lp क्या है? — गणित

परिभाषा 8.3 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 8 — बानाख समष्टियाँ और मूल प्रमेय

शास्त्रीय अनुक्रम समष्टियाँ ( $K$ पर, $\N$ से सूचकित):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

और $\norm\cdot_\infty$ के साथ $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ । $\norm\cdot_p$ का मानक होना मिन्कोव्स्की असमिका से निकलता है, जो विविक्त स्थिति में ठीक वैसे ही सिद्ध होती है जैसे अध्याय 12 में (अथवा दूसरे वर्ष की परिमित-विमीय असमिका का योग लेकर)। ये सभी बानाख समष्टियाँ हैं, और $c_0$ $\ell^\infty$ की एक संवृत उपसमष्टि है (अभ्यास 8.3)।

समतल में p-मानकों के इकाई गोले, जो p के 1 (समचतुर्भुज) से 2 (चक्र) और 4 (अतिदीर्घवृत्त) होते हुए ∈fty (वर्ग) तक बढ़ने के साथ एक-दूसरे में समाते जाते हैं। प्रत्येक गोले की उत्तलता ही मिन्कोव्स्की असमिका है; और p = 1 तथा p = ∈fty पर के कोने वे स्थान हैं जहाँ कड़ी उत्तलता, श्रेष्ठतम आसन्ननों की अद्वितीयता, और की समता स्थितियाँ — सब एक साथ अपकर्षित हो जाती हैं। — समतल में $p$ -मानकों के इकाई गोले, जो $p$ के $1$ (समचतुर्भुज) से $2$ (चक्र) और $4$ (अतिदीर्घवृत्त) होते हुए $\infty$ (वर्ग) तक बढ़ने के साथ एक-दूसरे में समाते जाते हैं। प्रत्येक गोले की उत्तलता ही मिन्कोव्स्की असमिका है; और $p = 1$ तथा $p = \infty$ पर के कोने वे स्थान हैं जहाँ कड़ी उत्तलता, श्रेष्ठतम आसन्ननों की अद्वितीयता, और अभ्यास 12.12 की समता स्थितियाँ — सब एक साथ अपकर्षित हो जाती हैं।

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