Qu'est-ce que « lp » ? — Mathématiques

Définition 8.3 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 8 — Espaces de Banach et théorèmes fondamentaux

Les espaces de suites classiques (sur $K$ , indexés par $\N$ ) :

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

et $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ muni de $\norm\cdot_\infty$ . Que $\norm\cdot_p$ soit une norme suit de l’inégalité de Minkowski, prouvée dans le cas discret exactement comme dans le Chapitre 12 (ou en sommant l’inégalité de dimension finie de deuxième année). Tous sont des espaces de Banach, et $c_0$ est un sous-espace fermé de $\ell^\infty$ (Exercice 8.3).

Boules unités des p-normes dans le plan, emboîtées quand p croît de 1 (losange) à 2 (disque) et 4 (superellipse) jusqu’à ∈fty (carré). La convexité de chaque boule est l’inégalité de Minkowski ; les coins en p = 1 et p = ∈fty sont là où la stricte convexité, l’unicité des meilleures approximations, et les cas d’égalité de l’ dégénèrent d’un coup. — Boules unités des $p$ -normes dans le plan, emboîtées quand $p$ croît de $1$ (losange) à $2$ (disque) et $4$ (superellipse) jusqu’à $\infty$ (carré). La convexité de chaque boule *est* l’inégalité de Minkowski ; les coins en $p = 1$ et $p = \infty$ sont là où la stricte convexité, l’unicité des meilleures approximations, et les cas d’égalité de l’Exercice 12.12 dégénèrent d’un coup.

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