O que é Raio de convergência? — Matemática

Definição 11.2 Matemática universitária — Graduação 2 · 第 11 章 — Séries de potências

O raio de convergência de $\sum a_n z^n$ é

R = \sup\{r \geq 0 : (a_n r^n) \text{ limitada}\} \in \intcc{0}{+\infty} .

Pelo Lema 11.1: convergência absoluta para $\abs z < R$ (normal em subdiscos compactos), divergência — com termos até ilimitados — para $\abs z > R$ . No círculo de fronteira, tudo pode acontecer (Exercício 11.2). Na prática, $R$ é calculado pelo critério da razão de d’Alembert em $\abs{a_n}\abs z^n$ ou por comparação.

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Exemplo 11.3 (Um raio sem critério da razão)

Qual é o raio de $\sum \sin(n)\,z^n$ ? A razão $\abs{\sin(n+1)/\sin n}$ não tem limite, mas a definição funciona diretamente. $R \geq 1$ : $\abs{\sin n} \leq 1$ , logo $(\sin n\cdot r^n)$ é limitada para todo $r < 1$ — de fato, para $r = 1$ . $R \leq 1$ : basta que $\sin n \not\to 0$ . Suponha $\sin n \to 0$ ; a fórmula de adição

\sin(n+1) = \sin n\cos 1 + \cos n\sin 1

forçaria $\cos n \to 0$ (resolva para $\cos n$ : $\sin 1 \neq 0$ ), contradizendo $\sin^2 n + \cos^2 n = 1$ . Assim os termos $\sin(n)\,1^n$ não tendem a $0$ : a série diverge em $z = 1$ , e $R \leq 1$ . Conclusão: $R = 1$ . Lição final: o raio é um enunciado sobre $\abs{a_n}r^n$ ser limitada — nenhum limite de razões é jamais exigido, e argumentos de limitação resolvem casos que o critério da razão não consegue tocar (compare os coeficientes oscilantes do Exercício 11.1).

Exemplo 11.6 (Multiplicar por $\frac{1}{1-x}$ soma os coeficientes)

Um produto de Cauchy contra a série geométrica tem um significado memorável: para qualquer $\sum a_nx^n$ de raio $R > 0$ e $\abs x < \min(R, 1)$ ,

\frac{1}{1-x}\sum_{n\geq0}a_nx^n = \sum_{n\geq0}\Bigl(\sum_{k=0}^{n}a_k\Bigr)x^n :

multiplicar por $\frac{1}{1-x}$ substitui os coeficientes por suas somas parciais (convolução com a sequência de uns). Exemplo: $\dfrac{\eu^x}{1-x} = \sum_n s_n x^n$ com $s_n = \sum_{k\leq n}\frac{1}{k!}$ , as somas parciais de $\eu$ — compare com o Exercício 11.11, em que o mesmo produto com $\eu^{-x}$ codifica as contagens de desarranjos. Lição final: operações sobre séries de potências são operações sobre sequências de coeficientes disfarçadas (multiplicar por $\frac1{1-x}$ : somar; multiplicar por $x$ : deslocar; derivar: multiplicar por $n$ e deslocar) — um dicionário que o capítulo de funções geradoras lerá com fluência.

Exemplo 11.20 (A fórmula de Binet, executada)

Sejam $\varphi = \frac{1+\sqrt5}{2}$ e $\psi = \frac{1-\sqrt5}{2}$ , as raízes de $X^2 = X + 1$ ; como $\varphi + \psi = 1$ e $\varphi\psi = -1$ ,

1 - x - x^2 = (1 - \varphi x)(1 - \psi x) .

Frações parciais: procurando $\frac{x}{(1-\varphi x)(1-\psi x)} = \frac{A}{1 - \varphi x} + \frac{B}{1 - \psi x}$ , o termo constante dá $A + B = 0$ e o coeficiente de $x$ dá $-A\psi - B\varphi = 1$ , logo $A(\varphi - \psi) = 1$ : $A = \frac{1}{\sqrt5} = -B$ . Duas séries geométricas depois,

F(x) = \frac{1}{\sqrt5}\sum_{n\geq0} \bigl(\varphi^n - \psi^n\bigr)x^n \quad\Longrightarrow\quad F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\sqrt5}

pela unicidade dos coeficientes (Teorema 11.7). Como $\abs\psi < 1$ , o termo $\frac{\psi^n}{\sqrt5}$ tem valor absoluto $< \frac12$ : $F_n$ é o inteiro mais próximo de $\frac{\varphi^n}{\sqrt5}$ . Lição final: o raio $\frac1\varphi$ de $F$ é o inverso da raiz dominante — o crescimento dos coeficientes e o raio de convergência são a mesma informação lida em sentidos opostos.

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