什么是 Limite de uma sequência？

Exemplo 11.2 (Uma demonstração $\varepsilon$–$N$, escrita por extenso uma vez)

Afirmação: $u_n = \dfrac{n^2 + 1}{2n^2 - 3} \to \dfrac12$. Primeiro isole o erro:

Depois domine-o por algo simples: para $n \geq 2$, $2n^2 - 3 \geq n^2$, de modo que o erro é $\leq \frac{5}{2n^2} \leq \frac 5{2n}$. Dado $\varepsilon > 0$, a propriedade arquimediana fornece $N \geq \max\bigl(2, \frac{5}{2\varepsilon}\bigr)$; para $n \geq N$ o erro é $\leq \varepsilon$. Pronto. A ideia de fechamento: uma demonstração $\varepsilon$–$N$ tem exatamente três movimentos — calcular o erro, limitá-lo por uma expressão elementar decrescente e resolver para o limiar — e, depois dos teoremas deste capítulo (operações, confronto), quase nunca mais se escreve uma demonstração dessas: os teoremas empacotam os três movimentos de uma vez por todas.

Exemplo 11.3 (Divergência para o infinito, certificada)

Afirmação: $u_n = n^2 - 100n \to +\infty$. Fatore o termo dominante: $u_n = n^2\bigl(1 - \frac{100}{n}\bigr) \geq \frac{n^2}{2}$ para $n \geq 200$. Dado $M$, tome $N = \max\bigl(200, \lceil\sqrt{2M}\rceil\bigr)$: para $n \geq N$, $u_n \geq \frac{n^2}{2} \geq M$. Dois hábitos estão à mostra: a fatoração pelo termo dominante converte uma competição ($n^2$ contra $-100n$) numa única escala vezes um fator que tende a $1$; e o limiar pode ser enorme ($u_{100} = 0$, e a sequência é até negativa antes de $n = 100$) — a divergência para $+\infty$ é uma afirmação sobre a cauda, indiferente a qualquer quantidade finita de mau comportamento.

Exemplo 11.6 (Operações mais um truque algébrico)

Calcule $\lim\,\bigl(\sqrt{n^2 + n} - n\bigr)$. As duas parcelas tendem separadamente a $+\infty$: o teorema das operações nada diz sobre a diferença delas (uma forma indeterminada). Multiplique pelo conjugado:

Agora tudo converge: $\sqrt{1 + \frac1n} \to 1$, pois $0 \leq \sqrt{1 + h} - 1 = \frac{h}{\sqrt{1+h} + 1} \leq h$ (conjugado de novo, e depois confronto com $h = \frac1n$); então o teorema das operações dá o limite $\frac{1}{1 + 1} = \frac12$. A ideia de fechamento: o teorema das operações não é uma calculadora de todos os limites — as formas indeterminadas ($\infty - \infty$, $\frac00$, $0 \times \infty$, $1^\infty$) devem antes ser transformadas pela álgebra (conjugados, fatoração do termo dominante) até que cada pedaço convirja; a máquina sistemática para os casos resistentes é a expansão assintótica do Capítulo 16.