O que é lp? — Matemática

Definição 8.3 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 8 — Espaços de Banach e os teoremas fundamentais

Os espaços clássicos de sequências (sobre $K$ , indexados por $\N$ ):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

e $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ com $\norm\cdot_\infty$ . Que $\norm\cdot_p$ é uma norma decorre da desigualdade de Minkowski, demonstrada no caso discreto exatamente como no Capítulo 12 (ou somando a desigualdade em dimensão finita do segundo ano). Todos são espaços de Banach, e $c_0$ é um subespaço fechado de $\ell^\infty$ (Exercício 8.3).

Bolas unitárias das normas p no plano, encaixadas à medida que p cresce de 1 (losango), passando por 2 (disco) e 4 (superelipse), até ∈fty (quadrado). A convexidade de cada bola é a desigualdade de Minkowski; os cantos em p = 1 e p = ∈fty são onde a convexidade estrita, a unicidade das melhores aproximações e os casos de igualdade do degeneram todos de uma só vez. — Bolas unitárias das normas $p$ no plano, encaixadas à medida que $p$ cresce de $1$ (losango), passando por $2$ (disco) e $4$ (superelipse), até $\infty$ (quadrado). A convexidade de cada bola é a desigualdade de Minkowski; os cantos em $p = 1$ e $p = \infty$ são onde a convexidade estrita, a unicidade das melhores aproximações e os casos de igualdade do Exercício 12.12 degeneram todos de uma só vez.

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