Matemática universitária — Graduação 3 · Bachelor Year 3

8Espaços de Banach e os teoremas fundamentais

A análise funcional estuda os espaços normados de dimensão infinita por meio dos operadores e funcionais que vivem sobre eles. Sua descoberta fundadora é que a completude, via o teorema de Baire, impõe fortes uniformidades: famílias de operadores pontualmente limitadas são limitadas em norma (Banach–Steinhaus), bijeções contínuas têm inversas contínuas (aplicação aberta) e os gráficos detectam a continuidade (gráfico fechado). O outro pilar, Hahn–Banach, não exige completude alguma — apenas o lema de Zorn — e garante que os espaços duais sejam ricos o bastante para enxergar todo vetor. Este capítulo demonstra os quatro teoremas e os testa nos espaços clássicos de sequências $\ell^p$ , em cálculos concretos de duais e em uma aplicação genuinamente surpreendente: existem funções contínuas $2\pi$ -periódicas cuja série de Fourier diverge em um ponto — resolvendo negativamente uma questão que o segundo ano deixou em aberto.

Ao longo de todo o capítulo, $E, F$ são espaços normados sobre $K = \R$ ou $\C$ ; espaço de Banach significa espaço normado completo.

8.1 Operadores limitados; espaços de sequências

Definição 8.1

$\mathcal L(E, F)$ denota o espaço das aplicações lineares limitadas (= contínuas, segundo ano) com a norma de operador $\vertiii T = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{Tx}$ ; ela é submultiplicativa: $\vertiii{ST} \leq \vertiii S\,\vertiii T$ . O dual é $E' = \mathcal L(E, K)$ .

Proposição 8.2

Se $F$ é um espaço de Banach, $\mathcal L(E, F)$ também é; em particular, $E'$ é sempre um espaço de Banach.

Demonstração. Seja $(T_n)$ de Cauchy para $\vertiii\cdot$ . Para cada $x$ , $\norm{T_nx - T_mx} \leq \vertiii{T_n - T_m}\norm x$ : $(T_nx)$ é de Cauchy em $F$ e, portanto, convergente; chame o limite de $Tx$ . $T$ é linear (limites de identidades lineares); passando ao limite em $\norm{T_nx - T_mx} \leq \varepsilon\norm x$ ( $n, m \geq N$ ) obtém-se $\norm{T_nx - Tx} \leq \varepsilon\norm x$ : $T_n \to T$ em norma de operador, e $\vertiii T \leq \vertiii{T_N} + \varepsilon < \infty$ . ∎

Definição 8.3

Os espaços clássicos de sequências (sobre $K$ , indexados por $\N$ ):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

e $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ com $\norm\cdot_\infty$ . Que $\norm\cdot_p$ é uma norma decorre da desigualdade de Minkowski, demonstrada no caso discreto exatamente como no Capítulo 12 (ou somando a desigualdade em dimensão finita do segundo ano). Todos são espaços de Banach, e $c_0$ é um subespaço fechado de $\ell^\infty$ (Exercício 8.3).

Bolas unitárias das normas p no plano, encaixadas à medida que p cresce de 1 (losango), passando por 2 (disco) e 4 (superelipse), até ∈fty (quadrado). A convexidade de cada bola é a desigualdade de Minkowski; os cantos em p = 1 e p = ∈fty são onde a convexidade estrita, a unicidade das melhores aproximações e os casos de igualdade do degeneram todos de uma só vez. — Bolas unitárias das normas $p$ no plano, encaixadas à medida que $p$ cresce de $1$ (losango), passando por $2$ (disco) e $4$ (superelipse), até $\infty$ (quadrado). A convexidade de cada bola é a desigualdade de Minkowski; os cantos em $p = 1$ e $p = \infty$ são onde a convexidade estrita, a unicidade das melhores aproximações e os casos de igualdade do Exercício 12.12 degeneram todos de uma só vez.

Proposição 8.4 (Série de Neumann)

Sejam $E$ de Banach e $T \in \mathcal L(E) = \mathcal L(E,E)$ com $\vertiii T < 1$ . Então $I - T$ é inversível em $\mathcal L(E)$ , com $(I - T)^{-1} = \sum_{n\geq0}T^n$ (convergente em norma de operador). Consequentemente, o conjunto dos operadores inversíveis é aberto, e a inversão é contínua nele.

Demonstração. A série converge absolutamente ( $\vertiii{T^n} \leq \vertiii T^n$ , geométrica) no espaço de Banach $\mathcal L(E)$ (Proposição 8.2; Exercício 7.1(b)). Telescopando, $(I - T)\sum_{n \leq N}T^n = I - T^{N+1} \to I$ , e analogamente do outro lado. Quanto à abertura: se $S$ é inversível e $\vertiii{H} < 1/\vertiii{S^{-1}}$ , então $S + H = S(I + S^{-1}H)$ com $\vertiii{S^{-1}H} < 1$ : inversível. Continuidade da inversão: a expressão em série dá $\vertiii{(S+H)^{-1} - S^{-1}} = O(\vertiii H)$ localmente. ∎

Exemplo 8.5 (Uma equação de Volterra, resolvida por Neumann)

Em $E = \mathcal C(\intcc01)$ , considere a equação integral

u(x) = 1 + \lambda\int_0^xu(t)\,\dd t, \qquad\text{isto é}\qquad u = \mathbf 1 + \lambda Tu, \quad (Tu)(x) = \int_0^xu .

Aqui $\vertiii T \leq 1$ , de modo que, para $\abs\lambda < 1$ , a série de Neumann se aplica diretamente: $u = (I - \lambda T)^{-1}\mathbf 1 = \sum_n\lambda^nT^n\mathbf 1$ . Calculando, $T^n\mathbf 1 = \frac{x^n}{n!}$ , logo

u(x) = \sum_{n\geq0}\frac{(\lambda x)^n}{n!} = \eu^{\lambda x} ,

como a derivação confirma. Melhor ainda: $\vertiii{T^n} \leq \frac1{n!}$ (o núcleo iterado encolhe fatorialmente), de modo que $\sum\lambda^nT^n$ converge para todo $\lambda$ — o operador $I - \lambda T$ é inversível para todo $\lambda \in \C$ , ainda que $\vertiii{\lambda T} \geq 1$ acabe ocorrendo: o que importa é o decaimento espectral das potências, não a primeira norma. Os operadores de Volterra trazem esse decaimento fatorial embutido (Exercício 7.4(a) explorou exatamente isso), e é por isso que os problemas de valor inicial nunca sofrem os fenômenos de ressonância dos problemas de valores de contorno (Capítulo 15).

8.2 Hahn–Banach

Teorema 8.6 (Hahn–Banach, forma analítica)

Sejam $E$ um espaço vetorial real, $p \colon E \to \R$ sublinear ( $p(x + y) \leq p(x) + p(y)$ e $p(tx) = tp(x)$ para $t \geq 0$ ), $F \subseteq E$ um subespaço e $f \colon F \to \R$ linear com $f \leq p$ em $F$ . Então $f$ se estende a uma aplicação linear $\tilde f \colon E \to \R$ com $\tilde f \leq p$ em $E$ .

Demonstração. Extensão de um passo. Seja $x_0 \notin F$ ; estendemos $f$ a $F \oplus \R x_0$ escolhendo $\alpha = \tilde f(x_0)$ corretamente: precisamos que, para todos $y \in F$ e $t > 0$ ,

f(y) + t\alpha \leq p(y + tx_0) \quad\text{e}\quad f(y) - t\alpha \leq p(y - tx_0),

o que, após dividir por $t$ (sublinearidade), se reduz a

\sup_{v \in F}\ \bigl[f(v) - p(v - x_0)\bigr] \;\leq\; \alpha \;\leq\; \inf_{u \in F}\ \bigl[p(u + x_0) - f(u)\bigr].

Um tal $\alpha$ existe se, e somente se, todo membro esquerdo é $\leq$ a todo membro direito: com efeito, $f(v) + f(u) = f(u + v) \leq p(u + v) \leq p(u + x_0) + p(v - x_0)$ , isto é, $f(v) - p(v - x_0) \leq p(u + x_0) - f(u)$ .

Zorn. Ordene por extensão as extensões de $f$ dominadas por $p$ (pares: subespaço, funcional); uma cadeia tem a reunião por cota superior; um elemento maximal tem de estar definido em todo $E$ , pois do contrário a extensão de um passo contradiria a maximalidade. ∎

Corolário 8.7

Seja $E$ um espaço normado ( $K = \R$ ou $\C$ ).

Todo $f \in F'$ (com $F$ subespaço) se estende a $\tilde f \in E'$ com $\norm{\tilde f}_{E'} = \norm f_{F'}$ .
Para todo $x \neq 0$ existe $f \in E'$ com $\norm f = 1$ e $f(x) = \norm x$ . Em particular, $E'$ separa os pontos de $E$ , e $\norm x = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)}$ .
Para um subespaço fechado $F$ e $x \notin F$ , existe $f \in E'$ que se anula em $F$ , com $f(x) = d(x, F)$ e $\norm f \leq 1$ .

Demonstração. (1) Caso real: aplique o Teorema 8.6 com $p(x) = \norm f_{F'}\,\norm x$ (sublinear); a extensão satisfaz $\pm\tilde f(x) = \tilde f(\pm x) \leq p(x)$ , logo $\norm{\tilde f} \leq \norm f$ , e $\geq$ vem da restrição. Caso complexo: ponha $u = \operatorname{Re}f$ , um funcional real com $\abs u \leq \norm f\norm\cdot$ ; note que $f(x) = u(x) - \iu\,u(\iu x)$ (verifique nas partes real e imaginária: $\operatorname{Im}f(x) = -\operatorname{Re}f(\iu x)$ ). Estenda $u$ de maneira real-linear com a mesma cota e ponha $\tilde f(x) = \tilde u(x) - \iu\tilde u(\iu x)$ : é $\C$ -linear (verificação direta na multiplicação por $\iu$ ) e estende $f$ ; quanto à norma, para $x$ dado escreva $\tilde f(x) = r\eu^{\iu\theta}$ , e então $\abs{\tilde f(x)} = \tilde f(\eu^{-\iu\theta}x) = \tilde u(\eu^{-\iu\theta}x) \leq \norm f\,\norm x$ .

(2) Em $F = Kx$ , defina $f(tx) = t\norm x$ : de norma $1$ em $F$ ; estenda por (1). A fórmula de dualidade: $\leq$ é claro, e $\geq$ vem desse $f$ .

(3) Em $F \oplus Kx$ , defina $f(y + tx) = t\,d(x, F)$ ; então, para $t \neq 0$ , $\norm{y + tx} = \abs t\,\norm{x + y/t} \geq \abs t\,d(x, F) = \abs{f(y + tx)}$ : $\norm f \leq 1$ no subespaço; estenda por (1). ∎

Observação 8.8

Por (2), a aplicação canônica $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , é uma isometria (Exercício 8.10): todo espaço normado se aloja dentro de seu bidual. Os espaços com $J$ sobrejetora são chamados reflexivos; o problema de fim de semana mostra que $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) é reflexivo, ao passo que $\ell^1$ não é.

8.3 A trilogia de Baire

Teorema 8.9 (Banach–Steinhaus, limitação uniforme)

Sejam $E$ um espaço de Banach, $F$ normado e $(T_i)_{i\in I} \subseteq \mathcal L(E, F)$ uma família com $\sup_i \norm{T_ix} < \infty$ para todo $x \in E$ . Então $\sup_i \vertiii{T_i} < \infty$ .

Demonstração. Os conjuntos $F_n = \{x : \sup_i\norm{T_ix} \leq n\}$ são fechados (interseções de pré-imagens de bolas fechadas) e cobrem $E$ . Baire (Teorema 7.6) dá $n_0$ e uma bola $B(x_0, r) \subseteq F_{n_0}$ . Para $\norm z < r$ : $\norm{T_iz} \leq \norm{T_i(x_0 + z)} + \norm{T_ix_0} \leq 2n_0$ , logo $\vertiii{T_i} \leq 2n_0/r$ para todo $i$ . ∎

Corolário 8.10

Se $E$ é de Banach e $T_n \in \mathcal L(E,F)$ convergem pontualmente ( $T_nx \to Tx$ para cada $x$ ), então $\sup_n \vertiii{T_n} < \infty$ , $T \in \mathcal L(E, F)$ , e $\vertiii T \leq \liminf \vertiii{T_n}$ .

Demonstração. Sequências convergentes são limitadas: eis a limitação pontual; Banach–Steinhaus limita as normas por algum $M$ ; então $\norm{Tx} = \lim\norm{T_nx} \leq M\norm x$ ( $T$ é linear por ser limite pontual), e a cota mais fina segue passando a $\liminf$ em $\norm{T_nx} \leq \vertiii{T_n}\norm x$ . ∎

Teorema 8.11 (Séries de Fourier divergentes)

Existem funções contínuas $2\pi$ -periódicas $f$ cuja série de Fourier diverge em $0$ : $\sup_N\abs{S_N(f)(0)} = \infty$ . Mais ainda, tais $f$ formam um subconjunto denso de $\mathcal C(S^1)$ .

Demonstração. Trabalhamos em $E = (\mathcal C(S^1), \norm\cdot_\infty)$ , um espaço de Banach, com os funcionais $\Lambda_N(f) = S_N(f)(0) = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,D_N(t)\,\dd t$ (núcleo de Dirichlet, segundo ano). Cada $\Lambda_N$ é contínuo, com

\norm{\Lambda_N} = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\abs{D_N(t)}\,\dd t \;=\; L_N .

( $\leq$ é claro; $\geq$ : tome $f$ contínua, $\norm f_\infty \leq 1$ , aproximando $\operatorname{sign}D_N$ — o sinal tem um número finito de saltos; suavizar cada salto em um intervalo de comprimento $\varepsilon$ altera a integral de $O(N\varepsilon)$ .) As constantes de Lebesgue $L_N$ tendem ao infinito:

L_N = \frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{\abs{\sin(t/2)}} \,\dd t \geq \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi} \frac{\abs{\sin\bigl((N{+}\tfrac12)t\bigr)}}{t}\,\dd t = \frac{2}{\pi}\int_0^{(N+\frac12)\pi}\frac{\abs{\sin u}}{u}\,\dd u

(usando $\abs{\sin(t/2)} \leq t/2$ em $[0, \pi]$ e substituindo em seguida $u = (N + \tfrac12)t$ ). Cortando em arcos:

\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\frac{\abs{\sin u}}u\,\dd u \geq \frac1{k\pi}\int_{(k-1)\pi}^{k\pi}\abs{\sin u}\,\dd u = \frac{2}{k\pi}, \qquad\text{logo}\qquad L_N \geq \frac{4}{\pi^2}\sum_{k=1}^N\frac1k \xrightarrow[N\to\infty]{} \infty .

Se toda $f$ contínua tivesse $\sup_N \abs{\Lambda_N(f)} < \infty$ , Banach–Steinhaus forçaria $\sup_N\norm{\Lambda_N} < \infty$ : contradição. Logo alguma $f$ — de fato, um conjunto não magro e denso de $f$ (o complementar de $\bigcup_M\{f: \sup_N\abs{\Lambda_Nf}\leq M\}$ , uma reunião enumerável de fechados que, não tendo interior pelo que precede aplicado em qualquer bola, é magra) — satisfaz $\sup_N\abs{S_Nf(0)} = \infty$ . ∎

Teorema 8.12 (Aplicação aberta)

Sejam $E, F$ espaços de Banach e $T \in \mathcal L(E, F)$ sobrejetora. Então $T$ é aberta: $T(B_E(0,1)) \supseteq B_F(0, c)$ para algum $c > 0$ . Consequentemente, um operador limitado bijetor entre espaços de Banach tem inversa limitada.

Demonstração. Escreva $B = B_E(0,1)$ . A sobrejetividade dá $F = \bigcup_n \overline{T(nB)} = \bigcup_n n\,\overline{T(B)}$ ; Baire (Teorema 7.6) dá interior a $\overline{T(B)}$ : algum $B_F(y_0, 4c) \subseteq \overline{T(B)}$ . Recentrando em $0$ : para $\norm y < 4c$ , tanto $y_0 + y$ quanto $y_0$ são limites de imagens $Tu_k$ , $Tv_k$ com $u_k, v_k \in B$ , de modo que $y = \lim T(u_k - v_k)$ com $u_k - v_k \in 2B$ : $B_F(0, 4c) \subseteq \overline{T(2B)}$ , isto é, $B_F(0, 2c) \subseteq \overline{T(B)}$ .

Removendo o fecho (é aqui que entra a completude de $E$ ): seja $\norm y < c$ . Tome $x_1 \in \frac12 B$ com $\norm{y - Tx_1} < c/2$ ( $B_F(0,2c) \subseteq \overline{T(B)}$ reescalado por $\frac12$ ); e, indutivamente, $x_k \in 2^{-k}B$ com $\norm{y - T(x_1 + \dots + x_k)} < c\,2^{-k}$ . A série $\sum x_k$ converge absolutamente no espaço de Banach $E$ , para um $x \in B$ (de norma $< \sum 2^{-k} = 1$ ), e $Tx = y$ por continuidade: $B_F(0, c) \subseteq T(B)$ . A abertura de $T$ em abertos arbitrários segue por translação e reescalamento; quanto ao corolário, ser $T$ aberta significa que $T^{-1}$ é contínua. ∎

Corolário 8.13 (Normas equivalentes)

Se um espaço vetorial é completo para duas normas comparáveis ( $\norm\cdot_a \leq C\norm\cdot_b$ ), então as normas são equivalentes.

Demonstração. A identidade $(E, \norm\cdot_b) \to (E, \norm\cdot_a)$ é limitada e bijetora entre espaços de Banach: sua inversa é limitada. ∎

Teorema 8.14 (Gráfico fechado)

Sejam $E, F$ de Banach e $T \colon E \to F$ linear. Se o gráfico $\Gamma = \{(x, Tx)\}$ é fechado em $E \times F$ (isto é, $x_n \to x$ e $Tx_n \to y$ implicam $y = Tx$ ), então $T$ é limitada.

Demonstração. $E \times F$ com $\norm{(x,y)} = \norm x + \norm y$ é de Banach; $\Gamma$ , subespaço fechado, é de Banach. A projeção $\pi_E\colon \Gamma \to E$ é limitada e bijetora, de modo que sua inversa $x \mapsto (x, Tx)$ é limitada (Teorema 8.12): $\norm{Tx} \leq \norm{(x, Tx)} \leq C\norm x$ . ∎

Método 8.15

Quando recorrer a qual teorema. Hahn–Banach: para produzir um funcional com comportamento prescrito (normar um vetor, anular-se em um subespaço, estender de um subespaço) — não é preciso completude alguma. Banach–Steinhaus: para converter informação pontual em cotas uniformes — tipicamente, para mostrar que uma operação de limite é contínua ou, na contrapositiva, para demonstrar divergência para algum elemento, como no caso das séries de Fourier. Aplicação aberta / gráfico fechado: para obter continuidade de graça a partir da bijetividade algébrica ou de uma propriedade de fecho do gráfico — uso típico: comparar duas normas completas, ou demonstrar continuidade automática. Os três teoremas de Baire exigem completude da fonte; do contrário há contraexemplos (Exercício 8.7).

8.4 Espaços duais, concretamente

Teorema 8.16

Isometricamente: $(c_0)' \cong \ell^1$ e $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ , por meio do emparelhamento $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Demonstração. Demonstramos $(c_0)' \cong \ell^1$ ; a segunda identificação é o Exercício 8.5. A $y \in \ell^1$ associe $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ ( $x \in c_0$ ): absolutamente convergente, com $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , de modo que $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_1$ . Reciprocamente, seja $\Lambda \in (c_0)'$ ; ponha $y_n = \Lambda(e_n)$ (com $e_n$ as sequências unitárias). Para todo $N$ , teste em $x^{(N)} = \sum_{n \leq N} \operatorname{sign}(\overline{y_n})\,e_n \in c_0$ (de norma $\leq 1$ ; no caso complexo, use fatores unimodulares $\bar y_n/\abs {y_n}$ ): $\Lambda(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ . Logo $y \in \ell^1$ com $\norm y_1 \leq \norm\Lambda$ . Por fim, $\Lambda = \Lambda_y$ : ambos coincidem nos $e_n$ , portanto nas sequências finitas, densas em $c_0$ (truncamento: $\norm{x - \sum_{n \leq N}x_ne_n}_\infty = \sup_{n > N}\abs{x_n} \to 0$ precisamente porque $x_n \to 0$ ); e funcionais contínuos que coincidem em um conjunto denso são iguais. A correspondência é linear, bijetora e isométrica ( $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ , pelas duas desigualdades). ∎

8.5 Exercícios

Exercício 8.1 ★

Calcule as normas de operador: (a) dos deslocamentos $S(x_1, x_2, \dots) = (0, x_1, x_2, \dots)$ e $S^*(x_1, x_2, \dots) = (x_2, x_3, \dots)$ em $\ell^2$ ; (b) do operador de multiplicação $M_a x = (a_nx_n)$ em $\ell^2$ , para $a \in \ell^\infty$ ; (c) do funcional $\Lambda(f) = \int_0^{1/2}f - \int_{1/2}^1f$ em $\mathcal C(\intcc01)$ — mostre que $\norm\Lambda = 1$ e que a norma não é atingida.

Solução

Solução de Exercício 8.1.

(a) $\norm{Sx}_2 = \norm x_2$ : $S$ é uma isometria, $\vertiii S = 1$ . Para o deslocamento à esquerda: $\norm{S^*x}_2^2 = \sum_{n \geq 2}\abs{x_n}^2 \leq \norm x_2^2$ , com igualdade para $x = e_2$ : $\vertiii{S^*} = 1$ .

(b) $\norm{M_ax}_2^2 = \sum\abs{a_n}^2\abs{x_n}^2 \leq \norm a_\infty^2\norm x_2^2$ ; testar $x = e_n$ dá $\vertiii{M_a} \geq \abs{a_n}$ para todo $n$ : $\vertiii{M_a} = \norm a_\infty$ .

(c) $\abs{\Lambda(f)} \leq \int_0^1\abs f \leq \norm f_\infty$ : $\norm\Lambda \leq 1$ . Para $\varepsilon > 0$ , seja $f_\varepsilon$ igual a $1$ em $[0, \frac12 - \varepsilon]$ , $-1$ em $[\frac12 + \varepsilon, 1]$ , afim entre eles: $\norm{f_\varepsilon}_\infty = 1$ e $\Lambda(f_\varepsilon) \geq 1 - 2\varepsilon$ : $\norm\Lambda = 1$ . Não atingida: $\Lambda(f) = 1$ com $\norm f_\infty \leq 1$ força $\int_0^{1/2}f = \frac12$ e $\int_{1/2}^1 f = -\frac12$ , isto é (continuidade, $\abs f \leq 1$ ), $f \equiv 1$ em $[0, \frac12]$ e $f \equiv -1$ em $[\frac12, 1]$ : contradição em $\frac12$ .

Exercício 8.2 ★

Sejam $E$ de Banach, $T \in \mathcal L(E)$ inversível e $S$ com $\vertiii{S - T} < 1/\vertiii{T^{-1}}$ . Mostre que $S$ é inversível e estime $\vertiii{S^{-1} - T^{-1}}$ . Aplicação: se um sistema linear $Tx = b$ é solúvel com $T$ inversível, uma perturbação suficientemente pequena de $T$ o mantém unicamente solúvel, com uma cota quantitativa para a variação da solução.

Solução

Solução de Exercício 8.2.

Escreva $S = T\bigl(I - T^{-1}(T - S)\bigr)$ com $\vertiii{T^{-1}(T-S)} \leq \vertiii{T^{-1}}\,\vertiii{T - S} = \theta < 1$ : pela Proposição 8.4, $S$ é inversível com $S^{-1} = \sum_{n\geq0}\bigl(T^{-1}(T - S)\bigr)^nT^{-1}$ , donde

\vertiii{S^{-1} - T^{-1}} \leq \sum_{n\geq1}\theta^n\,\vertiii{T^{-1}} = \frac{\vertiii{T^{-1}}^2\,\vertiii{T - S}}{1 - \theta}.

Para o sistema linear: $x_T = T^{-1}b$ e $x_S = S^{-1}b$ diferem, no máximo, dessa cota vezes $\norm b$ — pequenas perturbações de um sistema inversível permanecem unicamente solúveis, com dependência lipschitziana da solução em relação ao operador.

Exercício 8.3 ★★

(a) Demonstre que $\ell^1$ , $\ell^\infty$ e $c_0$ são espaços de Banach, e que $c_0$ é o fecho em $\ell^\infty$ do espaço das sequências finitas. (b) Mostre que $\ell^p \subseteq \ell^q$ com $\norm\cdot_q \leq \norm\cdot_p$ para $1 \leq p \leq q \leq \infty$ , e que a inclusão é estrita.

Solução

Solução de Exercício 8.3.

(a) $\ell^1$ : seja $(x^{(k)})$ de Cauchy. Cada coordenada é de Cauchy ( $\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \norm{x^{(k)} - x^{(l)}}_1$ ): seja $x_n = \lim_kx^{(k)}_n$ . Dado $\varepsilon$ , para $k, l \geq K$ : $\sum_{n \leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n} \leq \varepsilon$ para todo $N$ ; faça $l \to \infty$ e depois $N \to \infty$ : $\norm{x^{(k)} - x}_1 \leq \varepsilon$ , e $x = x^{(k)} - (x^{(k)} - x) \in \ell^1$ . $\ell^\infty$ : ser de Cauchy para $\norm\cdot_\infty$ é ser uniformemente de Cauchy: converge uniformemente para uma sequência limitada. $c_0$ é fechado em $\ell^\infty$ : se $x^{(k)} \to x$ uniformemente com $x^{(k)}_n \to_n 0$ , então $\abs{x_n} \leq \norm{x - x^{(k)}}_\infty + \abs{x^{(k)}_n}$ dá $\limsup_n\abs{x_n} \leq \varepsilon$ : $x \in c_0$ ; um subespaço fechado de um espaço de Banach é de Banach. Sequências finitas: seu fecho contém todo $x \in c_0$ (as truncaturas convergem: $\sup_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ) e está contido no fechado $c_0$ .

(b) Por homogeneidade, suponha $\norm x_p = 1$ : então $\abs{x_n} \leq 1$ para todo $n$ , de modo que $\abs{x_n}^q \leq \abs{x_n}^p$ e $\norm x_q \leq 1 = \norm x_p$ ; para $q = \infty$ , $\abs{x_n} \leq \norm x_p$ diretamente. Estrita: $x_n = n^{-\alpha}$ com $\frac1q < \alpha \leq \frac1p$ está em $\ell^q \setminus \ell^p$ (série de Riemann).

Exercício 8.4 ★★

Sejam $F \subseteq E$ um subespaço fechado e $x \notin F$ . Usando o Corolário 8.7, demonstre a fórmula de dualidade

d(x, F) = \max\bigl\{\abs{f(x)} : f \in E',\ \norm f \leq 1,\ f\restriction_F = 0\bigr\}

(atenção: um máximo). Deduza que $F = \bigcap\{\ker f : f \in E',\ f\restriction_F = 0\}$ : os subespaços fechados são exatamente as interseções de núcleos de funcionais.

Solução

Solução de Exercício 8.4.

( $\leq$ ) Se $\norm f \leq 1$ e $f\restriction_F = 0$ : para todo $y \in F$ , $\abs{f(x)} = \abs{f(x - y)} \leq \norm{x - y}$ ; tome o ínfimo. ( $\geq$ , atingido) O Corolário 8.7(3) produz $f$ com $f\restriction_F = 0$ , $\norm f \leq 1$ , $f(x) = d(x, F)$ : o supremo é um máximo. Consequência: $F \subseteq \bigcap\{\ker f : f\restriction_F = 0\}$ trivialmente, e um ponto $x \notin F$ é excluído da interseção pelo funcional acima ( $f(x) = d(x,F) > 0$ , sendo $F$ fechado).

Exercício 8.5 ★★

Demonstre $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ isometricamente, seguindo o esquema do Teorema 8.16 (as sequências finitas são densas em $\ell^1$ ). Onde o argumento se quebra para $(\ell^\infty)'$ ?

Solução

Solução de Exercício 8.5.

Para $y \in \ell^\infty$ : $\abs{\Lambda_y(x)} = \abs{\sum x_ny_n} \leq \norm y_\infty\norm x_1$ , de modo que $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_\infty$ ; testando em $e_n$ : $\abs{y_n} = \abs{\Lambda_y(e_n)} \leq \norm{\Lambda_y}$ : igualdade. Reciprocamente, dado $\Lambda \in (\ell^1)'$ , ponha $y_n = \Lambda(e_n)$ : $\abs{y_n} \leq \norm\Lambda$ , de modo que $y \in \ell^\infty$ ; $\Lambda$ e $\Lambda_y$ coincidem nas sequências finitas, densas em $\ell^1$ ( $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_1 = \sum_{n>N}\abs{x_n} \to 0$ ): $\Lambda = \Lambda_y$ . A aplicação $y \mapsto \Lambda_y$ é linear, isométrica e sobrejetora. Para $(\ell^\infty)'$ , o mesmo início produz uma sequência $y_n = \Lambda(e_n)$ , mas as sequências finitas não são densas em $\ell^\infty$ (a sequência constante $\mathbf 1$ está à distância $1$ de todas elas), de modo que $\Lambda$ não fica determinada pelos $y_n$ — e, de fato, $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ (Problema 8.1).

Exercício 8.6 ★★

Sejam $E, F, G$ normados com $E$ de Banach, e $B \colon E \times F \to G$ bilinear, contínua em cada variável separadamente. Mostre que $B$ é (conjuntamente) contínua: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ . (Aplique Banach–Steinhaus à família $(B(\cdot, y))_{\norm y \leq 1}$ .)

Solução

Solução de Exercício 8.6.

Para cada $x$ fixo, $y \mapsto B(x, y)$ é linear contínua: $\sup_{\norm y \leq 1}\norm{B(x,y)} < \infty$ . Logo a família $\{B(\cdot, y) : \norm y \leq 1\} \subseteq \mathcal L(E, G)$ (cada membro contínuo, pela continuidade em $x$ ) é pontualmente limitada no espaço de Banach $E$ : Banach–Steinhaus (Teorema 8.9) fornece $C$ com $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x$ para todo $\norm y \leq 1$ ; a homogeneidade em $y$ conclui: $\norm{B(x,y)} \leq C\norm x\norm y$ .

Exercício 8.7 ★★

(a) Em $E = \mathcal C(\intcc01)$ , compare $\norm\cdot_\infty$ e $\norm\cdot_1$ : a identidade $(E, \norm\cdot_\infty) \to (E, \norm\cdot_1)$ é limitada e bijetora, mas sua inversa é ilimitada. Que hipótese do Corolário 8.13 falha? (b) Exiba uma aplicação linear descontínua de um subespaço denso de $\ell^2$ em $K$ (por exemplo, nas sequências finitas) e explique por que isso não contradiz o teorema do gráfico fechado.

Solução

Solução de Exercício 8.7.

(a) $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ : a identidade é limitada e bijetora. Sua inversa é ilimitada: $f_n(x) = x^n$ tem $\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1} \to 0$ , mas $\norm{f_n}_\infty = 1$ . Nenhuma contradição com o Corolário 8.13: $(\mathcal C(\intcc01), \norm\cdot_1)$ não é completo (Exercício 7.1); o corolário exige completude dos dois lados.

(b) No espaço $E_0$ das sequências finitas (denso em $\ell^2$ ), $\varphi(x) = \sum_n n\,x_n$ é linear e ilimitado ( $\varphi(e_n) = n$ com $\norm{e_n}_2 = 1$ ). O teorema do gráfico fechado não se aplica: $E_0$ não é completo — e $\varphi$ não tem extensão contínua a $\ell^2$ , ilustrando que densidade sem continuidade uniforme nada pode (Teorema 7.2).

Exercício 8.8 ★★★

(Hellinger–Toeplitz) Seja $T \colon \ell^2 \to \ell^2$ linear (definida em toda parte) e simétrica: $\langle Tx, y\rangle = \langle x, Ty\rangle$ para todos $x, y$ , em que $\langle x, y \rangle = \sum x_n\bar y_n$ . Mostre que $T$ é limitada. (Gráfico fechado: se $x_k \to x$ e $Tx_k \to z$ , teste contra $y$ arbitrário.) Moral: operadores simétricos ilimitados — as hamiltonianas da mecânica quântica — jamais podem ser definidos no espaço todo.

Solução

Solução de Exercício 8.8.

Verificamos a hipótese do gráfico fechado. Sejam $x_k \to x$ e $Tx_k \to z$ em $\ell^2$ . Para todo $y$ :

\langle z, y\rangle = \lim_k\langle Tx_k, y\rangle = \lim_k \langle x_k, Ty\rangle = \langle x, Ty\rangle = \langle Tx, y\rangle,

usando a continuidade do produto interno em cada entrada (Cauchy–Schwarz) e a simetria duas vezes. Logo $z - Tx$ é ortogonal a todo $y$ , em particular a si mesmo: $z = Tx$ . O gráfico é fechado e $\ell^2$ é de Banach: $T$ é limitado (Teorema 8.14). Assim, um operador simétrico definido em todo $\ell^2$ é automaticamente limitado; operadores simétricos genuinamente ilimitados (posição, momento, hamiltonianos) devem viver em subespaços densos próprios.

Exercício 8.9 ★★★

(Teorema de Pólya sobre quadraturas) Para cada $n$ , seja $\Lambda_n(f) = \sum_{i=0}^{n} w_{i,n}f(x_{i,n})$ uma regra de quadratura em $\mathcal C(\intcc01)$ ( $x_{i,n} \in \intcc01$ , $w_{i,n} \in \R$ ). Mostre que $\Lambda_n(f) \to \int_0^1f$ para toda $f$ contínua se, e somente se: (i) $\Lambda_n(P) \to \int_0^1P$ para todo polinômio $P$ , e (ii) $\sup_n\sum_i\abs{w_{i,n}} < \infty$ . (Calcule $\norm{\Lambda_n}$ ; use Banach–Steinhaus e Weierstrass.) Verifique que as regras com pesos positivos exatas nas constantes satisfazem (ii) automaticamente.

Solução

Solução de Exercício 8.9.

Primeiro, $\norm{\Lambda_n} = \sum_i\abs{w_{i,n}}$ : $\leq$ é a desigualdade triangular; $\geq$ testando com uma $f$ linear por partes com $\norm f_\infty \leq 1$ e $f(x_{i,n}) = \operatorname{sign}(w_{i,n})$ (interpole linearmente entre os finitos nós; onde os nós coincidem, os sinais concordam).

( $\Rightarrow$ ) A convergência pontual em toda $f$ implica (i) e a limitação pontual, de modo que Banach–Steinhaus (Teorema 8.9) no espaço de Banach $\mathcal C(\intcc01)$ dá (ii).

( $\Leftarrow$ ) Seja $M = \sup_n\norm{\Lambda_n} + 1$ . Dados $f$ e $\varepsilon$ , escolha um polinômio $P$ com $\norm{f - P}_\infty < \varepsilon/(2M)$ (Corolário 7.16); então

\Bigl|\Lambda_n f - \int_0^1 f\Bigr| \leq \abs{\Lambda_n(f - P)} + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| + \Bigl|\int_0^1(P - f)\Bigr| \leq \varepsilon + \Bigl|\Lambda_nP - \int_0^1P\Bigr| \to \varepsilon .

Pesos positivos, exatidão nas constantes: $\sum_i\abs{w_{i,n}} = \sum_iw_{i,n} = \Lambda_n(\mathbf 1) = \int_0^1 1 = 1$ para regras exatas nas constantes — (ii) vale com constante $1$ .

Exercício 8.10 ★★

Mostre que $J \colon E \to E''$ , $J(x)(f) = f(x)$ , é uma isometria linear (use o Corolário 8.7(2)) e que ela é sobrejetora quando $\dim E < \infty$ . Mostre também que, se $E'$ é separável, então $E$ também é. (Tome $x_n$ que quase normem uma sequência densa de $E'$ e mostre que o subespaço fechado que geram é $E$ , via o Corolário 8.7(3).)

Solução

Solução de Exercício 8.10.

A linearidade de $J$ é formal; $\norm{J(x)} = \sup_{\norm f \leq 1}\abs{f(x)} = \norm x$ pelo Corolário 8.7(2). Se $\dim E = n$ : $\dim E' = n$ (uma base dá os funcionais coordenados), de modo que $\dim E'' = n$ , e o $J$ injetor (isométrico) é sobrejetor. Separabilidade: seja $(f_n)$ denso em $E'$ e escolha $\norm{x_n} = 1$ com $\abs{f_n(x_n)} \geq \frac12\norm{f_n}$ . Seja $F = \overline{\operatorname{Vect}}(x_n)$ ; se $F \neq E$ , tome $g \in E'$ , $g \neq 0$ , nulo em $F$ (Corolário 8.7(3)); escolha $f_{n_k} \to g$ :

\norm{f_{n_k} - g} \geq \abs{(f_{n_k} - g)(x_{n_k})} = \abs{f_{n_k}(x_{n_k})} \geq \tfrac12\norm{f_{n_k}} \geq \tfrac12\bigl(\norm g - \norm{f_{n_k} - g}\bigr),

de modo que $\norm{f_{n_k} - g} \geq \frac13\norm g > 0$ : contradição. Logo $F = E$ , e as combinações racionais (ou $\Q + \iu\Q$ ) dos $x_n$ formam um conjunto enumerável denso.

Exercício 8.11 ★★

(Espaços quocientes) Sejam $E$ um espaço de Banach e $F \subseteq E$ um subespaço fechado. Em $E/F$ , defina

\norm{\bar x} \;=\; d(x, F) = \inf_{y\in F}\norm{x - y} .

(a) Mostre que isso define uma norma em $E/F$ (onde entra o fato de $F$ ser fechado?) e que a projeção $\pi \colon E \to E/F$ satisfaz $\vertiii\pi \leq 1$ e leva a bola unitária aberta sobre a bola unitária aberta. (b) Mostre que $E/F$ é completo. (Use o critério de séries do Exercício 7.1(b): dadas classes $\bar x_k$ com $\sum\norm{\bar x_k} < \infty$ , levante cada uma a $x_k \in E$ com $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ e some em $E$ .) (c) Calcule: para $E = c$ (sequências convergentes) e $F = c_0$ , mostre que $c/c_0 \cong K$ isometricamente, via $\bar x \mapsto \lim_nx_n$ .

Solução

Solução de Exercício 8.11.

(a) Boa definição: $d(x, F)$ depende apenas de $\bar x$ (transladar $x$ por $F$ não muda a distância). A homogeneidade e a desigualdade triangular passam de $\norm\cdot$ pelo ínfimo. A separação precisa que o subespaço seja fechado: $\norm{\bar x} = 0$ significa $d(x, F) = 0$ , isto é, $x \in \bar F = F$ , isto é, $\bar x = 0$ . $\vertiii\pi \leq 1$ : $\norm{\bar x} \leq \norm x$ . Bola aberta sobre bola aberta: se $\norm{\bar x} < 1$ , algum representante tem $\norm{x - y} < 1$ ; reciprocamente, $\pi(B_E(0,1)) \subseteq B_{E/F}(0,1)$ pela desigualdade entre normas — de modo que $\pi$ é aberta, o caso modelo do teorema da aplicação aberta.

(b) Seja $\sum_k\norm{\bar x_k} < \infty$ e levante com $\norm{x_k} \leq \norm{\bar x_k} + 2^{-k}$ : então $\sum\norm{x_k} < \infty$ , de modo que $s = \sum_kx_k$ converge no espaço de Banach $E$ (Exercício 7.1(b)), e a continuidade de $\pi$ dá $\sum_k\bar x_k = \bar s$ : toda série absolutamente convergente de $E/F$ converge, o que é equivalente à completude (mesmo exercício).

(c) A aplicação $\lambda(x) = \lim_nx_n$ é linear $c \to K$ , anula-se exatamente em $c_0$ e, portanto, induz uma bijeção linear $c/c_0 \to K$ . Isometria: $d(x, c_0) = \abs{\lambda(x)}$ — $\leq$ : subtraia de $x$ a sequência $x - \lambda(x)\mathbf 1 \in c_0$ , deixando $\lambda(x)\mathbf 1$ de norma $\abs{\lambda(x)}$ ; $\geq$ : para $y \in c_0$ , $\norm{x - y}_\infty \geq \limsup_n\abs{x_n - y_n} = \abs{\lambda(x)}$ .

Exercício 8.12 ★★

(Projeções limitadas e subespaços complementados) Sejam $E$ um espaço de Banach e $P \colon E \to E$ linear com $P^2 = P$ (uma projeção algébrica), $V = \operatorname{im}P$ , $W = \ker P$ . (a) Suponha $P$ limitada. Mostre que $V$ e $W$ são fechados e que $E = V \oplus W$ , com a decomposição $x = Px + (x - Px)$ . (b) Reciprocamente, suponha $E = V \oplus W$ com $V, W$ ambos fechados, e seja $P$ a projeção sobre $V$ ao longo de $W$ . Mostre que $P$ é limitada. (Gráfico fechado: se $x_n \to x$ e $Px_n \to z$ , então $z \in V$ , $x_n - Px_n \to x - z \in W$ , e a unicidade da decomposição identifica $z = Px$ .) (c) Deduza a equivalência: um subespaço $V$ admite projeção limitada se, e somente se, é fechado e tem complemento algébrico fechado — e note (sem demonstração) que existem subespaços fechados sem essa propriedade ( $c_0$ dentro de $\ell^\infty$ é o exemplo clássico): os espaços de Hilbert, em que $V^\perp$ sempre funciona (Capítulo 13), são a exceção, não a regra.

Solução

Solução de Exercício 8.12.

(a) $W = \ker P$ é fechado (pré-imagem de $0$ por uma aplicação contínua); $V = \operatorname{im}P = \ker(I - P)$ (de fato, $Px = x$ se, e somente se, $x \in \operatorname{im}P$ , usando $P^2 = P$ ), fechado do mesmo modo. Todo $x$ se reparte como $Px + (x - Px)$ com $Px \in V$ , $x - Px \in W$ , e $V \cap W = 0$ ( $x = Px = 0$ ): $E = V \oplus W$ .

(b) O argumento do gráfico: sejam $x_n \to x$ e $Px_n \to z$ . Então $z \in V$ ( $V$ fechado, $Px_n \in V$ ) e $x_n - Px_n \to x - z \in W$ ( $W$ fechado). Logo $x = z + (x - z)$ com $z \in V$ , $x - z \in W$ ; pela unicidade da decomposição, $z = Px$ . O gráfico de $P$ é fechado e $E$ é de Banach: $P$ é limitado (Teorema 8.14).

(c) (a) e (b) juntos são a equivalência. Num espaço de Hilbert, todo $V$ fechado tem o complemento fechado $V^\perp$ (Capítulo 13): todo subespaço fechado é complementado. Em espaços de Banach gerais isso falha — $c_0$ não tem complemento fechado em $\ell^\infty$ (teorema de Phillips, além de nossas ferramentas) —, de modo que projeções limitadas são um privilégio, e o teorema do gráfico fechado é exatamente o que converte decomposições geométricas em operadores limitados.

8.6 Problema: a dualidade dos espaços $\ell^p$

Problema 8.1

Problema de fim de semana — $(\ell^p)' = \ell^q$ , reflexividade e a estranheza de $\ell^\infty$

Fixe $1 < p < \infty$ e seja $q$ o expoente conjugado, $\frac1p + \frac1q = 1$ . O emparelhamento em todo o problema é $\langle x, y\rangle = \sum_n x_ny_n$ .

Parte I — Hölder e Minkowski para sequências.

(Desigualdade de Young) Para $a, b \geq 0$ , mostre que $ab \leq \frac{a^p}p + \frac{b^q}q$ , usando a concavidade de $\log$ ou estudando $t \mapsto \frac{t^p}p + \frac1q - t$ .
(Hölder) Deduza: $\abs{\langle x, y\rangle} \leq \norm x_p\norm y_q$ para $x \in \ell^p$ , $y \in \ell^q$ ; identifique o caso de igualdade.
(Minkowski) Deduza a desigualdade triangular para $\norm\cdot_p$ . (Escreva $\abs{x_n + y_n}^p \leq \abs{x_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1} + \abs{y_n}\,\abs{x_n{+}y_n}^{p-1}$ e aplique Hölder a cada termo.)
Demonstre que $\ell^p$ é completo e que as sequências finitas são densas nele.

Parte II — A dualidade $(\ell^p)' = \ell^q$ .

Para $y \in \ell^q$ , mostre que $\Lambda_y(x) = \langle x, y\rangle$ define $\Lambda_y \in (\ell^p)'$ com $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ e, testando em $x_n = \abs{y_n}^{q-1}\operatorname{sign}(y_n)$ (convenientemente truncado e normalizado), que $\norm{\Lambda_y} = \norm y_q$ .
Reciprocamente, dado $\Lambda \in (\ell^p)'$ , ponha $y_n = \Lambda(e_n)$ ; mostre que $y \in \ell^q$ com $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ (teste em truncamentos como na questão 5 e faça o comprimento do truncamento crescer), e conclua $\Lambda = \Lambda_y$ : a aplicação $y \mapsto \Lambda_y$ é um isomorfismo isométrico $\ell^q \to (\ell^p)'$ .
Deduza que $\ell^p$ é reflexivo para $1 < p < \infty$ : compondo as duas dualidades, todo elemento de $(\ell^p)''$ provém de $\ell^p$ ; verifique com cuidado que a composta é a aplicação canônica $J$ .

Parte III — $\ell^1$ e $\ell^\infty$ são animais diferentes.

Mostre que $\ell^p$ ( $1 \leq p < \infty$ ) e $c_0$ são separáveis, mas $\ell^\infty$ não é. (As não enumeráveis sequências indicadoras de subconjuntos de $\N$ estão duas a duas a distância $1$ .)
Deduza do Exercício 8.10 que $(\ell^1)' \cong \ell^\infty$ , mas $(\ell^\infty)' \not\cong \ell^1$ : $\ell^1$ não é reflexivo. (Se $(\ell^\infty)'$ fosse $\ell^1$ , ele seria separável, o que forçaria $\ell^\infty$ separável.)
(Um limite de Banach, explicitamente) Em $\ell^\infty_\R$ , ponha $p(x) = \limsup_n \frac{x_1 + \dots + x_n}{n}$ . Mostre que $p$ é sublinear e que, no subespaço $c$ das sequências convergentes, $\mathrm{LIM}(x) = \lim x$ satisfaz $\mathrm{LIM} \leq p$ . Estenda por Hahn–Banach a $\mathrm{LIM} \colon \ell^\infty_\R \to \R$ e mostre: $\mathrm{LIM}$ é positivo ( $x \geq 0 \Rightarrow \mathrm{LIM}(x) \geq 0$ ), invariante por deslocamento ( $\mathrm{LIM}(x_2, x_3, \dots) = \mathrm{LIM}(x)$ ), estende o limite e satisfaz $\liminf x \leq \mathrm{LIM}(x)\leq \limsup x$ .
Mostre que um tal $\mathrm{LIM}$ , visto em $(\ell^\infty)'$ , não é da forma $\Lambda_y$ para nenhum $y \in \ell^1$ ; conclua de novo que $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ . (Avalie nas sequências unitárias $e_n$ e, depois, na sequência constante $1$ .)
Avalie $\mathrm{LIM}$ em $(0,1,0,1,\dots)$ e mostre que não pode existir extensão multiplicativa do limite que seja invariante por deslocamento (considere $x = (0,1,0,1,\dots)$ e $x\cdot Sx$ , em que $S$ é o deslocamento).

Parte IV — Epílogo: por que a reflexividade importa.

Usando o Corolário 8.10 e a questão 6, mostre que toda sequência limitada de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) tem uma subsequência $(x^{(k)})$ que converge fracamente: $\Lambda(x^{(k)})$ converge para todo $\Lambda \in (\ell^p)'$ . (Extração diagonal nas enumeráveis coordenadas; identifique o limite fraco em $\ell^p$ usando a limitação uniforme das normas e Hölder.) Mostre com um exemplo ( $e_n$ em $\ell^1$ , contra elementos bem escolhidos de $\ell^\infty$ ) que isso falha em $\ell^1$ : a compacidade fraca é um privilégio dos espaços reflexivos.

Parte V — A topologia fraca em ação, e a surpresa de Schur. Escreva $x^{(k)} \rightharpoonup x$ em um espaço normado $E$ (convergência fraca) quando $\Lambda(x^{(k)}) \to \Lambda(x)$ para todo $\Lambda \in E'$ .

Complete o censo: mostre que $(c_0)' \cong \ell^1$ isometricamente, pelo esquema das questões 5–6 (o que substitui as sequências de teste?). Monte a cadeia $c_0 \to \ell^1 \to \ell^\infty \to \dots$ de duais sucessivos e assinale onde a reflexividade falha.
Mostre que toda sequência fracamente convergente de um espaço de Banach é limitada: veja os $x^{(k)}$ , através do mergulho canônico $J$ , como funcionais em $E'$ e aplique Banach–Steinhaus (Teorema 8.9) — em qual espaço de Banach, e por que a completude está disponível ali?
Mostre que, em $\ell^p$ com $1 < p < \infty$ : $x^{(k)} \rightharpoonup x$ se, e somente se, $\sup_k\norm{x^{(k)}}_p < \infty$ e $x^{(k)}_n \to x_n$ para toda coordenada $n$ (uma das implicações usa Banach–Steinhaus através do mergulho canônico; para a outra, aproxime $y \in \ell^q$ por sequências finitas). Deduza $e_k \rightharpoonup 0$ em $\ell^2$ , embora $\norm{e_k}_2 = 1$ : os limites fracos podem perder massa.
Mostre que a norma é fracamente semicontínua inferiormente: $x^{(k)} \rightharpoonup x$ implica $\norm x \leq \liminf_k\,\norm{x^{(k)}}$ (tome um funcional que norme $x$ , Corolário 8.7).
(Radon–Riesz em $\ell^2$ ) Mostre que, em $\ell^2$ , a convergência fraca junto com a convergência das normas implica convergência em norma (expanda $\norm{x^{(k)} - x}_2^2$ ). Dê um contraexemplo para o mesmo enunciado sem a hipótese sobre as normas.
(Schur, etapa 1) Seja $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ em $\ell^1$ e suponha, por absurdo, $\norm{x^{(k)}}_1 \geq \delta > 0$ ao longo de uma subsequência. Mostre primeiro que $x^{(k)}_n \to 0$ para cada $n$ (quais funcionais?), e depois construa recursivamente índices $k_1 < k_2 < \cdots$ e inteiros $0 = N_0 < N_1 < N_2 < \cdots$ tais que a massa de $x^{(k_j)}$ se concentre no bloco $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ :

$\sum_{n \in B_j}\bigl|x^{(k_j)}_n\bigr| \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10} .$
(Schur, etapa 2) Defina $y \in \ell^\infty$ por $y_n = \operatorname{sign}\bigl(x^{(k_j)}_n\bigr)$ para $n \in B_j$ . Mostre que $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \geq \norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac{2\delta}{10} \geq \frac{8\delta}{10}$ e obtenha uma contradição com $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ . Conclua o teorema de Schur: em $\ell^1$ , as sequências fracamente convergentes convergem em norma.
Deduza que $(e_k)$ não tem subsequência fracamente convergente em $\ell^1$ (seu único candidato a limite é $0$ , coordenada a coordenada — aplique então Schur), recuperando a falha de compacidade fraca da questão 13; e resolva o aparente paradoxo: em $\ell^1$ as convergências fraca e em norma de sequências coincidem, e no entanto as topologias fraca e da norma diferem e os conjuntos limitados continuam a não ser fracamente sequencialmente compactos — não há contradição, apenas a falha da reflexividade.
(Tabela de síntese) Para $E \in \{c_0,\ \ell^1,\ \ell^p\ (1{<}p{<}\infty),\ \ell^\infty\}$ , tabule: o dual; a separabilidade; a reflexividade; se as sequências limitadas admitem subsequências fracamente convergentes; e uma propriedade característica de cada espaço, justificada em uma linha a partir deste problema.

Parte VI — Complementos: pontos mais próximos, convergência em média e o valor de um limite de Banach.

(Pontos mais próximos: um dividendo da reflexividade) Sejam $F$ um subespaço fechado de $\ell^p$ ( $1 < p < \infty$ ) e $x \in \ell^p$ . Mostre que $d = \operatorname{dist}(x, F)$ é atingida: extraia de uma sequência minimizante uma subsequência fracamente convergente (questão 13), mantenha o limite fraco dentro de $F$ construindo, via Hahn–Banach, um funcional que se anula em $F$ mas não em um ponto fora dele, e conclua com a questão 17. Mostre em seguida que o privilégio não é universal: em $c_0$ , para $\Lambda(x) = \sum_n2^{-n}x_n$ , demonstre que $\norm\Lambda = 1$ não é atingida na bola unitária, estabeleça a fórmula de distância $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) = \abs{\Lambda(x)}$ e deduza que nenhum $x \notin \ker\Lambda$ tem ponto mais próximo no hiperplano fechado $\ker\Lambda$ .
(Banach–Saks em $\ell^2$ ) Seja $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ em $\ell^2_{\R}$ com $\norm{x^{(k)}}_2 \leq C$ . Construa uma subsequência $(y_j)$ com $\abs{\langle y_i, y_j\rangle} \leq \frac1j$ para todos $i < j$ , e deduza

$\Bigl\lVert\frac{y_1 + \dots + y_m}m\Bigr\rVert_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \longrightarrow 0 :$

após extração, as médias de Cesàro convergem em norma. Confira em $(e_k)$ , cujas médias têm norma $\frac1{\sqrt m}$ : a convergência fraca, inútil para a própria sequência (questão 16), torna-se convergência em norma para as médias.
(O valor de um limite de Banach) Sejam $L$ um limite de Banach qualquer (questão 10) e $A_mx = \frac1m(x + Sx + \dots + S^{m-1}x)$ . Mostre que $L(A_mx) = L(x)$ e $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ ; deduza que todos os limites de Banach coincidem nas sequências periódicas, com valor a média sobre um período — $\frac13$ em $(1, 0, 0, 1, 0, 0, \dots)$ , coerente com o $\frac12$ da questão 12. Mostre em seguida que a coincidência falha em geral: para a sequência em blocos $x$ igual a $1$ em $\intoc{3^{j-1}}{3^j}$ para $j$ par e a $0$ nos demais índices, mostre que as médias de Cesàro oscilam entre $\leq \frac13$ e $\geq \frac23$ , e construa dois limites de Banach $L_\pm$ com $L_-(x) \leq \frac13 < \frac23 \leq L_+(x)$ (estenda a partir de $c \oplus \R x$ com os valores admissíveis extremos $\pm$ : verifique que $\Lambda(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ é dominado pelo $p$ sublinear da questão 10).

Solução

Solução de Problema 8.1.

1. Para $a, b > 0$ : pela concavidade de $\log$ , $\log\bigl(\tfrac{a^p}p + \tfrac{b^q}q\bigr) \geq \tfrac1p\log a^p + \tfrac1q\log b^q = \log(ab)$ ; exponencie. (Se $ab = 0$ , a desigualdade é trivial.) Igualdade se, e somente se, $a^p = b^q$ .

2. Podemos supor $\norm x_p = \norm y_q = 1$ (homogeneidade; os casos nulos são triviais). Então

\abs{\langle x, y\rangle} \leq \sum_n\abs{x_n}\abs{y_n} \leq \sum_n\Bigl(\frac{\abs{x_n}^p}p + \frac{\abs{y_n}^q}q\Bigr) = \frac1p + \frac1q = 1 = \norm x_p\norm y_q .

A igualdade exige $\abs{x_n}^p = \abs{y_n}^q$ para todo $n$ (caso de igualdade em Young) e o alinhamento das fases de $x_ny_n$ .

3. $\abs{x_n + y_n}^p \leq \bigl(\abs{x_n} + \abs{y_n}\bigr)\abs{x_n + y_n}^{p-1}$ ; somando e aplicando Hölder ( $p$ contra $q$ , notando $(p - 1)q = p$ ):

\norm{x + y}_p^p \leq \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\Bigl(\sum_n\abs{x_n + y_n}^{p}\Bigr)^{1/q} = \bigl(\norm x_p + \norm y_p\bigr)\,\norm{x+y}_p^{p/q};

se $\norm{x + y}_p \neq 0$ (senão é trivial), divida por $\norm{x+y}_p^{p/q}$ e use $p - \frac pq = 1$ . (Finitude de $\norm{x+y}_p$ antes: $\abs{x_n+y_n}^p \leq 2^p(\abs{x_n}^p + \abs{y_n}^p)$ .)

4. Completude: como para $\ell^1$ (Exercício 8.3), limites coordenada a coordenada mais a cota uniforme das caudas $\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x^{(l)}_n}^p \leq \varepsilon^p$ , fazendo $l$ e depois $N$ tenderem ao infinito. Densidade das sequências finitas: $\norm{x - \sum_{n\leq N}x_ne_n}_p^p = \sum_{n > N}\abs{x_n}^p \to 0$ .

5. Hölder dá $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_p\norm y_q$ : $\norm{\Lambda_y} \leq \norm y_q$ . Testando: seja $x^{(N)}_n = \abs{y_n}^{q-1}\overline{\operatorname{sign}}(y_n)$ para $n \leq N$ , $0$ além disso (com $\operatorname{sign}$ a fase unimodular, de modo que $x_ny_n = \abs{y_n}^q$ ). Então $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q$ e $\norm{x^{(N)}}_p = \bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^{q}\bigr)^{1/p}$ (pois $(q-1)p = q$ ), de modo que

\norm{\Lambda_y} \geq \Bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1 - 1/p} \xrightarrow[N\to\infty]{} \norm y_q .

6. Ponha $y_n = \Lambda(e_n)$ . Com os mesmos vetores de teste, $\sum_{n \leq N}\abs{y_n}^q = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda\,\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/p}$ , donde $\bigl(\sum_{n\leq N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} \leq \norm\Lambda$ para todo $N$ : $y \in \ell^q$ , $\norm y_q \leq \norm\Lambda$ . Os funcionais $\Lambda$ e $\Lambda_y$ coincidem nas sequências finitas densas (questão 4): $\Lambda = \Lambda_y$ . Com a questão 5, $y \mapsto \Lambda_y$ é um isomorfismo isométrico $\ell^q \cong (\ell^p)'$ .

7. Seja $\xi \in (\ell^p)''$ . Compondo com a isometria $\ell^q \cong (\ell^p)'$ da questão 6, $\xi$ define um elemento de $(\ell^q)'$ , que (questão 6 com $p, q$ trocados) é $\Lambda_z$ para um único $z \in \ell^p$ : para todo $y \in \ell^q$ , $\xi(\Lambda_y) = \sum_nz_ny_n$ . Por outro lado, $J(z)(\Lambda_y) = \Lambda_y(z) = \sum_ny_nz_n$ : o mesmo valor. Como todo elemento de $(\ell^p)'$ é algum $\Lambda_y$ , $\xi = J(z)$ : $J$ é sobrejetora — $\ell^p$ é reflexivo.

8. As sequências finitas com entradas racionais (parte real e imaginária) são enumeráveis e densas em $\ell^p$ ( $p < \infty$ ) e em $c_0$ . Em $\ell^\infty$ : a família $\{\mathbf 1_A : A \subseteq \N\}$ é não enumerável, com $\norm{\mathbf 1_A - \mathbf 1_B}_\infty = 1$ para $A \neq B$ ; as bolas $B(\mathbf 1_A, \frac12)$ são duas a duas disjuntas, e um conjunto denso deve encontrar cada uma: não existe conjunto denso enumerável.

9. Se $\ell^1$ fosse reflexivo, então $(\ell^\infty)' \cong ((\ell^1)')' = J(\ell^1)$ seria separável (imagem isométrica do separável $\ell^1$ ); pelo Exercício 8.10, a separabilidade do dual $(\ell^\infty)'$ forçaria $\ell^\infty$ separável — contradizendo a questão 8. Logo $\ell^1$ não é reflexivo (e $(\ell^\infty)'$ é estritamente maior que $\ell^1$ , como a questão 11 torna concreto).

10. A homogeneidade de $p$ é clara; a subaditividade: as médias são lineares, e $\limsup(u_n + v_n) \leq \limsup u_n + \limsup v_n$ . Em $c$ : as médias de Cesàro de uma convergente convergem para seu limite, de modo que $p(x) = \lim x = \mathrm{LIM}(x)$ ali; em particular, $\mathrm{LIM} \leq p$ em $c$ . Hahn–Banach (Teorema 8.6) estende $\mathrm{LIM}$ a $\ell^\infty_\R$ com $\mathrm{LIM} \leq p$ globalmente. Positividade: para $x \geq 0$ , $-\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(-x) \leq p(-x) = \limsup\text{méd}(-x) \leq 0$ . Invariância por deslocamento: as médias de $x - Sx$ telescopam em $\frac{x_1 - x_{n+1}}n \to 0$ , de modo que $p(\pm(x - Sx)) = 0$ e $\mathrm{LIM}(x - Sx) = 0$ . Cotas: $\mathrm{LIM}(x) \leq p(x) \leq \limsup x$ (as médias ficam atrás dos supremos), e aplicar isso a $-x$ dá a cota inferior.

11. $e_n \in c_0$ , de modo que $\mathrm{LIM}(e_n) = 0$ para todo $n$ . Se $\mathrm{LIM} = \Lambda_y$ com $y \in \ell^1$ , então $y_n = \Lambda_y(e_n) = 0$ para todo $n$ : $\Lambda_y = 0$ ; mas $\mathrm{LIM}(\mathbf 1) = 1$ . Logo $\mathrm{LIM} \in (\ell^\infty)' \setminus \{\Lambda_y : y \in \ell^1\}$ : $(\ell^\infty)' \neq \ell^1$ , de novo.

12. Para $x = (0,1,0,1,\dots)$ : $x + Sx = \mathbf 1$ , de modo que $2\,\mathrm{LIM}(x) = \mathrm{LIM}(x) + \mathrm{LIM}(Sx) = 1$ : $\mathrm{LIM}(x) = \frac12$ . Se $\varphi$ fosse uma extensão multiplicativa e invariante por deslocamento do limite: $x\cdot Sx = 0$ dá $\varphi(x)\varphi(Sx) = \varphi(x)^2 = 0$ , de modo que $\varphi(x) = 0$ ; mas $\varphi(x) + \varphi(Sx) = \varphi(\mathbf 1) = 1$ dá $2\varphi(x) = 1$ : contradição. Média e multiplicação não podem coexistir.

13. Seja $\norm{x^{(k)}}_p \leq M$ . As coordenadas são limitadas por $M$ : uma extração diagonal dá uma subsequência (ainda escrita $x^{(k)}$ ) com $x^{(k)}_n \to x_n$ para todo $n$ . Então $x \in \ell^p$ : $\sum_{n\leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ para todo $N$ . Convergência fraca: para $y \in \ell^q$ e $N$ arbitrário,

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \Bigl|\sum_{n \leq N}(x^{(k)}_n - x_n)y_n\Bigr| + 2M\Bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\Bigr)^{1/q},

em que o primeiro termo tende a $0$ quando $k \to \infty$ (finitas coordenadas) e o segundo é pequeno para $N$ grande (Hölder na cauda): $\Lambda_y(x^{(k)}) \to \Lambda_y(x)$ para todo $y$ — convergência fraca, já que todo funcional é um $\Lambda_y$ (questão 6). Em $\ell^1$ isso falha: considere $(e_n)$ , limitada. Toda subsequência $(e_{n_k})$ converge coordenada a coordenada para $0$ , de modo que seu único candidato a limite fraco é $0$ ; mas, testando contra $y \in \ell^\infty$ definida por $y_{n_k} = (-1)^k$ (e $0$ nas demais), $\Lambda_y(e_{n_k}) = (-1)^k$ diverge. Nenhuma subsequência fracamente convergente: a compacidade sequencial fraca das bolas caracteriza o mundo reflexivo.

14. Para $y \in \ell^1$ , $\Lambda_y(x) = \sum x_ny_n$ está definida em $c_0$ com $\abs{\Lambda_y(x)} \leq \norm x_\infty\norm y_1$ , e testar em $x^{(N)} = (\operatorname{sign}y_1, \dots, \operatorname{sign}y_N, 0, \dots) \in c_0$ dá $\Lambda_y(x^{(N)}) = \sum_{n\leq N}\abs{y_n} \to \norm y_1$ : $\norm{\Lambda_y} = \norm y_1$ . Reciprocamente, para $\Lambda \in (c_0)'$ ponha $y_n = \Lambda(e_n)$ ; os mesmos testes dão $\sum_{n \leq N}\abs{y_n} = \Lambda(x^{(N)}) \leq \norm\Lambda$ , de modo que $y \in \ell^1$ , e $\Lambda = \Lambda_y$ nas sequências finitas densas, logo em toda parte. A cadeia dos duais: $(c_0)' = \ell^1$ , $(\ell^1)' = \ell^\infty$ (Exercício 8.10), $(\ell^\infty)' \supsetneq \ell^1$ (questões 9–11): a reflexividade falha logo no primeiro passo — $c_0'' = \ell^\infty \neq c_0$ — e nunca se recupera.

15. $J x^{(k)} \in E'' = (E')'$ é uma família de funcionais limitados no espaço de Banach $E'$ (duais são completos, Proposição 8.2); para cada $\Lambda \in E'$ , a sequência $Jx^{(k)}(\Lambda) = \Lambda(x^{(k)})$ converge, logo é limitada. Banach–Steinhaus em $E'$ dá $\sup_k\norm{Jx^{(k)}} < \infty$ , e $J$ é isométrica (Observação 8.8): $\sup_k\norm{x^{(k)}} < \infty$ .

16. ( $\Rightarrow$ ) A limitação é a questão 15; as coordenadas são os funcionais $\Lambda_{e_n}$ . ( $\Leftarrow$ ) Sejam $M = \sup_k\norm{x^{(k)}}_p$ , $y \in \ell^q$ , $\varepsilon > 0$ ; escolha $N$ com $\bigl(\sum_{n>N}\abs{y_n}^q\bigr)^{1/q} < \varepsilon$ . Então

\abs{\Lambda_y(x^{(k)} - x)} \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\,\abs{y_n} + \norm{x^{(k)} - x}_p\,\varepsilon \leq \sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n - x_n}\abs{y_n} + (M + \norm x_p)\,\varepsilon,

e a soma finita tende a $0$ : $\limsup \leq (M + \norm x_p)\varepsilon$ para todo $\varepsilon$ . (Que $x \in \ell^p$ com $\norm x_p \leq M$ decorre de cotas de seções finitas ao estilo de Fatou: $\sum_{n \leq N}\abs{x_n}^p = \lim_k\sum_{n\leq N}\abs{x^{(k)}_n}^p \leq M^p$ .) Para $e_k$ em $\ell^2$ : limitada, coordenada a coordenada $\to 0$ , de modo que $e_k \rightharpoonup 0$ , mas $\norm{e_k} = 1$ : a unidade de massa escapa para índices infinitos, invisível a todo funcional fixo.

17. Tome $\Lambda$ com $\norm\Lambda = 1$ e $\Lambda(x) = \norm x$ (Corolário 8.7). Então $\norm x = \lim\Lambda(x^{(k)}) \leq \liminf\norm\Lambda\,\norm{x^{(k)}} = \liminf\norm{x^{(k)}}$ . (Com $e_k \rightharpoonup 0$ : $0 \leq \liminf 1$ , e a desigualdade pode ser estrita.)

18. Em $\ell^2$ , $\norm{x^{(k)} - x}_2^2 = \norm{x^{(k)}}_2^2 - 2\operatorname{Re}\langle x^{(k)}, x\rangle + \norm x_2^2$ (caso real: $-2\langle x^{(k)}, x\rangle$ ). A convergência fraca aplicada ao funcional $\Lambda_x$ dá $\langle x^{(k)}, x\rangle \to \norm x_2^2$ , e as normas convergem por hipótese: o membro direito tende a $\norm x^2 - 2\norm x^2 + \norm x^2 = 0$ . Contraexemplo sem convergência das normas: $e_k \rightharpoonup 0$ , $\norm{e_k - 0} = 1 \not\to 0$ .

19. Convergência das coordenadas: aplique os funcionais $\Lambda_{e_n} \in (\ell^1)' = \ell^\infty$ ( $y = e_n$ ). Construção: tendo escolhido $k_{j-1}, N_{j-1}$ , tome $k_j > k_{j-1}$ tão grande que $\sum_{n \leq N_{j-1}}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (finitas coordenadas, cada uma $\to 0$ ), e depois $N_j > N_{j-1}$ tão grande que a cauda satisfaça $\sum_{n > N_j}\abs{x^{(k_j)}_n} < \frac\delta{20}$ (convergência da série que define $\norm{x^{(k_j)}}_1$ ). O bloco $B_j = \intoc{N_{j-1}}{N_j}$ carrega então tudo, salvo $\frac\delta{10}$ , da massa de $x^{(k_j)}$ .

20. Com $y$ como definida ( $\abs{y_n} \leq 1$ em toda parte):

\langle x^{(k_j)}, y\rangle = \sum_{n \in B_j}\abs{x^{(k_j)}_n} + \sum_{n \notin B_j}x^{(k_j)}_ny_n \geq \Bigl(\norm{x^{(k_j)}}_1 - \frac\delta{10}\Bigr) - \frac\delta{10} \geq \delta - \frac{2\delta}{10} = \frac{4\delta}5 > 0,

a desigualdade do meio porque a massa fora do bloco é no máximo $\frac\delta{10}$ (questão 19). Mas $y \in \ell^\infty = (\ell^1)'$ e $x^{(k)} \rightharpoonup 0$ forçam $\langle x^{(k_j)}, y\rangle \to 0$ : contradição. Logo as sequências fracamente nulas de $\ell^1$ são nulas em norma e, por translação, as fracamente convergentes convergem em norma: o teorema de Schur.

21. Uma subsequência fracamente convergente de $(e_k)$ teria limite $0$ (coordenadas), logo, por Schur, $\norm{e_{k_j}}_1 \to 0$ — mas as normas valem $1$ . Assim, não existe subsequência fracamente convergente, como se viu à mão na questão 13. Nenhum paradoxo: Schur diz que as sequências não conseguem distinguir a topologia fraca da topologia da norma em $\ell^1$ (as topologias, essas, diferem — vizinhanças fracas nunca são limitadas em norma), e a compacidade sequencial fraca da bola unitária é uma propriedade diferente, mais forte, equivalente à reflexividade (Eberlein–Šmulian, além de nossas ferramentas; a falha, ao menos, nós demonstramos).

22. O censo.

$E$	$E'$	sep.	refl.	bolas fraca. seq. cpt.
$c_0$	$\ell^1$	sim	não	não ( $e_1{+}\dots{+}e_k$ )
$\ell^1$	$\ell^\infty$	sim	não	não ( $e_k$ , q. 21)
$\ell^p$	$\ell^q$	sim	sim	sim (q. 13)
$\ell^\infty$	$\supsetneq\ell^1$	não	não	não

Assinaturas: $c_0$ — seu bidual é $\ell^\infty$ : o primeiro passo não reflexivo (questão 14); $\ell^1$ — a propriedade de Schur (questão 20); $\ell^p$ — reflexividade e compacidade fraca (questões 7 e 13); $\ell^\infty$ — não separabilidade e limites de Banach: funcionais que sequência alguma representa (questões 8 e 10–11). Uma família de espaços, quatro mundos diferentes.

23. Seja $(f_k) \subseteq F$ com $\norm{x - f_k} \to d$ . Então $\norm{f_k} \leq \norm x + \sup_k\norm{x - f_k}$ : limitada, de modo que, pela questão 13, uma subsequência $f_{k_j} \rightharpoonup f$ . Se $f \notin F$ , então $\delta = \operatorname{dist}(f, F) > 0$ ( $F$ fechado); em $F \oplus \R f$ , a forma linear $\lambda(g + tf) = t$ satisfaz $\abs{\lambda(u)} \leq \norm u/\delta$ (pois $\norm{g + tf} \geq \abs t\,\delta$ ), e Hahn–Banach a estende a $\Lambda \in (\ell^p)'$ com $\Lambda\restriction_F = 0$ , $\Lambda(f) = 1$ ; mas então $0 = \Lambda(f_{k_j}) \to \Lambda(f) = 1$ : contradição. Logo $f \in F$ , e $x - f_{k_j} \rightharpoonup x - f$ dá, pela questão 17,

d \leq \norm{x - f} \leq \liminf_j\,\norm{x - f_{k_j}} = d :

a distância é atingida em $f$ . Em $c_0$ : $\abs{\Lambda(x)} \leq \sum_n2^{-n}\abs{x_n} < \norm x_\infty$ para todo $x \neq 0$ (uma sequência nula não nula não pode satisfazer $\abs{x_n} = \norm x_\infty$ para todo $n$ ), ao passo que as truncadas $(1, \dots, 1, 0, \dots)$ dão $\Lambda = 1 - 2^{-N} \to 1$ : logo $\norm\Lambda = 1$ , nunca atingido. Fórmula da distância: para $f \in \ker\Lambda$ , $\abs{\Lambda(x)} = \abs{\Lambda(x - f)} \leq \norm{x - f}$ , de modo que $\operatorname{dist}(x, \ker\Lambda) \geq \abs{\Lambda(x)}$ ; reciprocamente, para $u$ na bola unitária com $\Lambda(u) \geq 1 - \varepsilon$ , o vetor $f = x - \frac{\Lambda(x)}{\Lambda(u)}u$ está em $\ker\Lambda$ com $\norm{x - f} \leq \frac{\abs{\Lambda(x)}}{1 - \varepsilon}$ : igualdade. Se algum $f \in \ker\Lambda$ a atingisse, $z = x - f$ satisfaria $\abs{\Lambda(z)} = \abs{\Lambda(x)} = \norm z \neq 0$ , de modo que $\Lambda$ atingiria sua norma em $z/\norm z$ : impossível. Um hiperplano fechado de $c_0$ sem pontos mais próximos em lugar algum — a reflexividade não era decorativa.

24. Ponha $y_1 = x^{(1)}$ . Dado $y_1, \dots, y_j$ , cada aplicação $k \mapsto \langle y_i, x^{(k)}\rangle$ tende a $0$ ( $y_i \in \ell^2 = (\ell^2)'$ ), de modo que existe $k_{j+1}$ além do índice anterior com $\abs{\langle y_i, x^{(k_{j+1})}\rangle} \leq \frac1{j+1}$ para $i = 1, \dots, j$ ; chame a escolha de $y_{j+1}$ . Então

\Bigl\lVert\sum_{j=1}^my_j\Bigr\rVert_2^2 = \sum_{j=1}^m\norm{y_j}_2^2 + 2\sum_{j=2}^m\sum_{i<j}\langle y_i, y_j\rangle \leq mC^2 + 2\sum_{j=2}^m\frac{j-1}j \leq mC^2 + 2m,

e, dividindo por $m^2$ : $\norm{\frac1m\sum_jy_j}_2^2 \leq \frac{C^2 + 2}m \to 0$ . (Para um limite fraco $x \neq 0$ , aplique isso a $x^{(k)} - x$ .) Na base ortonormal $(e_k)$ nem sequer é preciso extrair: $\norm{\frac1m(e_1 + \dots + e_m)}_2 = \frac{\sqrt m}m = \frac1{\sqrt m}$ . As médias convertem convergência fraca em convergência em norma: a propriedade de Banach–Saks de $\ell^2$ .

25. $A_mx = \frac1m\sum_{i=0}^{m-1}S^ix$ , de modo que a linearidade e a invariância por deslocamento dão $L(A_mx) = L(x)$ . Para qualquer $u$ limitada e $\varepsilon > 0$ , tome $N$ com $u_n \leq \limsup u + \varepsilon$ para $n \geq N$ ; a positividade aplicada a $(\limsup u + \varepsilon)\mathbf 1 - S^Nu \geq 0$ e $L(S^Nu) = L(u)$ dá $L(u) \leq \limsup u + \varepsilon$ e, simetricamente, $L(u) \geq \liminf u - \varepsilon$ : logo $\liminf A_mx \leq L(x) \leq \limsup A_mx$ para todo $m$ . Se $x$ é $T$ -periódica, $A_Tx$ é a sequência constante igual à média do período $\mu$ : $L(x) = \mu$ para todo limite de Banach — $\frac13$ em $(1,0,0,\dots)$ , $\frac12$ em $(0,1,0,1,\dots)$ , como na questão 12. Para a sequência de blocos: em $N = 3^j$ com $j$ par, o último bloco é só de uns, de modo que a média de Cesàro vale $\geq \frac{3^j - 3^{j-1}}{3^j} = \frac23$ ; em $N = 3^j$ com $j$ ímpar, todos os uns estão em $\intoc0 {3^{j-1}}$ , de modo que a média vale $\leq \frac13$ . Logo $p(x) \geq \frac23$ e $-p(-x) = \liminf_n\frac{x_1 + \dots + x_n}n \leq \frac13$ . Em $M = c \oplus \R x$ , defina $\Lambda_+(y + tx) = \lim y + t\,p(x)$ . Dominação por $p$ : para $t > 0$ , a sublinearidade dá $p(tx) \leq p(y + tx) + p(-y)$ , isto é, $p(y + tx) \geq t\,p(x) + \lim y$ (note $p(\pm y) = \pm\lim y$ para $y \in c$ : as médias de Cesàro de uma convergente convergem para seu limite); para $t = -s < 0$ , $p(y) \leq p(y - sx) + p(sx)$ dá $p(y - sx) \geq \lim y - s\,p(x)$ ; para $t = 0$ há igualdade. Logo $\Lambda_+ \leq p$ em $M$ , e Hahn–Banach o estende a $L_+ \leq p$ em $\ell^\infty_\R$ , que é um limite de Banach exatamente como na questão 10 (a dominação por $p$ fornece a positividade, a invariância por deslocamento e o valor $\lim$ em $c$ ), com $L_+(x) = p(x) \geq \frac23$ . O mesmo cálculo com $\Lambda_-(y + tx) = \lim y - t\,p(-x)$ (usando $p(-sx) \leq p(y - sx) + p(-y)$ para o caso $t = -s < 0$ ) fornece um limite de Banach $L_-$ com $L_-(x) = -p(-x) \leq \frac13$ . Dois limites de Banach, uma sequência, dois valores: fora do mundo periódico (e, mais geralmente, quase convergente), um limite de Banach é uma escolha genuína.

8.1 Operadores limitados; espaços de sequências

8.2 Hahn–Banach

8.3 A trilogia de Baire

8.4 Espaços duais, concretamente

8.5 Exercícios

8.6 Problema: a dualidade dos espaços ℓp\ell^pℓp

8.6 Problema: a dualidade dos espaços $\ell^p$