Wat is lp? — Wiskunde

Definitie 8.3 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 8 — Banachruimten en de fundamentele stellingen

De klassieke rijruimten (over $K$ , geïndexeerd door $\N$ ):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

en $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ met $\norm\cdot_\infty$ . Dat $\norm\cdot_p$ een norm is, volgt uit de ongelijkheid van Minkowski, in het discrete geval precies zo bewezen als in Hoofdstuk 12 (of door de eindigdimensionale ongelijkheid uit bachelorjaar 2 te sommeren). Alle zijn banachruimten, en $c_0$ is een gesloten deelruimte van $\ell^\infty$ (Oefening 8.3).

Eenheidsballen van de p-normen in het vlak, genest naarmate p groeit van 1 (ruit) via 2 (schijf) en 4 (superellips) naar ∈fty (vierkant). De convexiteit van elke bal is de ongelijkheid van Minkowski; en in de hoeken bij p = 1 en p = ∈fty ontaarden strikte convexiteit, de eenduidigheid van beste benaderingen en de gelijkheidsgevallen van tegelijk. — Eenheidsballen van de $p$ -normen in het vlak, genest naarmate $p$ groeit van $1$ (ruit) via $2$ (schijf) en $4$ (superellips) naar $\infty$ (vierkant). De convexiteit van elke bal is de ongelijkheid van Minkowski; en in de hoeken bij $p = 1$ en $p = \infty$ ontaarden strikte convexiteit, de eenduidigheid van beste benaderingen en de gelijkheidsgevallen van Oefening 12.12 tegelijk.

Lees in het hoofdstuk →