imagens de conjuntos borelianos caem em $\mathcal L$ ; compor exige que as pré-imagens de conjuntos de Lebesgue sejam de Lebesgue, o que a continuidade não garante (aqui $\varphi^{-1}(Z) \notin \mathcal L$ , ainda que $\varphi$ seja um homeomorfismo).

13. As cadeias, com testemunhas da estrita inclusão:

\{\text{enumerável}\} \subsetneq \{\text{Borel-nulo}\} \subsetneq \{\text{Lebesgue-nulo}\} \subsetneq \mathcal L \subsetneq \mathcal P(\R), \qquad \{\text{Borel-nulo}\} \subsetneq \mathcal B \subsetneq \mathcal L .

Testemunhas: $C$ é boreliano, nulo, não enumerável (primeira lacuna); $Z$ é Lebesgue-nulo, mas não boreliano (segunda e, dentro de $\mathcal B \subsetneq \mathcal L$ , sexta); um conjunto de Cantor gordo é boreliano, nunca denso, de medida positiva (separando os conjuntos nulos dos borelianos); o $V$ de Vitali não está em $\mathcal L$ (última lacuna). Medida, topologia e cardinalidade fatiam $\mathcal P(\R)$ segundo linhas genuinamente diferentes.

14. Medida exterior: $\mu_F^*(\varnothing) = 0$ (cubra por um intervalo que se anula), a monotonicidade é clara, e a subaditividade enumerável decorre de emendar coberturas $\varepsilon2^{-k}$ -ótimas, exatamente como para $\lambda^*$ . A cobertura por um único intervalo dá $\mu_F^*(\intoc ab) \leq F(b) - F(a)$ . Reciprocamente, seja $\intoc ab \subseteq \bigcup_k\intoc{a_k}{b_k}$ . Pela continuidade de $F$ , tome $b_k' > b_k$ com $F(b_k') \leq F(b_k) + \varepsilon2^{-k}$ , e $a' \in \intoo ab$ com $F(a') \leq F(a) + \varepsilon$ . O compacto $\intcc{a'}b$ é coberto pelos abertos $\intoo{a_k}{b_k'}$ : finitos bastam, e o argumento de encadeamento do Teorema 9.12 (caminhe de $a'$ até $b$ por intervalos que se sobrepõem, telescopando os incrementos de $F$ , com a monotonicidade absorvendo as sobreposições) fornece $F(b) - F(a') \leq \sum_k(F(b_k') - F(a_k)) \leq \sum_k(F(b_k) - F(a_k)) + \varepsilon$ . Faça $\varepsilon \to 0$ : igualdade. (A continuidade de $F$ é o que permitiu abrir os intervalos a um custo em $F$ arbitrariamente pequeno.)

15. Basta demonstrar que cada semirreta $H_t = \intoc{-\infty}t$ é Carathéodory-mensurável, já que os conjuntos mensuráveis formam uma $\sigma$ -álgebra (Teorema 9.9) e as semirretas geram $\mathcal B$ . Dados $A$ e uma cobertura $\varepsilon$ -ótima $(\intoc{a_k}{b_k})$ de $A$ : cada intervalo se reparte como $\intoc{a_k}{t\wedge b_k} \cup \intoc{t \vee a_k}{b_k}$ (uma das peças possivelmente vazia), com custos em $F$ que somam exatamente $F(b_k) - F(a_k)$ ; as primeiras peças cobrem $A \cap H_t$ , as segundas $A \setminus H_t$ . Logo $\mu_F^*(A\cap H_t) + \mu_F^*(A\setminus H_t) \leq \mu_F^*(A) + \varepsilon$ , e a desigualdade recíproca é a subaditividade. Restringindo a medida resultante a $\mathcal B$ : a medida de Lebesgue–Stieltjes $\mu_F$ .

16. $\mu(\R) = \lim_n(F(n) - F(-n)) = 1 - 0 = 1$ (continuidade da medida ao longo de $\intoc{-n}n$ ). Numa lacuna $\intoo uv$ de $C$ , $c$ é constante, de modo que todo subintervalo semiaberto é $\mu$ -nulo, e a lacuna também (união enumerável); fora de $\intcc01$ , $c$ também é constante. Logo $\mu(\R\setminus C) = 0$ , $\mu(C) = 1$ , ao passo que $\lambda(C) = 0$ (Exemplo 9.14): cada uma de $\mu, \lambda$ é carregada por um conjunto que a outra declara nulo — mutuamente singulares.

17. $\mu(\{x\}) = \lim_{\delta\downarrow0} \mu(\intoc{x-\delta}x) = \lim(c(x) - c(x-\delta)) = 0$ pela continuidade de $c$ : sem átomos. Logo $\mu$ é uma medida de probabilidade sem átomos carregada por um compacto Lebesgue-nulo — nem difusa com densidade como as restrições de $\lambda$ , nem atômica como as medidas de contagem: uma terceira espécie.

18. A peça $C_\varepsilon$ ocupa um intervalo ternário $I_\varepsilon$ de comprimento $3^{-m}$ , e a questão 3 da Parte I mostra que, ao longo de $I_\varepsilon$ , a escada sobe exatamente $2^{-m}$ (os $m$ primeiros dígitos binários de $c$ ficam congelados em $\varepsilon$ , e os demais varrem tudo). Logo $\mu(C_\varepsilon) = \mu(I_\varepsilon) = c(\text{extremo direito}) - c(\text{extremo esquerdo}) = 2^{-m}$ : os cilindros de dígitos de profundidade $m$ têm todos massa $2^{-m}$ , a lei de $m$ moedas honestas.

19. O membro direito define a medida boreliana $\nu = \frac12\,(x \mapsto \tfrac x3)_*\mu + \frac12\,(x \mapsto \tfrac{x+2}3)_*\mu$ avaliada em $A$ — medida de probabilidade. Pontualmente, com $c$ estendida globalmente, verifica-se caso a caso ( $x \leq 0$ ; os três terços; $x \geq 1$ ) a identidade

c(x) = \tfrac12\,c(3x) + \tfrac12\,c(3x - 2),

por exemplo, em $\intcc{1/3}{2/3}$ : $\frac12\cdot1 + \frac12\cdot0 = \frac12 = c(x)$ . Avaliar $\nu$ em $\intoc ab$ dá, portanto, $c(b) - c(a) = \mu(\intoc ab)$ , e duas medidas finitas que coincidem no $\pi$ -sistema dos intervalos semiabertos coincidem em $\mathcal B$ (Teorema 9.7): $\nu = \mu$ .

20. Por indução sobre $n$ : $c_0(1-x) = 1 - c_0(x)$ e, se $c_n$ tem a simetria, então, para $x \in \intcc0{1/3}$ : $c_{n+1}(1 - x) = \frac12 + \frac12c_n(3(1-x) - 2) = \frac12 + \frac12c_n(1 - 3x) = \frac12 + \frac12(1 - c_n(3x)) = 1 - c_{n+1}(x)$ ; o terço médio é espelhado em torno de $\frac12$ ; o terço direito é o caso esquerdo refletido. No limite, $c(1-x) = 1 - c(x)$ . Imagem direta: $(s_*\mu)(\intoc ab) = \mu(\intco{1-b}{1-a}) = c(1-a) - c(1-b)$ ( $\mu$ sem átomos, questão 17, de modo que as convenções de bordo nada custam) $= (1 - c(a)) - (1 - c(b)) = \mu(\intoc ab)$ : $s_*\mu = \mu$ por unicidade.

21. Seja $X \sim \mu$ (as integrais de funções contínuas contra $\mu$ existem como limites de somas do tipo de Riemann sobre as peças de profundidade $m$ , cada uma de massa $2^{-m}$ , com erro de amostragem $\leq \operatorname{osc} \leq \norm{f'}_\infty3^{-m}$ ; o Capítulo 10 sistematizará isso). Simetria: $1 - X \sim X$ , de modo que $\E X = \frac12$ . Autossemelhança: $X$ tem a lei de $\frac Y3$ com probabilidade $\frac12$ e a de $\frac{Y+2}3$ com probabilidade $\frac12$ , $Y \sim \mu$ , de modo que

\E X^2 = \frac12\,\frac{\E Y^2}9 + \frac12\, \frac{\E Y^2 + 4\E Y + 4}{9} = \frac{2\E X^2 + 6}{18},

donde $\E X^2 = \frac38$ e $\operatorname{Var}X = \frac38 - \frac14 = \frac18$ . A lei uniforme tem variância $\frac1{12} < \frac18$ : a massa de Cantor se agarra aos extremos.

22. $C$ é fechado e $\mu(C) = 1$ . Se um aberto $I$ encontra $C$ em $x$ , as peças de profundidade $m$ que contêm $x$ encolhem para $x$ , de modo que alguma $I_\varepsilon \subseteq I$ e $\mu(I) \geq 2^{-m} > 0$ : nenhum fechado menor pode carregar $\mu$ . Pontos fora de $C$ têm vizinhanças em lacunas de $\mu$ -medida $0$ . Logo $\operatorname{supp}\mu = C$ exatamente.

23. Um fenômeno, dois dialetos. A Parte I diz que o crescimento de $c$ é invisível à sua derivada: $c' = 0$ q.t.p., toda a subida concentrada no conjunto nulo $C$ . A Parte V diz que a medida associada $\mu_c$ põe toda a sua massa nesse mesmo conjunto nulo: $\mu_c \perp \lambda$ , de modo que nenhuma densidade $f \geq 0$ pode satisfazer $\mu_c(A) = \int_Af\,\dd\lambda$ — uma densidade obriga a anulação em conjuntos $\lambda$ -nulos. O dicionário: $F \leftrightarrow$ medida finita $\mu_F$ para toda função limitada não decrescente (questões 14–15); $F$ é integral de sua derivada $\leftrightarrow$ $\mu_F$ tem densidade (o caso “absolutamente contínuo”); e, em geral, $F'$ , que existe q.t.p. para $F$ monótona (teorema de derivação de Lebesgue, além deste capítulo), recupera apenas a parte com densidade. A escada é o extremo: contínua, com derivada $0$ q.t.p. — sua medida é puramente singular e o teorema fundamental do cálculo, longe de falhar por acidente, falha exatamente pela quantidade $\mu_c(\R) = 1$ de massa singular.

24. Fixe $x < y$ em $\intcc01$ e escolha $m \geq 0$ com $3^{-(m+1)} < y - x \leq 3^{-m}$ . Ao longo de qualquer intervalo triádico $\intcc{k3^{-m}}{(k+1)3^{-m}}$ , a escada sobe no máximo $2^{-m}$ : um tal intervalo ou é uma das $2^m$ peças de $C_m$ , em que a subida é exatamente $2^{-m}$ (questão 18), ou está contido no fecho de uma única lacuna de alguma etapa $\leq m$ , em que $c$ é constante. Como $y - x \leq 3^{-m}$ , o intervalo $\intcc xy$ encontra no máximo dois intervalos triádicos consecutivos de profundidade $m$ , de modo que

c(y) - c(x) \leq 2\cdot2^{-m} = 2\bigl(3^{-m}\bigr)^{s} < 2\bigl(3(y - x)\bigr)^{s} = 4\,(y - x)^{s},

usando $3^{s} = 2$ e $3^{-m} < 3(y - x)$ . Otimalidade: os extremos $u < v$ de uma peça de Cantor de profundidade $m$ satisfazem $v - u = 3^{-m}$ e $c(v) - c(u) = 2^{-m} = (v - u)^{s}$ ; uma cota de Hölder $\abs{c(v) - c(u)} \leq K(v - u)^{t}$ com $t > s$ forçaria $K \geq 2^{-m}3^{mt} = (3^{t}/2)^{m} \to \infty$ (pois $3^{t} > 3^{s} = 2$ ), e todo subintervalo de $\intcc01$ contém tais peças, de modo que a falha é local também. Forma em medida: $\mu\bigl(\intcc{x-r}{x+r}\bigr) \leq c(x + r) - c(x - r) \leq 4(2r)^{s} = 4\cdot2^{s}r^{s} \leq 8r^{s}$ (valores de $c$ estendidos a $\R$ como na questão 16; $\mu$ não tem átomos, questão 17).

25. Escreva $S_0(x) = \frac x3$ e $S_1(x) = \frac{x+2}3$ ; a hipótese diz que $\nu = \frac12(S_0)_*\nu + \frac12(S_1)_*\nu$ . Iterando $m$ vezes,

\nu = 2^{-m}\sum_{w \in \{0,1\}^m}(S_w)_*\nu, \qquad S_w = S_{w_1}\circ\dots\circ S_{w_m}.

Como $\nu$ é carregada por $\intcc01$ e $S_w(\intcc01) = I_w$ , a peça de Cantor de profundidade $m$ indexada por $w$ , cada $(S_w)_*\nu$ é uma medida de probabilidade carregada por $I_w$ ; as $2^m$ peças são intervalos fechados dois a dois disjuntos de comprimento $3^{-m}$ . Fixe $\intoc ab$ e seja $N_m$ o número de peças $I_w \subseteq \intoc ab$ . Uma peça que encontra $\intoc ab$ sem estar contida nele deve conter $a$ ou $b$ , e um ponto está em no máximo uma peça, de modo que

2^{-m}N_m \leq \nu(\intoc ab) \leq 2^{-m}N_m + 2\cdot2^{-m}.

A mesma dupla desigualdade vale para $\mu$ (a questão 19 dá a iteração idêntica), com a mesma contagem $N_m$ . Logo $\abs{\nu(\intoc ab) - \mu(\intoc ab)} \leq 2^{-m+1} \to 0$ : $\nu$ e $\mu$ coincidem no $\pi$ -sistema dos intervalos semiabertos, e ambas são medidas de probabilidade, de modo que o Teorema 9.7 dá $\nu = \mu$ . A medida da escada é, assim, o ponto fixo do esquema de média com duas aplicações — o enunciado, no nível das medidas, da autossemelhança de $C$ .

9.1 σ\sigmaσ-álgebras

9.2 Medidas

9.3 Medidas exteriores e o teorema de Carathéodory

9.4 A medida de Lebesgue em R\RR

9.5 Exercícios

9.6 Problema: a escada de Cantor–Vitali e um conjunto mensurável que não é boreliano

9.1 $\sigma$ -álgebras

9.4 A medida de Lebesgue em $\R$