Matemática universitária — Graduação 1 · Bachelor Year 1

20Aplicações Lineares

As aplicações que vale a pena estudar entre espaços vetoriais são as compatíveis com a estrutura: as aplicações lineares. Os seus dois subespaços fundamentais — núcleo e imagem — medem a injetividade e a sobrejetividade, e em dimensão finita o teorema do núcleo e da imagem amarra os seus tamanhos numa única lei de conservação. Projeções e simetrias, e depois formas lineares e hiperplanos, fecham o capítulo.

20.1 Definições e primeiras propriedades

Definição 20.1

Sejam $E, F$ espaços vetoriais sobre $K$ . Uma aplicação $u \colon E \to F$ é linear quando

\forall x, y \in E,\ \forall \lambda \in K, \qquad u(x + \lambda y) = u(x) + \lambda u(y).

Então $u(0) = 0$ e $u(\sum \lambda_i x_i) = \sum \lambda_i u(x_i)$ . O conjunto $\mathcal{L}(E, F)$ das aplicações lineares é ele próprio um espaço vetorial; a composição de aplicações lineares é linear, e bilinear no par. Um endomorfismo é uma aplicação linear $E \to E$ ; um isomorfismo é uma aplicação linear bijetiva (a sua inversa é então automaticamente linear); a inversa $u^{-1}$ de um isomorfismo e as compostas de isomorfismos são isomorfismos.

Demonstração de que a inversa é linear. Seja $u$ linear bijetiva, $y, y' \in F$ e $\lambda \in K$ . Ponha $x = u^{-1}(y)$ e $x' = u^{-1}(y')$ . Então

u\bigl(x + \lambda x'\bigr) = u(x) + \lambda u(x') = y + \lambda y' ,

e aplicando $u^{-1}$ às duas pontas: $u^{-1}(y + \lambda y') = x + \lambda x' = u^{-1}(y) + \lambda\,u^{-1}(y')$ . Nada sobre $u^{-1}$ foi calculado: a linearidade transporta-se apenas através da propriedade que define $u$ — um padrão que vale a pena reter, pois a estrutura muitas vezes viaja de graça ao longo das bijeções. ∎

Proposição 20.2 (Uma aplicação linear é conhecida numa base)

Seja $(e_1, \dots, e_n)$ uma base de $E$ e $(v_1, \dots, v_n)$ vetores arbitrários de $F$ . Existe exatamente uma aplicação linear $u \colon E \to F$ com $u(e_i) = v_i$ para todo $i$ . Além disso:

u \text{ injetiva} \iff (v_i) \text{ livre}; \qquad u \text{ sobrejetiva} \iff (v_i) \text{ gera } F .

Demonstração. Existência e unicidade: todo $x$ tem coordenadas únicas $x = \sum \lambda_i e_i$ (a Proposição 18.15); a linearidade força $u(x) = \sum \lambda_i v_i$ , e essa fórmula define de fato uma aplicação linear.

Injetividade: pela Proposição 20.5 abaixo, $u$ é injetiva se e somente se o seu núcleo é trivial. Ora, $u\bigl(\sum\lambda_i e_i\bigr) = 0$ significa exatamente $\sum\lambda_i v_i = 0$ . Se $(v_i)$ é livre, isto força todo $\lambda_i = 0$ , isto é, o núcleo reduz-se a $0$ : injetiva. Se $(v_i)$ é linearmente dependente, uma relação não trivial $\sum\lambda_i v_i = 0$ produz o vetor não nulo $\sum\lambda_i e_i$ no núcleo ( $(e_i)$ é livre): não injetiva. As duas condições correspondem termo a termo.

Sobrejetividade: a imagem de $u$ é o conjunto de todos os $\sum\lambda_i v_i$ , isto é, exatamente $\operatorname{Vect}(v_1, \dots, v_n)$ , que é igual a $F$ se e somente se a família é geradora. ∎

Definição 20.3 (Núcleo e imagem)

Para $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

\ker u = \{x \in E : u(x) = 0\} \subseteq E, \qquad \operatorname{im} u = u(E) \subseteq F ,

ambos subespaços (verificação direta com o critério).

Método 20.4 (Núcleo e imagem, na prática)

Núcleo: escreva $u(x) = 0$ como um sistema nas coordenadas (ou nos coeficientes) de $x$ , resolva e parametrize — o núcleo sai com uma base anexada (o Método 19.10). Imagem: é o espaço gerado pelas imagens de qualquer família geradora de $E$ — em geral uma base, logo $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ ; depois elimine as imagens redundantes para extrair uma base. Atalho: calcule aquele dos dois que for mais fácil e obtenha de graça a dimensão do outro pelo teorema do núcleo e da imagem (Teorema 20.7); quando se conhece um candidato plausível a subespaço imagem, comparar dimensões promove a inclusão fácil a igualdade (o Teorema 19.14). Os dois atalhos são usados no Exemplo 20.11 abaixo.

Proposição 20.5

$u$ é injetiva $\iff$ $\ker u = \{0\}$ ; $u$ é sobrejetiva $\iff$ $\operatorname{im} u = F$ .

Demonstração. Como para os grupos (a Proposição 7.11): $u(x) = u(y) \iff u(x - y) = 0 \iff x - y \in \ker u$ . O segundo ponto é a definição. ∎

20.2 O teorema do núcleo e da imagem

Definição 20.6

O posto de $u \in \mathcal{L}(E, F)$ (com $E$ de dimensão finita) é $\operatorname{rk} u = \dim \operatorname{im} u$ — que é também o posto da família $\bigl(u(e_1), \dots, u(e_n)\bigr)$ para qualquer base $(e_i)$ de $E$ .

Teorema 20.7 (Teorema do núcleo e da imagem)

Seja $E$ de dimensão finita e $u \in \mathcal{L}(E, F)$ . Então

\dim E = \dim \ker u + \operatorname{rk} u .

Mais precisamente, se $S$ é um subespaço suplementar qualquer de $\ker u$ em $E$ , então $u$ se restringe a um isomorfismo de $S$ sobre $\operatorname{im} u$ .

Demonstração. Seja $S$ tal que $E = \ker u \oplus S$ (o Teorema 19.14), e seja $v \colon S \to \operatorname{im} u$ a restrição de $u$ .

$v$ é injetiva: $\ker v = S \cap \ker u = \{0\}$ .

$v$ é sobrejetiva: todo $u(x)$ com $x = k + s$ ( $k \in \ker u$ , $s \in S$ ) é igual a $u(s) = v(s)$ .

Logo $v$ é um isomorfismo; um isomorfismo leva uma base numa base (a Proposição 20.2), logo $\dim S = \dim\operatorname{im} u$ , e $\dim E = \dim\ker u + \dim S$ conclui. ∎

Exemplo 20.8 (Construir uma aplicação sob encomenda)

Construa $u \in \mathcal{L}(\R^3)$ com $\ker u = \operatorname{Vect}(1,1,1)$ e $\operatorname{im} u = \{z = 0\}$ . Primeiro a coerência: o teorema do núcleo e da imagem exige $1 + 2 = 3$ — coerente, logo pode existir uma solução. Escolha uma base adaptada ao núcleo, digamos $\bigl((1,1,1),\ e_1,\ e_2\bigr)$ (o Exemplo 19.7), e prescreva as imagens (a Proposição 20.2):

u(1,1,1) = 0, \qquad u(e_1) = e_1, \qquad u(e_2) = e_2 .

Então $\ker u \supseteq \operatorname{Vect}(1,1,1)$ e $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) = \{z = 0\}$ ; o teorema do núcleo e da imagem força $\dim\ker u = 1$ , logo o núcleo é exatamente a reta prescrita. Explicitamente, decompondo $(x, y, z) = z(1,1,1) + (x - z)e_1 + (y - z)e_2$ :

u(x, y, z) = (x - z,\ y - z,\ 0).

A receita generaliza-se: uma aplicação linear com núcleo prescrito $N$ e imagem prescrita $I$ existe exatamente quando $\dim N + \dim I = \dim E$ — a necessidade é o teorema do núcleo e da imagem, e a suficiência é esta construção.

Corolário 20.9

Se $\dim E = \dim F$ (finitas), então para $u \in \mathcal{L}(E, F)$ :

u \text{ injetiva} \iff u \text{ sobrejetiva} \iff u \text{bijetiva}.

Em particular isto vale para os endomorfismos em dimensão finita. (Falha em dimensão infinita: em $K[X]$ , a derivada é sobrejetiva mas não injetiva, e $P \mapsto XP$ é injetiva mas não sobrejetiva.)

Demonstração. Injetiva $\iff \dim\ker u = 0 \iff \operatorname{rk} u = \dim E = \dim F \iff \operatorname{im} u = F$ (um subespaço de dimensão máxima é o espaço inteiro, o Teorema 19.14) $\iff$ sobrejetiva. ∎

Exemplo 20.10 (Interpolação, estruturalmente)

Fixe $x_0, \dots, x_n$ distintos e seja $u \colon \R_n[X] \to \R^{n+1}$ , $P \mapsto (P(x_0), \dots, P(x_n))$ : linear. O seu núcleo é $\{P : \deg P \leq n,\ n+1 \text{ roots}\} = \{0\}$ (o Corolário 8.8). Dimensões iguais $n + 1$ : $u$ é um isomorfismo — existência e unicidade do interpolante de Lagrange (o Teorema 8.23) numa linha.

O mesmo padrão de uma linha trata dados que misturam valores e derivadas: $v \colon \R_3[X] \to \R^4$ , $P \mapsto \bigl(P(0), P'(0), P(1), P'(1)\bigr)$ é linear, e o seu núcleo consiste nos polinômios de grau $\leq 3$ com raízes duplas em $0$ e em $1$ , isto é, divisíveis por $X^2(X-1)^2$ , de grau $4$ : só $P = 0$ . Dimensões iguais de novo: toda quádrupla de dados $(P(0), P'(0), P(1), P'(1))$ é realizada por exatamente uma cúbica — a interpolação de Hermite, garantida por um cálculo de núcleo antes de escrever qualquer fórmula (o problema de fim de semana do Capítulo 22 encontra o seu determinante).

Exemplo 20.11 (O teorema do núcleo e da imagem em ação: o operador de diferenças)

Seja $\Delta \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P(X+1) - P(X)$ : linear. Núcleo: se $\Delta P = 0$ , então $P(0) = P(1) = P(2) = \dots$ , logo $P - P(0)$ tem infinitas raízes e se anula (o Corolário 8.8): $\ker\Delta$ é a reta das constantes. Pelo teorema do núcleo e da imagem: $\operatorname{rk}\Delta = (n + 1) - 1 = n$ . Como $\deg \Delta P < \deg P$ para $P$ não constante (os termos de topo se cancelam), $\operatorname{im}\Delta \subseteq \R_{n-1}[X]$ , que tem dimensão exatamente $n$ : a inclusão é uma igualdade. Conclusão, sem calcular nenhuma pré-imagem: todo polinômio $Q$ de grau $\leq n - 1$ é uma diferença $Q = P(X+1) - P(X)$ — a primitiva discreta existe. (Compare com o problema de fim de semana do Capítulo 18, em que $\Delta$ foi invertido explicitamente na base binomial.)

Exemplo 20.12 (Contabilidade do posto ao longo de uma composição)

Em $\R_2[X]$ , componha a derivada $D(P) = P'$ (posto $2$ : imagem $\R_1[X]$ , núcleo as constantes) consigo mesma. Então $D \circ D = D^2$ leva $P \mapsto P''$ , com imagem $\R_0[X]$ : posto $1$ . Compare com as cotas gerais: a grosseira dá $\operatorname{rk} D^2 \leq \min(2, 2) = 2$ ; a fórmula exata do Exercício 20.12 contabiliza a perda com precisão,

\operatorname{rk} D^2 = \operatorname{rk} D - \dim\bigl(\ker D \cap \operatorname{im} D\bigr) = 2 - 1 = 1 ,

pois as constantes (núcleo do $D$ externo) ficam dentro de $\R_1[X]$ (imagem do $D$ interno) com dimensão $1$ . Perde-se posto exatamente onde o núcleo externo embosca a imagem interna — a frase a reter quando os postos de uma composição se comportam mal.

Exemplo 20.13 (Núcleo e imagem do operador de Euler)

Em $\R_n[X]$ , seja $u(P) = X\,P'$ (linear: derivar e multiplicar por $X$ o são). Núcleo: $XP' = 0$ força $P' = 0$ (um produto de polinômios só se anula se um dos fatores se anular), logo $\ker u$ é a reta das constantes. Imagem: na base monomial,

u(X^k) = k\,X^{k} \qquad (k = 0, 1, \dots, n),

logo $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(X, 2X^2, \dots, nX^n) = \operatorname{Vect}(X, X^2, \dots, X^n)$ : os polinômios com termo constante nulo. Confira contra o teorema do núcleo e da imagem: $\operatorname{rk} u = (n + 1) - 1 = n$ , que é de fato a dimensão encontrada. Duas observações a guardar. Primeiro, aqui $\operatorname{im} u \oplus \ker u = \R_n[X]$ — mas isso é um feliz acaso deste operador, não um teorema: para o operador do tipo deslocamento $v(P) = P'$ em $\R_1[X]$ , $\ker v = \operatorname{im} v = \R_0[X]$ e a soma não é direta. Segundo, a relação $u(X^k) = kX^k$ diz que cada monômio é apenas reescalado por $u$ — uma base adaptada à aplicação, o germe da ideia de autovalor desenvolvida no volume do segundo ano de graduação.

20.3 Projeções e simetrias

Definição 20.14

Seja $E = F \oplus G$ . A projeção sobre $F$ ao longo de $G$ leva $x = f + g$ (decomposição única) em $p(x) = f$ ; a simetria associada é $s(x) = f - g$ . Ambas são lineares, e $s = 2p - \mathrm{id}$ .

Teorema 20.15 (Caracterização algébrica)

Um endomorfismo $p$ é uma projeção (sobre algum $F$ ao longo de algum $G$ ) se e somente se $p \circ p = p$ ; então $F = \operatorname{im} p = \ker(p - \mathrm{id})$ e $G = \ker p$ .
Um endomorfismo $s$ é uma simetria se e somente se $s \circ s = \mathrm{id}$ ; então $E = \ker(s - \mathrm{id}) \oplus \ker(s + \mathrm{id})$ .

Demonstração. (1) Uma projeção satisfaz $p(f + g) = f$ e $p(f) = f$ : $p^2 = p$ . Reciprocamente, seja $p^2 = p$ ; ponha $F = \operatorname{im} p$ , $G = \ker p$ . Todo $x$ se escreve $x = p(x) + (x - p(x))$ com $p(x) \in F$ e $p\bigl(x - p(x)\bigr) = p(x) - p^2(x) = 0$ : $E = F + G$ . Se $y \in F \cap G$ : $y = p(z)$ e $p(y) = 0$ , logo $y = p(z) = p^2(z) = p(y) = 0$ : soma direta, e $p$ é a projeção sobre $F$ ao longo de $G$ . Por fim, em $F$ : $y = p(z)$ dá $p(y) = y$ , logo $F \subseteq \ker(p - \mathrm{id})$ , e reciprocamente $p(y) = y$ põe $y$ na imagem.

(2) A correspondência $s = 2p - \mathrm{id}$ , $p = \frac{s + \mathrm{id}}2$ é uma bijeção entre endomorfismos, e sob ela

s^2 = 4p^2 - 4p + \mathrm{id} = \mathrm{id} \iff 4p^2 = 4p \iff p^2 = p :

as simetrias correspondem exatamente às projeções. Traduzindo os subespaços: $s(x) = x \iff p(x) = x$ , logo $\ker(s - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p = F$ ; e $s(x) = -x \iff 2p(x) = 0 \iff x \in \ker p = G$ , logo $\ker(s + \mathrm{id}) = G$ . A soma direta $E = F \oplus G$ do ponto (1) torna-se a decomposição anunciada nos vetores fixos e nos vetores invertidos de $s$ . ∎

Exemplo 20.16 (Uma projeção e a sua simetria, explicitamente)

Em $\R^2$ , projete sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ ao longo de $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ . Decomponha $(x, y) = a(1,1) + b(0,1)$ : a primeira coordenada dá $a = x$ , e a segunda $b = y - x$ . Logo

p(x, y) = (x, x), \qquad s(x, y) = 2p(x,y) - (x,y) = (x,\ 2x - y).

Confira a álgebra: $p(p(x,y)) = p(x,x) = (x,x)$ , e $s(s(x,y)) = s(x, 2x - y) = (x, 2x - (2x - y)) = (x, y)$ . Geometricamente, $s$ é a “reflexão oblíqua” em torno da reta $y = x$ na direção vertical: fixa $F$ ponto a ponto e inverte $G$ . Se tivéssemos projetado sobre o mesmo $F$ ao longo de $G' = \operatorname{Vect}(1,-1)$ , a fórmula mudaria para $p'(x,y) = \bigl(\frac{x+y}2, \frac{x+y}2\bigr)$ : uma projeção é determinada pela sua imagem e pelo seu núcleo, nunca pela imagem sozinha.

A projeção sobre F = Vect(1,1) ao longo de G = Vect(0,1) e a sua simetria, no ponto M = (2,\ 0.5): deslizando verticalmente, M atinge F em p(M) = (2,2) e vai parar em s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5), tão acima de F (medido ao longo de G) quanto M estava abaixo. — A projeção sobre $F = \operatorname{Vect}(1,1)$ ao longo de $G = \operatorname{Vect}(0,1)$ e a sua simetria, no ponto $M = (2,\ 0.5)$ : deslizando verticalmente, $M$ atinge $F$ em $p(M) = (2,2)$ e vai parar em $s(M) = 2p(M) - M = (2,\ 3.5)$ , tão acima de $F$ (medido ao longo de $G$ ) quanto $M$ estava abaixo.

20.4 Formas lineares e hiperplanos

Definição 20.17

Uma forma linear em $E$ é uma aplicação linear $\varphi \colon E \to K$ . Um hiperplano de $E$ ( $\dim E = n$ ) é um subespaço de dimensão $n - 1$ .

Exemplo 20.18 (Uma forma de avaliação e o seu hiperplano)

Em $\R_2[X]$ , a avaliação $\varphi(P) = P(2)$ é uma forma linear, não nula ( $\varphi(1) = 1$ ). O seu núcleo é o hiperplano dos polinômios que se anulam em $2$ , isto é (teorema do fator, Teorema 8.7), os múltiplos de $X - 2$ dentro de $\R_2[X]$ :

\ker\varphi = \operatorname{Vect}\bigl(X - 2,\ X(X - 2)\bigr), \qquad \dim = 2 .

Em coordenadas na base $(1, X, X^2)$ , $\varphi(a + bX + cX^2) = a + 2b + 4c$ : toda forma linear num espaço de dimensão finita é, uma vez fixada uma base, uma expressão linear fixa nas coordenadas — as formas são “vetores linha”, como o Capítulo 21 tornará literal, e a linha de coeficientes aqui, $(1, 2, 4)$ , é uma linha de Vandermonde: as formas de avaliação são o modo como a teoria da interpolação do problema de fim de semana do Capítulo 22 entra na álgebra linear.

Teorema 20.19

Os hiperplanos de $E$ são exatamente os núcleos das formas lineares não nulas. Duas formas não nulas têm o mesmo núcleo se e somente se são proporcionais.

Demonstração. Se $\varphi \neq 0$ : $\operatorname{rk}\varphi = 1$ (a imagem é um subespaço não nulo de $K$ ), logo $\dim\ker\varphi = n - 1$ : um hiperplano. Reciprocamente, seja $H$ um hiperplano, $(e_1, \dots, e_{n-1})$ uma base de $H$ completada por $e_n$ : a forma “última coordenada” tem núcleo $H$ .

Formas proporcionais partilham o núcleo. Reciprocamente, suponha $\ker\varphi = \ker\psi = H$ e escolha $a \notin H$ : todo $x$ se escreve $x = h + \lambda a$ (pois $E = H \oplus Ka$ ), e

\varphi(x) = \lambda \varphi(a), \qquad \psi(x) = \lambda\psi(a):

logo $\varphi = \frac{\varphi(a)}{\psi(a)}\,\psi$ . ∎

Exemplo 20.20

Em $K^n$ , um hiperplano é um conjunto de soluções $\{a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 0\}$ com nem todos os $a_i$ nulos — a familiar equação de um plano pela origem em $\R^3$ . Em espaços de funções, formas de avaliação como $P \mapsto P(1)$ ou $f \mapsto \int_0^1 f$ definem hiperplanos de $\R_n[X]$ e de $C(\intcc{0}{1})$ (cf. o Exercício 19.6).

Exemplo 20.21 (Um hiperplano, trabalhado de três maneiras)

Tome $\varphi(x, y, z) = x - 2y + 3z$ em $\R^3$ e $H = \ker\varphi$ . Base: resolva $x = 2y - 3z$ :

(2y - 3z,\ y,\ z) = y\,(2, 1, 0) + z\,(-3, 0, 1),

dois vetores livres: $\dim H = 2$ , um hiperplano, como o Teorema 20.19 prevê a partir de $\varphi \neq 0$ . Reta suplementar: qualquer vetor fora de $H$ gera uma, por exemplo $a = (1, 0, 0)$ ( $\varphi(a) = 1 \neq 0$ ); a decomposição de um $v$ arbitrário é explícita:

v = \underbrace{\bigl(v - \varphi(v)\,a\bigr)}_{\in\,H} + \underbrace{\varphi(v)\,a}_{\in\,\operatorname{Vect}(a)},

pois $\varphi\bigl(v - \varphi(v)a\bigr) = \varphi(v) - \varphi(v)\varphi(a) = 0$ . Proporcionalidade: se $\psi(x,y,z) = -2x + 4y - 6z$ , então $\psi = -2\varphi$ e ambas têm núcleo $H$ ; reciprocamente, toda forma que se anula em $H$ é um múltiplo de $\varphi$ (o Exercício 20.8) — a equação de um hiperplano é única a menos de escala, fato usado constantemente para planos em geometria.

Observação 20.22 (Armadilhas comuns)

Núcleo e imagem vivem em espaços diferentes: $\ker u \subseteq E$ , $\operatorname{im} u \subseteq F$ ; a soma $\ker u + \operatorname{im} u$ só faz sentido para endomorfismos, e mesmo então não precisa ser direta ( $u(x, y) = (y, 0)$ tem $\ker u = \operatorname{im} u$ ; o Exercício 20.7 caracteriza quando a soma é direta). $u^2 = 0$ não significa $u = 0$ : o mesmo $u(x,y) = (y, 0)$ tem quadrado nulo sem se anular — o que $u^2 = 0$ realmente diz é $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ (o Exercício 20.5). Injetiva $\iff$ sobrejetiva exige dimensões finitas iguais: em $K[X]$ , a derivada é sobrejetiva e não injetiva, e $P \mapsto XP$ é injetiva e não sobrejetiva (o Corolário 20.9); e entre espaços de dimensões diferentes uma das implicações é simplesmente impossível ( $\operatorname{rk} u \leq \min(\dim E, \dim F)$ ). Prescrever imagens funciona numa base, não numa família qualquer: exigir $u(1, 0) = a$ , $u(0, 1) = b$ , $u(1, 1) = c$ superdetermina $u$ a não ser que $c = a + b$ ; uma aplicação linear é livre numa base e escrava em todo o resto. O posto não se preserva por composição: ele só pode cair, $\operatorname{rk}(vu) \leq \min(\operatorname{rk} u, \operatorname{rk} v)$ (o Exercício 20.4), com a perda exata medida no Exercício 20.12.

Observação 20.23 (Para onde vão estas aplicações)

As aplicações lineares estão prestes a tornar-se matrizes: uma vez fixadas as bases, o Capítulo 21 codifica cada $u \in \mathcal{L}(E, F)$ por um quadro retangular, e a composição torna-se o produto de matrizes — o teorema do núcleo e da imagem conduz então a teoria dos sistemas lineares no Capítulo 22. As projeções voltam no Capítulo 23 no seu caso particular mais útil, a projeção ortogonal, em que o núcleo é escolhido perpendicular à imagem. O problema de fim de semana abaixo leva a álgebra dos projetores tão longe quanto as ferramentas do primeiro ano alcançam, até o lema de Fitting; o volume do segundo ano de graduação vai além, com o traço e com a teoria dos autovalores, para a qual os projetores sobre subespaços estáveis são os blocos de construção básicos.

Observação 20.24 (Perspectivas dentro do Livro 3: núcleo e imagem mais três vezes)

A lei de conservação $\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u$ será relida três vezes antes do fim do volume. No Capítulo 22 ela torna-se a forma dos conjuntos de soluções: um sistema compatível com $p$ incógnitas e posto $r$ tem um conjunto de soluções de dimensão $p - r$ — a dimensão do núcleo disfarçada. No Capítulo 23 ela se divide ortogonalmente, $\dim F + \dim F^\perp = \dim E$ , e alimenta todo cálculo de distância. No problema de fim de semana do Capítulo 25, ela é a contadora dos mínimos quadrados: $n$ observações, $2$ parâmetros ajustados, $n - 2$ dimensões de resíduo, e a identidade pitagórica $\norm b^2 = \norm p^2 + \norm{b - p}^2$ é a sombra euclidiana do teorema do núcleo e da imagem. Um teorema, quatro fantasias.

20.5 Exercícios

Exercício 20.1 ★

Quais destas aplicações são lineares?

$\R^2 \to \R^2$ , $(x, y) \mapsto (x + y, x - 2y)$ ;
$\R^2 \to \R$ , $(x, y) \mapsto xy$ ;
$\R[X] \to \R[X]$ , $P \mapsto P' + XP$ ;
$\mathcal{F}(\R,\R) \to \R$ , $f \mapsto f(3)$ .

Solução

Solução de Exercício 20.1.

(1) Linear: as coordenadas são expressões lineares. (2) Não linear: $u(2(1,1)) = 4 \neq 2 = 2u(1,1)$ . (3) Linear: derivar e multiplicar por $X$ o são, e somas de aplicações lineares também. (4) Linear: a avaliação respeita as operações ponto a ponto.

Exercício 20.2 ★

Seja $u \colon \R^3 \to \R^3$ , $(x,y,z) \mapsto (x + y - z,\; 2x + y + z,\; 3x + 2y)$ . Determine $\ker u$ (base, dimensão), $\operatorname{rk} u$ , e uma base de $\operatorname{im} u$ . $u$ é injetiva? sobrejetiva?

Solução

Solução de Exercício 20.2.

Núcleo: resolva $x + y - z = 0$ , $2x + y + z = 0$ , $3x + 2y = 0$ . Da terceira, $y = -\frac{3x}{2}$ ; a primeira dá $z = x + y = -\frac x2$ ; verifique na segunda: $2x - \frac{3x}{2} - \frac x2 = 0$ : satisfeita. Logo $\ker u = \operatorname{Vect}\bigl((2, -3, -1)\bigr)$ (tomando $x = 2$ ), dimensão $1$ .

Pelo teorema do núcleo e da imagem: $\operatorname{rk} u = 3 - 1 = 2$ . Imagem: gerada pelas imagens da base canônica, $u(e_1) = (1,2,3)$ , $u(e_2) = (1,1,2)$ , $u(e_3) = (-1,1,0)$ ; as duas primeiras são livres, e o posto é $2$ : base $\bigl((1,2,3), (1,1,2)\bigr)$ .

Não injetiva ( $\ker \neq \{0\}$ ), não sobrejetiva (posto $2 < 3$ ): coerente com o Corolário 20.9.

Exercício 20.3 ★

Seja $u \colon \R_n[X] \to \R_n[X]$ , $P \mapsto P - P'$ . Demonstre que $u$ é um isomorfismo: uma vez via $\ker u$ , e outra exibindo a inversa (considere $P + P' + P'' + \dots$ ).

Solução

Solução de Exercício 20.3.

Núcleo: $P = P'$ força $\deg P = \deg P'$ a não ser que $P = 0$ ; mas $\deg P' < \deg P$ para $P \neq 0$ : logo $\ker u = \{0\}$ , e $u$ , endomorfismo injetivo do espaço de dimensão finita $\R_n[X]$ , é um isomorfismo (o Corolário 20.9).

Inversa: seja $v(P) = P + P' + P'' + \dots + P^{(n)}$ (uma soma finita em $\R_n[X]$ ). Então

v\bigl(u(P)\bigr) = \sum_{k=0}^{n} (P - P')^{(k)} = \sum_{k=0}^{n} P^{(k)} - \sum_{k=0}^{n} P^{(k+1)} = P - P^{(n+1)} = P ,

telescopando, pois $P^{(n+1)} = 0$ . Logo $v = u^{-1}$ .

Exercício 20.4 ★

Sejam $u \in \mathcal{L}(E, F)$ e $v \in \mathcal{L}(F, G)$ , com os espaços de dimensão finita. Demonstre:

\operatorname{rk}(v \circ u) \leq \min\bigl(\operatorname{rk} u,\ \operatorname{rk} v\bigr).

Solução

Solução de Exercício 20.4.

$\operatorname{im}(v \circ u) = v(\operatorname{im} u) \subseteq \operatorname{im} v$ : posto $\leq \operatorname{rk} v$ . E $v$ restrita a $\operatorname{im} u$ tem imagem $\operatorname{im}(vu)$ , com o teorema do núcleo e da imagem dentro de $\operatorname{im} u$ : $\operatorname{rk}(vu) \leq \dim\operatorname{im} u = \operatorname{rk} u$ .

Exercício 20.5 ★★

Seja $u$ um endomorfismo de $E$ (de dimensão finita) com $u^2 = 0$ . Demonstre que $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ , logo $\operatorname{rk} u \leq \frac{\dim E}{2}$ . Para $E = \R^2$ , dê um exemplo com igualdade.

Solução

Solução de Exercício 20.5.

$u^2 = 0$ significa $u(u(x)) = 0$ para todo $x$ : todo $u(x)$ está em $\ker u$ , isto é, $\operatorname{im} u \subseteq \ker u$ . Então, pelo teorema do núcleo e da imagem:

\dim E = \dim\ker u + \operatorname{rk} u \geq 2\operatorname{rk} u .

Exemplo de igualdade em $\R^2$ : $u(x, y) = (y, 0)$ : $u^2 = 0$ , $\operatorname{rk} u = 1 = \frac{\dim E}{2}$ .

Exercício 20.6 ★★

Sejam $p, q$ projeções de $E$ com $p \circ q = q \circ p$ . Demonstre que $p \circ q$ é uma projeção, com

\operatorname{im}(pq) = \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q , \qquad \ker (pq) = \ker p + \ker q .

Solução

Solução de Exercício 20.6.

$(pq)^2 = pqpq = ppqq = pq$ (comutação): uma projeção (o Teorema 20.15).

Imagem: $\operatorname{im}(pq) \subseteq \operatorname{im} p$ , e $= \operatorname{im}(qp) \subseteq \operatorname{im} q$ : contida na interseção. Reciprocamente, se $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ , então $p(x) = x$ e $q(x) = x$ (os pontos fixos caracterizam a imagem de uma projeção), logo $pq(x) = x$ : $x \in \operatorname{im}(pq)$ .

Núcleo: $\ker p \subseteq \ker(qp) = \ker(pq)$ e do mesmo modo $\ker q \subseteq \ker(pq)$ : a soma está contida. Reciprocamente, seja $pq(x) = 0$ , e escreva

x = \underbrace{q(x)}_{\in\, \ker p} + \underbrace{(x - q(x))}_{\in\, \ker q} :

o primeiro termo satisfaz $p(q(x)) = 0$ , logo está em $\ker p$ ; o segundo está em $\ker q$ pois $q(x - q(x)) = q(x) - q^2(x) = 0$ . Logo $x \in \ker p + \ker q$ .

Exercício 20.7 ★★

Seja $u \in \mathcal{L}(E)$ , com $E$ de dimensão finita. Demonstre a equivalência de:

$E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ ;
$\ker u = \ker u^2$ ;
$\operatorname{im} u = \operatorname{im} u^2$ .

Solução

Solução de Exercício 20.7.

Note primeiro as inclusões gerais $\ker u \subseteq \ker u^2$ e $\operatorname{im} u^2 \subseteq \operatorname{im} u$ , e, pelo teorema do núcleo e da imagem, (2) $\iff$ (3) (núcleos iguais $\iff$ postos iguais $\iff$ imagens iguais, dadas as inclusões).

(1 $\Rightarrow$ 2): seja $u^2(x) = 0$ ; então $u(x) \in \ker u \cap \operatorname{im} u = \{0\}$ , logo $x \in \ker u$ .

(2 $\Rightarrow$ 1): por Grassmann e pelo teorema do núcleo e da imagem, $\dim(\ker u + \operatorname{im} u) = \dim\ker u + \operatorname{rk} u - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u) = \dim E - \dim(\ker u \cap \operatorname{im} u)$ : a soma é $E$ se e somente se a interseção é $\{0\}$ . Seja $y \in \ker u \cap \operatorname{im} u$ : $y = u(x)$ e $u(y) = 0$ , logo $u^2(x) = 0$ , e então (por (2)) $u(x) = 0$ : $y = 0$ . Logo $E = \ker u \oplus \operatorname{im} u$ .

Exercício 20.8 ★★

Sejam $\varphi, \psi$ formas lineares em $E$ com $\ker\varphi \subseteq \ker\psi$ . Demonstre que $\psi = \lambda\varphi$ para algum $\lambda \in K$ (incluindo os casos degenerados).

Solução

Solução de Exercício 20.8.

Se $\varphi = 0$ : então $\ker\varphi = E \subseteq \ker\psi$ força $\psi = 0 = 0\cdot\varphi$ . Se $\varphi \neq 0$ : $\ker\varphi$ é um hiperplano; escolha $a \notin \ker\varphi$ . Ponha $\lambda = \frac{\psi(a)}{\varphi(a)}$ . A forma $\psi - \lambda\varphi$ se anula em $\ker\varphi$ (ambas se anulam, pela inclusão) e em $a$ : ela se anula em $\ker\varphi \oplus Ka = E$ . Logo $\psi = \lambda\varphi$ .

Exercício 20.9 ★★★

Seja $u \in \mathcal{L}(E)$ com $\dim E = n$ , e suponha $u^n = 0$ mas $u^{n-1} \neq 0$ (um endomorfismo maximamente nilpotente). Escolha $x$ com $u^{n-1}(x) \neq 0$ ; demonstre que $\bigl(x, u(x), \dots, u^{n-1}(x)\bigr)$ é uma base de $E$ . (Aplique potências de $u$ a uma combinação nula, começando por $u^{n-1}$ .)

Solução

Solução de Exercício 20.9.

Suponha $\lambda_0 x + \lambda_1 u(x) + \dots + \lambda_{n-1} u^{n-1}(x) = 0$ . Aplique $u^{n-1}$ : todos os termos com um fator $u^{\geq n}$ morrem, restando $\lambda_0 u^{n-1}(x) = 0$ , logo $\lambda_0 = 0$ . Aplique $u^{n-2}$ à relação restante: $\lambda_1 u^{n-1}(x) = 0$ , logo $\lambda_1 = 0$ ; e assim por diante. A família é livre; tendo tamanho $n = \dim E$ , é uma base (a Proposição 19.8). (Nesta base, $u$ age como um deslocamento — o modelo da nilpotência maximal.)

Exercício 20.10 ★★★

Seja $f \in \mathcal{L}(\R^n)$ com $f \circ f = -\mathrm{id}$ .

Demonstre que $f$ é um isomorfismo e que nenhum $x \neq 0$ satisfaz $f(x) = \lambda x$ com $\lambda \in \R$ .
Demonstre que $n$ é par. Sugestão: escolha $x_1 \neq 0$ ; mostre que $\operatorname{Vect}(x_1, f(x_1))$ é um plano estável por $f$ ; escolha $x_2$ fora dele e itere, demonstrando que $\bigl(x_1, f(x_1), x_2, f(x_2), \dots\bigr)$ continua livre.

Solução

Solução de Exercício 20.10.

$f \circ f = -\mathrm{id}$ é bijetiva, logo $f$ também é (a Proposição 1.26 adaptada: $f$ tem a inversa bilateral $-f$ ). Se $f(x) = \lambda x$ com $x \neq 0$ : aplicando $f$ , $-x = \lambda^2 x$ , logo $\lambda^2 = -1$ : impossível em $\R$ .
Construa a família de modo guloso. Tome $x_1 \neq 0$ : $(x_1, f(x_1))$ é livre por (1). Se $\operatorname{Vect}$ da família corrente $\bigl(x_1, f(x_1), \dots, x_k, f(x_k)\bigr)$ , que chamamos $V_k$ — um subespaço estável por $f$ (cada gerador é levado noutro gerador ou no seu oposto: $f(f(x_i)) = -x_i$ ) — não é todo o $E$ , escolha $x_{k+1} \notin V_k$ . Afirmação: a família aumentada é livre. Suponha $\alpha x_{k+1} + \beta f(x_{k+1}) + v = 0$ com $v \in V_k$ e $(\alpha, \beta) \neq (0,0)$ . Aplique $f$ : $\alpha f(x_{k+1}) - \beta x_{k+1} + f(v) = 0$ com $f(v) \in V_k$ . Elimine $f(x_{k+1})$ entre as duas relações (multiplique a primeira por $\alpha$ , a segunda por $-\beta$ , e some):

$(\alpha^2 + \beta^2)\, x_{k+1} \in V_k ,$

e $\alpha^2 + \beta^2 \neq 0$ força $x_{k+1} \in V_k$ : contradição. Logo a construção continua, acrescentando vetores dois a dois, até $V_k = E$ : a família final é uma base de tamanho par, e $n$ é par.

Exercício 20.11 ★★

Sejam $u, v \in \mathcal{L}(E, F)$ , com os espaços de dimensão finita. Demonstre a estimativa bilateral

\abs{\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v} \;\leq\; \operatorname{rk}(u + v) \;\leq\; \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v .

(Para a cota superior, compare $\operatorname{im}(u+v)$ com $\operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ ; para a inferior, aplique a cota superior com esperteza.)

Solução

Solução de Exercício 20.11.

Cota superior: para todo $x$ , $(u + v)(x) = u(x) + v(x) \in \operatorname{im} u + \operatorname{im} v$ , logo

\operatorname{rk}(u + v) \leq \dim(\operatorname{im} u + \operatorname{im} v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v

(Grassmann, o Teorema 19.18). Cota inferior: aplique a cota superior ao par $(u + v, -v)$ , cuja soma é $u$ :

\operatorname{rk} u \leq \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk}(-v) = \operatorname{rk}(u + v) + \operatorname{rk} v,

logo $\operatorname{rk} u - \operatorname{rk} v \leq \operatorname{rk}(u+v)$ ; trocar $u$ e $v$ dá o valor absoluto.

Exercício 20.12 ★★★

(Desigualdade de Frobenius) Sejam $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , $w \in \mathcal{L}(F, G)$ e $v \in \mathcal{L}(G, H)$ , com todos os espaços de dimensão finita. Demonstre a fórmula exata

\operatorname{rk}(v \circ w) = \operatorname{rk} w - \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr),

e deduza a desigualdade de Frobenius

\operatorname{rk}(v \circ w) + \operatorname{rk}(w \circ u) \;\leq\; \operatorname{rk} w + \operatorname{rk}(v \circ w \circ u) .

Verifique que o caso $w = \mathrm{id}_F$ é a desigualdade de Sylvester, demonstrada em forma matricial no Exercício 21.10.

Solução

Solução de Exercício 20.12.

Fórmula exata. Seja $v'$ a restrição de $v$ ao subespaço $\operatorname{im} w$ . A sua imagem é $v(w(F)) = \operatorname{im}(v \circ w)$ , e o seu núcleo é $\ker v \cap \operatorname{im} w$ . O teorema do núcleo e da imagem para $v'$ no espaço $\operatorname{im} w$ :

\operatorname{rk} w = \dim\operatorname{im} w = \operatorname{rk}(v \circ w) + \dim(\ker v \cap \operatorname{im} w) .

Frobenius. Aplique a fórmula exata duas vezes, a $w$ e a $w \circ u$ :

\operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im} w\bigr), \qquad \operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) = \dim\bigl(\ker v \cap \operatorname{im}(wu)\bigr) .

Como $\operatorname{im}(w \circ u) \subseteq \operatorname{im} w$ , a segunda interseção está contida na primeira, e a sua dimensão não é maior:

\operatorname{rk}(wu) - \operatorname{rk}(vwu) \;\leq\; \operatorname{rk} w - \operatorname{rk}(vw) ,

o que se rearranja na desigualdade de Frobenius. Com $w = \mathrm{id}_F$ (posto $\dim F$ , e $\operatorname{im}\, \mathrm{id}_F = F$ ): $\operatorname{rk} v + \operatorname{rk} u \leq \dim F + \operatorname{rk}(vu)$ , a desigualdade de Sylvester — demonstrada de novo, em forma matricial, no Exercício 21.10.

20.6 Problema: cálculo de projetores e o lema de Fitting

Problema 20.1

As projeções são os endomorfismos que as somas diretas produzem, e reciprocamente: toda identidade $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ é, secretamente, uma família de projetores cuja soma é a identidade. Este problema desenvolve esse dicionário — a álgebra de um projetor, de dois, de $k$ — e depois aplica as mesmas ideias de estabilização a um endomorfismo arbitrário e demonstra o lema de Fitting: todo endomorfismo de um espaço de dimensão finita se decompõe numa parte nilpotente e numa parte invertível. Ao longo do texto, $E$ é um espaço vetorial sobre $K$ de dimensão $n$ , e projetor significa $p \in \mathcal{L}(E)$ com $p^2 = p$ (o Teorema 20.15).

Parte I — A álgebra em torno de um projetor. Seja $p$ um projetor, $p \neq 0$ , $p \neq \mathrm{id}$ .

Mostre que $\mathrm{id} - p$ é um projetor e identifique $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p)$ e $\ker(\mathrm{id} - p)$ .
Calcule $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p)^2$ e determine todos os pares $(\lambda, \mu) \in K^2$ para os quais $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ é um projetor.
Mostre que o plano $\operatorname{Vect}(\mathrm{id}, p)$ de $\mathcal{L}(E)$ é estável por composição, e que para todo polinômio $Q \in K[X]$ ,

$Q(p) = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .$
Determine para quais $(\lambda, \mu)$ a aplicação $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ é invertível, e dê a sua inversa na forma $\alpha\,\mathrm{id} + \beta\,p$ . Interprete a resposta através da ação de $\lambda\,\mathrm{id} + \mu\,p$ sobre $\operatorname{im} p$ e sobre $\ker p$ .
Seja $p'$ outro projetor com a mesma imagem $\operatorname{im} p' = \operatorname{im} p$ . Mostre que $p\,p' = p'$ e $p'\,p = p$ . O que dizem estas identidades sobre compor projeções sobre o mesmo subespaço ao longo de núcleos diferentes?

Parte II — Dois projetores. Sejam $p, q$ projetores de $E$ ; suponha que a característica não é $2$ (verdade para $K = \R, \C$ ).

Suponha que $p + q$ é um projetor. Desenvolvendo $(p + q)^2$ , mostre que $pq + qp = 0$ ; compondo com $p$ à esquerda e depois à direita, deduza $pq = qp$ , e conclua $pq = qp = 0$ .
Reciprocamente, suponha $pq = qp = 0$ . Mostre que $p + q$ é um projetor, com

$\operatorname{im}(p + q) = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q, \qquad \ker(p + q) = \ker p \cap \ker q .$
Mostre que $p - q$ é um projetor se e somente se $pq = qp = q$ . (Aplique as questões 6–7 a $\mathrm{id} - p$ e a $q$ .)
Mostre o significado geométrico de $pq = qp = q$ : vale se e somente se $\operatorname{im} q \subseteq \operatorname{im} p$ e $\ker p \subseteq \ker q$ . (Escreve-se então $q \leq p$ : “ $q$ projeta sobre menos, ao longo de mais”.)
Agora suponha que $p$ e $q$ comutam. Lembre do Exercício 20.6 que $pq$ é o projetor sobre $\operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ ao longo de $\ker p + \ker q$ . Mostre que $r = p + q - pq$ é um projetor com

$\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q, \qquad \ker r = \ker p \cap \ker q .$

(Considere $\mathrm{id} - r = (\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q)$ .)

Parte III — Decomposições da identidade.

Seja $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ e, para $x = x_1 + \dots + x_k$ (decomposição única, $x_i \in F_i$ ), ponha $p_i(x) = x_i$ . Mostre que cada $p_i$ é um projetor, que $p_i p_j = 0$ para $i \neq j$ , e que $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ ; identifique $\operatorname{im} p_i$ e $\ker p_i$ .
Reciprocamente, sejam $p_1, \dots, p_k \in \mathcal{L}(E)$ satisfazendo $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ e $p_i p_j = 0$ para todos $i \neq j$ . Mostre que cada $p_i$ é um projetor e que $E = \operatorname{im} p_1 \oplus \dots \oplus \operatorname{im} p_k$ .
Dois projetores com $p + q = \mathrm{id}$ : mostre que $pq = qp = 0$ vale automaticamente.
Três projetores com $p + q + r = \mathrm{id}$ : mostre que $p + q$ é um projetor, e deduza da questão 6 que todos os produtos dois a dois se anulam — logo $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , sem hipótese alguma sobre os produtos.
Para $k$ projetores com $p_1 + \dots + p_k = \mathrm{id}$ : mostre primeiro que, para subespaços quaisquer, $\dim (F_1 + \dots + F_k) \leq \dim F_1 + \dots + \dim F_k$ , com igualdade se e somente se a soma é direta; depois mostre que $E = \operatorname{im} p_1 + \dots + \operatorname{im} p_k$ , e demonstre que se além disso $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , a soma é direta e $p_i p_j = 0$ para $i \neq j$ .

Parte IV — Núcleos iterados: o lema de Fitting. Seja $u \in \mathcal{L}(E)$ , $\dim E = n$ .

Mostre as duas cadeias, válidas para todo $k \geq 0$ :

$\ker u^k \subseteq \ker u^{k+1}, \qquad \operatorname{im} u^{k+1} \subseteq \operatorname{im} u^k .$
Mostre que se $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ para algum $r$ , então $\ker u^{k} = \ker u^{r}$ para todo $k \geq r$ ; enuncie e demonstre a estabilização análoga para as imagens.
Deduza que existe um menor inteiro $r$ com $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ , que $r \leq n$ , e que as imagens estabilizam no mesmo $r$ .
(Lema de Fitting) Demonstre que

$E \;=\; \ker u^{r} \,\oplus\, \operatorname{im} u^{r} .$
Mostre que os dois subespaços são estáveis por $u$ , que a restrição de $u$ a $\ker u^{r}$ é nilpotente, e que a restrição de $u$ a $\operatorname{im} u^{r}$ é um isomorfismo de $\operatorname{im} u^{r}$ : todo endomorfismo é, sobre uma soma direta canônica, “nilpotente mais invertível”.
Seja $\pi$ o projetor sobre $\ker u^{r}$ ao longo de $\operatorname{im} u^{r}$ . Mostre que $\pi \circ u = u \circ \pi$ .

Parte V — Um caso trabalhado, e síntese.

Seja $u(x, y, z) = (y, 0, z)$ em $\R^3$ . Calcule $u^2$ e $u^3$ , determine o índice de estabilização $r$ , os subespaços $\ker u^{r}$ e $\operatorname{im} u^{r}$ , o projetor de Fitting $\pi$ , e verifique nas fórmulas que $\pi u = u\pi$ e que $u$ é nilpotente num dos fatores e bijetivo no outro.
Mostre as equivalências: $u$ nilpotente $\iff$ $\ker u^{r} = E$ $\iff$ $\pi = \mathrm{id}$ ; e deduza que um endomorfismo nilpotente de um espaço de dimensão $n$ satisfaz sempre $u^{n} = 0$ (o índice de nilpotência nunca ultrapassa a dimensão).
(Unicidade) Suponha $E = A \oplus B$ com $A, B$ estáveis por $u$ , a restrição $u|_A$ nilpotente e $u|_B$ bijetiva. Demonstre que $A = \ker u^{r}$ e $B = \operatorname{im} u^{r}$ : a decomposição de Fitting é única.
Síntese, em quatro frases: que dicionário a Parte III estabelece entre somas diretas e famílias de projetores; por que a questão 14 não precisou de hipóteses sobre produtos enquanto a questão 15 precisou de uma hipótese sobre postos (e qual ferramenta do segundo ano, o traço, a remove); em que sentido o lema de Fitting é a versão estabilizada do Exercício 20.7; e no que se tornam os dois fatores de Fitting na teoria dos autovalores do volume do segundo ano de graduação. Nomeie o teorema demonstrado na Parte IV.

Solução

Solução de Problema 20.1.

1. $(\mathrm{id} - p)^2 = \mathrm{id} - 2p + p^2 = \mathrm{id} - p$ : um projetor. Se $y = x - p(x)$ , então $p(y) = p(x) - p^2(x) = 0$ , e reciprocamente $x \in \ker p$ dá $x = (\mathrm{id} - p)(x)$ : $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ . E $(\mathrm{id} - p)(x) = 0 \iff p(x) = x \iff x \in \operatorname{im} p$ (pontos fixos, o Teorema 20.15): $\ker(\mathrm{id} - p) = \operatorname{im} p$ .

2. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^2 = \lambda^2\,\mathrm{id} + (2\lambda\mu + \mu^2)\,p$ . O par $(\mathrm{id}, p)$ é livre em $\mathcal{L}(E)$ : $p = c\, \mathrm{id}$ daria $c^2 = c$ , logo $p = 0$ ou $\mathrm{id}$ , o que está excluído. Identificando coeficientes, a aplicação é um projetor se e somente se $\lambda^2 = \lambda$ e $2\lambda\mu + \mu^2 = \mu$ . Para $\lambda = 0$ : $\mu \in \{0, 1\}$ . Para $\lambda = 1$ : $\mu^2 + \mu = 0$ , $\mu \in \{0, -1\}$ . Exatamente quatro projetores no plano: $0$ , $p$ , $\mathrm{id}$ , $\mathrm{id} - p$ .

3. $(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)(\lambda'\,\mathrm{id} + \mu' p) = \lambda\lambda'\,\mathrm{id} + (\lambda\mu' + \mu\lambda' + \mu\mu')\,p$ : o plano é estável por composição. Como $p^k = p$ para todo $k \geq 1$ , para $Q = \sum_k a_k X^k$ :

Q(p) = a_0\,\mathrm{id} + \Bigl(\sum_{k \geq 1} a_k\Bigr) p = Q(0)\,\mathrm{id} + \bigl(Q(1) - Q(0)\bigr)\,p .

4. Em $\operatorname{im} p$ (onde $p$ age como a identidade), $\lambda\,\mathrm{id} + \mu p$ multiplica por $\lambda + \mu$ ; em $\ker p$ , por $\lambda$ . Como $E = \operatorname{im} p \oplus \ker p$ , a aplicação é bijetiva se e somente se $\lambda \neq 0$ e $\lambda + \mu \neq 0$ . Resolvendo $\lambda\alpha = 1$ , $\lambda\beta + \mu\alpha + \mu\beta = 0$ na regra de composição da questão 3:

(\lambda\,\mathrm{id} + \mu p)^{-1} = \frac1\lambda\,\mathrm{id} - \frac{\mu}{\lambda(\lambda + \mu)}\,p ,

cuja ação é por $1/\lambda$ em $\ker p$ e por $1/(\lambda + \mu)$ em $\operatorname{im} p$ , como tem de ser.

5. Escreva $F = \operatorname{im} p = \operatorname{im} p'$ . Para todo $x$ , $p'(x) \in F$ e $p$ fixa $F$ ponto a ponto: $p(p'(x)) = p'(x)$ , isto é, $p\,p' = p'$ ; simetricamente $p'\,p = p$ . Quando duas projeções partilham a imagem, aquela aplicada primeiro decide: a sua saída já está em $F$ , onde a projeção externa age como a identidade e nada muda.

6. $(p + q)^2 = p^2 + pq + qp + q^2 = (p + q) + pq + qp$ , logo, sendo $p + q$ um projetor, $pq + qp = 0$ . Componha à esquerda com $p$ : $pq + pqp = 0$ ; à direita com $p$ : $pqp + qp = 0$ . Subtraindo, $pq = qp$ ; então $pq + qp = 2pq = 0$ e a característica não é $2$ : $pq = qp = 0$ .

7. Com $pq = qp = 0$ , o mesmo desenvolvimento dá $(p + q)^2 = p + q$ . Imagem: $\operatorname{im}(p + q) \subseteq \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ sempre. Reciprocamente, para $x \in \operatorname{im} p$ : $q(x) = q(p(x)) = 0$ , logo $(p + q)(x) = p(x) = x$ e $x \in \operatorname{im}(p+q)$ ; o mesmo para $\operatorname{im} q$ . Caráter direto: $x \in \operatorname{im} p \cap \operatorname{im} q$ dá $x = p(x) = p(q(x)) = 0$ . Núcleo: se $p(x) + q(x) = 0$ , aplicar $p$ dá $p(x) + p(q(x)) = p(x) = 0$ , e aplicar $q$ dá $q(x) = 0$ : $\ker(p + q) = \ker p \cap \ker q$ (a inclusão recíproca é clara).

8. $p - q$ é um projetor se e somente se $\mathrm{id} - (p - q) = (\mathrm{id} - p) + q$ o for (questão 1 duas vezes). Pelas questões 6–7 aplicadas aos projetores $\mathrm{id} - p$ e $q$ , isto vale se e somente se $(\mathrm{id} - p)q = q(\mathrm{id} - p) = 0$ , isto é, se e somente se $pq = q$ e $qp = q$ .

9. $pq = q$ significa que $p$ fixa todo $q(x)$ , isto é, $\operatorname{im} q \subseteq \ker(p - \mathrm{id}) = \operatorname{im} p$ . E $qp = q$ significa $q\bigl((\mathrm{id} - p)(x)\bigr) = 0$ para todo $x$ , isto é, $q$ se anula em $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) = \ker p$ : $\ker p \subseteq \ker q$ . Os dois passos são equivalências: a ordem $q \leq p$ diz que $q$ projeta sobre uma imagem menor, ao longo de um núcleo maior.

10. Desenvolvendo, $(\mathrm{id} - p)(\mathrm{id} - q) = \mathrm{id} - p - q + pq = \mathrm{id} - r$ . Os projetores $\mathrm{id} - p$ e $\mathrm{id} - q$ comutam, logo, pelo Exercício 20.6, o seu produto $\mathrm{id} - r$ é o projetor sobre $\operatorname{im}(\mathrm{id} - p) \cap \operatorname{im}(\mathrm{id} - q) = \ker p \cap \ker q$ ao longo de $\ker(\mathrm{id} - p) + \ker(\mathrm{id} - q) = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ . Pela questão 1, $r = \mathrm{id} - (\mathrm{id} - r)$ é então o projetor com $\operatorname{im} r = \operatorname{im} p + \operatorname{im} q$ e $\ker r = \ker p \cap \ker q$ .

11. $p_i$ está bem definido (unicidade da decomposição) e é linear (a decomposição de $x + \lambda y$ é a soma das decomposições, de novo por unicidade). Para $x_i \in F_i$ a decomposição é o próprio $x_i$ , logo $p_i(x_i) = x_i$ : $p_i^2 = p_i$ , e $p_j(x_i) = 0$ para $j \neq i$ : $p_i p_j = 0$ ( $p_j(x) \in F_j$ ). Somando as componentes, $\sum_i p_i = \mathrm{id}$ . Por fim, $\operatorname{im} p_i = F_i$ e $\ker p_i = \bigoplus_{j \neq i} F_j$ .

12. $p_i = p_i \circ \mathrm{id} = p_i\sum_j p_j = p_i^2 + \sum_{j \neq i} p_i p_j = p_i^2$ : cada $p_i$ é um projetor. Todo $x = \mathrm{id}(x) = \sum_i p_i(x)$ está em $\sum_i \operatorname{im} p_i$ : as imagens somam $E$ . Caráter direto: suponha $y_1 + \dots + y_k = 0$ com $y_i \in \operatorname{im} p_i$ , de modo que $p_i(y_i) = y_i$ . Aplique $p_j$ : $p_j (y_i) = p_j p_i (y_i) = 0$ para $i \neq j$ , logo $0 = p_j\bigl(\sum y_i\bigr) = y_j$ , para todo $j$ . Portanto $E = \bigoplus_i \operatorname{im} p_i$ .

13. $q = \mathrm{id} - p$ , e a questão 1 dá $pq = p - p^2 = 0 = qp$ diretamente: para dois projetores, somar a identidade já força a ortogonalidade do par.

14. $p + q = \mathrm{id} - r$ com $r$ um projetor, e $(\mathrm{id} - r)$ é um projetor (questão 1): logo $p + q$ é um projetor, e a questão 6 dá $pq = qp = 0$ . Por simetria ( $q + r = \mathrm{id} - p$ e $p + r = \mathrm{id} - q$ ), todos os produtos dois a dois se anulam, e a questão 12 conclui: $E = \operatorname{im} p \oplus \operatorname{im} q \oplus \operatorname{im} r$ , automaticamente.

15. Lema. Por indução com Grassmann (o Teorema 19.18):

\dim(F_1 + \dots + F_k) \leq \dim(F_1 + \dots + F_{k-1}) + \dim F_k \leq \dots \leq \sum_i \dim F_i .

Se o total é uma igualdade, cada passo o é: $(F_1 + \dots + F_{j-1}) \cap F_j = \{0\}$ para todo $j$ , e uma relação $y_1 + \dots + y_k = 0$ ( $y_i \in F_i$ ) colapsa a partir da direita: $y_k \in (F_1 + \dots + F_{k-1}) \cap F_k = \{0\}$ , depois $y_{k-1} = 0$ , etc.: a soma é direta. Reciprocamente, uma soma direta tem dimensões aditivas (concatene bases). Aplicação: $x = \sum_i p_i(x)$ mostra que $E = \sum_i \operatorname{im} p_i$ , logo $n \leq \sum_i \operatorname{rk} p_i$ ; a hipótese dá a igualdade, e portanto o caráter direto. Produtos: fixe $j$ e $y \in \operatorname{im} p_j$ . Então $y = \sum_i p_i(y)$ com $p_i(y) \in \operatorname{im} p_i$ , ao passo que $y = y$ é também uma decomposição (só a componente $j$ ); a unicidade força $p_i(y) = 0$ para $i \neq j$ . Aplicado a $y = p_j(x)$ : $p_i p_j = 0$ .

16. Se $u^k(x) = 0$ então $u^{k+1}(x) = u(0) = 0$ . E $\operatorname{im} u^{k+1} = u^k\bigl(u(E)\bigr) \subseteq u^k(E) = \operatorname{im} u^k$ .

17. Suponha $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ e seja $x \in \ker u^{r+2}$ : então $u(x) \in \ker u^{r+1} = \ker u^{r}$ , logo $u^{r+1}(x) = 0$ : $x \in \ker u^{r+1}$ . Com a questão 16, $\ker u^{r+1} = \ker u^{r+2}$ , e por indução todos os núcleos posteriores coincidem com $\ker u^{r}$ . Para as imagens: o teorema do núcleo e da imagem dá $\dim\operatorname{im} u^k = n - \dim\ker u^k$ , logo as dimensões das imagens congelam exatamente quando as dos núcleos congelam, e, com as inclusões da questão 16, dimensões iguais significam subespaços iguais (o Teorema 19.14).

18. A sequência $\bigl(\dim\ker u^k\bigr)_k$ é não decrescente com valores em $\intint{0}{n}$ ; ela não pode crescer estritamente $n + 1$ vezes, logo algum $\dim\ker u^{r} = \dim\ker u^{r+1}$ com $r \leq n$ , donde $\ker u^{r} = \ker u^{r+1}$ (inclusão mais igualdade de dimensões). Tome $r$ mínimo; a questão 17 congela tudo a partir de $r$ , imagens incluídas.

19. Interseção: seja $x \in \ker u^{r} \cap \operatorname{im} u^{r}$ , digamos $x = u^{r}(y)$ com $u^{r}(x) = 0$ . Então $u^{2r}(y) = 0$ , e $\ker u^{2r} = \ker u^{r}$ (questão 17), logo $x = u^{r}(y) = 0$ . Dimensões: o teorema do núcleo e da imagem para $u^{r}$ dá $\dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n$ ; com interseção trivial, Grassmann faz da soma um subespaço de dimensão $n$ : $E = \ker u^{r} \oplus \operatorname{im} u^{r}$ .

20. Estabilidade: $u^{r}(u(x)) = u(u^{r}(x)) = 0$ para $x \in \ker u^{r}$ ; e $u(u^{r}(y)) = u^{r}(u(y)) \in \operatorname{im} u^{r}$ . Em $N = \ker u^{r}$ : $(u|_N)^{r} = 0$ por definição de $N$ : nilpotente. Em $I = \operatorname{im} u^{r}$ : $\ker(u|_I) = \ker u \cap I \subseteq \ker u^{r} \cap I = \{0\}$ , logo $u|_I$ é um endomorfismo injetivo do espaço de dimensão finita $I$ , e portanto bijetivo (o Corolário 20.9).

21. Seja $x = a + b$ com $a \in N$ , $b \in I$ . Então $u(x) = u(a) + u(b)$ com $u(a) \in N$ e $u(b) \in I$ (questão 20): esta é a decomposição de $u(x)$ , logo $\pi(u(x)) = u(a) = u(\pi(x))$ : $\pi u = u\pi$ .

22. $u^2(x,y,z) = u(y, 0, z) = (0, 0, z)$ e $u^3(x,y,z) = u(0,0,z) = (0,0,z) = u^2(x,y,z)$ . Núcleos: $\ker u = \{y = z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1)$ , $\ker u^2 = \{z = 0\} = \operatorname{Vect}(e_1, e_2)$ , $\ker u^3 = \ker u^2$ : estabilização em $r = 2$ . Imagens: $\operatorname{im} u = \operatorname{Vect}(e_1, e_3)$ , $\operatorname{im} u^2 = \operatorname{Vect}(e_3)$ . Fitting: $\R^3 = \operatorname{Vect}(e_1, e_2) \oplus \operatorname{Vect}(e_3)$ , e $\pi(x, y, z) = (x, y, 0)$ . Verificação: $\pi u(x,y,z) = \pi(y, 0, z) = (y, 0, 0)$ e $u\pi(x,y,z) = u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ : iguais. No primeiro fator $u(x, y, 0) = (y, 0, 0)$ , cujo quadrado é $0$ : nilpotente; no segundo $u(0,0,z) = (0,0,z)$ : a identidade, bijetiva.

23. Se $u^m = 0$ então $\ker u^m = E$ ; como os núcleos estão congelados a partir de $r$ , $\ker u^{r} = \ker u^{\max(m, r)} = E$ . Reciprocamente, $\ker u^{r} = E$ significa $u^{r} = 0$ . E $\ker u^{r} = E \iff$ o projetor de Fitting é sobre $E$ ao longo de $\{0\}$ , isto é, $\pi = \mathrm{id}$ . Por fim, $r \leq n$ (questão 18) dá: todo endomorfismo nilpotente satisfaz $u^{n} = 0$ — o índice de nilpotência nunca ultrapassa a dimensão.

24. Seja $m$ um índice de nilpotência de $u|_A$ : $A \subseteq \ker u^{m} \subseteq \ker u^{\max(m,r)} = \ker u^{r}$ . Como $u|_B$ é bijetiva, $B = u(B) = u^{k}(B) \subseteq \operatorname{im} u^{k}$ para todo $k$ , em particular $B \subseteq \operatorname{im} u^{r}$ . Então

n = \dim A + \dim B \leq \dim\ker u^{r} + \dim\operatorname{im} u^{r} = n :

as duas inclusões são igualdades de dimensões, e portanto de subespaços: $A = \ker u^{r}$ , $B = \operatorname{im} u^{r}$ .

25. (i) A Parte III é um dicionário: as decomposições $E = F_1 \oplus \dots \oplus F_k$ correspondem exatamente a famílias de projetores com $\sum p_i = \mathrm{id}$ e $p_i p_j = 0$ , sendo os $F_i$ as imagens. (ii) Para $k = 3$ os complementares $\mathrm{id} - p_i$ são eles próprios projetores, o que fechou o argumento sem hipótese adicional; para $k$ geral é preciso $\sum_i \operatorname{rk} p_i \leq n$ , uma desigualdade que o traço do segundo ano dá de graça ( $\operatorname{tr} p = \operatorname{rk} p$ para um projetor, e os traços somam $\operatorname{tr} \mathrm{id} = n$ ). (iii) O Exercício 20.7 é o lema de Fitting no caso já estabilizado $r \leq 1$ ; em geral deixa-se as cadeias de núcleos e de imagens congelarem, o que leva no máximo $n$ passos. (iv) No volume do segundo ano de graduação, aplicado a $u - \lambda\, \mathrm{id}$ , o fator nilpotente torna-se o autoespaço generalizado em $\lambda$ e os projetores da Parte III tornam-se os projetores espectrais da teoria da redução. O teorema da Parte IV é o lema de Fitting.