O que é Esperança?

Exemplo 18.10

Para o jogo do Exemplo 18.6:

Em média, o jogador perde cerca de $17$ centavos por partida: o jogo é desfavorável. Um jogo é dito justo quando o ganho esperado é $0$.

Exemplo 18.15

Para o jogo do Exemplo 18.6: $\E(G^2) = \frac46 \times 4 + \frac16 \times 9 + \frac16 \times 16 = \frac{16 + 9 + 16}{6} = \frac{41}{6}$, de modo que

A perda média de $0.17$ por partida vem acompanhada de oscilações de tamanho típico $2.6$ euros — a esperança sem o desvio padrão conta apenas metade da história.

Exemplo 22.10 (Transferência em ação)

Para $X \sim \mathcal P(\lambda)$, calcule $\E\bigl(\frac1{1+X}\bigr)$ — a lei do próprio $\frac1{1+X}$ é desajeitada, mas a transferência nunca a pede:

Duas lições. Computacional: reconhecer uma série exponencial deslocada é todo o trabalho — a transferência reduz esperanças de $f(X)$ a manipulação de séries. Estrutural: o valor ingênuo por substituição seria $\frac1{1 + \E X} = \frac1{1 + \lambda}$, e a resposta verdadeira é maior,

exatamente como exige a desigualdade de Jensen para a função convexa $t \mapsto \frac1{1+t}$. As esperanças de imagens convexas ficam acima do valor ingênuo por substituição, e a transferência mais uma verificação de séries torna concreta a desigualdade abstrata.

Exemplo 22.12 (Produtos, com e sem independência)

Lance dois dados honestos. Se $Y$ é o segundo dado (independente do primeiro), $\E(XY) = \E(X)\E(Y) = 3.5^2 = 12.25$. Se, em vez disso, $Y = X$ (o “produto” de um dado consigo mesmo),

mesmas leis marginais nos dois cenários, leis conjuntas diferentes, esperanças de produto diferentes. A moral, digna de ser gravada: $\E(XY)$ é um funcional do par, não das duas marginais — e a diferença $\E(X^2) - \E(X)^2 \approx 2.92$ é, por König–Huygens, precisamente a variância $\frac{35}{12}$ do dado.