Matemática do ensino fundamental · Basisschool en onderbouw

65Raízes quadradas

Qual é o comprimento da diagonal de um quadrado de lado $1$ ? O teorema de Pitágoras responde $\sqrt 2$ , um número cujo quadrado é $2$ — e que, no fim das contas, não é uma fração. Este capítulo define as raízes quadradas, estabelece as regras de cálculo com elas e ensina a simplificar expressões como $\sqrt{75}$ .

65.1 Definição e primeiras propriedades

Definição 65.1 (Raiz quadrada)

Seja $a \geq 0$ . A raiz quadrada de $a$ , escrita $\sqrt a$ , é o único número não negativo cujo quadrado é $a$ :

\sqrt a \geq 0 \qquad\text{e}\qquad \left(\sqrt a\right)^2 = a .

Números negativos não têm raiz quadrada, já que todo quadrado é não negativo.

Exemplo 65.2

$\sqrt{49} = 7$ , $\sqrt 0 = 0$ , $\sqrt 1 = 1$ , $\sqrt{2.25} = 1.5$ . As primeiras raízes quadradas a saber de cor são as dos quadrados perfeitos: $1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144$ .

A diagonal de um quadrado de lado 1 tem comprimento √12 + 12 = √2 1.414, pelo teorema de Pitágoras (o o relembra). Esse número é irracional: os decimais dele nunca se repetem. — A diagonal de um quadrado de lado $1$ tem comprimento $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt2 \approx 1.414$ , pelo teorema de Pitágoras (o Capítulo 69 o relembra). Esse número é irracional: os decimais dele nunca se repetem.

Proposição 65.3 (Raiz quadrada de um quadrado)

Para todo número real $x$ (positivo ou não):

\sqrt{x^2} = \abs{x} = \begin{cases} x & \text{se } x \geq 0,\\ -x & \text{se } x < 0 . \end{cases}

Demonstração. O número $\abs{x}$ é não negativo e o quadrado dele é $x^2$ (um número e o oposto dele têm o mesmo quadrado). Sendo o único número não negativo de quadrado $x^2$ , ele é $\sqrt{x^2}$ . ∎

Exemplo 65.4

$\sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 = \abs{-5}$ : a raiz quadrada “esquece” o sinal, não o restaura. Em particular, $\sqrt{x^2} = x$ é errado para $x$ negativo.

65.2 Produtos e quocientes de raízes quadradas

Teorema 65.5 (Regras de multiplicação e divisão)

Para todos os $a \geq 0$ e $b \geq 0$ :

\sqrt{a b} = \sqrt a \times \sqrt b, \qquad\text{e, para } b > 0:\quad \sqrt{\frac ab} = \frac{\sqrt a}{\sqrt b} .

Demonstração. O número $\sqrt a \times \sqrt b$ é não negativo (produto de números não negativos), e o quadrado dele é

\left(\sqrt a \times \sqrt b\right)^2 = \left(\sqrt a\right)^2 \times \left(\sqrt b\right)^2 = a b .

Pela unicidade do número não negativo de quadrado $ab$ , ele é igual a $\sqrt{ab}$ . A regra do quociente se demonstra do mesmo jeito. ∎

Observação 65.6 (Não existe regra dessas para somas!)

$\sqrt{a + b}$ não é $\sqrt a + \sqrt b$ em geral:

\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5, \qquad\text{mas}\qquad \sqrt 9 + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7 .

Método 65.7 (Simplificar $\sqrt n$ )

Para simplificar a raiz quadrada de um inteiro:

encontre o maior quadrado perfeito que divide $n$ (decomponha $n$ , se precisar);
separe com a regra do produto e extraia o quadrado: $\sqrt{k^2 m} = k\sqrt m$ ;
confira que nenhum quadrado perfeito divide o que sobrou sob a raiz.

Exemplo 65.8

Simplifique $\sqrt{75}$ : como $75 = 25 \times 3$ ,

\sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = \sqrt{25} \times \sqrt 3 = 5\sqrt3 .

Simplifique $\sqrt{72}$ : como $72 = 36 \times 2$ , $\sqrt{72} = 6\sqrt2$ . E um quociente: $\sqrt{\dfrac{49}{16}} = \dfrac{\sqrt{49}}{\sqrt{16}} = \dfrac74$ .

Exemplo 65.9 (Somar raízes quadradas)

Somas de raízes quadradas só simplificam quando as raízes são parecidas. Calcule $\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{48}$ , simplificando cada parcela primeiro:

\begin{align*} \sqrt{12} &= \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt3, \\ \sqrt{27} &= \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt3, \\ \sqrt{48} &= \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt3, \end{align*}

então a soma é $2\sqrt3 + 3\sqrt3 - 4\sqrt3 = (2 + 3 - 4)\sqrt3 = \sqrt3$ .

Exemplo 65.10 (Desenvolver com raízes quadradas)

As identidades da álgebra se aplicam às raízes quadradas. Desenvolva $\left(\sqrt5 + 2\right)^2$ com $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ :

\left(\sqrt5 + 2\right)^2 = 5 + 2 \times 2\sqrt5 + 4 = 9 + 4\sqrt5 .

E com o terceiro produto notável, $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ :

\left(\sqrt7 + \sqrt3\right)\left(\sqrt7 - \sqrt3\right) = 7 - 3 = 4 :

o produto de dois números irracionais pode ser um inteiro.

65.3 A equação $x^2 = a$

Teorema 65.11 (Resolver $x^2 = a$ )

Se $a > 0$ , a equação $x^2 = a$ tem exatamente duas soluções: $\sqrt a$ e $-\sqrt a$ ;
se $a = 0$ , a única solução é $0$ ;
se $a < 0$ , não há solução.

Demonstração. Reescreva $x^2 = a$ como $x^2 - \left(\sqrt a\right)^2 = 0$ quando $a \geq 0$ e fatore como diferença de quadrados:

\left(x - \sqrt a\right)\left(x + \sqrt a\right) = 0 ,

então $x = \sqrt a$ ou $x = -\sqrt a$ (as duas coincidem quando $a = 0$ ). Quando $a < 0$ não há solução, já que $x^2 \geq 0 > a$ para todo $x$ . ∎

Resolver x2 = 3 sobre a parábola y = x2: a reta horizontal y = 3 a corta nas duas abscissas ±√3. — Resolver $x^2 = 3$ sobre a parábola $y = x^2$ : a reta horizontal $y = 3$ a corta nas duas abscissas $\pm\sqrt3$ .

Exemplo 65.12

$x^2 = 16$ : soluções $4$ e $-4$ . $x^2 = 5$ : soluções $\sqrt5$ e $-\sqrt5$ (valores exatos; $\sqrt5 \approx 2.236$ ). $x^2 = -9$ : nenhuma solução. $3x^2 = 21$ : divida por 3 primeiro, $x^2 = 7$ , soluções $\pm\sqrt7$ .

65.4 Exercícios

Exercício 65.1 ★

Calcule sem calculadora:

\sqrt{64}, \qquad \sqrt{100}, \qquad \sqrt{0.09}, \qquad \sqrt{\tfrac{1}{25}}, \qquad \left(\sqrt{13}\right)^2, \qquad \sqrt{(-4)^2} .

Solução

Solução de Exercício 65.1.

$\sqrt{64} = 8$ ; $\sqrt{100} = 10$ ; $\sqrt{0.09} = 0.3$ (pois $0.3^2 = 0.09$ ); $\sqrt{\frac{1}{25}} = \frac15$ ; $\left(\sqrt{13}\right)^2 = 13$ ; $\sqrt{(-4)^2} = \sqrt{16} = 4 = \abs{-4}$ .

Exercício 65.2 ★

Simplifique:

\sqrt{50}, \qquad \sqrt{45}, \qquad \sqrt{98}, \qquad \sqrt{300} .

Solução

Solução de Exercício 65.2.

$\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt2$ ; $\sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = 3\sqrt5$ ; $\sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt2$ ; $\sqrt{300} = \sqrt{100 \times 3} = 10\sqrt3$ .

Exercício 65.3 ★

Calcule e simplifique:

\sqrt2 \times \sqrt{18}, \qquad \frac{\sqrt{75}}{\sqrt3}, \qquad \sqrt5 \times \sqrt{20}, \qquad \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{50}} .

Solução

Solução de Exercício 65.3.

$\sqrt2 \times \sqrt{18} = \sqrt{36} = 6$ .

$\dfrac{\sqrt{75}}{\sqrt3} = \sqrt{\dfrac{75}{3}} = \sqrt{25} = 5$ .

$\sqrt5 \times \sqrt{20} = \sqrt{100} = 10$ .

$\dfrac{\sqrt8}{\sqrt{50}} = \sqrt{\dfrac{8}{50}} = \sqrt{\dfrac{4}{25}} = \dfrac25$ .

Exercício 65.4 ★

Resolva: $x^2 = 36$ ; $x^2 = 11$ ; $x^2 + 4 = 0$ ; $2x^2 = 50$ .

Solução

Solução de Exercício 65.4.

$x^2 = 36$ : $x = 6$ ou $x = -6$ .

$x^2 = 11$ : $x = \sqrt{11}$ ou $x = -\sqrt{11}$ .

$x^2 + 4 = 0$ significa $x^2 = -4 < 0$ : nenhuma solução.

$2x^2 = 50$ : $x^2 = 25$ , então $x = 5$ ou $x = -5$ .

Exercício 65.5 ★

Reduza a um único termo: $\sqrt{20} + \sqrt{45}$ e depois $3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2$ .

Solução

Solução de Exercício 65.5.

$\sqrt{20} + \sqrt{45} = 2\sqrt5 + 3\sqrt5 = 5\sqrt5$ .

$3\sqrt8 - \sqrt{18} + \sqrt2 = 3 \times 2\sqrt2 - 3\sqrt2 + \sqrt2 = (6 - 3 + 1)\sqrt2 = 4\sqrt2$ .

Exercício 65.6 ★★

Desenvolva e simplifique:

\left(\sqrt3 + 1\right)^2, \qquad \left(2\sqrt5 - 3\right)^2, \qquad \left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right).

Solução

Solução de Exercício 65.6.

$\left(\sqrt3 + 1\right)^2 = 3 + 2\sqrt3 + 1 = 4 + 2\sqrt3$ .

$\left(2\sqrt5 - 3\right)^2 = 4 \times 5 - 2 \times 3 \times 2\sqrt5 + 9 = 29 - 12\sqrt5$ .

$\left(\sqrt6 + \sqrt2\right)\left(\sqrt6 - \sqrt2\right) = 6 - 2 = 4$ .

Exercício 65.7 ★★

Um campo quadrado tem área $6400$ m $^2$ . Qual é o comprimento do lado dele? E o da diagonal (valor exato e depois arredondado ao metro)?

Solução

Solução de Exercício 65.7.

Lado: $\sqrt{6400} = 80$ m. Diagonal (Pitágoras): $\sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt2 \approx 113$ m.

Exercício 65.8 ★★

Mostre que $\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ (multiplique numerador e denominador por $\sqrt2$ ). Use o mesmo truque para escrever $\dfrac{6}{\sqrt3}$ e $\dfrac{10}{\sqrt5}$ sem raiz quadrada no denominador.

Solução

Solução de Exercício 65.8.

$\dfrac{1}{\sqrt2} = \dfrac{1 \times \sqrt2}{\sqrt2 \times \sqrt2} = \dfrac{\sqrt2}{2}$ .

$\dfrac{6}{\sqrt3} = \dfrac{6\sqrt3}{3} = 2\sqrt3$ . $\dfrac{10}{\sqrt5} = \dfrac{10\sqrt5}{5} = 2\sqrt5$ .

Exercício 65.9 ★★

Verdadeiro ou falso? Justifique com uma demonstração ou um contraexemplo.

Para todos os $a, b \geq 0$ : $\sqrt{ab} = \sqrt a \sqrt b$ .
Para todos os $a, b \geq 0$ : $\sqrt{a+b} = \sqrt a + \sqrt b$ .
Para todo $x$ : $\sqrt{x^2} = x$ .
$\left(3\sqrt2\right)^2 = 18$ .

Solução

Solução de Exercício 65.9.

1. Verdadeiro: é a regra do produto (Teorema 65.5).

2. Falso: $\sqrt{9 + 16} = 5$ , mas $\sqrt9 + \sqrt{16} = 7$ .

3. Falso para $x$ negativo: $\sqrt{(-4)^2} = 4 \neq -4$ . O enunciado correto é $\sqrt{x^2} = \abs{x}$ .

4. Verdadeiro: $\left(3\sqrt2\right)^2 = 9 \times 2 = 18$ .

Exercício 65.10 ★★★

Seja $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3}$ . Calcule $\left(2 + \sqrt3\right)^2$ e deduza uma expressão mais simples de $x$ . Mesma pergunta para $\sqrt{9 - 4\sqrt5}$ (mire num quadrado da forma $\left(\sqrt5 - 2\right)^2$ e cuidado com o sinal).

Solução

Solução de Exercício 65.10.

$\left(2 + \sqrt3\right)^2 = 4 + 4\sqrt3 + 3 = 7 + 4\sqrt3$ . Então $x = \sqrt{7 + 4\sqrt3} = \sqrt{\left(2+\sqrt3\right)^2} = 2 + \sqrt3$ (um número não negativo, então a raiz apenas retira o quadrado).

Do mesmo modo, $\left(\sqrt5 - 2\right)^2 = 5 - 4\sqrt5 + 4 = 9 - 4\sqrt5$ , e $\sqrt5 - 2 > 0$ , então $\sqrt{9 - 4\sqrt5} = \sqrt5 - 2$ (e não $2 - \sqrt5$ , que é negativo!).

65.5 Problema: o número que não é uma fração

Problema 65.1

Problema de fim de semana — a demonstração lendária de que $\sqrt2$ é irracional, os muitos parentes dele e a receita espantosamente boa de Heron para aproximá-lo

A diagonal de um quadrado de lado $1$ é um comprimento perfeitamente real — você a traçou no Exemplo 58.9 — e, mesmo assim, como os pitagóricos descobriram com horror há uns vinte e cinco séculos, fração nenhuma a mede. A lenda conta que a descoberta foi punida com afogamento. Este problema o conduz pela demonstração imortal (quatro questões e ela é sua para a vida toda), multiplica as vítimas e termina com a receita que os engenheiros usaram durante dois mil anos para domar o número indomável.

Parte I — A demonstração.

Primeiro cerque-o: verifique que $1.4 < \sqrt2 < 1.5$ e depois que $1.41 < \sqrt2 < 1.42$ , elevando os limites ao quadrado. Mais um algarismo: entre que números de três casas decimais $\sqrt2$ se encontra?
Agora suponha — para chegar a uma contradição — que $\sqrt2 = \frac ab$ para alguma fração irredutível (Método 64.16). Eleve os dois lados ao quadrado e mostre que $a^2 = 2 b^2$ . Qual é a paridade de $a^2$ ?
Os fatos de paridade do Problema 58.1 dizem: os números ímpares têm quadrados ímpares. Deduza que $a$ é par, escreva $a = 2k$ , substitua — e mostre que $b$ também tem de ser par.
Onde está a contradição? Conclua e enuncie o teorema por inteiro: $\sqrt2$ é irracional — não é quociente de números inteiros.
A demonstração se apoiou uma vez, discretamente, na palavra “irredutível”. Aponte o passo exato que desabaria sem ela e explique por que supor a fração irredutível era legítimo, para começo de conversa.

Parte II — As vítimas se multiplicam.

Um segundo estilo de demonstração, pelas decomposições em fatores primos (Teorema 64.6): em $a^2 = 3b^2$ , compare a paridade do expoente do $3$ de cada lado (Problema 64.1: os quadrados carregam expoentes pares). Conclua que $\sqrt3$ é irracional.
Rode o mesmo argumento dos expoentes em $a^2 = n b^2$ para um número inteiro $n$ qualquer: para que $n$ ele produz uma contradição, e para quais ele falha? Enuncie o resultado completo: $\sqrt n$ é irracional exatamente quando …
Demonstre o lema do escudo: um racional não nulo vezes um irracional é irracional. (Suponha $r x = q$ com $r, q$ racionais, $r \neq 0$ , e isole $x$ .) Deduza que $2\sqrt2$ e $\frac{\sqrt2}{2}$ são irracionais.
Demonstre que $1 + \sqrt2$ é irracional. E depois a bonita: supondo que $s = \sqrt2 + \sqrt3$ fosse racional, calcule $s^2$ , isole $\sqrt6$ e encontre a contradição.
Modere o entusiasmo: dê dois números irracionais cuja soma é racional e dois cujo produto é racional. (A irracionalidade não se conserva pelas operações — cada caso exige a própria demonstração.)

Parte III — A receita de Heron. Dois mil anos antes das calculadoras, Heron de Alexandria aproximava $\sqrt2$ assim: chute $x$ ; troque o chute pela média de $x$ e $\frac2x$ ; repita.

Parta do chute $x = 1$ e calcule os dois chutes seguintes como frações exatas.
Calcule o terceiro chute, de novo como fração exata, e o valor decimal dele. Compare com a questão 1: quantas casas decimais de $\sqrt2$ já estão corretas?
A ideia por trás da receita: um retângulo de área $2$ com um lado $x$ tem o outro lado $\frac2x$ . Mostre que $\sqrt2$ fica sempre entre $x$ e $\frac2x$ (considere os dois casos $x^2 > 2$ e $x^2 < 2$ ), então tirar a média dos dois lados aperta o retângulo em direção ao quadrado.
Os chutes $\frac32$ , $\frac{17}{12}$ , $\frac{577}{408}$ escondem uma joia: calcule $3^2 - 2 \times 2^2$ , depois $17^2 - 2 \times 12^2$ , depois $577^2 - 2 \times 408^2$ . A Parte I demonstrou que $a^2 - 2b^2 = 0$ é impossível — quão perto do impossível chegam as frações de Heron?
Final, em duas frases: a diagonal do quadrado de lado $1$ existe no papel, fração nenhuma a mede, e a escrita decimal dela nunca pode se repetir (Problema 63.1). Que tipo de “números novos” a reta numérica tem, portanto, de conter — e em que ponto desta série a história completa deles é contada?

Solução

Solução de Problema 65.1.

1. $1.4^2 = 1.96 < 2 < 2.25 = 1.5^2$ ; $1.41^2 = 1.9881 < 2 < 2.0164 = 1.42^2$ . Três casas decimais: $1.414^2 = 1.999396 < 2 < 2.002225 = 1.415^2$ , então $1.414 < \sqrt2 < 1.415$ .

2. Elevar $\sqrt2 = \frac ab$ ao quadrado dá $2 = \frac{a^2}{b^2}$ , logo $a^2 = 2b^2$ : o número $a^2$ é o dobro de um número inteiro — par.

3. Se $a$ fosse ímpar, $a^2$ seria ímpar (Problema 58.1); como $a^2$ é par, $a$ é par: $a = 2k$ . Substituindo: $4k^2 = 2b^2$ , então $b^2 = 2k^2$ é par e, pelo mesmo fato de paridade, $b$ é par.

4. $a$ e $b$ pares significa os dois divisíveis por $2$ — mas $\frac ab$ era irredutível, sem divisor comum nenhum. Contradição: a fração suposta não pode existir. Teorema: $\sqrt2$ é irracional.

5. A contradição mora inteirinha na palavra “irredutível”: sem ela, “ $a$ e $b$ os dois pares” não contradiz coisa alguma. Supor a fração irredutível é legítimo porque toda fração tem uma forma irredutível (Método 64.16: divida pelo MDC) — se $\sqrt2$ fosse uma fração qualquer, seria também uma fração irredutível, e essa é impossível.

6. Nas decomposições em fatores primos, os quadrados carregam expoentes pares (Problema 64.1). Em $a^2 = 3b^2$ , o expoente do $3$ é par à esquerda, mas ímpar à direita (par, vindo de $b^2$ , mais um). Nenhum número tem duas decomposições (Teorema 64.6): contradição, e $\sqrt3$ é irracional.

7. Em $a^2 = n b^2$ , o argumento encontra um primo de paridade de expoente contraditória exatamente quando algum primo aparece em $n$ com expoente ímpar. Se todo expoente de $n$ for par, $n$ é um quadrado perfeito ( $n = m^2$ , e $\sqrt n = m$ é inteiro). Resultado completo: $\sqrt n$ é irracional para todo inteiro $n$ que não é quadrado perfeito — $\sqrt2, \sqrt3, \sqrt5, \sqrt6, \sqrt7, \sqrt8, \sqrt{10}, \dots$

8. De $r x = q$ com $r \neq 0$ : $x = \frac qr$ , um quociente de racionais, logo racional. Então, se $x$ é irracional, $r x$ não pode ser racional: $2\sqrt2$ e $\frac{\sqrt2}{2}$ são irracionais (multiplicadores $2$ e $\frac12$ ).

9. Se $1 + \sqrt2 = q$ fosse racional, $\sqrt2 = q - 1$ seria racional: contradição. Se $s = \sqrt2 + \sqrt3$ fosse racional, então $s^2 = 2 + 2\sqrt6 + 3 = 5 + 2\sqrt6$ também seria, dando $\sqrt6 = \frac{s^2 - 5}{2}$ racional — mas $\sqrt6$ é irracional (questão 7). Logo, $\sqrt2 + \sqrt3$ é irracional.

10. Somas: $\sqrt2$ e $-\sqrt2$ (ou $\sqrt2$ e $1 - \sqrt2$ ) são irracionais cada um, com somas racionais $0$ e $1$ . Produtos: $\sqrt2 \times \sqrt2 = 2$ . A irracionalidade pode evaporar nas operações — daí as demonstrações caso a caso.

11. A partir de $x = 1$ : média de $1$ e $\frac21 = 2$ : $x_1 = \frac32$ . Depois, média de $\frac32$ e $\frac{2}{3/2} = \frac43$ : $x_2 = \frac12\left(\frac32 + \frac43\right) = \frac12 \cdot \frac{17}{6} = \frac{17}{12} \approx 1.4167$ .

12. $x_3 = \frac12\left(\frac{17}{12} + \frac{24}{17}\right) = \frac12 \cdot \frac{289 + 288}{204} = \frac{577}{408} = 1.4142156\ldots$ Contra $\sqrt2 = 1.4142135\ldots$ : cinco casas decimais corretas depois de três passos — a receita mais ou menos dobra as casas corretas a cada rodada.

13. Se $x^2 > 2$ (chute grande demais), então $x > \sqrt2$ e $\frac2x < \frac{2}{\sqrt2} = \sqrt2$ : o lado companheiro é pequeno demais. Se $x^2 < 2$ , as desigualdades se invertem. De um jeito ou de outro, $\sqrt2$ fica entre $x$ e $\frac2x$ , então a média deles — o chute seguinte — está mais perto do que o pior dos dois lados: o retângulo de área $2$ fica mais quadrado a cada passo.

14. $9 - 8 = 1$ ; $289 - 288 = 1$ ; $332\,929 - 332\,928 = 1$ . Todo chute $\frac ab$ de Heron satisfaz $a^2 - 2b^2 = 1$ : a Parte I demonstrou que acertar o $0$ é impossível, e essas frações erram o impossível por exatamente uma unidade — o mais perto que números inteiros conseguem chegar.

15. A reta numérica tem de conter números além das frações — comprimentos como $\sqrt2$ , cujas escritas decimais correm para sempre sem se repetir: os números reais. A construção honesta deles é assunto do volume do ensino médio e, com todo o rigor, dos volumes de graduação.

65.1 Definição e primeiras propriedades

65.2 Produtos e quocientes de raízes quadradas

65.3 A equação x2=ax^2 = ax2=a

65.4 Exercícios

65.5 Problema: o número que não é uma fração

65.3 A equação $x^2 = a$