O que é Interseção, união, complementar? — Matemática

Definição 9.5 Matemática do ensino médio · Capítulo 9 — Probabilidade e amostragem

Sejam $A$ e $B$ eventos.

$A \cap B$ (“ $A$ e $B$ ”) ocorre quando os dois ocorrem;
$A \cup B$ (“ $A$ ou $B$ ”) ocorre quando pelo menos um ocorre;
o complementar $\bar A$ (“não $A$ ”) ocorre exatamente quando $A$ não ocorre;
$A$ e $B$ são incompatíveis quando não podem ocorrer juntos: $A \cap B = \varnothing$ .

Dois eventos que se sobrepõem: em (A) + (B), a interseção sombreada A ∩ B é contada duas vezes, o que explica a subtração na regra da adição. — Dois eventos que se sobrepõem: em $\P(A) + \P(B)$ , a interseção sombreada $A \cap B$ é contada duas vezes, o que explica a subtração na regra da adição.

Exemplos

Exemplo 9.7

Retire uma carta de um baralho comum de $52$ cartas. Sejam $A$ : “a carta é de copas” ( $13$ cartas) e $B$ : “a carta é um rei” ( $4$ cartas). Então $A \cap B$ é “o rei de copas” ( $1$ carta), e

\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}.

A regra do complementar costuma ser o caminho mais rápido: a probabilidade de a carta não ser de copas é $1 - \frac{13}{52} = \frac34$ .

Exemplo 9.9

Uma urna contém $3$ bolas vermelhas e $2$ bolas azuis. Retire uma bola, devolva-a e retire outra. Cada retirada dá vermelha (V) com probabilidade $\frac35$ e azul (A) com probabilidade $\frac25$ .

A árvore de duas retiradas com reposição. As probabilidades dos quatro caminhos somam 1. — A árvore de duas retiradas com reposição. As probabilidades dos quatro caminhos somam $1$ .

A probabilidade de obter duas bolas da mesma cor é $\P(\text{VV}) + \P(\text{AA}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}$ ; a probabilidade de pelo menos uma azul é $1 - \P(\text{VV}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ (regra do complementar).

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