O que é Núcleo e imagem?

Exemplo 20.8 (Construir uma aplicação sob encomenda)

Construa $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ com $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ e $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$. Primeiro a coerência: o teorema do núcleo e da imagem exige $1 + 2 = 3$ — coerente, logo pode existir uma solução. Escolha uma base adaptada ao núcleo, digamos $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (o Exemplo 19.7), e prescreva as imagens (a Proposição 20.2):

Então $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ e $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$; o teorema do núcleo e da imagem força $\dim\ker u = 1$, logo o núcleo é exatamente a reta prescrita. Explicitamente, decompondo $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$:

A receita generaliza-se: uma aplicação linear com núcleo prescrito $N$ e imagem prescrita $I$ existe exatamente quando $\dim N + \dim I = \dim E$ — a necessidade é o teorema do núcleo e da imagem, e a suficiência é esta construção.

Exemplo 20.10 (Interpolação, estruturalmente)

Fixe $x_0, \dots, x_n$ distintos e seja $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$, $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$: linear. O seu núcleo é $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ roots}\} = \{0\}$ (o Corolário 8.8). Dimensões iguais $n + 1$: $u$ é um isomorfismo — existência e unicidade do interpolante de Lagrange (o Teorema 8.23) numa linha.

O mesmo padrão de uma linha trata dados que misturam valores e derivadas: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$, $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ é linear, e o seu núcleo consiste nos polinômios de grau $\leq 3$ com raízes duplas em $0$ e em $1$, isto é, divisíveis por $X^2(X-1)^2$, de grau $4$: só $P = 0$. Dimensões iguais de novo: toda quádrupla de dados $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ é realizada por exatamente uma cúbica — a interpolação de Hermite, garantida por um cálculo de núcleo antes de escrever qualquer fórmula (o problema de fim de semana do Capítulo 22 encontra o seu determinante).

Exemplo 20.11 (O teorema do núcleo e da imagem em ação: o operador de diferenças)

Seja $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$, $P \mapsto P(X+1) - P(X)$: linear. Núcleo: se $\Delta P = 0$, então $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$, logo $P - P(0)$ tem infinitas raízes e se anula (o Corolário 8.8): $\ker\Delta$ é a reta das constantes. Pelo teorema do núcleo e da imagem: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$. Como $\deg \Delta P < \deg P$ para $P$ não constante (os termos de topo se cancelam), $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$, que tem dimensão exatamente $n$: a inclusão é uma igualdade. Conclusão, sem calcular nenhuma pré-imagem: todo polinômio $Q$ de grau $\leq n - 1$ é uma diferença $Q = P(X+1) - P(X)$ — a primitiva discreta existe. (Compare com o problema de fim de semana do Capítulo 18, em que $\Delta$ foi invertido explicitamente na base binomial.)