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1 विद्यालय रसायन विज्ञान — कक्षा 1 से 12कक्षा 1–12 ऑनलाइन 2 विश्वविद्यालय रसायन विज्ञान — वर्ष 1स्नातक वर्ष 1 ऑनलाइन 3 विश्वविद्यालय रसायन विज्ञान — वर्ष 2स्नातक वर्ष 2 ऑनलाइन 4 विश्वविद्यालय रसायन विज्ञान — वर्ष 3स्नातक वर्ष 3 ऑनलाइन

1 प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय जीवविज्ञानकक्षा 1–9 ऑनलाइन 2 माध्यमिक जीवविज्ञानकक्षा 10–12 ऑनलाइन 3 विश्वविद्यालय जीवविज्ञान — वर्ष 1स्नातक वर्ष 1 ऑनलाइन 4 विश्वविद्यालय जीवविज्ञान — वर्ष 2स्नातक वर्ष 2 ऑनलाइन 5 विश्वविद्यालय जीवविज्ञान — वर्ष 3स्नातक वर्ष 3 ऑनलाइन

1 प्राथमिक और माध्यमिक विद्यालय पृथ्वी और अंतरिक्ष विज्ञानकक्षा 1–9 ऑनलाइन 2 उच्चतर माध्यमिक पृथ्वी और अंतरिक्ष विज्ञानकक्षा 10–12 ऑनलाइन 3 विश्वविद्यालय पृथ्वी और अंतरिक्ष विज्ञान — वर्ष 1स्नातक वर्ष 1 ऑनलाइन 4 विश्वविद्यालय पृथ्वी और अंतरिक्ष विज्ञान — वर्ष 2स्नातक वर्ष 2 ऑनलाइन 5 विश्वविद्यालय पृथ्वी और अंतरिक्ष विज्ञान — वर्ष 3स्नातक वर्ष 3 ऑनलाइन

1 Markets I: The Ecosystem and Exchange-Traded Marketsबाज़ार ऑनलाइनअंग्रेज़ी 2 Markets II: Rates, FX and Creditबाज़ार ऑनलाइनअंग्रेज़ी 3 Markets III: Commodities, Energy and Cryptoबाज़ार ऑनलाइनअंग्रेज़ी 4 Quantitative Methodsविधियाँ ऑनलाइनअंग्रेज़ी 5 Derivatives and Volatilityडेरिवेटिव्स ऑनलाइनअंग्रेज़ी 6 Rates, Credit, XVA and Riskब्याज दरें, क्रेडिट और जोखिम ऑनलाइनअंग्रेज़ी 7 Research Craft: Predictors, Backtests, Measurement, Portfoliosअनुसंधान ऑनलाइनअंग्रेज़ी 8 Strategies I: Equities and Futuresरणनीतियाँ ऑनलाइनअंग्रेज़ी 9 Strategies II: Volatility, Relative Value, Macro and the Bank Desksरणनीतियाँ ऑनलाइनअंग्रेज़ी 10 Microstructure and Executionनिष्पादन ऑनलाइनअंग्रेज़ी 11 Market Making and High-Frequency Tradingमार्केट मेकिंग ऑनलाइनअंग्रेज़ी 12 Machine Learning for Marketsमशीन लर्निंग ऑनलाइनअंग्रेज़ी 13 Low-Latency Softwareतकनीक ऑनलाइनअंग्रेज़ी 14 Networks, Hardware and Trading Infrastructureतकनीक ऑनलाइनअंग्रेज़ी 15 Research, Data and Risk Platformsतकनीक ऑनलाइनअंग्रेज़ी 16 The Desk and the Firmफ़र्म ऑनलाइनअंग्रेज़ी 17 The Industry: Firms, Roles and Careersकरियर ऑनलाइनअंग्रेज़ी 18 Interviews I: Maths, Probability and Speedकरियर ऑनलाइनअंग्रेज़ी 19 Interviews II: Markets, Trading Games and the Final Roundकरियर ऑनलाइनअंग्रेज़ी 20 Interviews III: Codeकरियर ऑनलाइनअंग्रेज़ी

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परिभाषा 8.3 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 8 — बानाख समष्टियाँ और मूल प्रमेय

शास्त्रीय अनुक्रम समष्टियाँ ( $K$ पर, $\N$ से सूचकित):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

और $\norm\cdot_\infty$ के साथ $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ । $\norm\cdot_p$ का मानक होना मिन्कोव्स्की असमिका से निकलता है, जो विविक्त स्थिति में ठीक वैसे ही सिद्ध होती है जैसे अध्याय 12 में (अथवा दूसरे वर्ष की परिमित-विमीय असमिका का योग लेकर)। ये सभी बानाख समष्टियाँ हैं, और $c_0$ $\ell^\infty$ की एक संवृत उपसमष्टि है (अभ्यास 8.3)।

समतल में p-मानकों के इकाई गोले, जो p के 1 (समचतुर्भुज) से 2 (चक्र) और 4 (अतिदीर्घवृत्त) होते हुए ∈fty (वर्ग) तक बढ़ने के साथ एक-दूसरे में समाते जाते हैं। प्रत्येक गोले की उत्तलता ही मिन्कोव्स्की असमिका है; और p = 1 तथा p = ∈fty पर के कोने वे स्थान हैं जहाँ कड़ी उत्तलता, श्रेष्ठतम आसन्ननों की अद्वितीयता, और की समता स्थितियाँ — सब एक साथ अपकर्षित हो जाती हैं। — समतल में $p$ -मानकों के इकाई गोले, जो $p$ के $1$ (समचतुर्भुज) से $2$ (चक्र) और $4$ (अतिदीर्घवृत्त) होते हुए $\infty$ (वर्ग) तक बढ़ने के साथ एक-दूसरे में समाते जाते हैं। प्रत्येक गोले की उत्तलता ही मिन्कोव्स्की असमिका है; और $p = 1$ तथा $p = \infty$ पर के कोने वे स्थान हैं जहाँ कड़ी उत्तलता, श्रेष्ठतम आसन्ननों की अद्वितीयता, और अभ्यास 12.12 की समता स्थितियाँ — सब एक साथ अपकर्षित हो जाती हैं।

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