Vizinhança, conjunto aberto কী?

Exemplo 12.2

Os intervalos abertos são abertos: para $x \in \intoo{a}{b}$, tome $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$. As semirretas $\intoo{a}{+\infty}$ são abertas; $\R$ e $\emptyset$ são abertos (o último por vacuidade). $\intcc{0}{1}$ não é aberto: nenhum intervalo em torno de $0$ permanece dentro.

Exemplo 12.4 (Certificando a abertura com raios explícitos)

O conjunto $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ é aberto? Sim, e o certificado pode ser escrito: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$, uma união de duas semirretas abertas, aberta pela Proposição 12.3. Alternativamente, argumente ponto a ponto: para $x \in U$ com $x > \sqrt 2$, tome $r = x - \sqrt2 > 0$: todo $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ satisfaz $y > \sqrt 2$, logo $y^2 > 2$; simetricamente à esquerda. Os dois estilos importam — o estrutural (construir a partir de abertos conhecidos por uniões e interseções finitas) escala melhor, e o estilo $\varepsilon$ funciona quando nenhuma estrutura é visível; e o Capítulo 13 acrescentará um terceiro, o mais poderoso: $U$ é a pré-imagem do aberto $\intoo{2}{+\infty}$ pela aplicação contínua $x \mapsto x^2$.

Exemplo 12.8

Os segmentos $\intcc{a}{b}$, as semirretas $\intco{a}{+\infty}$, os conjuntos finitos e $\Z$ (uma sequência convergente de inteiros é constante a partir de certo ponto) são fechados. $\intoc{0}{1}$ não é aberto (falha em $1$) nem fechado ($\frac 1n \to 0 \notin$ do conjunto): a maioria dos conjuntos não é nem uma coisa nem outra. $\R$ e $\emptyset$ são ao mesmo tempo abertos e fechados — e são os únicos subconjuntos de $\R$ assim (Exercício 12.9).