O que é resíduo? — Matemática

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Definição 17.3 Matemática universitária — Graduação 3 · অধ্যায় 17 — Séries de Laurent e o teorema dos resíduos

Se $f$ é holomorfa em um disco perfurado $D(a, R)\setminus \{a\}$ , expanda por Laurent ( $r = 0$ ). Três casos exclusivos:

todos os $c_n = 0$ para $n < 0$ : singularidade removível (a série não negativa estende $f$ holomorficamente a $a$ );
$c_n \neq 0$ para um número finito, e ao menos um, de $n < 0$ : um polo de ordem $m = -\min\{n : c_n \neq 0\}$ ; equivalentemente, $f = g/(z-a)^m$ com $g$ holomorfa e $g(a) \neq 0$ ; equivalentemente, $\abs{f(z)} \to \infty$ quando $z\to a$ ;
infinitos $c_n \neq 0$ negativos: singularidade essencial.

O resíduo é $\operatorname{Res}(f, a) = c_{-1}$ . Uma função holomorfa em $\Omega$ menos um conjunto de polos é meromorfa em $\Omega$ .

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Exemplo 17.7 (Os quatro tipos clássicos de integral)

(a) Racional sobre $\R$ : para $\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4}$ , feche com um semicírculo grande $S_R$ no semiplano superior: o integrando é ali $O(R^{-4})$ , de modo que $\int_{S_R} \to 0$ (ML), e o teorema dos resíduos, com os polos $\eu^{\iu\pi/4}, \eu^{3\iu\pi/4}$ (simples, de resíduos $\frac1{4z^3} = \frac{z}{4z^4} = -\frac z4$ em um polo), dá

\int_\R\frac{\dd x}{1 + x^4} = 2\iu\pi\Bigl(-\frac{\eu^{\iu\pi/4}}4 - \frac{\eu^{3\iu\pi/4}}4\Bigr) = \frac{\pi}{\sqrt2} .

(b) Tipo Fourier: para $t \geq 0$ , $\int_\R\frac{\eu^{\iu tx}}{1 + x^2}\dd x = 2\iu\pi\operatorname{Res}\bigl(\tfrac{\eu^{\iu tz}}{1+z^2}, \iu\bigr) = 2\iu\pi\frac{\eu^{-t}}{2\iu} = \pi\eu^{-t}$ — o semicírculo superior funciona porque $\abs{\eu^{\iu tz}} = \eu^{-t\operatorname{Im}z} \leq 1$ ali; tomando partes reais: $\int_\R\frac{\cos(tx)}{1+x^2}\dd x = \pi\eu^{-\abs t}$ , o que liquida a fórmula admitida no Exercício 10.10. (c) Trigonométrica sobre um período: substitua $z = \eu^{\iu t}$ , $\cos t = \frac{z + z^{-1}}2$ , $\dd t = \frac{\dd z}{\iu z}$ : $\int_0^{2\pi}\frac{\dd t}{a + \cos t}$ ( $a > 1$ ) torna-se uma contagem de resíduos dentro do círculo unitário (Exercício 17.2). (d) Séries: emparelhe $f$ com $\pi\cot(\pi z)$ , cujos polos são os inteiros com resíduo $1$ : o problema de fim de semana soma $\sum n^{-2}$ e $\sum n^{-4}$ por esse caminho.

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