Wat is Doorsnede, vereniging, complement? — Wiskunde

Definitie 9.5 Wiskunde bovenbouw · Hoofdstuk 9 — Kansrekening en steekproeven

Zij $A$ en $B$ gebeurtenissen.

$A \cap B$ (“ $A$ en $B$ ”) doet zich voor wanneer beide zich voordoen;
$A \cup B$ (“ $A$ of $B$ ”) doet zich voor wanneer minstens één zich voordoet;
het complement $\bar A$ (“niet $A$ ”) doet zich precies voor wanneer $A$ zich niet voordoet;
$A$ en $B$ heten onverenigbaar wanneer ze zich niet samen kunnen voordoen: $A \cap B = \varnothing$ .

Twee overlappende gebeurtenissen: in (A) + (B) wordt de gearceerde doorsnede A ∩ B twee keer geteld, wat de aftrekking in de somregel verklaart. — Twee overlappende gebeurtenissen: in $\P(A) + \P(B)$ wordt de gearceerde doorsnede $A \cap B$ twee keer geteld, wat de aftrekking in de somregel verklaart.

Voorbeelden

Voorbeeld 9.7

Trek één kaart uit een standaardspel van $52$ kaarten. Zij $A$ : “de kaart is een harten” ( $13$ kaarten) en $B$ : “de kaart is een heer” ( $4$ kaarten). Dan is $A \cap B$ “hartenheer” ( $1$ kaart), en

\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}.

De complementregel is vaak de snelste weg: de kans dat de kaart geen harten is, is $1 - \frac{13}{52} = \frac34$ .

Voorbeeld 9.9

Een urne bevat $3$ rode en $2$ blauwe ballen. Trek één bal, leg hem terug en trek opnieuw. Elke trekking geeft rood (R) met kans $\frac35$ en blauw (B) met kans $\frac25$ .

Het boomdiagram van twee trekkingen met teruglegging. De vier padkansen tellen op tot 1. — Het boomdiagram van twee trekkingen met teruglegging. De vier padkansen tellen op tot $1$ .

De kans om twee ballen van dezelfde kleur te krijgen is $\P(\text{RR}) + \P(\text{BB}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}$ ; de kans op minstens één blauwe is $1 - \P(\text{RR}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ (complementregel).

Lees in het hoofdstuk →