Matemática universitária — Graduação 1 · Bachelor Year 1

22Determinantes e Sistemas Lineares

O determinante condensa num único escalar a resposta à pergunta “estes $n$ vetores formam uma base?” — e, geometricamente, mede o volume que eles geram. Nós o caracterizamos pelas suas propriedades (multilinear, alternado, normalizado), o calculamos nas dimensões $2$ e $3$ e, em geral, por desenvolvimento em cofatores, e o pomos a trabalhar sobre sistemas lineares, ao lado do algoritmo para todos os usos: a eliminação de Gauss.

22.1 O determinante

Teorema 22.1 (Caracterização)

Existe exatamente uma aplicação $\det \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ , vista como função das $n$ colunas, que é:

linear em cada coluna (as outras fixas);
alternada: trocar duas colunas muda o sinal (logo duas colunas iguais dão $0$ );
normalizada: $\det I_n = 1$ .

Para $n = 2$ e $3$ :

\begin{vmatrix} a & b\\ c & d\end{vmatrix} = ad - bc, \qquad \begin{vmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i\end{vmatrix} = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh

(a regra de Sarrus $3 \times 3$ : produtos das diagonais descendentes menos os das ascendentes).

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 22.2

Para $n = 2$ : desenvolver por bilinearidade nas colunas canônicas dá a fórmula, que reciprocamente satisfaz os axiomas — uma demonstração completa; $n = 3$ é idêntico, com mais termos. O caso geral (existência pela soma sobre permutações, unicidade pelo mesmo desenvolvimento) exige a assinatura de uma permutação e fica adiado para o segundo ano; usamos livremente os axiomas e as consequências abaixo.

O desenvolvimento para $n = 2$ por extenso, já que ele é o modelo: com colunas $C_1 = a\,e_1 + c\,e_2$ e $C_2 = b\,e_1 + d\,e_2$ , a bilinearidade dá

\det(C_1, C_2) = ab\det(e_1, e_1) + ad\det(e_1, e_2) + cb\det(e_2, e_1) + cd\det(e_2, e_2),

e a alternância mata os pares repetidos e inverte $\det(e_2, e_1) = -\det(e_1, e_2)$ : a aplicação inteira colapsa em $(ad - bc)\det(e_1, e_2) = ad - bc$ pela normalização. A unicidade é visível no próprio cálculo — os axiomas não deixaram escolha em passo algum — e este é exatamente o fato de unicidade a menos de escala usado na demonstração da regra do produto abaixo.

Teorema 22.3 (Propriedades)

Para $A, B \in \mathcal{M}_n(K)$ :

somar a uma coluna um múltiplo de outra não altera o determinante; multiplicar uma coluna por $\lambda$ multiplica-o por $\lambda$ (logo $\det(\lambda A) = \lambda^n \det A$ );
$\det(AB) = \det A\, \det B$ ;
$A$ é invertível $\iff$ $\det A \neq 0$ $\iff$ as colunas formam uma base de $K^n$ ; e então $\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$ ;
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ — de modo que toda regra sobre colunas é também uma regra sobre linhas;
o determinante de uma matriz triangular é o produto das suas entradas diagonais.

Demonstração. (1) Por linearidade, $\det(\dots, C_i + \lambda C_j, \dots) = \det A + \lambda\det(\dots, C_j, \dots)$ , onde o segundo determinante tem duas colunas iguais: nulo.

(2) Fixe $A$ e considere $\varphi(B) = \det(AB)$ como função das colunas de $B$ : como $AB$ tem colunas $AB_j$ , $\varphi$ é multilinear e alternada nos $B_j$ . Admitimos, junto com o Teorema 22.1, o seu enunciado de unicidade em forma escalonada: toda aplicação multilinear alternada $\varphi$ das colunas é igual a $\varphi(I_n) \cdot \det$ . Aqui $\varphi(I_n) = \det A$ , logo $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ .

(3) Se $A$ é invertível: $\det A\,\det A^{-1} = \det I = 1$ , logo $\det A \neq 0$ e a fórmula da inversa vale. Se $A$ não é invertível, as suas colunas são linearmente dependentes (o Corolário 20.9 e a Proposição 20.2); exprimir uma coluna através das outras e desenvolver por linearidade deixa determinantes com duas colunas iguais: $\det A = 0$ . O enunciado sobre bases é a Proposição 19.8.

(4) Admitido junto com a construção geral (é imediato na fórmula das permutações); registramo-lo para poder usar operações sobre linhas.

(5) Se alguma entrada diagonal se anula, as primeiras $k$ colunas são linearmente dependentes para algum $k$ (considerações de posto) e $\det = 0 =$ o produto. Caso contrário, zere cada coluna abaixo e à esquerda por operações do tipo (1) — possível na forma triangular —, chegando à matriz diagonal, cujo determinante é o produto das entradas por multilinearidade a partir de $I_n$ . ∎

Exemplo 22.4 (As regras, conferidas em números)

Tome $A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4\end{pmatrix}$ ( $\det A = -2$ ) e $B = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 1\end{pmatrix}$ ( $\det B = -1$ ). Então

AB = \begin{pmatrix} 2 & 3\\ 4 & 7\end{pmatrix}, \quad \det(AB) = 14 - 12 = 2 = (-2)(-1) ; \qquad \det(A^{\mathsf T}) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{vmatrix} = -2 = \det A .

Multiplicatividade e invariância por transposição confirmadas — ao passo que a falsa aditividade falha no mesmo par:

\det(A + B) = \begin{vmatrix} 1 & 3\\ 4 & 5\end{vmatrix} = -7 \neq \det A + \det B = -3 .

Trinta segundos de aritmética deste tipo, depois de invocar qualquer identidade de determinantes, são o seguro contra erros mais barato disponível.

Exemplo 22.5 (Determinantes como áreas)

O paralelogramo gerado por $u = (2, 0)$ e $v = (1, 3)$ tem base $2$ e altura $3$ : área $6$ . E

\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 0 & 3\end{vmatrix} = 6 :

o determinante $2\times2$ é a área com sinal do paralelogramo das suas colunas. Os axiomas recontam a geometria: somar a uma coluna um múltiplo da outra é um cisalhamento, que desliza o paralelogramo paralelamente a um lado sem alterar base nem altura (a operação (1) do Teorema 22.3); multiplicar uma coluna por um escalar multiplica a área; trocar as colunas inverte a orientação, donde o sinal, $\det(v, u) = -6$ . Em $\R^3$ a mesma leitura dá volumes com sinal, e $\abs{\det}$ torna-se o fator universal de dilatação de volumes das aplicações lineares — o fato por trás da fórmula de mudança de variáveis para integrais múltiplas no volume do segundo ano de graduação.

Teorema 22.6 (Desenvolvimento por cofatores)

Seja $A \in \mathcal{M}_n(K)$ e $\Delta_{ij}$ o determinante de $A$ com a linha $i$ e a coluna $j$ suprimidas. Então, para qualquer coluna $j$ fixa (ou linha, por transposição):

\det A = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+j}\, a_{ij}\, \Delta_{ij} .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 22.7

Desenvolvendo ao longo da primeira coluna:

\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2\end{vmatrix} - 1\begin{vmatrix} 1 & 0\\ 1 & 2\end{vmatrix} = 2 \times 3 - 2 = 4 .

Estratégia: crie zeros primeiro (operações sobre linhas ou colunas), e depois desenvolva ao longo da linha mais vazia.

Exemplo 22.8 (A inversa por cofatores, uma vez à mão)

Para $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$ : $\det A = 1(1) - 1(-1) + 0 = 2$ . Os nove cofatores $(-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ montam-se em

\operatorname{Com}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}, \qquad A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T} = \frac12\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & -1\\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix},

a fórmula citada no Exercício 22.8. Confira um par linha-coluna: (linha $1$ de $A$ )(coluna $1$ de $A^{-1}$ ) $= \frac12(1 + 1 + 0) = 1$ , e contra a coluna $2$ : $\frac12(-1 + 1 + 0) = 0$ . Nove determinantes $2\times2$ para uma inversa $3\times3$ : já neste tamanho, a redução por linhas (o Exercício 22.3) sai mais barata — o valor da fórmula dos cofatores é teórico (a integralidade no Exercício 22.8, a diferenciabilidade da inversa em volumes posteriores), não computacional.

Exemplo 22.9 (A regra triangular por blocos, em tamanho $4$ )

Afirmação: $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M\,\det P$ para blocos $2\times2$ . Zere o bloco $N$ por operações sobre colunas: somar às colunas $3, 4$ combinações adequadas das colunas $1, 2$ elimina $N$ quando $M$ é invertível (resolva $M\Lambda = -N$ para os coeficientes de combinação $\Lambda$ ), deixando $\det\begin{pmatrix} M & 0\\ 0 & P\end{pmatrix}$ ; então o desenvolvimento por cofatores ao longo da primeira coluna, duas vezes, dá $\det M\det P$ para esta forma diagonal por blocos. Se $M$ não é invertível, as suas colunas são linearmente dependentes, logo as duas primeiras colunas da matriz grande também o são (as suas metades inferiores são nulas): os dois lados se anulam. A regra estende-se a blocos de tamanhos quaisquer pelo mesmo argumento em dois casos — e ela é o motor do Exercício 22.10.

Exemplo 22.10 (Um determinante $4 \times 4$ , com estratégia)

\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix}.

Toda linha soma $10$ : a operação $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3 + C_4$ torna a primeira coluna constante, e fatorar $10$ deixa uns. Em seguida $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) zera a primeira coluna:

\Delta = 10\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 1 & -3\\ 0 & 2 & -2 & -2\\ 0 & -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10\begin{vmatrix} 1 & 1 & -3\\ 2 & -2 & -2\\ -1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = 10 \times 16 = 160,

desenvolvendo o último determinante $3\times3$ ao longo da sua primeira linha: $1(2 - 2) - 1(-2 - 2) + (-3)(-2 - 2) = 0 + 4 + 12 = 16$ . Moral: uma única operação bem escolhida (perceber a soma constante das linhas) vence dezesseis cofatores.

Método 22.11 (Escolher uma estratégia de determinante)

Examine a matriz antes de calcular qualquer coisa.

Somas constantes de linhas ou de colunas: some tudo numa linha, fatore o valor comum (o Exemplo 22.10, o Exercício 22.7).
Estrutura repetitiva: subtraia linhas ou colunas vizinhas para criar zeros; padrões em escada colapsam rumo à forma triangular, cujo determinante se lê na diagonal.
Zeros isolados: desenvolva ao longo da linha mais vazia (o Exemplo 22.7); famílias recursivas (tridiagonais, o Exercício 22.6) produzem assim recorrências.
Um parâmetro: o determinante é um polinômio nele; encontre as suas raízes localizando os valores degenerados (linhas iguais, colunas proporcionais), e depois fixe o polinômio pelo grau e pelo coeficiente dominante. Para a matriz do Exercício 22.7: $m = 1$ dá três linhas iguais (posto $1$ , uma raiz dupla), e $m = -2$ faz as linhas somarem zero (mais uma raiz); o determinante tem grau $3$ em $m$ com termo dominante $-m^3$ (o produto antidiagonal $m\cdot m\cdot m$ , cujo sinal de Sarrus é $-1$ ), logo ele tem de ser $-(m+2)(m-1)^2$ — sem nenhum desenvolvimento, e os dois métodos conferem um com o outro.

Exemplo 22.12 (Determinante de Vandermonde)

Para escalares $x_1, \dots, x_n$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2 & \cdots & x_1^{n-1}\\ 1 & x_2 & x_2^2 & \cdots & x_2^{n-1}\\ \vdots & & & & \vdots\\ 1 & x_n & x_n^2 & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq i < j \leq n} (x_j - x_i) .

Esboço da demonstração (detalhada no Exercício 22.5): as operações sobre colunas $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ feitas da direita para a esquerda zeram a primeira linha, e fatorar cada linha restante reduz a $V(x_2, \dots, x_n)$ . Não nulo se e somente se os $x_i$ são dois a dois distintos — o determinante por trás da interpolação de Lagrange (o Exemplo 20.10).

22.2 Sistemas lineares

Definição 22.13

Um sistema linear de $n$ equações em $p$ incógnitas é $AX = B$ com $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ , $B \in K^n$ ; ele é homogêneo quando $B = 0$ . O seu conjunto de soluções, quando não vazio, é $X_0 + \ker A$ : uma solução particular mais a solução geral do homogêneo — um subespaço afim de dimensão $p - \operatorname{rk} A$ (teorema do núcleo e da imagem).

Exemplo 22.14 (A estrutura afim, tornada visível)

Resolva

\begin{cases} x + y + z = 3\\ x - y + 2z = 2 . \end{cases}

Subtraindo as equações: $2y - z = 1$ , logo $z = 2y - 1$ e $x = 3 - y - z = 4 - 3y$ . As soluções formam a reta

(x, y, z) = (4,\ 0,\ -1) + y\,(-3,\ 1,\ 2) \qquad (y \in \R):

a solução particular $X_0 = (4, 0, -1)$ (a escolha $y = 0$ ) mais a reta núcleo $\ker A = \operatorname{Vect}(-3, 1, 2)$ do sistema homogêneo associado — verificação: $(-3) + 1 + 2 = 0$ e $(-3) - 1 + 4 = 0$ . Geometricamente, dois planos não paralelos de $\R^3$ intersectam-se ao longo de uma reta, e a contagem de dimensões $p - \operatorname{rk} A = 3 - 2 = 1$ já sabia disso antes de resolvermos coisa alguma. Mudar a solução particular (digamos $y = 1$ : $X_0' = (1, 1, 1)$ ) muda a descrição, não a reta: um subespaço afim tem muitas origens e uma só direção.

Teorema 22.15 (Sistemas quadrados de Cramer)

Se $A \in GL_n(K)$ , o sistema $AX = B$ tem a solução única $X = A^{-1}B$ , cujas coordenadas são

x_j = \frac{\det A_j}{\det A}, \qquad A_j = A \text{ com a coluna } j \text{ substituída por } B .

Demonstração. A unicidade e a existência são a invertibilidade. Para a fórmula: escreva $B = \sum_k x_k C_k$ (colunas de $A$ ); então, por multilinearidade e alternância,

\det A_j = \det\Bigl(C_1, \dots, \sum_k x_k C_k, \dots, C_n\Bigr) = \sum_k x_k \det(C_1, \dots, C_k, \dots, C_n) = x_j \det A ,

todo termo exceto $k = j$ tendo uma coluna repetida. ∎

Exemplo 22.16 (Cramer com um parâmetro, por extenso)

Para $m \in \R$ , resolva

\begin{cases} x + m y = 1\\ m x + y = 2 . \end{cases}

O determinante é $1 - m^2$ . Caso genérico $m \neq \pm1$ : Cramer dá

x = \frac{\begin{vmatrix} 1 & m\\ 2 & 1\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{1 - 2m}{1 - m^2}, \qquad y = \frac{\begin{vmatrix} 1 & 1\\ m & 2\end{vmatrix}}{1 - m^2} = \frac{2 - m}{1 - m^2},

uma solução limpa para cada $m$ admissível (confira em $m = 0$ : $(1, 2)$ , obviamente correto). Casos degenerados: em $m = 1$ as equações leem-se $x + y = 1$ e $x + y = 2$ : incompatíveis; em $m = -1$ elas leem-se $x - y = 1$ e $-x + y = 2$ , isto é, $x - y = 1$ e $x - y = -2$ : incompatíveis de novo. O anulamento do determinante anuncia que alguma coisa degenera, mas nunca diz o quê — vazio ou infinito tem de ser decidido olhando para o lado direito. Note também como as fórmulas sinalizam os seus próprios limites: quando $m \to 1^{-}$ , $x = \frac{1 - 2m}{1 - m^2} \to -\infty$ ; o ponto solução foge à medida que as duas retas se tornam paralelas.

Método 22.17 (Eliminação de Gauss em sistemas)

Reduza por linhas a matriz ampliada $(A \mid B)$ à forma escalonada.

Se aparecer um pivô na última coluna (uma linha $0 = 1$ ): nenhuma solução.
Caso contrário, as incógnitas separam-se em incógnitas pivô e incógnitas livres (parâmetros); a substituição regressiva exprime as primeiras em função das segundas: o conjunto de soluções é um subespaço afim de dimensão $=$ número de incógnitas livres.

As fórmulas de Cramer servem para a teoria e para sistemas pequenos; a eliminação é o algoritmo prático.

Exemplo 22.18 (Uma discussão com parâmetro)

Para $m \in \R$ , considere

\begin{cases} x + y + mz = 1\\ x + my + z = 1\\ mx + y + z = 1 . \end{cases}

A matriz tem determinante $-(m+2)(m-1)^2$ (calculado no Exercício 22.7 somando todas as colunas à primeira). Para $m \neq 1, -2$ : solução única $x = y = z = \frac{1}{m+2}$ (por simetria). Para $m = 1$ : uma única equação repetida três vezes, um plano de soluções. Para $m = -2$ : somar as três equações dá $0 = 3$ , nenhuma solução.

Observação 22.19 (Armadilhas comuns)

O determinante não é linear na matriz: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ (já $\det(I_2 + I_2) = 4 \neq 2$ ); ele é linear em cada coluna separadamente, o que é coisa inteiramente diferente. Escala: $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ , e não $\lambda\det A$ — cada uma das $n$ colunas é multiplicada. As operações sobre linhas não são todas gratuitas: $L_i \leftarrow L_i + \lambda L_j$ preserva o determinante, mas uma troca muda o sinal e $L_i \leftarrow \lambda L_i$ o multiplica por $\lambda$ — erros de contabilidade aqui são a fonte clássica de sinais errados nos cálculos baseados em eliminação. Um determinante nulo é o começo, não o fim: ele diz “posto $< n$ ” mas não qual posto; só trabalho adicional (forma escalonada, ou os menores do Exercício 22.12) o localiza — cf. o caso $m = 1$ contra $m = -2$ no Exemplo 22.18. Cramer precisa de invertibilidade: quando $\det A = 0$ as fórmulas $x_j = \det A_j/\det A$ não fazem sentido, e o sistema pode perfeitamente ter (infinitas) soluções. Só matrizes quadradas têm determinante: para um sistema retangular, a eliminação é a única ferramenta.

Observação 22.20 (Para onde vão os determinantes)

Três vidas esperam por este escalar. Geométrica: $\abs{\det}$ é o fator de dilatação de áreas ou de volumes da aplicação associada — tornado preciso para o plano no Capítulo 23 e, como jacobiano de uma mudança de variáveis, nas integrais múltiplas do volume do segundo ano de graduação. Algébrica: $\det(A - \lambda I)$ , o polinômio característico, abre a teoria dos autovalores no segundo ano — a identidade $A^2 - (\operatorname{tr} A)A + (\det A)I = 0$ do problema de fim de semana do Capítulo 21 é a sua primeira sombra. Analítica: os determinantes de matrizes especiais (Vandermonde, Cauchy, Gram) decidem quando os problemas de interpolação, de decomposição e de projeção são bem postos; o problema de fim de semana abaixo avalia por completo as duas primeiras famílias.

Observação 22.21 (Perspectivas dentro do Livro 3)

Este capítulo fecha a espinha dorsal de álgebra linear do volume, e os seus dois capítulos restantes recolhem os dividendos. No Capítulo 23: a matriz de Gram $\bigl(\langle v_i, v_j\rangle\bigr)$ testa a liberdade por um determinante (o Exercício 23.11), e as isometrias do plano separam-se em rotações e reflexões conforme o sinal do seu determinante — a classificação do problema de fim de semana de lá funciona sobre isso. No Capítulo 25: a quantidade de Monge $rt - s^2$ é o determinante da matriz simétrica das derivadas segundas, e as equações normais dos mínimos quadrados formam um sistema de Cramer cuja matriz é uma matriz de Gram (logo, de momentos) — invertível precisamente pelos critérios de sabor Vandermonde estabelecidos aqui. Quando aqueles capítulos afirmarem “invertível” ou “positiva”, os recibos estão neste.

22.3 Exercícios

Exercício 22.1 ★

Calcule:

\begin{vmatrix} 3 & 1\\ 5 & 2 \end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9\end{vmatrix}, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 4\\ 1 & 3 & 9\end{vmatrix}.

Solução

Solução de Exercício 22.1.

$3 \times 2 - 1 \times 5 = 1$ .

Segundo: $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_2$ (sobre as linhas originais) dão as linhas $(1,2,3), (3,3,3), (3,3,3)$ : duas linhas iguais, determinante $0$ . (Sarrus confirma: $45 + 84 + 96 - 105 - 48 - 72 = 0$ .)

Terceiro: é um Vandermonde com $x = 1, 2, 3$ (o Exemplo 22.12): $(2-1)(3-1)(3-2) = 2$ .

Exercício 22.2 ★

Para quais $\lambda \in \R$ a família $\bigl((1, 1, \lambda), (1, \lambda, 1), (\lambda, 1, 1)\bigr)$ é uma base de $\R^3$ ?

Solução

Solução de Exercício 22.2.

O determinante é igual a (some todas as colunas à primeira e fatore) $(\lambda + 2)$ vezes

\begin{vmatrix} 1 & 1 & \lambda\\ 1 & \lambda & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = -(\lambda - 1)^2

(zere com $L_1 \leftarrow L_1 - L_3$ , $L_2 \leftarrow L_2 - L_3$ e desenvolva), o que dá $\det = -(\lambda+2)(\lambda-1)^2$ . Base $\iff \det \neq 0 \iff \lambda \notin \{1, -2\}$ .

Exercício 22.3 ★

Resolva pela regra de Cramer:

\begin{cases} 2x + y = 5\\ 3x - 2y = 4 , \end{cases} \qquad\text{e depois}\qquad \begin{cases} x + y + z = 6\\ x - y + z = 2\\ 2x + y - z = 1 . \end{cases}

Solução

Solução de Exercício 22.3.

Primeiro sistema: $\det = -7$ ; $x = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 5 & 1\\ 4 & -2\end{vmatrix} = \frac{-14}{-7} = 2$ , $y = \frac{1}{-7}\begin{vmatrix} 2 & 5\\ 3 & 4\end{vmatrix} = \frac{-7}{-7} = 1$ . Verificação: $2(2) + 1 = 5$ ; $3(2) - 2 = 4$ .

Segundo sistema: depois de $L_2 - L_1$ e $L_3 - 2L_1$ , as linhas tornam-se $(1,1,1)$ , $(0,-2,0)$ , $(0,-1,-3)$ , logo

\det A = \begin{vmatrix} 1&1&1\\ 1&-1&1\\ 2&1&-1\end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} -2 & 0\\ -1 & -3\end{vmatrix} = 6 .

Cramer, substituindo as colunas por $(6,2,1)^{\mathsf T}$ :

x = \frac{6}{6} = 1, \qquad y = \frac{12}{6} = 2, \qquad z = \frac{18}{6} = 3

(os numeradores calculados do mesmo modo). Verificação: $1 + 2 + 3 = 6$ ; $1 - 2 + 3 = 2$ ; $2 + 2 - 3 = 1$ .

Exercício 22.4 ★

Resolva por eliminação de Gauss, descrevendo o conjunto de soluções:

\begin{cases} x + 2y - z + t = 1\\ 2x + 4y + z - t = 5\\ x + 2y + 2z - 2t = 4 . \end{cases}

Solução

Solução de Exercício 22.4.

Reduza a matriz ampliada: $L_2 \leftarrow L_2 - 2L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3\\ 0 & 0 & 3 & -3 & 3 \end{pmatrix} \to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.

Incógnitas pivô $x, z$ ; incógnitas livres $y, t$ . Substituição regressiva: $z = 1 + t$ , $x = 1 - 2y + z - t = 2 - 2y$ . Conjunto de soluções:

\{(2 - 2y,\; y,\; 1 + t,\; t) : y, t \in \R\} = (2, 0, 1, 0) + \operatorname{Vect}\bigl((-2,1,0,0),\, (0,0,1,1)\bigr),

um plano afim (dimensão $2 = 4 - \operatorname{rk} 2$ ) de $\R^4$ .

Exercício 22.5 ★★

Demonstre a fórmula de Vandermonde do Exemplo 22.12 por indução sobre $n$ , com as operações sobre colunas $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ efetuadas de $k = n$ até $k = 2$ .

Solução

Solução de Exercício 22.5.

Indução; $n = 1$ é o produto vazio $= 1$ . Para o passo, efetue $C_k \leftarrow C_k - x_1 C_{k-1}$ para $k = n, n-1, \dots, 2$ (nesta ordem, de modo que cada operação use uma coluna ainda não modificada). A primeira linha torna-se $(1, 0, \dots, 0)$ ; na linha $i \geq 2$ , a $k$ -ésima entrada torna-se $x_i^{k-1} - x_1 x_i^{k-2} = x_i^{k-2}(x_i - x_1)$ . Desenvolvendo ao longo da primeira linha e fatorando $(x_i - x_1)$ em cada linha $i$ :

V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i=2}^{n} (x_i - x_1)\cdot V(x_2, \dots, x_n),

e a hipótese de indução completa o produto $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .

Exercício 22.6 ★★

(Tridiagonal) Seja $D_n$ o determinante $n \times n$ com $2$ na diagonal, $1$ nas duas diagonais adjacentes e $0$ em todo o resto. Desenvolvendo ao longo da primeira linha, demonstre $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ e calcule $D_n$ ( $D_1 = 2$ , $D_2 = 3$ ).

Solução

Solução de Exercício 22.6.

Desenvolvendo $D_n$ ao longo da primeira linha: $D_n = 2 D_{n-1} - 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \ast\\ 0 & D_{n-2}\text{-block} \end{vmatrix}$ ; o segundo determinante, desenvolvido ao longo da sua primeira coluna, é $D_{n-2}$ . Logo $D_n = 2D_{n-1} - D_{n-2}$ , isto é, $D_n - D_{n-1} = D_{n-1} - D_{n-2}$ : as diferenças são constantes, iguais a $D_2 - D_1 = 1$ . Logo $D_n = D_1 + (n - 1) = n + 1$ . (Verificação: $D_2 = 3$ , e o caso $3\times3$ é o Exemplo 22.7: $D_3 = 4$ .)

Exercício 22.7 ★★

Complete o Exemplo 22.18: calcule o determinante $\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ m & 1 & 1\end{vmatrix}$ pela operação $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ , e realize a discussão completa do sistema.

Solução

Solução de Exercício 22.7.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ torna a primeira coluna constante e igual a $(m+2)$ ; fatore-a:

\det = (m+2)\begin{vmatrix} 1 & 1 & m\\ 1 & m & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} \overset{L_1 - L_3,\ L_2 - L_3}{=} (m+2)\begin{vmatrix} 0 & 0 & m-1\\ 0 & m-1 & 0\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (m+2)\cdot\bigl(-(m-1)^2\bigr)

(desenvolva ao longo da primeira coluna: a única entrada $1$ carrega sinal $+$ , e o determinante $2 \times 2$ restante é $0 \cdot 0 - (m-1)(m-1) = -(m-1)^2$ ).

Discussão. $m \notin \{1, -2\}$ : sistema de Cramer; pela simetria das equações, $x = y = z$ , e cada equação dá $(m + 2)x = 1$ : solução única $\bigl(\frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}, \frac{1}{m+2}\bigr)$ . $m = 1$ : as três equações leem-se todas $x + y + z = 1$ : as soluções formam o plano afim $x + y + z = 1$ . $m = -2$ : somar as três equações dá $0 = 3$ : conjunto de soluções vazio.

Exercício 22.8 ★★

Seja $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ com entradas inteiras. Demonstre que $A$ tem inversa com entradas inteiras se e somente se $\det A = \pm 1$ . (Para o sentido direto, tome determinantes; para o recíproco, admita — ou demonstre para $n \leq 3$ via cofatores — que $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\,\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ com matriz de cofatores inteira.)

Solução

Solução de Exercício 22.8.

( $\Rightarrow$ ) Se $A^{-1}$ tem entradas inteiras: $\det A \cdot \det A^{-1} = 1$ , com ambos os determinantes inteiros (somas de produtos de entradas): dois inteiros de produto $1$ são ambos $\pm1$ .

( $\Leftarrow$ ) A fórmula dos cofatores $A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{Com}(A)^{\mathsf T}$ (conferida para $n \leq 3$ por desenvolvimento direto, admitida em geral) tem $\operatorname{Com}(A)$ com entradas inteiras (cada cofator é um determinante inteiro); dividir por $\det A = \pm 1$ mantém os inteiros.

Exercício 22.9 ★★★

Calcule o determinante $n \times n$ da matriz $aI + bJ$ (o Exercício 21.9), isto é, com $a + b$ na diagonal e $b$ em todo o resto. (Some todas as colunas à primeira, fatore e depois zere.) Recupere a condição de invertibilidade $a \neq 0$ , $a + nb \neq 0$ .

Solução

Solução de Exercício 22.9.

Some todas as colunas à primeira: cada entrada da nova primeira coluna é $a + nb$ ; fatore-a, de modo que a primeira coluna fique só de uns. Então as operações sobre linhas $L_i \leftarrow L_i - L_1$ ( $i \geq 2$ ) zeram toda entrada abaixo do $1$ superior esquerdo e deixam $a$ na diagonal e $0$ no resto dessas linhas: a matriz é triangular superior com diagonal $(1, a, \dots, a)$ . Logo

\det(aI + bJ) = (a + nb)\, a^{\,n-1} ,

não nulo se e somente se $a \neq 0$ e $a + nb \neq 0$ : a condição do Exercício 21.9.

Exercício 22.10 ★★★

Sejam $A, B \in \mathcal{M}_n(\R)$ . Demonstre que

\det\begin{pmatrix} A & B\\ B & A \end{pmatrix} = \det(A + B)\,\det(A - B),

por operações de colunas e de linhas em blocos ( $C_1 \leftarrow C_1 + C_2$ , e depois $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , em forma de blocos), admitindo a regra triangular por blocos natural $\det\begin{pmatrix} M & N\\ 0 & P\end{pmatrix} = \det M \det P$ — demonstrada para blocos $2 \times 2$ no Exemplo 22.9.

Solução

Solução de Exercício 22.10.

Operações por blocos (cada uma é uma composição das $n$ operações escalares correspondentes, permitidas pelo Teorema 22.3 (1)):

\begin{vmatrix} A & B\\ B & A\end{vmatrix} \overset{C_1 \leftarrow C_1 + C_2}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ A + B & A\end{vmatrix} \overset{L_2 \leftarrow L_2 - L_1}{=} \begin{vmatrix} A + B & B\\ 0 & A - B\end{vmatrix} = \det(A+B)\,\det(A-B),

usando a regra triangular por blocos no último passo.

Exercício 22.11 ★★

(Circulante de ordem $3$ ) Sejam $a, b, c \in \C$ e

\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{vmatrix}.

Demonstre que $\Delta = (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca)$ , e fatore completamente sobre $\C$ usando $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ :

\Delta = (a + b + c)(a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) .

(Comece por $C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ ; para a forma complexa, note que a coluna $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ se comporta quase como um autovetor.)

Solução

Solução de Exercício 22.11.

$C_1 \leftarrow C_1 + C_2 + C_3$ torna a primeira coluna constante e igual a $(a + b + c)$ ; fatore-a, e depois $L_2 \leftarrow L_2 - L_1$ , $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ :

\Delta = (a+b+c)\begin{vmatrix} 1 & b & c\\ 0 & a - b & b - c\\ 0 & c - b & a - c \end{vmatrix} = (a+b+c)\bigl[(a-b)(a-c) + (b-c)^2\bigr],

e, desenvolvendo, $(a-b)(a-c) + (b-c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca$ . Sobre $\C$ , com $j^3 = 1$ e $1 + j + j^2 = 0$ :

\begin{align*} (a + jb + j^2c)(a + j^2b + jc) &= a^2 + b^2 + c^2 + (j + j^2)(ab + bc + ca)\\ &= a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca , \end{align*}

donde a fatoração completa. (Estruturalmente: a coluna $(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ satisfaz $M\,(1, j, j^2)^{\mathsf T} = (a + jb + j^2c)(1, j, j^2)^{\mathsf T}$ , e do mesmo modo para $j^2$ e $1$ : os três fatores são os três “autovalores” da circulante, uma história sistematizada no volume do segundo ano de graduação.)

Exercício 22.12 ★★★

(Posto e menores) Seja $A \in \mathcal{M}_{n,p}(K)$ . Demonstre que $\operatorname{rk} A$ é igual ao maior tamanho $r$ de uma submatriz $r \times r$ invertível de $A$ (uma submatriz conserva as entradas nos cruzamentos de $r$ linhas e $r$ colunas escolhidas). (Se $\operatorname{rk} A = r$ , selecione $r$ colunas livres, e depois $r$ linhas livres do bloco $n \times r$ resultante; reciprocamente, uma submatriz invertível força as colunas correspondentes de $A$ a serem livres.)

Solução

Solução de Exercício 22.12.

Escreva $r = \operatorname{rk} A$ .

Existe uma submatriz $r \times r$ invertível. Escolha $r$ colunas livres de $A$ e seja $B \in \mathcal{M}_{n,r}$ a matriz que elas formam: $\operatorname{rk} B = r$ . Como o posto por linhas é igual ao posto por colunas (o Teorema 21.13), $B$ tem $r$ linhas livres; conservar essas linhas dá uma submatriz $r \times r$ de $A$ de posto $r$ , isto é, invertível.

Nenhuma maior existe. Seja $S$ uma submatriz $s \times s$ invertível, tomada das colunas $j_1, \dots, j_s$ e das linhas $i_1, \dots, i_s$ de $A$ . Se uma combinação $\sum_k \lambda_k C_{j_k} = 0$ das colunas inteiras correspondentes se anula, então ler apenas as linhas $i_1, \dots, i_s$ dá $\sum_k \lambda_k S_k = 0$ nas colunas de $S$ , logo todos os $\lambda_k = 0$ ( $S$ invertível): as colunas $C_{j_1}, \dots, C_{j_s}$ de $A$ são livres, e $s \leq \operatorname{rk} A = r$ .

Logo $\operatorname{rk} A$ é exatamente o maior tamanho de uma submatriz invertível.

22.4 Problema: o duplo alternante de Cauchy

Problema 22.1

Dois determinantes governam as aplicações deste capítulo: o determinante de Vandermonde, avaliado no Exercício 22.5, e o determinante de Cauchy $\det\bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\bigr)$ , avaliado aqui. Em torno deles este problema reúne a caixa de ferramentas dos alternantes: truques polinomiais sobre colunas, interpolação por Cramer, a matriz de Hilbert, o discriminante de uma cúbica e o método dos polinômios alternantes. Ao longo do texto, $V(x_1, \dots, x_n) = \prod_{i < j}(x_j - x_i)$ designa o valor de Vandermonde.

Parte I — A caixa de ferramentas de Vandermonde.

Calcule $V(1, 2, 3, 4)$ , e lembre por que a interpolação em $n$ nós dois a dois distintos é um sistema de Cramer.
(Alternante polinomial) Sejam $P_0, \dots, P_{n-1}$ mônicos com $\deg P_k = k$ . Demonstre

$\det\bigl(P_{j-1}(x_i)\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = V(x_1, \dots, x_n) :$

as operações sobre colunas substituem cada coluna de potências por qualquer escada mônica, de graça.
Aplique a questão 2 aos polinômios binomiais $B_k = \frac{X(X-1)\cdots(X-k+1)}{k!}$ : demonstre que, para inteiros $m_1 < m_2 < \dots < m_n$ ,

$\frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\,2!\cdots(n-1)!} \in \N :$

o produto de todas as diferenças dois a dois de $n$ inteiros é divisível pelo superfatorial $0!\,1!\cdots(n-1)!$ .
Demonstre $\det\bigl(x_i^{\,j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n} = x_1 x_2 \cdots x_n\, V(x_1, \dots, x_n)$ (as potências começando agora em $1$ ).
(Matriz de momentos) Seja $S = \bigl(p_{i+j-2}\bigr)_{1 \leq i, j \leq n}$ , onde $p_k = x_1^k + \dots + x_n^k$ . Demonstre que $S = W^{\mathsf T} W$ para a matriz $W = (x_i^{\,j-1})_{ij}$ , deduza

$\det S = V(x_1, \dots, x_n)^2 ,$

e conclua: $n$ números reais são dois a dois distintos se e somente se a sua matriz de momentos é invertível, e $\det S \geq 0$ sempre.

Parte II — A interpolação revisitada. Nós $x_1 < \dots < x_n$ , valores $y_1, \dots, y_n$ .

Escreva as condições “ $P = c_0 + c_1X + \dots + c_{n-1}X^{n-1}$ interpola” como um sistema linear nos $c_k$ com matriz $W$ , e recupere de $\det W = V \neq 0$ a existência e a unicidade do interpolante (compare com as duas demonstrações anteriores, o Teorema 8.23 e o Exemplo 20.10).
Pela regra de Cramer e pelo desenvolvimento em cofatores do determinante relevante ao longo da sua última coluna, demonstre que o coeficiente dominante do interpolante é

$c_{n-1} = \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i}{\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)} .$
(Vandermonde confluente) Calcule

$\begin{vmatrix} 1 & x_1 & x_1^2\\ 0 & 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 & x_2^2 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)^2 ,$

e interprete: os dados $\bigl(P(x_1), P'(x_1), P(x_2)\bigr)$ determinam um único $P \in \R_2[X]$ quando $x_1 \neq x_2$ (interpolação de Hermite).
Encontre o único $P \in \R_2[X]$ com $P(0) = 1$ , $P'(0) = 0$ , $P(1) = 2$ , e confira a sua resposta contra a questão 8.

Parte III — O determinante de Cauchy. Sejam $a_1, \dots, a_n$ e $b_1, \dots, b_n$ escalares com $a_i + b_j \neq 0$ para todos $i, j$ , e

C_n = \det\Bigl(\frac{1}{a_i + b_j}\Bigr)_{1 \leq i, j \leq n} .

Calcule $C_2$ à mão e ponha-o na forma “produtos de diferenças sobre produtos de somas”.
Para $n \geq 2$ , efetue $L_i \leftarrow L_i - L_n$ ( $i < n$ ) e fatore linhas e colunas para demonstrar

$C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)}{\prod_{j}(a_n + b_j)}\;\det M,$

onde $M$ coincide com a matriz de Cauchy nas linhas $i < n$ e tem por última linha $(1, 1, \dots, 1)$ .
Efetue $C_j \leftarrow C_j - C_n$ ( $j < n$ ) em $M$ , fatore de novo, e conclua por indução o duplo alternante de Cauchy:

$C_n = \frac{\prod_{1 \leq i < j \leq n}(a_j - a_i)(b_j - b_i)}{\prod_{i, j}(a_i + b_j)} .$
Deduza o critério de invertibilidade (os $a_i$ dois a dois distintos e os $b_j$ dois a dois distintos). Para a matriz de Hilbert $H_n = \bigl(\frac{1}{i + j - 1}\bigr)$ : calcule $\det H_2$ e $\det H_3$ pela fórmula, e verifique que $H_2^{-1}$ tem entradas inteiras.
Mostre que, para $b_j$ dois a dois distintos e qualquer lado direito, o sistema $\sum_j \frac{c_j}{a_i + b_j} = y_i$ ( $i = 1, \dots, n$ ) tem solução única, e relacione isto com a existência e a unicidade das decomposições em frações parciais com polos simples (o Teorema 9.5).

Parte IV — O discriminante de uma cúbica. Sejam $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ as raízes (em $\C$ ) de $X^3 + pX + q$ , e $p_k = \lambda_1^k + \lambda_2^k + \lambda_3^k$ .

Usando $\lambda^3 = -p\lambda - q$ em cada raiz e Viète ( $p_1 = 0$ ), calcule $p_2 = -2p$ , $p_3 = -3q$ e $p_4 = 2p^2$ .
Com a questão 5 (sobre $\C$ , mantendo $\det S = V^2$ ), calcule

$\operatorname{disc} = V(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = -4p^3 - 27q^2 .$
Deduza: $X^3 + pX + q$ tem uma raiz múltipla se e somente se $4p^3 + 27q^2 = 0$ ; confira em $X^3 - 3X + 2 = (X - 1)^2(X + 2)$ .
Suponha $p, q$ reais. Demonstre que a cúbica tem três raízes reais distintas se e somente se $\operatorname{disc} > 0$ , e uma raiz real mais duas raízes complexas conjugadas se e somente se $\operatorname{disc} < 0$ . (Se $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \neq \lambda_2$ e $\lambda_1 \in \R$ , mostre que $V$ é imaginário puro.)

Parte V — Dividendos, e o método dos alternantes.

Para $0 < a_1 < a_2 < \dots < a_n$ , mostre que $\det\bigl(\frac{1}{a_i + a_j}\bigr) > 0$ .
Calcule $\det\bigl(\binom{m_i}{j-1}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ para $(m_1, m_2, m_3) = (2, 4, 7)$ , primeiro pelas questões 2–3 e depois por desenvolvimento direto.
Sejam $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ dois a dois distintos e não nulos. Usando uma matriz de Vandermonde invertível, demonstre de novo que as sequências geométricas $\bigl((\lambda_i^{\,k})_{k \geq 0}\bigr)_{1 \leq i \leq n}$ formam uma família livre do espaço das sequências.
Calcule $\det\bigl(\frac{1}{i + j}\bigr)_{1 \leq i, j \leq 3}$ a partir do duplo alternante.
(Polinômios alternantes) Chame um polinômio $F$ nas variáveis $x_1, \dots, x_n$ de alternante quando trocar duas variáveis quaisquer muda o seu sinal. Mostre que um $F$ alternante se anula sempre que $x_i = x_j$ ( $i \neq j$ ), e deduza — uma variável de cada vez, pelo teorema do fator — que $F$ é divisível por $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ .
Use a questão 23 para redemonstrar a fórmula de Vandermonde sem indução: o determinante $\det(x_i^{\,j-1})$ é um polinômio alternante de grau total $\binom n2$ , logo um múltiplo constante de $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ ; identifique a constante comparando um monômio.
Síntese, em quatro frases: qual propriedade única do determinante (qual axioma) gera todas as fatorações deste problema; por que a identidade da matriz de momentos da questão 5 transforma um enunciado sobre distinção complexa num teste de sinal real computável; quais duas matrizes clássicas foram completamente avaliadas aqui e quais problemas lineares elas governam; e como o método dos alternantes das questões 23–24 explica, de uma só vez, por que $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ não para de aparecer. Nomeie o teorema da Parte III.

Solução

Solução de Problema 22.1.

1. $V(1,2,3,4) = (2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) = 1 \cdot 2\cdot 3\cdot 1\cdot 2\cdot 1 = 12$ . A interpolação em nós distintos pede os coeficientes de $P$ que resolvem $W c = y$ com $W = (x_i^{\,j-1})$ , e $\det W = V \neq 0$ : um sistema de Cramer.

2. Percorra as colunas da esquerda para a direita. $C_1$ é a coluna constante $P_0(x_i) = 1$ ( $P_0$ mônico de grau $0$ ). Suponha que as colunas $1, \dots, j-1$ já foram reduzidas às potências puras $1, x_i, \dots, x_i^{\,j-2}$ . Como $P_{j-1} = X^{j-1} + \sum_{k < j-1}\alpha_k X^k$ , subtrair de $C_j$ a combinação $\sum_k \alpha_k\,(\text{coluna de } x_i^k)$ — operação que não altera o determinante — deixa a coluna de potências puras $x_i^{\,j-1}$ . Depois da última coluna, a matriz é a matriz de Vandermonde: $\det = V(x_1, \dots, x_n)$ .

3. Os polinômios $(j-1)!\,B_{j-1}$ são mônicos de grau $j - 1$ , logo a questão 2 dá

\det\bigl(B_{j-1}(m_i)\bigr) = \frac{V(m_1, \dots, m_n)}{0!\,1!\cdots(n-1)!} .

O lado esquerdo é o determinante de uma matriz com entradas inteiras ( $B_k$ assume valores inteiros em $\Z$ : questões 16–17 do problema de fim de semana Problema 18.1), logo um inteiro; e ele é positivo, pois $V(m_1, \dots, m_n) > 0$ para $m_1 < \dots < m_n$ . Logo o superfatorial divide o produto de todas as diferenças dois a dois.

4. Fatore $x_i$ em cada linha $i$ : $\det(x_i^{\,j})_{j = 1..n} = x_1\cdots x_n\, \det(x_i^{\,j-1}) = x_1\cdots x_n\,V$ .

5. $(W^{\mathsf T}W)_{ij} = \sum_k x_k^{\,i-1} x_k^{\,j-1} = p_{i+j-2}$ : $S = W^{\mathsf T}W$ . Logo $\det S = \det(W^{\mathsf T})\det W = V^2$ (o Teorema 22.3 (2),(4)). Para $x_i$ reais: $\det S = V^2 \geq 0$ , e $S$ é invertível se e somente se $V \neq 0$ , isto é, se e somente se os $x_i$ são dois a dois distintos — um teste de sinal definido, computável apenas a partir das somas de potências.

6. As condições de interpolação $\sum_{k} c_k\,x_i^{\,k} = y_i$ formam o sistema $Wc = y$ ; $\det W = V \neq 0$ dá existência e unicidade de uma só vez. Esta é a terceira demonstração do livro: fórmula explícita no Teorema 8.23, argumento de núcleo no Exemplo 20.10, Cramer aqui.

7. Cramer: $c_{n-1} = \det W'/\det W$ , onde $W'$ é $W$ com a sua última coluna substituída por $y$ . Desenvolvendo $\det W'$ ao longo dessa coluna:

\det W' = \sum_{i=1}^n (-1)^{i+n} y_i\,V(x_1, \dots, \widehat{x_i}, \dots, x_n) .

Ora, $V = V(\setminus i)\cdot\prod_{j<i}(x_i - x_j)\prod_{j>i} (x_j - x_i)$ , e converter o segundo produto custa $(-1)^{n-i}$ :

(-1)^{i+n}\,\frac{V(\setminus i)}{V} = \frac{(-1)^{i+n}(-1)^{n-i}}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} = \frac{1}{\prod_{j\neq i}(x_i - x_j)} ,

donde $c_{n-1} = \sum_i y_i/\prod_{j \neq i}(x_i - x_j)$ — de novo a fórmula das diferenças divididas.

8. $L_3 \leftarrow L_3 - L_1$ dá as linhas $(1, x_1, x_1^2)$ , $(0, 1, 2x_1)$ , $(0,\ x_2 - x_1,\ (x_2-x_1)(x_2+x_1))$ ; desenvolvendo ao longo da primeira coluna e fatorando $(x_2 - x_1)$ :

(x_2 - x_1)\begin{vmatrix} 1 & 2x_1\\ 1 & x_2 + x_1 \end{vmatrix} = (x_2 - x_1)(x_2 - x_1) = (x_2 - x_1)^2 .

Não nulo para $x_1 \neq x_2$ : o sistema linear que exprime $P(x_1) = u$ , $P'(x_1) = v$ , $P(x_2) = w$ nos coeficientes de $P \in \R_2[X]$ é de Cramer — a interpolação de Hermite com um nó duplicado é bem posta.

9. $P = a + bX + cX^2$ com $a = P(0) = 1$ , $b = P'(0) = 0$ , $a + b + c = P(1) = 2$ : $c = 1$ , logo $P = 1 + X^2$ , único. Coerência: aqui $x_1 = 0$ , $x_2 = 1$ e o determinante da questão 8 é $(1 - 0)^2 = 1 \neq 0$ .

10. Cálculo direto:

C_2 = \frac{1}{(a_1+b_1)(a_2+b_2)} - \frac{1}{(a_1+b_2)(a_2+b_1)} = \frac{(a_1+b_2)(a_2+b_1) - (a_1+b_1)(a_2+b_2)} {\prod_{i,j}(a_i+b_j)} ,

e o numerador desenvolve-se em $a_1b_1 + a_2b_2 - a_1b_2 - a_2b_1 = (a_2 - a_1)(b_2 - b_1)$ : diferenças sobre somas.

11. Para $i < n$ , a nova entrada da linha $i$ é

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_n + b_j} = \frac{a_n - a_i}{(a_i + b_j)(a_n + b_j)} .

Fatore $(a_n - a_i)$ em cada linha $i < n$ , e depois $\frac1{a_n + b_j}$ em cada coluna $j$ : o que resta tem entradas $\frac1{a_i + b_j}$ nas linhas $i < n$ e a constante $1$ na linha $n$ — a matriz $M$ , com o prefator anunciado.

12. Em $M$ , para $j < n$ a operação $C_j \leftarrow C_j - C_n$ transforma a linha $n$ em $(0, \dots, 0, 1)$ e, na linha $i < n$ ,

\frac{1}{a_i + b_j} - \frac{1}{a_i + b_n} = \frac{b_n - b_j}{(a_i + b_j)(a_i + b_n)} .

Fatore $(b_n - b_j)$ em cada coluna $j < n$ e $\frac1{a_i + b_n}$ em cada linha $i < n$ , e depois desenvolva ao longo da última linha (sinal $(-1)^{n+n} = +1$ ): o determinante restante é $C_{n-1}$ . Reunindo os fatores das questões 11–12:

C_n = \frac{\prod_{i<n}(a_n - a_i)\,\prod_{j<n}(b_n - b_j)} {\prod_{j}(a_n + b_j)\,\prod_{i<n}(a_i + b_n)}\;C_{n-1},

e a indução (base $C_1 = \frac1{a_1+b_1}$ ) monta exatamente o duplo alternante de Cauchy: os fatores $(a_j - a_i)(b_j - b_i)$ para todos os pares, sobre todas as somas $(a_i + b_j)$ .

13. A fórmula se anula se e somente se algum $a_j = a_i$ ou $b_j = b_i$ : a matriz de Cauchy é invertível se e somente se as duas famílias são dois a dois distintas. Hilbert: $a_i = i$ , $b_j = j - 1$ . Para $n = 2$ : numerador $(2-1)(1-0) = 1$ , denominador $1\cdot2\cdot2\cdot3 = 12$ : $\det H_2 = \frac1{12}$ . Para $n = 3$ : numerador $\bigl[(1)(2)(1)\bigr]^2 = 4$ , denominador $(1\cdot2\cdot3) (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5) = 6\cdot24\cdot60 = 8640$ : $\det H_3 = \frac{4}{8640} = \frac1{2160}$ . Inversa para $n = 2$ :

H_2^{-1} = 12\begin{pmatrix} \frac13 & -\frac12\\[2pt] -\frac12 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -6\\ -6 & 12 \end{pmatrix},

todos inteiros (fenômeno verdadeiro para todo $n$ ).

14. A matriz do sistema é a matriz de Cauchy, invertível pela questão 13 quando os $b_j$ (e os $a_i$ ) são dois a dois distintos: solução única. Interpretação: uma função racional $R = \sum_j \frac{c_j}{X + b_j}$ com polos simples é determinada por $n$ dos seus valores $R(a_1), \dots, R(a_n)$ , e reciprocamente qualquer tal folha de dados é realizada exatamente uma vez — a contrapartida amostral do teorema de existência e unicidade das frações parciais (o Teorema 9.5).

15. Viète para $X^3 + pX + q$ : $\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 0$ , $\sum_{i<j}\lambda_i\lambda_j = p$ , logo $p_1 = 0$ e $p_2 = p_1^2 - 2p = -2p$ . Cada raiz satisfaz $\lambda^3 = -p\lambda - q$ ; somando: $p_3 = -p\,p_1 - 3q = -3q$ . Multiplicando por $\lambda$ e somando: $p_4 = -p\,p_2 - q\,p_1 = 2p^2$ .

16. Pela questão 5 (a identidade $S = W^{\mathsf T}W$ e $\det S = V^2$ valem sobre $\C$ ),

V^2 = \begin{vmatrix} 3 & 0 & -2p\\ 0 & -2p & -3q\\ -2p & -3q & 2p^2 \end{vmatrix} = 3\bigl(-4p^3 - 9q^2\bigr) + (-2p)\bigl(0 - 4p^2\bigr) = -4p^3 - 27q^2 ,

desenvolvendo ao longo da primeira linha.

17. Uma raiz múltipla significa dois $\lambda_i$ iguais, isto é, $V = 0$ , isto é, $\operatorname{disc} = -4p^3 - 27q^2 = 0$ . Para $X^3 - 3X + 2$ : $4(-3)^3 + 27\cdot4 = -108 + 108 = 0$ , coerente com a raiz dupla $1$ de $(X-1)^2(X+2)$ .

18. As raízes não reais de uma cúbica real vêm em pares conjugados, logo ocorrem exatamente dois casos quando $\operatorname{disc} \neq 0$ . Três raízes reais distintas: $V$ é real e não nulo, logo $\operatorname{disc} = V^2 > 0$ . Uma raiz real $\lambda_1$ e $\lambda_3 = \conj{\lambda_2} \notin \R$ : então

(\lambda_2 - \lambda_1)(\lambda_3 - \lambda_1) = \abs{\lambda_2 - \lambda_1}^2 > 0, \qquad \lambda_3 - \lambda_2 = -2\iu\,\operatorname{Im}\lambda_2 \neq 0,

logo $V$ é um número imaginário puro não nulo e $\operatorname{disc} = V^2 < 0$ . Os dois sinais caracterizam os dois casos.

19. Tome $b_i = a_i$ no duplo alternante: o numerador é $\prod_{i<j}(a_j - a_i)^2 > 0$ e o denominador $\prod_{i,j}(a_i + a_j) > 0$ (todas as entradas positivas): o determinante é positivo. (Em linguagem posterior: o núcleo $\frac1{x+y}$ é positivo definido.)

20. Pelas questões 2–3, o determinante vale $V(2,4,7)/(0!\,1!\,2!) = \frac{(4-2)(7-2)(7-4)}{2} = \frac{30}{2} = 15$ . Diretamente, a matriz é

\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 1 & 4 & 6\\ 1 & 7 & 21 \end{pmatrix}, \qquad \det = (84 - 42) - 2(21 - 6) + (7 - 4) = 42 - 30 + 3 = 15 .

21. Suponha $\sum_i c_i\,(\lambda_i^{\,k})_{k} = 0$ como sequência. Ler em $k = 0, 1, \dots, n-1$ dá $W^{\mathsf T}c = 0$ com $W = (\lambda_i^{\,j-1})$ invertível ( $\det = V \neq 0$ , com $\lambda_i$ distintos): $c = 0$ . As sequências geométricas são livres.

22. $a = b = (1, 2, 3)$ : numerador $\bigl[(2-1)(3-1) (3-2)\bigr]^2 = 4$ ; denominador $\prod_{i,j}(i + j) = (2\cdot3\cdot4)(3\cdot4\cdot5)(4\cdot5\cdot6) = 24\cdot60\cdot120 = 172800$ . Logo $\det\bigl(\frac1{i+j}\bigr) = \frac{4}{172800} = \frac1{43200}$ .

23. Se $x_i = x_j$ , a troca das duas variáveis fixa o ponto mas deve mudar o sinal de $F$ : $F = -F$ , logo $F = 0$ ali. Divisibilidade: veja $F$ como um polinômio na única variável $x_n$ com coeficientes nas outras variáveis; ele se anula nos $n - 1$ “valores” $x_1, \dots, x_{n-1}$ , logo fatorações repetidas (o Teorema 8.7) dão $F = \prod_{i<n}(x_n - x_i)\cdot G$ com $G$ polinomial. O prefator é invariante pelas trocas de dois índices $i, j < n$ , logo $G$ é alternante em $x_1, \dots, x_{n-1}$ , e a indução completa: $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ divide $F$ .

24. $D = \det(x_i^{\,j-1})$ é um polinômio nos $x_i$ ; trocar duas variáveis troca duas linhas, logo $D$ é alternante e, pela questão 23, $D = c\,\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ para algum polinômio $c$ . Graus totais: $D$ tem grau $\leq 0 + 1 + \dots + (n-1) = \binom n2$ , e o produto tem grau exatamente $\binom n2$ : $c$ é uma constante. O monômio $x_2\,x_3^2\cdots x_n^{\,n-1}$ tem coeficiente $1$ em $D$ (produto diagonal) e $1$ no produto (escolha a variável de índice maior em cada fator): $c = 1$ , e a fórmula de Vandermonde sai sem indução alguma.

25. (i) A alternância — o axioma “duas colunas iguais matam o determinante” — é o motor: foi ela que produziu cada fator $(x_j - x_i)$ , $(a_j - a_i)$ , $(b_j - b_i)$ do problema. (ii) A identidade $\det S = V^2$ substitui as raízes complexas individuais, inatingíveis, pelas suas somas de potências, que são polinômios reais nos coeficientes, de modo que a distinção se torna o sinal de um número real computável. (iii) O determinante de Vandermonde governa a interpolação polinomial, e o determinante de Cauchy governa as frações parciais e as funções racionais amostradas (com a matriz de Hilbert como o seu caso particular mais famoso). (iv) Todo polinômio alternante é divisível por $\prod_{i<j}(x_j - x_i)$ , e uma contagem de graus fixa então tal polinômio a menos de uma constante — razão pela qual este produto não para de reaparecer sempre que um determinante se anula sobre coincidências. O teorema da Parte III é o duplo alternante de Cauchy.