Matemática universitária — Graduação 2 · Bachelor Year 2

4Topologia dos espaços métricos

A topologia da reta real (volume do primeiro ano de graduação) generaliza-se, quase sem mudar uma palavra, a qualquer conjunto munido de uma distância. O ganho é enorme: sequências de funções, de matrizes, de curvas — todas se tornam pontos de espaços métricos, e os três pilares aqui demonstrados — a completude com o teorema do ponto fixo de Banach, a compacidade, a conexidade — aplicam-se a elas uniformemente. Este capítulo é a espinha dorsal de toda a metade analítica do livro.

4.1 Espaços métricos

Definição 4.1

Um espaço métrico é um conjunto $X$ munido de uma aplicação $d \colon X \times X \to \R_+$ tal que, para todos $x, y, z$ :

d(x,y) = 0 \iff x = y, \qquad d(x,y) = d(y,x), \qquad d(x,z) \leq d(x,y) + d(y,z).

Bolas: $B(a, r) = \{x : d(a,x) < r\}$ (aberta), $\overline B(a,r) = \{x : d(a,x) \leq r\}$ (fechada). Uma parte $A \subseteq X$ torna-se um espaço métrico com a distância induzida.

Exemplo 4.2

$\R$ com $\abs{x - y}$ ; $\R^n$ com qualquer uma das distâncias

d_1(x,y) = \sum_i \abs{x_i - y_i}, \quad d_2(x,y) = \Bigl(\sum_i (x_i - y_i)^2\Bigr)^{1/2}, \quad d_\infty(x,y) = \max_i \abs{x_i - y_i};

o conjunto $C(\intcc{a}{b})$ das funções contínuas com a distância do sup $d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{a}{b}} \abs{f - g}$ (finita: $f - g$ é limitada); qualquer conjunto com a distância discreta ( $d(x,y) = 1$ para $x \neq y$ ). As distâncias provenientes de normas são o assunto do Capítulo 5.

Definição 4.3 (Topologia de um espaço métrico)

$U \subseteq X$ é aberto quando todo ponto de $U$ é centro de uma bola contida em $U$ ; $F$ é fechado quando seu complementar é aberto. Vizinhanças, interior, fecho, densidade e fronteira definem-se exatamente como na reta real (volume do primeiro ano de graduação), com bolas no lugar de intervalos, e os enunciados aí demonstrados — uniões e interseções de abertos, caracterizações do interior e do fecho, o fecho como menor fechado que contém o conjunto — transferem-se com as mesmas demonstrações. As bolas abertas são abertas, as bolas fechadas são fechadas (desigualdade triangular).

Exemplo 4.4 (Interior, fecho e fronteira num só conjunto)

Em $\R$ , seja $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ . Interior: $\intoo{0}{1}$ — em torno de qualquer $x \in \intoo01$ uma bola pequena permanece em $A$ ; em torno de $1$ , toda bola $\intoo{1-r}{1+r}$ vaza para fora de $A$ pela direita, logo $1$ não é interior; e o ponto isolado $2$ também não é interior. Fecho: $\intcc{0}{1} \cup \{2\}$ (o ponto $0$ é limite de $A$ , e nada mais se acrescenta). Fronteira (fecho menos interior): $\{0, 1, 2\}$ . Note as assimetrias que vale a pena guardar: uma extremidade pode pertencer a um conjunto sem ser interior ( $1$ ), pode ser aderente sem pertencer ( $0$ ), e um ponto isolado é sua própria fronteira ( $2$ ). A mesma contabilidade roda palavra por palavra em qualquer espaço métrico, com bolas no lugar de intervalos.

Definição 4.5 (Limites, continuidade)

$x_n \to x$ em $X$ quando $d(x_n, x) \to 0$ . Uma aplicação $f \colon X \to Y$ entre espaços métricos é contínua em $a$ quando

\forall \varepsilon > 0,\ \exists\delta > 0,\quad d_X(x, a) \leq \delta \implies d_Y\bigl(f(x), f(a)\bigr) \leq \varepsilon ;

equivalentemente (mesma demonstração que em $\R$ ), $f(x_n) \to f(a)$ para toda sequência $x_n \to a$ . $f$ é lipschitziana de constante $k$ quando $d_Y(f(x), f(y)) \leq k\, d_X(x, y)$ sempre — e então é uniformemente contínua, logo contínua.

Teorema 4.6 (Caracterização global da continuidade)

$f \colon X \to Y$ é contínua (em todo ponto) se e somente se a imagem inversa de todo aberto é um aberto — se e somente se a imagem inversa de todo fechado é fechada.

Demonstração. ( $\Rightarrow$ ) Seja $V \subseteq Y$ um aberto e $a \in f^{-1}(V)$ : alguma bola $B(f(a), \varepsilon) \subseteq V$ ; a continuidade em $a$ fornece $\delta$ com $f(B(a, \delta)) \subseteq B(f(a), \varepsilon)$ , logo $B(a, \delta) \subseteq f^{-1}(V)$ .

( $\Leftarrow$ ) Dados $a$ e $\varepsilon$ : $f^{-1}\bigl(B(f(a), \varepsilon)\bigr)$ é aberto e contém $a$ , logo contém uma bola $B(a, \delta)$ : essa é a definição de continuidade em $a$ . Conjuntos fechados: complementares (Proposição 1.1). ∎

4.2 Espaços completos

Definição 4.7

Uma sequência $(x_n)$ é de Cauchy quando $\sup_{p, q \geq N} d(x_p, x_q) \to 0$ com $N \to \infty$ . Um espaço métrico é completo quando toda sequência de Cauchy converge. Convergente $\Rightarrow$ de Cauchy, sempre; as partes fechadas de espaços completos são completas, e as partes completas de qualquer espaço são fechadas (mesmas demonstrações que em $\R$ : volume do primeiro ano de graduação).

Exemplo 4.8 (De Cauchy sem limite)

Em $X = \Q$ com a distância usual, os truncamentos decimais de $\sqrt2$ ,

x_0 = 1,\quad x_1 = 1.4,\quad x_2 = 1.41,\quad x_3 = 1.414, \quad\dots

satisfazem $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$ : são de Cauchy em $\Q$ . Um limite em $\Q$ seria também o limite em $\R$ , a saber $\sqrt2 \notin \Q$ : não existe limite em $X$ . A incompletude é a presença desses “limites fantasmas”; a completude de $\R$ foi projetada no volume do primeiro ano de graduação precisamente para dar a toda sequência de Cauchy um lar.

Teorema 4.9

$\R^n$ (com qualquer uma das três distâncias do Exemplo 4.2) e $\bigl(C(\intcc{a}{b}), d_\infty\bigr)$ são completos.

Demonstração. $\R^n$ : uma sequência de Cauchy é de Cauchy em cada coordenada (cada $\abs{x_i - y_i} \leq d(x,y)$ para as três distâncias), logo cada coordenada converge (completude de $\R$ , volume do primeiro ano de graduação), e a convergência coordenada a coordenada implica a convergência para $d_\infty$ (um número finito de coordenadas), logo para as três (as três distâncias se dominam mutuamente a menos de fatores constantes: $d_\infty \leq d_2 \leq d_1 \leq n\,d_\infty$ ).

$C(\intcc{a}{b})$ : seja $(f_n)$ de Cauchy para $d_\infty$ . Para cada $x$ , $(f_n(x))$ é de Cauchy em $\R$ ( $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq d_\infty(f_p, f_q)$ ): converge para algum $f(x)$ . Passando ao limite em $\abs{f_p(x) - f_q(x)} \leq \varepsilon$ (válido para $p, q \geq N_\varepsilon$ , todos os $x$ ) quando $q \to \infty$ : $\abs{f_p(x) - f(x)} \leq \varepsilon$ para todo $x$ , isto é, $d_\infty(f_p, f) \leq \varepsilon$ : convergência uniforme. O limite é contínuo: dado $\varepsilon$ , escolha $p$ com $\sup\abs{f_p - f} \leq \varepsilon$ , e depois use a continuidade de $f_p$ em $a$ e a decomposição em três termos

\abs{f(x) - f(a)} \leq \abs{f(x) - f_p(x)} + \abs{f_p(x) - f_p(a)} + \abs{f_p(a) - f(a)} \leq 3\varepsilon

para $x$ próximo de $a$ . (Esse “argumento dos $3\varepsilon$ ” reaparece como o teorema do limite uniforme do Capítulo 10.) ∎

Exemplo 4.10 (Abertos e fechados reconhecidos pela continuidade)

A caracterização global (Teorema 4.6) é a ferramenta cotidiana da contabilidade topológica. Em $\R^2$ : o conjunto $\{(x, y) : x^2 + y^2 < 1,\ y > x^3\}$ é aberto — é $g^{-1}(\intoo{-\infty}{1}) \cap h^{-1}(\intoo{0}{+\infty})$ para a função contínua $g(x,y) = x^2 + y^2$ e $h(x, y) = y - x^3$ , uma interseção de duas imagens inversas de abertos. Em $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ : o conjunto das funções com $f(0) = f(1)$ e $\int_0^1 f = 0$ é fechado — é a imagem inversa de $\{(0,0)\}$ pela aplicação contínua $f \mapsto \bigl(f(0) - f(1),\ \int_0^1 f\bigr)$ com valores em $\R^2$ (cada coordenada é $1$ -lipschitziana, como no Exercício 4.3). O método nunca desenha figura: exiba uma aplicação contínua, leia o conjunto como imagem inversa, cite o teorema.

Exemplo 4.11 (Um fechado definido por uma infinidade de condições)

Em $\bigl(C(\intcc01), d_\infty\bigr)$ , o conjunto

L = \{f : \abs{f(x) - f(y)} \leq \abs{x - y} \ \text{para todos } x, y\}

das funções $1$ -lipschitzianas é fechado, embora seja recortado por uma quantidade não enumerável de condições: para cada par fixo $(x, y)$ , a aplicação $f \mapsto \abs{f(x) - f(y)} - \abs{x - y}$ é contínua (as avaliações são $1$ -lipschitzianas), de modo que cada condição isolada define um fechado, e $L$ é a interseção dessa família — e uma interseção arbitrária de fechados é fechada. O mesmo molde certifica que são fechados os conjuntos de funções monótonas, de funções convexas, de funções limitadas por um $g$ fixo: os limites uniformes herdam toda propriedade que se exprima como família de restrições pontuais fechadas. O que os limites uniformes não herdam automaticamente — a derivabilidade, por exemplo — é exatamente aquilo pelo que o Capítulo 10 terá de penar.

Teorema 4.12 (Teorema do ponto fixo de Banach)

Seja $X$ um espaço métrico completo não vazio e $f \colon X \to X$ uma contração: lipschitziana de constante $k < 1$ . Então $f$ tem um único ponto fixo $\ell$ , e toda órbita $x_{n+1} = f(x_n)$ converge para $\ell$ , com

d(x_n, \ell) \leq \frac{k^n}{1 - k}\, d(x_1, x_0) .

Demonstração. Unicidade: dois pontos fixos estão a uma distância $\leq k$ vezes ela mesma. Existência: $d(x_{n+1}, x_n) \leq k^n d(x_1, x_0)$ por indução, logo, para $q > p$ ,

d(x_q, x_p) \leq \sum_{j=p}^{q-1} d(x_{j+1}, x_j) \leq d(x_1, x_0) \sum_{j \geq p} k^j = \frac{k^p}{1-k}\, d(x_1, x_0) \xrightarrow[p\to\infty]{} 0 :

de Cauchy, logo convergente para algum $\ell$ ; a continuidade de $f$ passa $x_{n+1} = f(x_n)$ ao limite: $\ell = f(\ell)$ . A cota de erro é a estimativa exibida com $q \to \infty$ . ∎

Exemplo 4.13 (Uma equação integral)

Em $X = C(\intcc{0}{1})$ (completo, Teorema 4.9), considere $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$ . Para $f, g \in X$ :

\abs{T(f)(x) - T(g)(x)} \leq \frac12 \int_0^x \abs{f - g} \leq \frac12\, d_\infty(f, g),

de modo que $T$ é uma $\frac12$ -contração: ela tem um único ponto fixo contínuo — a solução de $f' = \frac f2$ , $f(0) = 1$ , a saber $\eu^{x/2}$ . Esse esquema, industrializado, torna-se o teorema de Cauchy–Lipschitz do Capítulo 16.

Exemplo 4.14 (Um ponto fixo numérico: $x = \cos x$ )

No completo $X = \intcc{0}{1}$ , a aplicação $f = \cos$ leva $X$ em $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ e é uma contração: pela desigualdade do valor médio,

\abs{\cos x - \cos y} \leq \bigl(\sup_{\intcc01}\abs{\sin}\bigr) \abs{x - y} = (\sin 1)\abs{x - y}, \qquad \sin 1 \approx 0.841 < 1 .

Banach: uma única solução de $x = \cos x$ em $\intcc01$ (logo em $\R$ : todo ponto fixo real está em $\intcc{-1}{1}$ e depois em $\intcc{\cos 1}{1}$ após uma aplicação), e a iteração $x_{n+1} = \cos x_n$ converge para ela a partir de qualquer início: $x_\infty \approx 0.739085$ , o famoso número obtido martelando a tecla do cosseno de uma calculadora. A cota de erro prevê um decaimento em $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ — cerca de um algarismo a cada $13$ toques; a cota a posteriori do problema de fim de semana deste capítulo (questão 14) certifica cada passo em tempo real.

4.3 Compacidade

Definição 4.15

Um espaço métrico $X$ é compacto quando toda sequência em $X$ tem uma subsequência que converge em $X$ (a propriedade de Bolzano–Weierstrass). Uma parte é compacta quando o é com a distância induzida.

Teorema 4.16 (Primeiras propriedades)

Uma parte compacta é fechada e limitada; uma parte fechada de um espaço compacto é compacta.
Em $\R^n$ , vale a recíproca: compacta $\iff$ fechada e limitada.
A imagem contínua de um espaço compacto é compacta; uma função real contínua num espaço compacto não vazio é limitada e atinge seus extremos.
(Heine) Uma aplicação contínua num espaço compacto é uniformemente contínua.
Produtos: se $X, Y$ são compactos, então $X \times Y$ também é (com $d\bigl((x,y),(x',y')\bigr) = d(x,x') + d(y,y')$ ).

Demonstração. (1) Mesmos argumentos que na reta (volume do primeiro ano de graduação): uma sequência que escapa para o infinito, ou que converge para fora, não tem subsequência que convirja dentro; para a segunda afirmação, extraia no compacto ambiente e use que o conjunto é fechado.

(2) As sequências limitadas de $\R^n$ têm subsequências convergentes componente a componente: extraia na primeira coordenada (Bolzano–Weierstrass em $\R$ ), depois, dessa subsequência, na segunda, e assim por diante ( $n$ extrações sucessivas); ser fechado mantém o limite dentro.

(3) Dada $(f(x_n))$ , extraia $x_{\varphi(n)} \to x \in X$ ; a continuidade dá $f(x_{\varphi(n)}) \to f(x) \in f(X)$ . Caso real: a compacidade de $f(X) \subseteq \R$ o torna fechado e limitado, e $\sup f(X) \in f(X)$ (o supremo de um conjunto é aderente a ele, e $f(X)$ é fechado).

(4) A demonstração do primeiro ano se transfere palavra por palavra; ei-la, em roupagem métrica. Suponha $f \colon X \to Y$ contínua no compacto $X$ mas não uniformemente contínua: algum $\varepsilon > 0$ admite, para cada $n$ , pontos com

d_X(x_n, y_n) \leq \frac{1}{n+1} \qquad\text{e}\qquad d_Y\bigl(f(x_n), f(y_n)\bigr) > \varepsilon .

Extraia $x_{\varphi(n)} \to a \in X$ ; então $y_{\varphi(n)} \to a$ também (as distâncias mútuas tendem a $0$ ). A continuidade em $a$ manda as duas sequências de imagens para $f(a)$ , logo $d_Y\bigl(f(x_{\varphi(n)}), f(y_{\varphi(n)})\bigr) \to 0$ — contradizendo o afastamento uniforme $> \varepsilon$ . A compacidade forneceu exatamente uma coisa: o ponto de acumulação $a$ no qual aplicar a continuidade simples.

(5) Extraia nas coordenadas de $X$ , depois de novo nas coordenadas de $Y$ . ∎

Exemplo 4.17 (O teorema de Heine, com e sem compacidade)

Em $\intcc{0}{1}$ , a função $x \mapsto x^2$ é uniformemente contínua — Heine o afirma sem cálculo algum, mas a estimativa direta é instrutiva:

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 2\abs{x - y},

de modo que $\delta = \varepsilon/2$ serve para todos os pontos de uma vez. Em $\R$ a mesma função não é uniformemente contínua: com $x_n = n$ e $y_n = n + \frac1n$ , o afastamento $\abs{x_n - y_n} = \frac1n \to 0$ enquanto $\abs{x_n^2 - y_n^2} = 2 + \frac1{n^2} \geq 2$ : nenhum $\delta$ único serve para $\varepsilon = 1$ . O mecanismo é visível: a constante lipschitziana local $\abs{x + y}$ é limitada num compacto e ilimitada em $\R$ — o teorema de Heine é exatamente a afirmação de que a compacidade limita tais constantes locais uniformemente.

Método 4.18 (Demonstrar que um conjunto é compacto)

Três caminhos, em ordem de frequência. (1) Reconhecimento no ambiente: em $\R^n$ (ou em qualquer espaço normado de dimensão finita, Capítulo 5), verifique que é fechado — tipicamente como imagem inversa, Exemplo 4.10 — e limitado. (2) Herança: uma parte fechada de um compacto conhecido é compacta; uma união finita ou um produto de compactos é compacto; a imagem contínua de um compacto é compacta. (3) Na unha: extraia uma subsequência convergente de uma sequência arbitrária — em geral por extrações sucessivas coordenada a coordenada. Para provar a não compacidade, basta uma testemunha: uma sequência sem subsequência convergente, quase sempre pontos a distância mútua $\geq \varepsilon$ .

Exemplo 4.19 (Distâncias entre conjuntos: a compacidade ganha o pão)

Sejam $K$ compacto, $F$ fechado, $K \cap F = \emptyset$ num espaço métrico. Então

d(K, F) = \inf\,\{d(x, y) : x \in K,\ y \in F\} > 0 :

a função $x \mapsto d(x, F)$ é contínua (Exercício 4.11) e positiva em $K$ ( $d(x, F) = 0$ poria $x \in \overline F = F$ ), logo atinge um mínimo positivo no compacto $K$ (Teorema 4.16 (3)). A compacidade não é decorativa: para dois fechados o ínfimo pode se anular sem ser atingido — em $\R^2$ , a hipérbole $F_1 = \{xy = 1\}$ e o eixo $F_2 = \{y = 0\}$ são fechados disjuntos com $d(F_1, F_2) = 0$ (os pontos $(n, \frac1n)$ se aproximam do eixo). A fuga para o infinito é exatamente o que a compacidade proíbe.

Teorema 4.20 (Borel–Lebesgue)

Um espaço métrico $X$ é compacto se e somente se toda cobertura de $X$ por abertos admite uma subcobertura finita.

Demonstração. ( $\Leftarrow$ ) Suponha que $(x_n)$ não tenha subsequência convergente. Afirmamos que todo $x \in X$ tem uma bola $B(x, r_x)$ que contém $x_n$ apenas para um número finito de índices $n$ : caso contrário, toda bola $B(x, \frac1{k+1})$ conteria uma infinidade de termos e, escolhendo índices

\varphi(0) < \varphi(1) < \varphi(2) < \cdots \quad\text{com}\quad x_{\varphi(k)} \in B\Bigl(x, \frac{1}{k+1}\Bigr)

(possível em cada passo precisamente porque restam infinitos candidatos), construiríamos uma subsequência convergindo para $x$ . As bolas $B(x, r_x)$ cobrem $X$ ; se um número finito delas cobrisse $X$ , o conjunto de índices $\N$ seria uma união finita de conjuntos finitos: absurdo.

( $\Rightarrow$ ) Duas etapas. Número de Lebesgue: para uma cobertura aberta $(U_i)$ de um compacto $X$ , existe $\rho > 0$ tal que toda bola de raio $\rho$ está contida em algum $U_i$ . Caso contrário, para cada $n$ escolha $x_n$ com $B(x_n, \frac{1}{n+1})$ contida em nenhum $U_i$ ; extraia $x_{\varphi(n)} \to x \in U_{i_0} \supseteq B(x, r)$ ; para $n$ grande, $B(x_{\varphi(n)}, \frac{1}{\varphi(n)+1}) \subseteq B(x, r) \subseteq U_{i_0}$ : contradição. Precompacidade: para todo $\rho > 0$ , um número finito de bolas de raio $\rho$ cobre $X$ . Caso contrário, escolha indutivamente $x_{n+1}$ fora de $B(x_0, \rho) \cup \dots \cup B(x_n, \rho)$ : a sequência tem distâncias mútuas $\geq \rho$ , logo nenhuma subsequência de Cauchy — e portanto nenhuma convergente: contradição. Combinando: cubra $X$ por um número finito de bolas de raio $\rho$ (o número de Lebesgue), cada uma dentro de algum $U_i$ : uma subcobertura finita. ∎

Exemplo 4.21 (Uma $\varepsilon$ -rede, contada)

A precompacidade (extraída da demonstração do Teorema 4.20) é bem concreta em $\intcc{0}{1}$ : para $\varepsilon > 0$ , as $\lceil \frac{1}{2\varepsilon}\rceil$ bolas centradas em $\varepsilon, 3\varepsilon, 5\varepsilon, \dots$ de raio $\varepsilon$ o cobrem — cerca de $\frac1{2\varepsilon}$ bolas, e nenhuma cobertura consegue usar menos de $\frac{1}{2\varepsilon}$ delas (cada bola cobre comprimento no máximo $2\varepsilon$ ). Em $\intcc01^2$ a contagem eleva-se ao quadrado, da ordem de $\varepsilon^{-2}$ : os números de recobrimento crescem como $\varepsilon^{-d}$ em dimensão $d$ — uma face quantitativa da compacidade, e a razão pela qual as bolas unitárias de dimensão infinita de Capítulo 5 (onde não existe nenhuma $\frac13$ -rede finita) não podem ser compactas.

Exemplo 4.22 (Lendo a compacidade nas coberturas)

O intervalo semiaberto $\intoc{0}{1}$ é coberto pelos abertos $U_n = \intoo{\frac1n}{2}$ , $n \geq 1$ ; qualquer subfamília finita tem um maior índice $N$ e deixa de fora $\intoc{0}{\frac1N}$ : não há subcobertura finita, logo $\intoc{0}{1}$ não é compacto — o que a definição sequencial enxerga por meio de $x_n = \frac1n$ , cujo limite $0$ escapa. Por outro lado, acrescentar o único ponto $0$ repara os dois diagnósticos de uma vez: em $\intcc{0}{1}$ toda cobertura desse tipo deve conter um conjunto que contém $0$ , o qual engole todo um segmento inicial, e um número finito de conjuntos termina o resto. As duas linguagens do Teorema 4.20 sempre falham ou funcionam juntas — as coberturas detectam a fuga exatamente onde as sequências detectam.

Observação 4.23 (Perspectivas dentro deste volume)

Este capítulo é a parede de sustentação do volume; observe onde cada pilar carrega peso. Completude: o critério de Cauchy torna-se o teste de convergência para séries em espaços de Banach (Capítulo 7), a convergência uniforme do Capítulo 10 é exatamente a convergência no completo $\bigl(C, d_\infty\bigr)$ , e Cauchy–Lipschitz (Capítulo 16) é o teorema do ponto fixo de Banach vestido de equação integral. Compacidade: ela demonstra a equivalência das normas (Capítulo 5), a obtenção dos extremos para a otimização do Capítulo 15 e a existência das melhores aproximações (problema de fim de semana do Capítulo 5). Conexidade: ela globaliza enunciados locais — a unicidade das soluções de equações diferenciais, o teorema do valor intermediário sobre curvas (Capítulo 18) e as duas componentes de $GL_n(\R)$ que a teoria da orientação (Capítulo 20) manterá separadas.

Observação 4.24 (Armadilhas comuns)

(i) “Fechado e limitado implica compacto” é um teorema sobre $\R^n$ , não sobre espaços métricos: um conjunto infinito com a métrica discreta é fechado e limitado em si mesmo e no entanto não é compacto (Exercício 4.4), e a bola unitária fechada de $C(\intcc01)$ também falha (Capítulo 5). (ii) A completude é uma propriedade da distância, não da topologia: $\R$ com $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ tem as mesmas sequências convergentes de sempre, mas é incompleto (Exercício 4.1). (iii) Uma bijeção contínua não precisa ser um homeomorfismo — a parametrização do círculo do Exercício 4.7; a compacidade da fonte conserta isso. (iv) O teorema de Banach precisa de $k < 1$ uniformemente: a condição $d(f(x), f(y)) < d(x,y)$ sozinha nada garante num espaço não compacto (Exercício 4.5). (v) Conexo não implica conexo por caminhos em geral — mas para os abertos de espaços normados encontrados neste livro, as duas noções coincidem (Capítulo 5).

Observação 4.25 (Onde este capítulo é usado)

Em toda parte na metade analítica. A completude de $C(\intcc{a}{b})$ move os teoremas de convergência do Capítulo 10 e a teoria de Cauchy–Lipschitz do Capítulo 16 (o problema de fim de semana deste capítulo já demonstra o teorema local de Picard–Lindelöf); a compacidade dá a equivalência das normas em dimensão finita (Capítulo 5) e a existência de extremos no Capítulo 15; a conexidade sustenta os argumentos de valor intermediário do Capítulo 8 e a globalização da unicidade para equações diferenciais. No volume do terceiro ano de graduação, a compacidade em espaços de funções (o teorema de Arzelà–Ascoli) e o teorema de Baire (Exercício 4.12 aqui) tornam-se ferramentas de uso diário.

As primeiras etapas do conjunto de Cantor (): cada nível apaga o terço médio aberto de cada segmento. A interseção C = _n C_n é compacta, tem interior vazio e comprimento zero, e no entanto é equipotente a ℝ — e ela reaparece como ponto fixo de uma contração sobre conjuntos no problema de fim de semana deste capítulo (questão 22). — As primeiras etapas do conjunto de Cantor (Exercício 4.8): cada nível apaga o terço médio aberto de cada segmento. A interseção $C = \bigcap_n C_n$ é compacta, tem interior vazio e comprimento zero, e no entanto é equipotente a $\R$ — e ela reaparece como *ponto fixo* de uma contração sobre conjuntos no problema de fim de semana deste capítulo (questão 22).

4.4 Conexidade

Definição 4.26

$X$ é conexo quando não admite partição em dois abertos não vazios — equivalentemente, quando suas únicas partes simultaneamente abertas e fechadas são $\emptyset$ e $X$ . $X$ é conexo por caminhos quando quaisquer dois pontos são ligados por uma aplicação contínua $\gamma \colon \intcc{0}{1} \to X$ .

Teorema 4.27

As partes conexas de $\R$ são exatamente os intervalos.
A imagem contínua de um espaço conexo é conexa — donde o teorema do valor intermediário geral: uma função real contínua num espaço conexo assume todo valor entre dois quaisquer de seus valores.
Conexo por caminhos $\Rightarrow$ conexo. (A recíproca é falsa em geral; ela vale para os abertos de espaços normados, Capítulo 5.)

Demonstração. (1) Um $A$ que não é intervalo deixa de fora algum $z$ situado entre dois de seus pontos: $A = (A \cap \intoo{-\infty}{z}) \cup (A \cap \intoo{z}{+\infty})$ o reparte em duas peças não vazias e abertas (em $A$ ). Reciprocamente, seja $I$ um intervalo e $I = U \cup V$ uma partição em conjuntos não vazios relativamente abertos; escolha $a \in U$ , $b \in V$ , digamos $a < b$ , e ponha $s = \sup\,(U \cap \intcc{a}{b})$ , um ponto de $\intcc{a}{b} \subseteq I$ . Se $s \in U$ : então $s \neq b$ , e a abertura relativa de $U$ põe todo um intervalo em torno de $s$ (intersectado com $I$ ) dentro de $U$ — de modo que há pontos de $U \cap \intcc{a}{b}$ maiores que $s$ , contradizendo o supremo. Se $s \in V$ : a abertura relativa de $V$ põe um intervalo $\intoo{s - r}{s + r} \cap I$ dentro de $V$ ; mas o supremo é aderente a $U \cap \intcc{a}{b}$ , que deve encontrar esse intervalo — contradição com $U \cap V = \emptyset$ . (Esse é o argumento aberto-fechado do primeiro ano para $\R$ , rodado dentro de $I$ .)

(2) Se $f(X) = U' \cup V'$ se reparte em conjuntos não vazios relativamente abertos, então $X = f^{-1}(U') \cup f^{-1}(V')$ reparte $X$ (Teorema 4.6). TVI: $f(X) \subseteq \R$ é conexo, logo um intervalo por (1).

(3) Suponha $X = U \cup V$ , ambos abertos não vazios, e ligue $a \in U$ a $b \in V$ por um caminho $\gamma$ : então $\gamma^{-1}(U), \gamma^{-1}(V)$ repartem $\intcc{0}{1}$ , contradizendo (1). ∎

Exemplo 4.28

$GL_n(\R)$ não é conexo: $\det$ é contínuo (um polinômio nas entradas) sobre $\R^*$ , que não é conexo; as imagens inversas de $\R_+^*$ e de $\R_-^*$ repartem $GL_n(\R)$ . (Cada peça é de fato conexa por caminhos — um exercício agradável, além das nossas necessidades.) Em contraste, $GL_n(\C)$ é conexo por caminhos: Exercício 4.10.

Exemplo 4.29 (Um ponto fixo só pela conexidade)

Toda $f \colon \intcc01 \to \intcc01$ contínua tem um ponto fixo — sem hipótese de contração, sem iteração. Considere $g(x) = f(x) - x$ , contínua no conexo $\intcc01$ :

g(0) = f(0) \geq 0, \qquad g(1) = f(1) - 1 \leq 0 ,

e o teorema do valor intermediário (Teorema 4.27 (2)) entrega um zero de $g$ , isto é, um ponto fixo de $f$ . Contraste com Banach (Teorema 4.12): aqui a existência é topológica e gratuita, mas a unicidade e o algoritmo se perdem — $f = \mathrm{id}$ tem todo ponto fixo, e a iteração de uma $f$ não contrativa pode ciclar para sempre. Os dois teoremas de ponto fixo deste capítulo respondem a perguntas diferentes com moedas diferentes.

Exemplo 4.30 ( $\R$ e $\R^2$ não são homeomorfos)

A conexidade é uma impressão digital topológica. Suponha que $h \colon \R^2 \to \R$ fosse um homeomorfismo (uma bijeção contínua de inversa contínua). Retire um ponto $a \in \R^2$ : a restrição $h \colon \R^2\setminus\{a\} \to \R\setminus\{h(a)\}$ continua sendo um homeomorfismo. Mas $\R^2$ menos um ponto é conexo por caminhos — ligue dois pontos quaisquer por um segmento, desviando por um segundo segmento através de um ponto auxiliar se $a$ bloquear o caminho direto — logo conexo (Teorema 4.27 (3)); ao passo que $\R$ menos um ponto se reparte em duas semirretas abertas não vazias: não é conexo. A conexidade é preservada por aplicações contínuas: contradição. O plano e a reta são genuinamente diferentes como espaços topológicos — um fato que a cardinalidade sozinha (bijeções ao estilo Exercício 1.3 realmente existem!) é grosseira demais para enxergar.

4.5 Exercícios

Exercício 4.1 ★

Em $\R$ , verifique que $\delta(x, y) = \min(1, \abs{x - y})$ e $d(x,y) = \abs{\arctan x - \arctan y}$ são distâncias. Quais sequências convergem para cada uma? $(\R, d)$ é completo?

Solução

Solução de Exercício 4.1.

$\delta$ : a simetria e a separação são claras; desigualdade triangular: $\min(1, u + v) \leq \min(1,u) + \min(1,v)$ para $u, v \geq 0$ (se um dos mínimos vale $1$ , o membro da direita vale $\geq 1$ ; caso contrário, ele vale $u + v$ ). $d$ : é o transporte de $\abs{\cdot}$ pela aplicação injetiva $\arctan$ : os três axiomas se transferem.

Convergência: para $\delta$ , $\delta(x_n, x) \to 0 \iff \abs{x_n - x} \to 0$ (para valores pequenos as duas distâncias coincidem): as mesmas sequências convergentes de sempre. Para $d$ : $d(x_n, x) \to 0 \iff \arctan x_n \to \arctan x \iff x_n \to x$ (continuidade e monotonicidade estrita de $\arctan$ e de sua inversa nos intervalos pertinentes): novamente a convergência usual.

$(\R, d)$ não é completo: $x_n = n$ satisfaz $d(x_p, x_q) = \abs{\arctan p - \arctan q} \to 0$ (ambos tendem a $\frac\pi2$ ): de Cauchy; mas $(x_n)$ não converge para $d$ (seu limite para $d$ seria um limite ordinário). A completude é uma propriedade da distância, e não apenas das sequências convergentes.

Exercício 4.2 ★

Num espaço métrico, prove que uma sequência convergente é de Cauchy e limitada, e que uma sequência de Cauchy com uma subsequência convergente converge. Deduza de novo que os espaços métricos compactos são completos.

Solução

Solução de Exercício 4.2.

Convergente $\Rightarrow$ de Cauchy: $d(x_p, x_q) \leq d(x_p, \ell) + d(\ell, x_q)$ . Limitada: a partir de $N$ , $d(x_n, \ell) \leq 1$ ; os poucos primeiros termos também cabem em algum raio.

De Cauchy $+$ subsequência convergente $x_{\varphi(n)} \to \ell$ : dado $\varepsilon$ , para $n$ grande, $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{\varphi(n)}) + d(x_{\varphi(n)}, \ell) \leq 2\varepsilon$ (o primeiro termo pela condição de Cauchy, pois $\varphi(n) \geq n$ ).

Compacto $\Rightarrow$ completo: uma sequência de Cauchy tem subsequência convergente (compacidade), logo converge.

Exercício 4.3 ★

Em $\bigl(C(\intcc{0}{1}), d_\infty\bigr)$ , calcule a distância entre $f(x) = x$ e $g(x) = x^2$ ; descreva a bola fechada $\overline B(0, 1)$ ; e prove que o conjunto $\{f : f(0) = 0\}$ é fechado, enquanto $\{f : f(0) > 0\}$ é aberto.

Solução

Solução de Exercício 4.3.

$d_\infty(f, g) = \sup_{\intcc{0}{1}} \abs{x - x^2} = \frac14$ (máximo de $x - x^2$ em $x = \frac12$ ).

$\overline B(0, 1) = \{f : \sup\abs f \leq 1\}$ : as funções contínuas com valores em $\intcc{-1}{1}$ .

$\{f : f(0) = 0\}$ é a imagem inversa de $\{0\}$ pela avaliação $f \mapsto f(0)$ , que é $1$ -lipschitziana ( $\abs{f(0) - g(0)} \leq d_\infty(f,g)$ ), logo contínua: o conjunto é fechado (Teorema 4.6). Do mesmo modo, $\{f : f(0) > 0\}$ é a imagem inversa do aberto $\intoo{0}{+\infty}$ : é aberto.

Exercício 4.4 ★★

Prove que o espaço métrico discreto $X$ (conjunto qualquer) é completo e que ele é compacto se e somente se $X$ é finito. Quais partes são conexas?

Solução

Solução de Exercício 4.4.

Completo: uma sequência de Cauchy com $\varepsilon = \frac12$ é constante a partir de certa ordem, logo convergente.

Compacto se e somente se finito: se $X$ é finito, toda sequência assume algum valor uma infinidade de vezes (subsequência constante). Se $X$ é infinito, uma sequência de pontos dois a dois distintos tem todas as distâncias mútuas $1$ : nenhuma subsequência de Cauchy, logo nenhuma convergente.

Partes conexas: os conjuntos unitários (e $\emptyset$ ). Toda $A$ com dois pontos $x \neq y$ se reparte como $\{x\} \cup (A \setminus\{x\})$ , ambos abertos em $A$ (toda parte de um espaço discreto é aberta — as bolas de raio $\frac12$ são conjuntos unitários).

Exercício 4.5 ★★

Sejam $X$ compacto e $f \colon X \to X$ com

d\bigl(f(x), f(y)\bigr) < d(x, y) \quad \text{para todo } x \neq y .

Prove que $f$ tem um único ponto fixo (minimize $x \mapsto d(x, f(x))$ ) e dê um exemplo em $X = \intco{1}{+\infty}$ (não compacto) sem ponto fixo.

Solução

Solução de Exercício 4.5.

A função $g(x) = d(x, f(x))$ é contínua no compacto $X$ ( $\abs{g(x) - g(y)} \leq 2d(x,y)$ por duas desigualdades triangulares), logo atinge seu mínimo em algum $a$ (Teorema 4.16). Se $f(a) \neq a$ :

g\bigl(f(a)\bigr) = d\bigl(f(a), f(f(a))\bigr) < d(a, f(a)) = g(a),

contradizendo a minimalidade. Logo $f(a) = a$ ; a unicidade como sempre (dois pontos fixos $a \neq b$ dão $d(a,b) = d(f(a), f(b)) < d(a,b)$ ).

Exemplo não compacto: $f(x) = x + \frac1x$ em $\intco{1}{+\infty}$ : $\abs{f(x) - f(y)} = \abs{x - y}\,\abs{1 - \frac{1}{xy}} < \abs{x - y}$ para $x \neq y$ (pois $xy > 1$ ), e no entanto $f(x) > x$ em toda parte.

Exercício 4.6 ★★

(Compactos encaixados) Seja $(K_n)$ uma sequência decrescente de partes compactas não vazias de um espaço métrico. Prove que $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$ (escolha $x_n \in K_n$ e extraia). Mostre por um exemplo que fechados encaixados não vazios em $\R$ podem ter interseção vazia.

Solução

Solução de Exercício 4.6.

Escolha $x_n \in K_n$ . Todos os termos a partir do posto $n$ estão em $K_n$ ; em particular a sequência inteira está no compacto $K_0$ : extraia $x_{\varphi(k)} \to \ell$ . Para cada $n$ fixo, os termos $x_{\varphi(k)}$ com $\varphi(k) \geq n$ estão no fechado $K_n$ , logo o limite $\ell \in K_n$ . Portanto $\ell \in \bigcap K_n$ .

Contraexemplo com fechados: $F_n = \intco{n}{+\infty}$ em $\R$ : encaixados, fechados, não vazios, de interseção vazia.

Exercício 4.7 ★★

Sejam $K$ compacto e $f \colon K \to Y$ contínua e bijetiva. Prove que $f^{-1}$ é contínua (use conjuntos fechados: Teorema 4.6 e Teorema 4.16). Dê um contraexemplo sem compacidade ( $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ em $\intco{0}{2\pi}$ ).

Solução

Solução de Exercício 4.7.

A continuidade de $f^{-1}$ significa: as imagens $f(F)$ de fechados $F \subseteq K$ são fechadas (as imagens inversas por $f^{-1}$ são imagens por $f$ ). Um fechado $F$ do compacto $K$ é compacto (Teorema 4.16 (1)); sua imagem contínua $f(F)$ é compacta, logo fechada. Assim $f^{-1}$ é contínua: $f$ é um homeomorfismo.

Contraexemplo: $\gamma(t) = (\cos t, \sin t)$ de $\intco{0}{2\pi}$ (não compacto) sobre o círculo unitário é uma bijeção contínua, mas $\gamma^{-1}$ é descontínua em $(1,0)$ : os pontos do círculo logo abaixo do eixo têm parâmetros próximos de $2\pi$ , e não de $0$ .

Exercício 4.8 ★★

O conjunto de Cantor $C$ obtém-se de $\intcc{0}{1}$ apagando repetidamente os terços médios abertos. Prove que $C$ é compacto, tem interior vazio e é infinito — de fato equipotente a $\{0,1\}^{\N}$ (expansões ternárias com algarismos $0,2$ ; Exercício 1.3).

Solução

Solução de Exercício 4.8.

$C = \bigcap_n C_n$ , em que cada $C_n$ (união de $2^n$ intervalos fechados de comprimento $3^{-n}$ ) é fechado: $C$ é fechado e limitado em $\R$ , logo compacto (Teorema 4.16 (2)).

Interior vazio: $C$ não contém intervalo de comprimento $> 3^{-n}$ (ele está dentro de $C_n$ , cujas componentes têm esse comprimento), para todo $n$ .

Cardinalidade: os pontos de $C$ são exatamente os reais $\sum_{n\geq1} a_n 3^{-n}$ com algarismos $a_n \in \{0, 2\}$ (em cada etapa, o terço médio apagado elimina o algarismo $1$ ); a aplicação $(a_n) \mapsto \sum a_n 3^{-n}$ é uma bijeção de $\{0,2\}^{\N^*}$ sobre $C$ (injetividade como no Exercício 1.3). Logo $C$ é equipotente a $\{0,1\}^{\N}$ : não enumerável, embora de “comprimento zero”.

Exercício 4.9 ★★★

Seja $X$ um espaço métrico compacto e $f \colon X \to X$ uma isometria: $d(f(x), f(y)) = d(x, y)$ . Prove que $f$ é sobrejetiva. Sugestão: se $a \notin f(X)$ , então $\varepsilon = d(a, f(X)) > 0$ (por quê?); estude a órbita $a, f(a), f^2(a), \dots$ e mostre que seus pontos estão dois a dois a distância $\geq \varepsilon$ — contradição com a compacidade.

Solução

Solução de Exercício 4.9.

Suponha $a \notin f(X)$ . A imagem $f(X)$ é compacta (imagem contínua), logo fechada; assim

\varepsilon = d\bigl(a, f(X)\bigr) = \inf_{y \in f(X)} d(a, y) > 0

(o ínfimo de uma função contínua num compacto é atingido; se fosse $0$ , $a$ seria aderente ao fechado $f(X)$ , logo pertenceria a ele).

Considere a órbita $x_n = f^n(a)$ ( $x_0 = a$ ). Para $p < q$ :

d(x_p, x_q) = d\bigl(f^p(a), f^p(f^{q-p}(a))\bigr) = d\bigl(a, f^{q-p}(a)\bigr) \geq \varepsilon,

(isometria iterada $p$ vezes; e $f^{q-p}(a) \in f(X)$ , pois $q - p \geq 1$ ). Uma sequência com distâncias mútuas $\geq \varepsilon$ não tem subsequência convergente — contradizendo a compacidade. Logo $f(X) = X$ .

Exercício 4.10 ★★★

Prove que $GL_n(\C)$ é conexo por caminhos. Sugestão: dada $A, B$ invertível, considere $p(z) = \det\bigl((1 - z)A + zB\bigr)$ para $z \in \C$ : um polinômio em $z$ , não identicamente nulo, logo com um número finito de raízes; ligue $0$ a $1$ em $\C$ por um caminho que as evite.

Solução

Solução de Exercício 4.10.

Sejam $A, B \in GL_n(\C)$ e $p(z) = \det\bigl((1-z)A + zB\bigr)$ : um polinômio em $z$ (cada entrada é afim em $z$ ; o determinante é um polinômio nas entradas). $p(0) = \det A \neq 0$ : $p$ não é identicamente nulo, logo tem um número finito de raízes $z_1, \dots, z_m$ (nenhuma igual a $0$ nem a $1$ : $p(1) = \det B \neq 0$ ). O plano $\C$ menos um número finito de pontos é conexo por caminhos: existe um caminho de $0$ a $1$ que evita os $z_i$ (tome uma linha quebrada por um ponto distante de todas as raízes, ou um arco de círculo; há apenas um número finito de obstáculos). Ao longo de tal caminho $\gamma$ , $t \mapsto (1 - \gamma(t))A + \gamma(t)B$ é um caminho contínuo dentro de $GL_n(\C)$ , de $A$ a $B$ (o determinante nunca se anula sobre ele). Logo $GL_n(\C)$ é conexo por caminhos — ao contrário de seu primo real (Exemplo 4.28): o plano complexo tem espaço para contornar os obstáculos.

Exercício 4.11 ★★

Para $\emptyset \neq A \subseteq X$ , ponha $d(x, A) = \inf_{a \in A} d(x, a)$ . Prove que $x \mapsto d(x, A)$ é $1$ -lipschitziana, que $d(x, A) = 0$ se e somente se $x \in \overline A$ , e que, para fechados não vazios disjuntos $A, B$ , a função

\varphi(x) = \frac{d(x, A)}{d(x, A) + d(x, B)}

está bem definida, é contínua, vale $0$ exatamente em $A$ e $1$ exatamente em $B$ — um “interruptor” contínuo que separa dois fechados disjuntos quaisquer.

Solução

Solução de Exercício 4.11.

Lipschitziana: para $a \in A$ , $d(x, a) \leq d(x, y) + d(y, a)$ ; tome o ínfimo sobre $a$ : $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y, A)$ , e troque $x, y$ : $\abs{d(x,A) - d(y,A)} \leq d(x,y)$ .

Anulamento: $d(x, A) = 0$ se e somente se existem $a_n \in A$ com $d(x, a_n) \to 0$ , se e somente se $x$ é limite de pontos de $A$ , se e somente se $x \in \overline A$ .

O interruptor: para $A, B$ fechados disjuntos: o denominador $d(x,A) + d(x,B)$ nunca se anula (isso obrigaria $x \in \overline A \cap \overline B = A \cap B = \emptyset$ ), logo $\varphi$ está bem definida e é contínua como quociente de funções contínuas com denominador não nulo. $\varphi(x) = 0$ se e somente se $d(x, A) = 0$ , se e somente se $x \in A$ ; $\varphi(x) = 1$ se e somente se $d(x, B) = 0$ , se e somente se $x \in B$ ; e $0 \leq \varphi \leq 1$ em toda parte.

Exercício 4.12 ★★★

(Baire) Sejam $X$ um espaço métrico completo e $(U_n)_{n\geq1}$ uma sequência de abertos densos. Prove que $\bigcap_n U_n$ é denso em $X$ (dentro de uma bola qualquer, construa bolas fechadas encaixadas $\overline B(x_n, r_n) \subseteq U_n$ com $r_n \to 0$ e use a completude). Deduza que $\R$ não é união enumerável de fechados de interior vazio e recupere — mais uma vez — que $\R$ não é enumerável.

Solução

Solução de Exercício 4.12.

Seja $B(x_0, r_0)$ uma bola qualquer; vamos achar nela um ponto de $\bigcap U_n$ . Como $U_1$ é denso e aberto, $U_1 \cap B(x_0, r_0)$ é não vazio e aberto: ele contém uma bola fechada $\overline B(x_1, r_1)$ com $0 < r_1 \leq \frac{r_0}2$ (encolha o raio). Indutivamente, $U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ é aberto não vazio: escolha $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_n, r_n)$ com $r_{n+1} \leq \frac{r_n}2$ . Para $p, q \geq n$ , ambos $x_p, x_q$ estão em $B(x_n, r_n)$ com $r_n \leq 2^{-n}r_0$ : a sequência é de Cauchy e converge para algum $\ell$ pela completude. Para cada $n$ , a cauda da sequência está na bola fechada $\overline B(x_{n+1}, r_{n+1}) \subseteq U_{n+1} \cap B(x_0, r_0)$ , logo $\ell \in U_{n+1}$ para todo $n$ e $\ell \in \overline B(x_1, r_1) \subseteq B(x_0, r_0)$ . Portanto $\bigcap_n U_n$ encontra toda bola: é denso.

Aplicação: se $\R = \bigcup_n F_n$ com $F_n$ fechados de interior vazio, então os $U_n = \R \setminus F_n$ são densos ( $\overline{U_n} = \R$ se e somente se $F_n$ tem interior vazio) e abertos, e Baire fornece um ponto em $\bigcap U_n = \R \setminus \bigcup F_n$ : contradição. Em particular, $\R \neq \bigcup_{x \in D} \{x\}$ para $D$ enumerável (os conjuntos unitários são fechados de interior vazio): $\R$ não é enumerável — Teorema 1.9 por outro caminho.

4.6 Problema: a iteração de Picard

Completude mais contração é uma máquina de resolver: alimente-a com uma equação escrita como problema de ponto fixo e ela devolve existência, unicidade, um algoritmo e barras de erro. Este problema de fim de semana roda a máquina a plena potência na equação $y' = f(t, y)$ : demonstramos o teorema local de Picard–Lindelöf (o coração não linear da teoria de Cauchy–Lipschitz do Capítulo 16), vemos cada hipótese ganhar o pão por meio de contraexemplos e colhemos dividendos puramente métricos — a dependência contínua dos dados, a equação de Kepler e a autossemelhança do conjunto de Cantor.

Iterados de Picard para y' = y, y(0) = 1: cada passagem por T(y)(t) = 1 + ∈t_0t y acrescenta um termo de Taylor, e a contração comprime toda a sequência uniformemente sobre \,t. — Iterados de Picard para $y' = y$ , $y(0) = 1$ : cada passagem por $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ acrescenta um termo de Taylor, e a contração comprime toda a sequência uniformemente sobre $\eu^{\,t}$ .

Problema 4.1

Problema de fim de semana — o teorema de Picard–Lindelöf

Em todo o problema, $t_0 \in \R$ , $y_0 \in \R$ , $a, b > 0$ , e $f$ é uma função contínua no retângulo $R = \intcc{t_0 - a}{t_0 + a} \times \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ , limitada por $M = \sup_R\,\abs f$ e $L$ -lipschitziana na segunda variável: $\abs{f(t, y) - f(t, z)} \leq L\abs{y - z}$ sempre que os dois pontos estejam em $R$ . Ponha

h = \min\Bigl(a, \frac bM\Bigr) \quad (\text{com } h = a \text{ se } M = 0), \qquad I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}.

Parte I — O palco completo.

Demonstre os dois enunciados citados na Definição 4.7: uma parte fechada de um espaço métrico completo é completa, e uma parte completa de um espaço métrico qualquer é fechada. Deduza que toda parte fechada de $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ é um espaço métrico completo.
Mostre que a aplicação $C(I) \to C(I)$ , $y \mapsto \bigl(t \mapsto \int_{t_0}^{t}y(s)\,\dd s\bigr)$ , é $h$ -lipschitziana para $d_\infty$ .
(Os pontos fixos se movem menos que as aplicações) Seja $g \colon X \to X$ uma $k$ -contração de um espaço métrico com ponto fixo $\ell_g$ , e seja $\widetilde g \colon X \to X$ uma aplicação qualquer com ponto fixo $\ell_{\widetilde g}$ . Demonstre

$d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) \leq \frac{d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr)}{1 - k} \leq \frac{\sup_{x \in X} d\bigl(g(x), \widetilde g(x)\bigr)}{1 - k}.$
(O truque do iterado) Seja $X$ completo não vazio e $g \colon X \to X$ uma aplicação — não suposta contínua — tal que algum iterado $g^m$ seja uma $k$ -contração. Prove que $g$ tem um único ponto fixo $\ell$ e que toda órbita $x_{n+1} = g(x_n)$ converge para $\ell$ . (Os pontos fixos de $g$ são pontos fixos de $g^m$ ; reciprocamente, $g(\ell)$ é ponto fixo de $g^m$ ; separe a órbita segundo os restos módulo $m$ .)

Parte II — O teorema de Picard–Lindelöf.

Mostre que uma função $y \colon I \to \intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ é $C^1$ com $y(t_0) = y_0$ e $y' = f(t, y)$ em $I$ se e somente se ela é contínua e satisfaz a equação integral

$y(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t} f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s \qquad (t \in I).$
Sejam $X_h = \{y \in C(I) : \abs{y(t) - y_0} \leq b \text{ em } I\}$ e $T$ definida por $T(y)(t) = y_0 + \int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s$ . Mostre que $X_h$ é uma parte fechada não vazia de $C(I)$ , logo completa, e que $T$ leva $X_h$ em $X_h$ — é aqui que $h \leq b/M$ trabalha.
Mostre que $d_\infty\bigl(T(y), T(z)\bigr) \leq Lh\,d_\infty(y, z)$ em $X_h$ : se $Lh < 1$ , o teorema de Banach já conclui. Removemos essa condição de pequenez a seguir.
Prove por indução sobre $n$ :

$\abs{T^n(y)(t) - T^n(z)(t)} \leq \frac{\bigl(L\abs{t - t_0}\bigr)^n}{n!}\, d_\infty(y, z) \qquad (y, z \in X_h,\ t \in I),$

de modo que algum iterado de $T$ é uma contração. Conclua com a questão 4 (o teorema de Picard–Lindelöf): o problema de Cauchy $y' = f(t,y)$ , $y(t_0) = y_0$ tem exatamente uma solução em $I = \intcc{t_0 - h}{t_0 + h}$ com valores em $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ .
Mostre que a restrição “com valores em $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ ” é automática: toda solução do problema de Cauchy definida em $I$ cujo gráfico começa em $R$ permanece em $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ (considere o primeiro instante de saída e majore $\abs{y(t) - y_0}$ por $M\abs{t - t_0}$ ). Logo a unicidade vale entre todas as soluções em $I$ .
Rode a máquina em $y' = y$ , $y(0) = 1$ , partindo da constante $y^{(0)} \equiv 1$ : calcule os iterados de Picard $y^{(n)}$ , identifique-os e descreva a convergência.

Parte III — Cada hipótese ganha o pão.

(A condição lipschitziana falha, a unicidade falha) Para $y' = 2\sqrt{\abs y}$ , $y(0) = 0$ : verifique que $y \equiv 0$ e que, para todo $c \geq 0$ , a função $y_c(t) = 0$ para $t \leq c$ , $y_c(t) = (t - c)^2$ para $t > c$ , são todas soluções $C^1$ em $\R$ . Onde exatamente $y \mapsto 2\sqrt{\abs y}$ deixa de ser lipschitziana?
(A localidade é real) Para $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ : resolva explicitamente, dê o intervalo maximal de existência e calcule o melhor $h$ que o teorema consegue certificar sobre todas as escolhas do retângulo ( $a$ grande, $b$ livre): mostre que $h_{\max} = \sup_{b>0} \frac{b}{(1+b)^2} = \frac14$ , enquanto a solução verdadeira vive em $\intoo{-\infty}{1}$ .
(A completude não é enfeite) Em $X = \Q \cap \intcc{1}{2}$ com a distância usual, seja $g(x) = \frac x2 + \frac1x$ . Mostre que $g(X) \subseteq X$ , que $g$ é uma $\frac12$ -contração (desigualdade do valor médio) e que $g$ não tem ponto fixo em $X$ . Qual hipótese do teorema de Banach falha, e qual é o ponto fixo no completado?
(Barras de erro) Para uma $k$ -contração $g$ num espaço completo, demonstre a estimativa a posteriori $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}\,d(x_n, x_{n-1})$ . Para a aplicação de Heron $g(x) = \frac x2 + \frac 1x$ em $\intcc{1}{2}$ (ponto fixo $\sqrt2$ ), partindo de $x_0 = \frac32$ : quantos passos a cota a priori $\frac{k^n}{1-k}d(x_1, x_0)$ exige para uma precisão $10^{-6}$ , e quantos passos bastam na realidade? (Calcule $x_1, x_2, x_3$ e seus erros; a cota da contração é honesta, mas pessimista — Heron converge quadraticamente.)

Parte IV — Dependência contínua. Nesta parte $Lh < 1$ , de modo que o próprio $T$ é uma contração em $X_h$ (questão 7); escreva $y[\,y_0\,]$ para a solução de valor inicial $y_0$ .

(Dependência do valor inicial) Seja $z_0$ outro valor inicial com $\abs{z_0 - y_0}$ pequeno o bastante para que os dois problemas caibam no retângulo. Usando a questão 3, demonstre

$d_\infty\bigl(y[y_0], y[z_0]\bigr) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh}.$
(Intervalos longos por encadeamento) Suponha que as soluções existam num segmento longo cortado em $m$ pedaços consecutivos em cada um dos quais a cota anterior se aplica com $Lh \leq \frac12$ . Mostre que o desvio cresce por um fator no máximo $2$ por pedaço, logo $d_\infty \leq 2^m\abs{y_0 - z_0}$ no total — uma cota exponencial no comprimento, a sombra discreta do $\eu^{L\abs{t - t_0}}$ do lema de Gronwall (Capítulo 16).
(Dependência do campo) Seja $g$ outro campo em $R$ , também $L$ -lipschitziano em $y$ , com $\sup_R \abs{f - g} \leq \varepsilon$ . Prove que as soluções correspondentes satisfazem $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ : o erro de modelagem se propaga linearmente.
(Parâmetros) Se uma família $f_\lambda$ de campos é $L$ -lipschitziana em $y$ uniformemente e $\sup_R\abs{f_\lambda - f_\mu} \leq C\abs{\lambda - \mu}$ , deduza que $\lambda \mapsto y_\lambda$ é lipschitziana do espaço de parâmetros em $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ .
(Sistemas não custam nada) Explique por que as Partes I, II e IV valem palavra por palavra para $y$ com valores em $\R^n$ (distâncias do sup construídas sobre qualquer uma das distâncias do Exemplo 4.2), e depois calcule todos os iterados de Picard para o sistema $y' = Ay$ , $y(0) = (c_1, c_2)$ , $A = \left(\begin{smallmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$ : mostre que a iteração se torna estacionária na solução exata após um passo.

Parte V — Dividendos métricos e síntese.

(Perturbação da identidade) Seja $X$ um palco completo do tipo espaço normado: tome $X = C(I)$ ou $\R^n$ . Se $\eta \colon X \to X$ é $k$ -lipschitziana com $k < 1$ , prove que $x \mapsto x + \eta(x)$ é uma bijeção de $X$ cuja inversa é $\frac1{1-k}$ -lipschitziana (para cada $y$ , aplique Banach a $x \mapsto y - \eta(x)$ ). Esse é o coração métrico do teorema da função inversa (Capítulo 15).
(Equação de Kepler) Para $0 \leq e < 1$ e $m \in \R$ , prove que $x = m + e\sin x$ tem exatamente uma solução, que a iteração $x_{n+1} = m + e\sin x_n$ converge para ela a partir de qualquer início, e estime: para $e = \frac12$ , $m = 1$ , quantas iterações garantem um erro $\leq 10^{-3}$ pela cota a priori? (A solução é $x \approx 1.4987$ .)
(O conjunto de Cantor é um ponto fixo) Sejam $S_1(x) = \frac x3$ e $S_2(x) = \frac x3 + \frac23$ em $\R$ , e seja $C$ o conjunto de Cantor do Exercício 4.8. Prove que $C = S_1(C) \cup S_2(C)$ e explique em uma frase por que nenhum outro compacto não vazio satisfaz essa equação (a aplicação $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ é uma contração para uma distância entre compactos — a distância de Hausdorff, tornada honesta no volume do terceiro ano de graduação).
(A conexidade globaliza a unicidade) Seja $f$ localmente lipschitziana em $y$ num aberto, e sejam $y, z$ duas soluções de $y' = f(t, y)$ num intervalo comum $J$ com $y(t_0) = z(t_0)$ . Prove que $y = z$ em $J$ : mostre que $\{t \in J : y(t) = z(t)\}$ é não vazio, fechado em $J$ e aberto em $J$ (pela unicidade local), e use a conexidade dos intervalos (Teorema 4.27).
(Nada de pequenez para equações lineares) Para $y' = \alpha(t)y + \beta(t)$ com $\alpha, \beta$ contínuas num segmento $\intcc{A}{B}$ , adapte a questão 8 para mostrar que a cota fatorial vale no segmento inteiro, de modo que existência e unicidade são globais aí — o caso escalar do teorema de Cauchy–Lipschitz do Capítulo 16, sem restrição alguma sobre o comprimento $B - A$ .
(Síntese) Uma frase para cada: o que a completude contribuiu; o que a contração contribuiu; o que o truque do iterado comprou em comparação com o Banach simples; onde entrou a conexidade; e qual contraexemplo da Parte III guarda qual hipótese. Nomeie o teorema-cume e diga o que substitui a contração quando $f$ é apenas contínua (o teorema de Peano, via compacidade em espaços de funções — o Arzelà–Ascoli do volume do terceiro ano de graduação).

Solução

Solução de Problema 4.1.

1. Seja $F$ fechado no completo $X$ e $(x_n) \subseteq F$ de Cauchy: ela converge em $X$ para algum $\ell$ , e $\ell \in F$ porque $F$ é fechado (os limites de sequências de $F$ permanecem em $\overline F = F$ ): $F$ é completo. Reciprocamente, seja $A \subseteq X$ completo e $x \in \overline A$ : alguma sequência de $A$ converge para $x$ ; ela é de Cauchy, logo converge em $A$ ; os limites são únicos, logo $x \in A$ : $A$ é fechado. Como $\bigl(C(I), d_\infty\bigr)$ é completo (Teorema 4.9), suas partes fechadas são completas.

2. Para $y, z \in C(I)$ e $t \in I$ :

\Bigl|\int_{t_0}^{t}y - \int_{t_0}^{t}z\Bigr| \leq \abs{t - t_0}\,\sup_I\abs{y - z} \leq h\,d_\infty(y, z),

e tome o sup sobre $t$ .

3. Usando as duas equações de ponto fixo e a desigualdade triangular:

d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) = d\bigl(g(\ell_g), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr) \leq d\bigl(g(\ell_g), g(\ell_{\widetilde g})\bigr) + d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr) \leq k\,d(\ell_g, \ell_{\widetilde g}) + d\bigl(g(\ell_{\widetilde g}), \widetilde g(\ell_{\widetilde g})\bigr),

e resolva em $d(\ell_g, \ell_{\widetilde g})$ (o coeficiente $1 - k$ é positivo). A segunda desigualdade majora a diferença avaliada pela diferença uniforme.

4. $g^m$ é uma contração num espaço completo não vazio: ela tem um único ponto fixo $\ell$ (Teorema 4.12). Então $g^m(g(\ell)) = g(g^m(\ell)) = g(\ell)$ : $g(\ell)$ é ponto fixo de $g^m$ , logo $g(\ell) = \ell$ pela unicidade. Todo ponto fixo de $g$ é ponto fixo de $g^m$ : unicidade para $g$ . Órbitas: fixe $r \in \{0, \dots, m-1\}$ ; a subsequência $(x_{qm + r})_q$ é a órbita de $g^m$ iniciada em $x_r$ , logo ela converge para $\ell$ quando $q \to \infty$ (Banach de novo). Todas as $m$ subsequências convergem para o mesmo $\ell$ , logo $x_n \to \ell$ : dado $\varepsilon$ , cada classe de restos fica, a partir de certa ordem, a menos de $\varepsilon$ , e há um número finito de classes.

5. Se $y$ é contínua com valores em $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ , o integrando $s \mapsto f(s, y(s))$ é contínuo em $I$ (composição), de modo que o membro da direita é $C^1$ com derivada $f(t, y(t))$ (teorema fundamental do cálculo, volume do primeiro ano de graduação). Se $y$ satisfaz a equação integral, ela é essa função $C^1$ , $y(t_0) = y_0$ , e $y' = f(t, y)$ . Reciprocamente, integrar $y' = f(s, y(s))$ de $t_0$ a $t$ dá a equação integral.

6. $X_h$ contém a constante $y_0$ ; é fechado como imagem inversa de $\intcc{0}{b}$ pela aplicação contínua $y \mapsto d_\infty(y, y_0)$ (as distâncias são $1$ -lipschitzianas), logo completo pela questão 1. Estabilidade: para $y \in X_h$ e $t \in I$ ,

\abs{T(y)(t) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{t}f(s, y(s))\dd s\Bigr| \leq M\abs{t - t_0} \leq Mh \leq b ,

o último passo por $h \leq b/M$ (ou $M = 0$ , trivial). E $T(y)$ é contínua ( $C^1$ , até melhor, questão 5): $T(y) \in X_h$ .

7. Para $t \in I$ :

\abs{T(y)(t) - T(z)(t)} \leq \int_{t_0}^{t}\abs{f(s, y(s)) - f(s, z(s))}\,\abs{\dd s} \leq L\abs{t - t_0}\,d_\infty(y,z) \leq Lh\,d_\infty(y,z).

Se $Lh < 1$ : $T$ é uma contração do completo não vazio $X_h$ , e Banach dá um único ponto fixo — pela questão 5, a única solução.

8. Indução; o caso $n = 1$ é a desigualdade do meio da questão 7. Supondo a cota para $n$ , para $t \geq t_0$ (o caso $t \leq t_0$ é simétrico):

\abs{T^{n+1}(y)(t) - T^{n+1}(z)(t)} \leq L\int_{t_0}^{t}\abs{T^n(y)(s) - T^n(z)(s)}\dd s \leq L\int_{t_0}^{t}\frac{L^n(s - t_0)^n}{n!}\dd s\; d_\infty(y,z),

e a integral vale $\frac{L^n(t - t_0)^{n+1}}{(n+1)!}$ : a cota com $n + 1$ . Logo $d_\infty(T^n y, T^n z) \leq \frac{(Lh)^n}{n!}d_\infty(y, z)$ , e $\frac{(Lh)^n}{n!} \to 0$ (a série exponencial converge): algum $T^m$ é uma contração. A questão 4 se aplica no completo $X_h$ : $T$ tem um único ponto fixo, isto é, o problema de Cauchy tem exatamente uma solução em $I$ com valores em $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ .

9. Seja $y$ uma solução do problema em $I$ e suponha que o conjunto $E = \{t \in I, t > t_0 : \abs{y(t) - y_0} > b\}$ seja não vazio (o lado $t < t_0$ é simétrico); seja $\tau = \inf E$ . Por continuidade, $\abs{y(s) - y_0} \leq b$ para $s \in \intcc{t_0}{\tau}$ , de modo que o gráfico está em $R$ aí, a equação integral vale até $\tau$ , e

\abs{y(\tau) - y_0} = \Bigl|\int_{t_0}^{\tau}f\bigl(s, y(s)\bigr)\dd s\Bigr| \leq M(\tau - t_0) \leq Mh \leq b .

Se $\tau < t_0 + h$ , pontos de $E$ arbitrariamente próximos de $\tau$ pela direita dão, por continuidade, $\abs{y(\tau) - y_0} \geq b$ , logo $= b$ ; mas então a fórmula exibida força $M(\tau - t_0) = Mh$ , isto é, $\tau = t_0 + h$ : contradição. Logo $\tau = t_0 + h$ , $E \subseteq \{t_0 + h\}$ , e a fórmula (em $\tau = t_0 + h$ ) dá $\abs{y(t_0 + h) - y_0} \leq b$ , contradizendo o fato de estar em $E$ . Portanto $E = \emptyset$ : toda solução em $I$ permanece na faixa, é ponto fixo de $T$ em $X_h$ , e a unicidade é incondicional.

10. $T(y)(t) = 1 + \int_0^t y$ . De $y^{(0)} \equiv 1$ :

y^{(1)}(t) = 1 + t,\quad y^{(2)}(t) = 1 + t + \frac{t^2}2,\quad\dots\quad y^{(n)}(t) = \sum_{k=0}^{n}\frac{t^k}{k!}

(indução: integrar a soma parcial acrescenta o termo seguinte). Essas são as somas parciais de Taylor de $\eu^{\,t}$ ; em qualquer $I$ limitado elas convergem uniformemente para $\eu^{\,t}$ (a cauda é dominada pela série numérica convergente $\sum h^k/k!$ ), que é de fato a única solução.

11. $y \equiv 0$ é solução. Para $y_c$ : ela é $C^1$ (as duas peças o são, e em $t = c$ as derivadas coincidem: $0$ e $2(t - c) \to 0$ ), e para $t > c$ : $y_c' = 2(t - c) = 2\sqrt{(t-c)^2} = 2\sqrt{\abs{y_c}}$ ; para $t \leq c$ os dois membros se anulam. Logo o problema de Cauchy $y(0) = 0$ tem uma infinidade de soluções ( $c \geq 0$ arbitrário, e $y \equiv 0$ ). O campo $\varphi(y) = 2\sqrt{\abs y}$ não é lipschitziano perto de $0$ : $\frac{\varphi(y) - \varphi(0)}{y - 0} = \frac{2}{\sqrt y} \to +\infty$ quando $y \to 0^+$ : nenhuma constante $L$ serve em qualquer vizinhança de $0$ — exatamente onde todas as soluções se ramificam.

12. Separando as variáveis (ou verificando diretamente), a única solução local é $y(t) = \frac1{1 - t}$ , definida em $\intoo{-\infty}{1}$ e explodindo em $t = 1$ . Para o retângulo $\intcc{-a}{a} \times \intcc{1 - b}{1 + b}$ : $M = \sup y^2 = (1 + b)^2$ , de modo que a semilargura certificada é $h = \min\bigl(a, \frac{b}{(1+b)^2}\bigr)$ . Maximizando $\frac{b}{(1+b)^2}$ : derivada nula em $b = 1$ , valor $\frac14$ . Assim o teorema garante vida apenas em $\intcc{-\frac14}{\frac14}$ — corretamente menos que a verdadeira duração $1$ para a frente, e infinitamente menos para trás: o teorema é local por natureza, e a explosão mostra que não poderia ser de outro jeito.

13. $g$ leva $\intcc12$ em si mesmo: $g$ decresce em $\intcc{1}{\sqrt2}$ e cresce depois (estude $g'(x) = \frac12 - \frac1{x^2}$ ), com $g(1) = g(2) = \frac32$ e mínimo $g(\sqrt2) = \sqrt2 > 1$ : $g(\intcc12) \subseteq \intcc{\sqrt2}{\frac32} \subseteq \intcc12$ ; e $g$ leva racionais em racionais. Contração: $\abs{g'(x)} = \abs{\frac12 - \frac1{x^2}} \leq \frac12$ em $\intcc12$ ( $\frac1{x^2} \in \intcc{\frac14}{1}$ ), de modo que a desigualdade do valor médio dá $\abs{g(x) - g(y)} \leq \frac12\abs{x - y}$ . Um ponto fixo satisfaz $\frac x2 = \frac1x$ , isto é, $x^2 = 2$ : impossível em $\Q$ . A hipótese que falha é a completude de $X$ ( $\Q \cap \intcc12$ não é completo); no completado $\intcc12$ o ponto fixo é $\sqrt2$ — o teorema de Banach rodado sobre os racionais cria o irracional.

14. A posteriori: $d(x_n, \ell) \leq d(x_n, x_{n+1}) + d(x_{n+1}, \ell) \leq k\,d(x_{n-1}, x_n) + k\,d(x_n, \ell)$ , donde $d(x_n, \ell) \leq \frac{k}{1-k}d(x_n, x_{n-1})$ . Heron a partir de $x_0 = \frac32$ : $x_1 = \frac{17}{12}$ , $d(x_1, x_0) = \frac1{12}$ , $k = \frac12$ : a cota a priori $\frac{k^n}{1-k}d(x_1,x_0) = \frac{2^{-n+1}}{12}$ cai abaixo de $10^{-6}$ pela primeira vez em $n = 18$ . Na realidade $x_1 = \frac{17}{12} \approx 1.41667$ (erro $2.5\cdot10^{-3}$ ), $x_2 = \frac{577}{408} \approx 1.4142157$ (erro $2.1\cdot10^{-6}$ ), $x_3 \approx 1.41421356237469$ (erro $1.6\cdot10^{-12}$ ): três passos bastam. Cada passo de Heron aproximadamente eleva ao quadrado o erro (convergência quadrática, um fenômeno de Newton: Capítulo 8); a estimativa da contração, que apenas o divide por dois, é honesta no pior caso mas pessimista aqui.

15. Aplique a questão 3 com $g = T_{y_0}$ (uma $Lh$ -contração, $Lh < 1$ ) e $\widetilde g = T_{z_0}$ , cujo ponto fixo é $y[z_0]$ . Para todo $y$ ,

\abs{T_{y_0}(y)(t) - T_{z_0}(y)(t)} = \abs{y_0 - z_0},

(as integrais são idênticas), logo $\sup_y d_\infty(T_{y_0}(y), T_{z_0}(y)) = \abs{y_0 - z_0}$ , e a questão 3 dá

d_\infty(y[y_0], y[z_0]) \leq \frac{\abs{y_0 - z_0}}{1 - Lh} .

16. Em cada pedaço, a questão 15 aplicada com os valores na extremidade esquerda como dados iniciais majora o desvio na extremidade direita:

d_\infty \leq \frac{1}{1 - 1/2}\,(\text{desvio à esquerda}) = 2\,(\text{desvio à esquerda}) .

Por indução sobre os $m$ pedaços, o desvio final é no máximo $2^m\abs{y_0 - z_0}$ , e o desvio uniforme em todo o segmento obedece à mesma cota (o sup de cada pedaço é controlado em sua etapa). Com pedaços de comprimento $h \asymp \frac1{2L}$ , o fator é $2^m = 2^{\,\text{comprimento}\cdot 2L}$ : exponencial no comprimento do intervalo, exatamente como prevê a cota de Gronwall $\eu^{L\abs{t-t_0}}$ , com constantes melhores.

17. Mesmo esquema: para $y \in X_h$ ,

\abs{T_f(y)(t) - T_g(y)(t)} \leq \int_{t_0}^t \abs{f(s,y(s)) - g(s,y(s))}\,\abs{\dd s} \leq \varepsilon h ,

logo a questão 3 (com $T_f$ a contração e $T_g$ a aplicação perturbada) fornece $d_\infty \leq \frac{\varepsilon h}{1 - Lh}$ .

18. Pela questão 17 aplicada a $f = f_\lambda$ , $g = f_\mu$ : $d_\infty(y_\lambda, y_\mu) \leq \frac{Ch}{1 - Lh}\abs{\lambda - \mu}$ : a aplicação solução é lipschitziana de constante $\frac{Ch}{1-Lh}$ .

19. Todos os argumentos usaram apenas: os axiomas de métrica, a completude do palco, a cota $\abs{\int} \leq \int\abs{\cdot}$ e a propriedade lipschitziana de $f$ — tudo disponível para funções com valores em $\R^n$ e $d_\infty$ construída sobre qualquer uma das distâncias equivalentes do Exemplo 4.2 (completo pelo Teorema 4.9). Para $y' = Ay$ com o nilpotente $A$ : $y^{(0)} \equiv (c_1, c_2)$ ,

y^{(1)}(t) = (c_1, c_2) + \int_0^t (c_2, 0)\,\dd s = (c_1 + tc_2,\; c_2),

e $Ay^{(1)}(s) = (c_2, 0)$ de novo: $y^{(2)} = y^{(1)}$ . A iteração é estacionária a partir de $n = 1$ , na solução exata $y(t) = (c_1 + tc_2, c_2) = \eu^{tA}y(0)$ — a nilpotência trunca a série exponencial, e Picard percebe.

20. Fixe $y \in X$ e ponha $g_y(x) = y - \eta(x)$ : uma $k$ -contração do completo $X$ , logo existe exatamente um $x$ com $x + \eta(x) = y$ : a aplicação $\Phi = \mathrm{id} + \eta$ é bijetiva. Inversa lipschitziana: se $\Phi(x) = y$ e $\Phi(x') = y'$ ,

d(x, x') \leq d(y, y') + d\bigl(\eta(x), \eta(x')\bigr) \leq d(y, y') + k\,d(x, x'),

logo $d(x, x') \leq \frac{1}{1-k}d(y, y')$ . (As distâncias aqui vêm da estrutura de norma, de modo que $d(a - c, b - c) = d(a, b)$ , o que a primeira desigualdade usou.)

21. $g(x) = m + e\sin x$ é $e$ -lipschitziana no completo $\R$ (desigualdade do valor médio, $\abs{g'} = \abs{e\cos x} \leq e < 1$ ): Banach dá uma única solução e a convergência global da iteração. Para $e = \frac12$ , $m = 1$ , $x_0 = 1$ : $x_1 = 1 + \frac12\sin 1 \approx 1.42074$ , $d(x_1, x_0) \approx 0.4207$ , e a cota a priori $\frac{(1/2)^n}{1/2}\cdot 0.4207 \leq 10^{-3}$ vale pela primeira vez em $n = 10$ : dez iterações certificadas (o valor verdadeiro $x \approx 1.4987$ é de fato atingido com $10^{-3}$ já por volta de $n = 5$ ).

22. Use a descrição por algarismos (Exercício 4.8): $C$ é o conjunto das somas $\sum_{n\geq1}a_n3^{-n}$ , $a_n \in \{0, 2\}$ . Então $S_1(C) = \{x/3 : x \in C\}$ é o subconjunto com $a_1 = 0$ , e $S_2(C) = \{x/3 + 2/3\}$ o subconjunto com $a_1 = 2$ : a união dos dois, na escolha livre dos $a_1$ , é exatamente $C$ . Unicidade em uma frase: no espaço dos compactos não vazios de $\intcc01$ munido da distância de Hausdorff, $A \mapsto S_1(A) \cup S_2(A)$ é uma $\frac13$ -contração de um espaço completo, de modo que Banach só permite um conjunto fixo — o volume do terceiro ano de graduação torna a métrica de Hausdorff e esse argumento rigorosos.

23. Seja $Z = \{t \in J : y(t) = z(t)\}$ : não vazio ( $t_0 \in Z$ ), fechado em $J$ (igualador de duas aplicações contínuas: imagem inversa de $\{0\}$ por $y - z$ ). Aberto: se $t_1 \in Z$ , aplique o teorema local (questão 8) no ponto $(t_1, y(t_1))$ , num retângulo em que $f$ é lipschitziana: num intervalo pequeno em torno de $t_1$ , tanto $y$ quanto $z$ resolvem o mesmo problema de Cauchy, logo coincidem aí (unicidade incondicional da questão 9): uma vizinhança de $t_1$ está em $Z$ . Uma parte não vazia do intervalo $J$ que é ao mesmo tempo aberta e fechada em $J$ é todo o $J$ (os intervalos são conexos, Teorema 4.27): $y = z$ em $J$ .

24. Aqui $f(t, y) = \alpha(t)y + \beta(t)$ é $L$ -lipschitziana em $y$ em todo o $\intcc AB \times \R$ com $L = \sup\abs\alpha$ (finito: $\alpha$ contínuas num segmento), e não é preciso faixa $\intcc{y_0 - b}{y_0 + b}$ alguma: tome $X = C(\intcc AB)$ inteiro, no qual $T$ está bem definida. A indução da questão 8 roda palavra por palavra e dá $d_\infty(T^ny, T^nz) \leq \frac{(L(B - A))^n}{n!}d_\infty(y, z)$ : um iterado é uma contração qualquer que seja o comprimento $B - A$ , e a questão 4 conclui: uma e só uma solução no segmento inteiro. A linearidade entra exatamente uma vez: ela torna a cota lipschitziana global em $y$ , removendo o retângulo e seu $h \leq b/M$ .

25. A completude transformou a sequência de Cauchy de iterados numa solução de verdade (questões 1, 6, 8), e sua ausência deixou $\sqrt2$ escapar de $\Q$ (questão 13). A contração deu a unicidade, o algoritmo e as barras de erro (questões 7, 14). O truque do iterado removeu a condição de pequenez $Lh < 1$ , de modo que o intervalo certificado depende apenas de $M$ , e não de $L$ — e tornou globais as equações lineares (questões 8, 24). A conexidade promoveu a unicidade local a unicidade global (questão 23). Os contraexemplos: $2\sqrt{\abs y}$ guarda a condição lipschitziana (questão 11), $y^2$ guarda a localidade (questão 12), $\Q$ guarda a completude (questão 13). O cume é o teorema de Picard–Lindelöf (questão 8); quando $f$ é apenas contínua, a existência sobrevive mas a unicidade morre, e a demonstração troca a contração pela compacidade de conjuntos de funções — o teorema de Peano via Arzelà–Ascoli, no volume do terceiro ano de graduação.