Qu'est-ce que « Intersection, réunion, complémentaire » ? — Mathématiques

Définition 9.5 Mathématiques du lycée · Chapitre 9 — Probabilités et échantillonnage

Soient $A$ et $B$ des événements.

$A \cap B$ (« $A$ et $B$ ») se réalise lorsque les deux se réalisent ;
$A \cup B$ (« $A$ ou $B$ ») se réalise lorsque l’un au moins se réalise ;
le complémentaire $\bar A$ (« non $A$ ») se réalise exactement lorsque $A$ ne se réalise pas ;
$A$ et $B$ sont incompatibles lorsqu’ils ne peuvent se réaliser ensemble : $A \cap B = \varnothing$ .

Deux événements qui se chevauchent : dans (A) + (B), l’intersection hachurée A ∩ B est comptée deux fois, ce qui explique la soustraction dans la règle d’addition. — Deux événements qui se chevauchent : dans $\P(A) + \P(B)$ , l’intersection hachurée $A \cap B$ est comptée deux fois, ce qui explique la soustraction dans la règle d’addition.

Exemples

Exemple 9.7

Tirer une carte d’un jeu standard de $52$ cartes. Soit $A$ : « la carte est un cœur » ( $13$ cartes) et $B$ : « la carte est un roi » ( $4$ cartes). Alors $A \cap B$ est « le roi de cœur » ( $1$ carte), et

\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}.

La règle du complémentaire est souvent la voie la plus rapide : la probabilité que la carte ne soit pas un cœur est $1 - \frac{13}{52} = \frac34$ .

Exemple 9.9

Une urne contient $3$ boules rouges et $2$ boules bleues. Tirer une boule, la remettre, tirer à nouveau. Chaque tirage donne rouge (R) avec probabilité $\frac35$ et bleu (B) avec probabilité $\frac25$ .

L’arbre de deux tirages avec remise. Les quatre probabilités de chemin somment à 1. — L’arbre de deux tirages avec remise. Les quatre probabilités de chemin somment à $1$ .

La probabilité d’obtenir deux boules de la même couleur est $\P(\text{RR}) + \P(\text{BB}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}$ ; la probabilité d’au moins une bleue est $1 - \P(\text{RR}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ (règle du complémentaire).

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Exemples

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