O que é Subespaço?

Exemplo 18.4

Em $\mathcal{F}(\R, \R)$: as funções contínuas, as deriváveis, os polinômios de grau $\leq n$ (escrito $K_n[X]$ dentro de $K[X]$), as soluções de uma equação diferencial linear homogênea (o Teorema 5.10 dizia exatamente isso). Não exemplos: $\{f : f(0) = 1\}$ (sem o zero), grau exatamente $n$ (não estável por adição).

Exemplo 18.5 (Subespaço ou não: quatro veredictos, argumentados)

No espaço das sequências reais:

• $\{u : u \text{ limitada}\}$ é um subespaço: $0$ é limitada, e se $\abs{u_n} \leq M$, $\abs{v_n} \leq M'$, então $\abs{u_n + \lambda v_n} \leq M + \abs\lambda M'$.
• $\{u : u_n \to 1\}$ não é: falta a sequência nula (e a soma de dois membros tende a $2$).
• $\{u : u \text{ monotone}\}$ não é: $u_n = n$ e $v_n = -n + (-1)^n$ são monótonas, e a sua soma $(-1)^n$ não é; a estabilidade por adição é o axioma que falha, embora o conjunto contenha $0$ e todos os múltiplos escalares dos seus membros.
• $\{u : u_{n+1} = u_n^2\}$ não é: contém $0$, mas $2u$ escapa assim que $u$ é um membro não nulo ($2u_{n+1} \neq (2u_n)^2$ em geral) — a não linearidade está no quadrado.

A ordem de trabalho é sempre a mesma: teste $0$ primeiro (o mais barato), depois a estabilidade — e, para refutar, um único par explícito de contraexemplos vale mais do que qualquer dose de dúvida.

Exemplo 18.12 (Um par suplementar em $K_n[X]$)

Fixe $a \in K$ e ponha $F = \{P \in K_n[X] : P(a) = 0\}$, $G = \operatorname{Vect}(1)$ (as constantes). Então $K_n[X] = F \oplus G$. De fato $F \cap G$ consiste nas constantes que se anulam em $a$, isto é, $\{0\}$; e todo $P$ se decompõe como

Vale a pena memorizar a decomposição: subtrair o valor num ponto é a maneira padrão de projetar sobre as “funções que se anulam em $a$”. Note que $F$ é um subespaço grande e $G$ um pequeno; um par suplementar não precisa ser equilibrado em sentido algum.