Matemática do ensino fundamental · Grades 1–9

69Trigonometria no triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, assim que se conhece um ângulo agudo, a forma do triângulo fica fixa — só o tamanho dele pode variar. As razões entre os lados dependem, portanto, apenas do ângulo: essas razões são o cosseno, o seno e a tangente. Junto com o teorema de Pitágoras, elas permitem calcular todos os lados e todos os ângulos de um triângulo retângulo a partir de pouquíssima informação.

69.1 O teorema de Pitágoras, de novo

Teorema 69.1 (Pitágoras)

Num triângulo $ABC$ retângulo em $A$ , o quadrado da hipotenusa é a soma dos quadrados dos dois catetos:

BC^2 = AB^2 + AC^2 .

Reciprocamente, se $BC^2 = AB^2 + AC^2$ num triângulo, então o triângulo é retângulo em $A$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Exemplo 69.2

Um triângulo retângulo tem catetos $AB = 5$ e $AC = 12$ . Então

BC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169, \qquad\text{então}\quad BC = \sqrt{169} = 13 .

Para achar um cateto: se $BC = 10$ e $AB = 6$ , então $AC^2 = BC^2 - AB^2 = 100 - 36 = 64$ , então $AC = 8$ .

69.2 Cosseno, seno, tangente

Num triângulo retângulo, em relação a um ângulo agudo $\theta$ , os três lados têm nomes: a hipotenusa (oposta ao ângulo reto, o lado mais longo), o cateto oposto a $\theta$ e o cateto adjacente a $\theta$ (o cateto que toca $\theta$ ).

Definição 69.3 (Razões trigonométricas)

Para um ângulo agudo $\theta$ de um triângulo retângulo:

\cos\theta = \frac{\text{adjacente}}{\text{hipotenusa}}, \qquad \sin\theta = \frac{\text{oposto}}{\text{hipotenusa}}, \qquad \tan\theta = \frac{\text{oposto}}{\text{adjacente}} .

Essas razões dependem apenas de $\theta$ , e não do tamanho do triângulo (todos os triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo são mudanças de escala uns dos outros, por Tales).

Os três lados vistos do ângulo = B: a hipotenusa [BC], o cateto adjacente [BA], o cateto oposto [AC]. — Os três lados vistos do ângulo $\theta = \widehat B$ : a hipotenusa $[BC]$ , o cateto adjacente $[BA]$ , o cateto oposto $[AC]$ .

Proposição 69.4 (Primeiras propriedades)

Para todo ângulo agudo $\theta$ :

$0 < \cos\theta < 1$ e $0 < \sin\theta < 1$ (um cateto é mais curto que a hipotenusa);
$\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ ;
$\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ .

Demonstração. Escreva $a$ para o cateto adjacente, $o$ para o cateto oposto e $h$ para a hipotenusa de um triângulo retângulo com ângulo $\theta$ .

1. $0 < a < h$ e $0 < o < h$ , então as duas razões ficam estritamente entre $0$ e $1$ .

2. Por Pitágoras, $a^2 + o^2 = h^2$ . Divida tudo por $h^2$ :

\cos^2\theta + \sin^2\theta = \frac{a^2}{h^2} + \frac{o^2}{h^2} = \frac{a^2 + o^2}{h^2} = 1 .

3. $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{o/h}{a/h} = \dfrac oa = \tan\theta$ . ∎

Método 69.5 (Achar um lado)

Para calcular um lado desconhecido quando se conhecem um lado e um ângulo agudo:

marque o ângulo conhecido e nomeie os três lados (hipotenusa, oposto, adjacente) a partir desse ângulo;
escolha a razão (cosseno, seno ou tangente) que envolve o lado conhecido e o lado procurado;
escreva a equação e resolva-a;
confira o bom senso: a hipotenusa tem de sair como o lado mais longo.

Exemplo 69.6

Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede $8$ e um ângulo é $35^\circ$ ; calcule o cateto oposto a ele. A razão que envolve o cateto oposto e a hipotenusa é o seno:

\sin 35^\circ = \frac{\text{oposto}}{8} \quad\Longrightarrow\quad \text{oposto} = 8 \sin 35^\circ \approx 8 \times 0.574 \approx 4.6 .

Para o cateto adjacente, use o cosseno: $8\cos 35^\circ \approx 8 \times 0.819 \approx 6.6$ . Confira com Pitágoras: $4.6^2 + 6.6^2 \approx 21 + 43 \approx 64 = 8^2$ .

Método 69.7 (Achar um ângulo)

Quando se conhecem dois lados, calcule a razão que eles formam, identifique-a como cosseno, seno ou tangente do ângulo desconhecido e aplique a função inversa da calculadora ( $\cos^{-1}$ , $\sin^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ ) a essa razão.

Exemplo 69.8

Uma escada de $5$ m de comprimento se apoia numa parede, com o pé a $1.4$ m da parede. O ângulo $\theta$ entre a escada e o chão satisfaz

\cos\theta = \frac{1.4}{5} = 0.28, \qquad\text{então}\quad \theta = \cos^{-1}(0.28) \approx 73.7^\circ .

O problema da escada: o cateto adjacente (1.4 m) e a hipotenusa (5 m) são conhecidos, então o cosseno dá o ângulo. — O problema da escada: o cateto adjacente ( $1.4$ m) e a hipotenusa ( $5$ m) são conhecidos, então o cosseno dá o ângulo.

Exemplo 69.9 (Ângulos especiais)

Dois triângulos dão valores exatos. A metade de um quadrado de lado 1 (um triângulo retângulo isósceles) tem hipotenusa $\sqrt2$ e ângulos de $45^\circ$ :

\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2}, \qquad \tan 45^\circ = 1 .

A metade de um triângulo equilátero de lado 1 dá os ângulos $30^\circ$ e $60^\circ$ :

\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \frac12, \qquad \cos 30^\circ = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3}{2}.

69.3 Exercícios

Exercício 69.1 ★

Um triângulo retângulo tem catetos $9$ e $12$ . Calcule a hipotenusa dele. Outro tem hipotenusa $17$ e um cateto $8$ : calcule o outro cateto.

Solução

Solução de Exercício 69.1.

Hipotenusa: $\sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ .

Outro cateto: $\sqrt{17^2 - 8^2} = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ .

Exercício 69.2 ★

Um triângulo tem lados $7$ , $24$ e $25$ . Ele é retângulo? Mesma pergunta para os lados $5$ , $6$ e $8$ .

Solução

Solução de Exercício 69.2.

$7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$ : sim, é retângulo (recíproca de Pitágoras), com o ângulo reto oposto ao lado $25$ .

$5^2 + 6^2 = 61 \neq 64 = 8^2$ : não é retângulo.

Exercício 69.3 ★

Num triângulo $DEF$ retângulo em $D$ , com o ângulo em $E$ chamado $\theta$ : que lado é a hipotenusa? Que lado é o oposto a $\theta$ ? Escreva $\cos\theta$ , $\sin\theta$ e $\tan\theta$ como razões entre os lados $DE$ , $DF$ , $EF$ .

Solução

Solução de Exercício 69.3.

A hipotenusa é $[EF]$ (oposta ao ângulo reto em $D$ ). O cateto oposto a $\theta = \widehat E$ é $[DF]$ ; o cateto adjacente é $[DE]$ . Logo,

\cos\theta = \frac{DE}{EF}, \qquad \sin\theta = \frac{DF}{EF}, \qquad \tan\theta = \frac{DF}{DE}.

Exercício 69.4 ★

Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede $10$ e um ângulo agudo é $28^\circ$ . Calcule os dois catetos (arredonde ao décimo; $\cos 28^\circ \approx 0.883$ , $\sin 28^\circ \approx 0.469$ ).

Solução

Solução de Exercício 69.4.

Cateto oposto: $10 \sin 28^\circ \approx 10 \times 0.469 = 4.7$ . Cateto adjacente: $10 \cos 28^\circ \approx 10 \times 0.883 = 8.8$ . (Conferindo: $4.7^2 + 8.8^2 \approx 22 + 77 \approx 100$ .)

Exercício 69.5 ★

Num triângulo retângulo, o cateto adjacente ao ângulo $\theta$ mede $6$ e o cateto oposto mede $4.5$ . Calcule $\tan\theta$ e depois $\theta$ (arredonde ao grau; $\tan^{-1}(0.75) \approx 36.9^\circ$ ).

Solução

Solução de Exercício 69.5.

$\tan\theta = \dfrac{4.5}{6} = 0.75$ , então $\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 37^\circ$ .

Exercício 69.6 ★★

Um drone voa a uma altitude de $120$ m. De um observador no chão, ele é visto sob um ângulo de elevação de $32^\circ$ . A que distância horizontal do observador o drone está ( $\tan 32^\circ \approx 0.625$ )?

Solução

Solução de Exercício 69.6.

No triângulo retângulo formado pelo observador, pelo ponto do chão logo abaixo do drone e pelo drone: a altitude de $120$ m é o cateto oposto ao ângulo de elevação, e a distância horizontal $d$ é o cateto adjacente. Então

\tan 32^\circ = \frac{120}{d}, \qquad d = \frac{120}{\tan 32^\circ} \approx \frac{120}{0.625} = 192 \text{ m}.

Exercício 69.7 ★★

Uma rampa de acesso precisa subir $1.2$ m com um ângulo de no máximo $5^\circ$ em relação à horizontal. Que comprimento mínimo, ao longo da inclinação, a rampa precisa ter ( $\sin 5^\circ \approx 0.0872$ )? Arredonde para cima, ao décimo de metro.

Solução

Solução de Exercício 69.7.

A subida ( $1.2$ m) é o cateto oposto ao ângulo; o comprimento $L$ da rampa é a hipotenusa:

\sin 5^\circ = \frac{1.2}{L}, \qquad L = \frac{1.2}{\sin 5^\circ} \approx \frac{1.2}{0.0872} \approx 13.8 \text{ m}.

A rampa precisa ter pelo menos $13.8$ m de comprimento.

Exercício 69.8 ★★

Usando a Proposição 69.4: um ângulo agudo $\theta$ satisfaz $\cos\theta = 0.6$ . Calcule $\sin\theta$ sem achar $\theta$ e depois $\tan\theta$ .

Solução

Solução de Exercício 69.8.

De $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ : $\sin^2\theta = 1 - 0.36 = 0.64$ , e $\sin\theta > 0$ para um ângulo agudo, então $\sin\theta = 0.8$ . Daí, $\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{0.8}{0.6} = \dfrac43$ .

Exercício 69.9 ★★★

Justifique os valores exatos do Exemplo 69.9: no triângulo retângulo isósceles de catetos $1$ , calcule a hipotenusa; no triângulo equilátero de lado $1$ , calcule a altura e deduza o cosseno e o seno de $30^\circ$ e de $60^\circ$ .

Solução

Solução de Exercício 69.9.

Triângulo retângulo isósceles de catetos $1$ : hipotenusa $\sqrt{1 + 1} = \sqrt2$ ; cada ângulo agudo é $45^\circ$ , e

\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt2} = \frac{\sqrt2}{2} = \sin 45^\circ, \qquad \tan 45^\circ = \frac11 = 1 .

Triângulo equilátero de lado $1$ : a altura dele o divide em dois triângulos retângulos de hipotenusa $1$ , base $\frac12$ e altura $h = \sqrt{1 - \frac14} = \frac{\sqrt3}{2}$ (Pitágoras). Os ângulos são $60^\circ$ (na base) e $30^\circ$ (no topo). Lendo as razões:

\cos 60^\circ = \frac{1/2}{1} = \frac12, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt3/2}{1} = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \cos 30^\circ = \frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac12 .

69.4 Problema: medir o que não se alcança

Problema 69.1

Problema de fim de semana — o método topográfico de duas estações para alturas inacessíveis, a inclinação das estradas, a distância até o horizonte e a corrida da tangente ao infinito

Trena nenhuma alcança o topo de uma montanha, o cume de uma torre do outro lado de um rio ou o horizonte no mar — mas um medidor de ângulos e as três razões deste capítulo alcançam. A peça central deste problema é o clássico método de duas estações dos topógrafos, que calcula uma altura sem jamais se aproximar da base dela; em volta dele: placas de estrada, escadas, degraus, a curvatura da Terra e um primeiro vislumbre de uma função que explode ao infinito.

Parte I — Uma estação. (Valores: $\tan 35^\circ \approx 0.700$ , $\sin 35^\circ \approx 0.574$ , $\cos 35^\circ \approx 0.819$ , $\tan 1^\circ \approx 0.0175$ .)

De um ponto a $60$ m do pé de um farol, o topo é visto sob uma elevação de $35^\circ$ (medida a partir da horizontal, na altura dos olhos). Que altura o topo tem acima da altura dos olhos?
Uma placa de estrada anuncia uma inclinação de $12\,\%$ : a estrada sobe $12$ m a cada $100$ m percorridos na horizontal. Que ângulo a estrada faz com a horizontal? E que porcentagem de inclinação teria uma estrada de $45^\circ$ ?
Os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo são complementares, e o cateto oposto a cada um é o cateto adjacente ao outro. Deduza as identidades do “co”:

$\sin(90^\circ - \theta) = \cos\theta, \qquad \cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta .$
Uma escada de $8$ m se apoia a $60^\circ$ do chão. Usando os valores exatos do Exemplo 69.9, dê a altura alcançada e a distância do pé até a parede — de forma exata e depois ao centímetro.
Verifique $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$ numericamente para $\theta = 35^\circ$ e de forma exata para $\theta = 60^\circ$ . Por que essa identidade (Proposição 69.4) é um bom hábito para conferir o trabalho na calculadora?

Parte II — Duas estações. O cume de uma montanha está visível, e a base dela é inalcançável. De um ponto $A$ , a elevação do cume é $30^\circ$ ; andando $200$ m em linha reta em direção à montanha, até $B$ , a elevação passa a $40^\circ$ . Escreva $h$ para a altura do cume acima da altura dos olhos e $x$ para a distância horizontal de $B$ até a vertical do cume. ( $\tan 30^\circ \approx 0.577$ , $\tan 40^\circ \approx 0.839$ .)

Expresse $\tan 40^\circ$ e $\tan 30^\circ$ usando $h$ , $x$ e $x + 200$ : duas equações para duas incógnitas.
De cada equação, expresse a distância horizontal em função de $h$ , subtraia e obtenha a fórmula das duas estações:

$h = \frac{200} {\ \dfrac{1}{\tan 30^\circ} - \dfrac{1}{\tan 40^\circ}\ } .$

Calcule $h$ arredondando à dezena de metros.
Calcule também $x$ e confira as suas duas respostas contra a visada de $30^\circ$ a partir de $A$ .
Em uma frase: por que o método das duas estações é indispensável — que única medida, impossível aqui, o método de uma estação da questão 1 teria exigido?
Uma torre é avistada a $30^\circ$ e a $60^\circ$ depois de andar $200$ m em direção a ela. Usando $\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt3}$ e $\tan 60^\circ = \sqrt3$ , calcule a altura exatamente — a resposta é um múltiplo de $\sqrt3$ — e depois ao metro.

Parte III — Até o horizonte e parede acima.

A que distância fica o horizonte? De pé, com os olhos a $h$ metros acima de uma Terra esférica de raio $R$ , a sua linha de visão roça a esfera: a linha de visão, o raio até o ponto de contato e o raio até os seus pés formam um triângulo retângulo. Mostre, com Pitágoras (Teorema 69.1), que a distância $d$ até o horizonte satisfaz $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ , e calcule $d$ para olhos a $1.80$ m ( $R = 6.37 \times 10^6$ m).
Mesma pergunta do alto de uma torre de $324$ m. (Regra prática dos marinheiros: o horizonte em quilômetros é cerca de $3.6\sqrt{h}$ , com $h$ em metros — confira as suas duas respostas com ela.)
O seu polegar, de uns $2$ cm de largura, esticado à distância do braço, a uns $60$ cm do olho: que ângulo ele cobre? A Lua cheia cobre cerca de $0.5^\circ$ : que fração do seu polegar esconde a Lua inteira?
Escadas confortáveis têm degraus de $17$ cm de altura e $29$ cm de profundidade. Que ângulo elas sobem? Compare com os $30^\circ$ do Exemplo 69.9 e com uma escada de sótão bem íngreme, a $60^\circ$ : que altura de degrau ela precisaria numa profundidade de $29$ cm?
A corrida da tangente: calcule (com a calculadora) $\tan 10^\circ$ , $\tan 45^\circ$ , $\tan 80^\circ$ , $\tan 89^\circ$ . O que acontece quando o ângulo se aproxima de $90^\circ$ , e por quê (pense no cateto adjacente)? A parede é vertical, a razão não tem valor, e o gráfico dispara para o infinito — a sua primeira assíntota, uma criatura estudada de perto no volume do ensino médio.

Solução

Solução de Problema 69.1.

1. A altura acima da altura dos olhos é o cateto oposto a $35^\circ$ , com cateto adjacente $60$ m: $h = 60 \tan 35^\circ \approx 60 \times 0.700 = 42$ m.

2. $\tan\theta = 0.12$ dá $\theta = \tan^{-1}(0.12) \approx 6.8^\circ$ — íngreme para uma estrada, e ainda assim um ângulo modesto. Uma estrada de $45^\circ$ tem $\tan 45^\circ = 1$ : uma inclinação de $100\,\%$ . (“Cem por cento” está longe da vertical — um mal-entendido predileto nas pistas de esqui.)

3. Num triângulo retângulo de ângulos agudos $\theta$ e $90^\circ - \theta$ , o cateto oposto a um é adjacente ao outro, e a hipotenusa é comum. Então $\sin(90^\circ - \theta) = \frac{\text{o oposto a ele}}{h} = \frac{\text{adjacente a }\theta}{h} = \cos\theta$ , e, simetricamente, $\cos(90^\circ - \theta) = \sin\theta$ : o cosseno é o seno do complemento.

4. Altura: $8 \sin 60^\circ = 8 \times \frac{\sqrt3}{2} = 4\sqrt3 \approx 6.93$ m. Pé: $8 \cos 60^\circ = 4$ m, exatamente.

5. $0.574^2 + 0.819^2 = 0.329 + 0.671 = 1.000$ (a menos do arredondamento); e $\left(\frac12\right)^2 + \left(\frac{\sqrt3}{2}\right)^2 = \frac14 + \frac34 = 1$ . Qualquer par de valores que falhe na identidade denuncia uma leitura errada ou uma calculadora no modo errado — um detector de erros de graça.

6. $\tan 40^\circ = \dfrac hx$ e $\tan 30^\circ = \dfrac{h}{x + 200}$ .

7. $x = \dfrac{h}{\tan 40^\circ}$ e $x + 200 = \dfrac{h}{\tan 30^\circ}$ ; subtraindo, $200 = h\left(\frac{1}{\tan 30^\circ} - \frac{1}{\tan 40^\circ}\right)$ , de onde sai a fórmula. Números: $\frac{1}{0.577} \approx 1.732$ , $\frac{1}{0.839} \approx 1.192$ , diferença $0.540$ : $h \approx \frac{200}{0.540} \approx 370$ m.

8. $x = \frac{h}{\tan 40^\circ} \approx \frac{370}{0.839} \approx 441$ m. Conferindo a partir de $A$ : $\frac{h}{x + 200} \approx \frac{370}{641} \approx 0.577 = \tan 30^\circ$ : coerente.

9. O método de uma estação precisa da distância horizontal até o ponto diretamente abaixo do cume — impossível de medir através de um desfiladeiro ou dentro de uma montanha. O método de duas estações a troca por uma distância que você mesmo consegue percorrer a pé: os $200$ m entre os seus dois pontos de observação.

10. $h = \dfrac{200}{\sqrt3 - \frac{1}{\sqrt3}} = \dfrac{200}{\frac{2}{\sqrt3}} = 100\sqrt3 \approx 173$ m — o segundo andar da Torre Eiffel, medido com duas visadas e uma caminhada.

11. Linha de visão $d$ , raios $R$ (até o ponto de contato, perpendicular à linha de visão) e $R + h$ (até o olho): Pitágoras dá $d^2 + R^2 = (R + h)^2 = R^2 + 2Rh + h^2$ , então $d^2 = 2Rh + h^2 \approx 2Rh$ ( $h$ é minúsculo diante de $R$ ). Olhos a $1.80$ m: $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 1.8} \approx 4\,800$ m — o horizonte no mar fica a menos de cinco quilômetros.

12. $d \approx \sqrt{2 \times 6.37 \times 10^6 \times 324} \approx 64$ km. Regra dos marinheiros: $3.6\sqrt{1.8} \approx 4.8$ km e $3.6\sqrt{324} = 64.8$ km — as duas batem.

13. $\tan\theta = \frac{2}{60}$ dá $\theta \approx 1.9^\circ$ . Os $0.5^\circ$ da Lua são cerca de um quarto de polegar: a Lua parece enorme e é escondida por uma unha — o olho é um transferidor ruim.

14. Escadas: $\tan^{-1}\frac{17}{29} \approx 30^\circ$ — escadas confortáveis sobem quase exatamente nos $30^\circ$ dos valores especiais. A $60^\circ$ numa profundidade de $29$ cm, o degrau teria $29\tan 60^\circ = 29\sqrt3 \approx 50$ cm de altura: uma escada de mão, não uma escadaria.

15. $\tan 10^\circ \approx 0.18$ ; $\tan 45^\circ = 1$ ; $\tan 80^\circ \approx 5.7$ ; $\tan 89^\circ \approx 57.3$ . Quando $\theta$ se aproxima de $90^\circ$ , o cateto adjacente encolhe até sumir enquanto o cateto oposto se mantém: o quociente cresce além de qualquer limite. Em $90^\circ$ , exatamente, não há triângulo nem valor — o gráfico da tangente sobe por uma assíntota vertical, a primeira de muitas no volume do ensino médio.