¿Qué es lp? — Matemáticas

Definición 8.3 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 8 — Espacios de Banach y los teoremas fundamentales

Los espacios de sucesiones clásicos (sobre $K$ , indexados por $\N$ ):

\ell^p = \Bigl\{x = (x_n) : \norm x_p = \Bigl(\sum_n \abs{x_n}^p\Bigr)^{1/p} < \infty\Bigr\}\quad (1 \leq p < \infty),

\ell^\infty = \{x : \norm x_\infty = \sup\abs{x_n} < \infty\},

y $c_0 = \{x : x_n \to 0\}$ con $\norm\cdot_\infty$ . Que $\norm\cdot_p$ sea una norma se sigue de la desigualdad de Minkowski, demostrada en el caso discreto exactamente igual que en el Capítulo 12 (o sumando la desigualdad de dimensión finita de segundo año). Todos son espacios de Banach, y $c_0$ es un subespacio cerrado de $\ell^\infty$ (Ejercicio 8.3).

Bolas unidad de las normas p en el plano, encajadas conforme p crece desde 1 (rombo), pasando por 2 (disco) y 4 (superelipse), hasta ∈fty (cuadrado). La convexidad de cada bola es la desigualdad de Minkowski; y las esquinas en p = 1 y p = ∈fty son el lugar donde la convexidad estricta, la unicidad de la mejor aproximación y los casos de igualdad del degeneran todos a la vez. — Bolas unidad de las normas $p$ en el plano, encajadas conforme $p$ crece desde $1$ (rombo), pasando por $2$ (disco) y $4$ (superelipse), hasta $\infty$ (cuadrado). La convexidad de cada bola es la desigualdad de Minkowski; y las esquinas en $p = 1$ y $p = \infty$ son el lugar donde la convexidad estricta, la unicidad de la mejor aproximación y los casos de igualdad del Ejercicio 12.12 degeneran todos a la vez.

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