ما معنى التقاطع والاتحاد والمتممة؟ — الرياضيات

تعريف 9.5 رياضيات المرحلة الثانوية · الفصل 9 — الاحتمالات والمعاينة

لتكن $A$ و $B$ حادثتين.

تتحقق $A \cap B$ (“ $A$ و $B$ ”) عندما تتحقق الحادثتان معًا؛
وتتحقق $A \cup B$ (“ $A$ أو $B$ ”) عندما تتحقق إحداهما على الأقل؛
والمتممة $\bar A$ (“ليس $A$ ”) تتحقق بالضبط عندما لا تتحقق $A$ ؛
وتكون $A$ و $B$ متنافيتين إذا لم يمكن أن تتحققا معًا: $A \cap B = \varnothing$ .

حادثتان متداخلتان: في (A) + (B) يُحسب التقاطع المظلل A ∩ B مرتين، وهذا يفسّر الطرح في قاعدة الجمع. — حادثتان متداخلتان: في $\P(A) + \P(B)$ يُحسب التقاطع المظلل $A \cap B$ مرتين، وهذا يفسّر الطرح في قاعدة الجمع.

أمثلة

مثال 9.7

اسحب ورقة واحدة من رزمة قياسية من $52$ ورقة. ولتكن $A$ : “الورقة كوبة” ( $13$ ورقة) و $B$ : “الورقة ملك” ( $4$ أوراق). عندئذٍ تكون $A \cap B$ هي “ملك الكوبة” (ورقة واحدة)، و

\P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}.

وكثيرًا ما تكون قاعدة المتممة أسرع طريق: فاحتمال أن تكون الورقة ليست كوبة هو $1 - \frac{13}{52} = \frac34$ .

مثال 9.9

يحوي كيس $3$ كرات حمراء و $2$ كرة زرقاء. اسحب كرة، ثم أعدها، ثم اسحب من جديد. ويعطي كل سحب أحمر (R) باحتمال $\frac35$ و أزرق (B) باحتمال $\frac25$ .

شجرة السحبين مع الإرجاع. ومجموع احتمالات المسارات الأربعة يساوي 1. — شجرة السحبين مع الإرجاع. ومجموع احتمالات المسارات الأربعة يساوي $1$ .

واحتمال الحصول على كرتين من اللون نفسه هو $\P(\text{RR}) + \P(\text{BB}) = \frac{9}{25} + \frac{4}{25} = \frac{13}{25}$ ؛ واحتمال الحصول على زرقاء واحدة على الأقل هو $1 - \P(\text{RR}) = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ (بقاعدة المتممة).

اقرأ في الفصل ←