Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

13Trabalho, energia e energia potencial

Um ciclista para de pedalar no alto de um morro e chega embaixo com uma velocidade que depende do desnível, não do traçado da estrada. Um saltador de bungee jump cai sessenta metros e para, por um instante, exatamente onde a tração da corda consumiu toda a velocidade que a queda havia dado. Um átomo de hidrogênio ligado a um átomo de cloro vibra num poço cuja profundidade é a energia necessária para despedaçar a molécula. Em cada caso um único número é trocado entre formas — movimento, altura, alongamento, ligação — e, somado, não muda. Este capítulo constrói essa contabilidade a partir da segunda lei de Newton: trabalho e potência, o teorema da energia cinética, energias potenciais para as forças que as admitem e a conservação da energia mecânica, que transforma muitos problemas de dinâmica numa álgebra de uma linha e explica, pela forma de um poço de potencial, quais posições são estáveis.

O pêndulo do professor: solta junto ao nariz, a bola de boliche volta ao nariz e não passa dele — a energia mecânica se conserva, e nunca é excedida.

13.1 Potência e trabalho

Definição 13.1 (Potência e trabalho de uma força)

A potência de uma força $\vect F$ que age sobre um ponto que se move com velocidade $\vect v$ é

\mathcal P = \vect F\cdot\vect v \qquad (\text{watts}),

e o seu trabalho entre os instantes $t_1$ e $t_2$ (posições $A$ e $B$ ) é a potência acumulada,

W_{A\to B} = \int_{t_1}^{t_2}\vect F\cdot\vect v\,\dd t = \int_A^B \vect F\cdot\dd\vect\ell \qquad (\text{joules}),

a soma dos trabalhos elementares $\delta W = \vect F\cdot\dd\vect\ell$ ao longo dos deslocamentos elementares $\dd\vect\ell = \vect v\,\dd t$ da trajetória. O trabalho é positivo se a força empurra no sentido do movimento (motor), negativo se contra ele (resistente) e nulo se perpendicular.

Proposição 13.2 (Trabalhos que se encontram)

Força constante: $W_{A\to B} = \vect F\cdot\vect{AB}$ , qualquer que seja o caminho. Peso: $W = mg(z_A - z_B)$ , com $z$ contado para cima.
Mola de constante elástica $k$ , do alongamento $x_A$ a $x_B$ : $W = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ .
Reação normal de uma superfície fixa, tensão de um fio sobre um corpo que se move perpendicularmente a ele: $W = 0$ (força $\perp$ deslocamento).
Atrito cinético e arrasto: $W < 0$ sempre (a força se opõe ao movimento relativo), e depende do comprimento do caminho.

Demonstração. Com $\vect F$ constante: $\int\vect F\cdot\dd\vect\ell = \vect F\cdot\int\dd\vect\ell = \vect F\cdot\vect{AB}$ ; com $\vect F = -mg\vect e_z$ , $\vect F\cdot\vect{AB} = -mg(z_B - z_A)$ . Mola: $\vect F\cdot\dd\vect\ell = -kx\,\dd x$ , e $\int_{x_A}^{x_B}-kx\,\dd x = \tfrac12 k(x_A^2 - x_B^2)$ . Atrito: $\vect T = -\mu N\vect v/v$ , logo $\vect T\cdot\vect v = -\mu Nv < 0$ . ∎

O trabalho elementar de uma força ao longo de um pequeno deslocamento do seu ponto de aplicação: só a componente de F ao longo do movimento realiza trabalho. Somado ao longo do caminho de A a B, ele dá W_A B. — O trabalho elementar de uma força ao longo de um pequeno deslocamento do seu ponto de aplicação: só a componente de $\vect F$ ao longo do movimento realiza trabalho. Somado ao longo do caminho de $A$ a $B$ , ele dá $W_{A\to B}$ .

13.2 O teorema da energia cinética

Teorema 13.3 (Teoremas da energia cinética e da potência)

Num referencial inercial, a energia cinética $E_k = \tfrac12 mv^2$ de um ponto material obedece a

\frac{\dd E_k}{\dd t} = \sum\mathcal P_i = \Big(\sum\vect F_i\Big)\cdot\vect v, \qquad E_k(B) - E_k(A) = \sum_i W_{i,A\to B}:

a variação da energia cinética entre duas posições é igual ao trabalho total de todas as forças aplicadas ao longo do caminho.

Demonstração. Multiplique escalarmente a segunda lei de Newton por $\vect v$ : $m\vect a\cdot\vect v = \tfrac{\dd}{\dd t}(\tfrac12 m\vect v\cdot\vect v) = \dd E_k/\dd t$ , enquanto $(\sum\vect F_i)\cdot\vect v = \sum\mathcal P_i$ . Integre no tempo. ∎

Exemplo 13.4 (Distância de frenagem)

Um carro de $1000\,\mathrm{kg}$ a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ( $E_k = 386\,\mathrm{kJ}$ ) freado por uma força constante de $7.0\,\mathrm{kN}$ para depois de $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ : a distância cresce com o quadrado da velocidade. Como a força máxima de frenagem vale $\mu_smg$ (Capítulo 12), a menor distância de parada é $v^2/2\mu_sg$ , qualquer que seja a massa do carro — e ela dobra numa pista molhada, onde $\mu_s$ cai à metade.

13.3 Forças conservativas e energia potencial

Definição 13.5 (Força conservativa; energia potencial)

Uma força é conservativa se o seu trabalho entre dois pontos não depende do caminho seguido. De modo equivalente, existe uma função da posição, a energia potencial $E_p$ , tal que

W_{A\to B} = E_p(A) - E_p(B) = -\Delta E_p , \qquad \delta W = -\dd E_p ,

sendo $E_p$ definida a menos de uma constante aditiva (uma escolha de origem).

Proposição 13.6 (A força a partir da energia potencial)

Uma força conservativa deriva da sua energia potencial:

\vect F = -\overrightarrow{\operatorname{grad}}\,E_p = -\frac{\partial E_p}{\partial x}\,\vect e_x - \frac{\partial E_p}{\partial y}\,\vect e_y - \frac{\partial E_p}{\partial z}\,\vect e_z ,

e em uma dimensão $F_x = -\dd E_p/\dd x$ : a força aponta no sentido em que a energia potencial decresce, “ladeira abaixo” no gráfico de $E_p$ .

Demonstração. $\delta W = F_x\dd x + F_y\dd y + F_z\dd z = -\dd E_p = -(\partial_xE_p\,\dd x + \partial_yE_p\,\dd y + \partial_zE_p\,\dd z)$ para todo deslocamento: identifique os coeficientes (a diferencial de uma função de várias variáveis, do curso de matemática). ∎

Proposição 13.7 (As energias potenciais usuais)

Peso: $E_p = mgz + \text{const}$ (com $z$ para cima).
Mola: $E_p = \tfrac12 k(\ell - \ell_0)^2 + \text{const}$ .
Gravitação newtoniana de uma massa $M$ : $E_p = -GMm/r + \text{const}$ , com a constante escolhida em geral para que $E_p \to 0$ no infinito.
Força eletrostática sobre uma carga $q$ num potencial $V$ : $E_p = qV$ (Capítulo 27).

O atrito cinético e o arrasto fluido não são conservativos (o seu trabalho depende do caminho e é sempre negativo).

Demonstração. Cada uma se lê nos trabalhos da Proposição 13.2: $W = -\Delta E_p$ . Para a gravitação, $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ e $\delta W = -GMm\,\dd r/r^2 = -\dd(-GMm/r)$ . ∎

13.4 Energia mecânica

Teorema 13.8 (Energia mecânica)

Seja $E_m = E_k + E_p$ a energia mecânica, em que $E_p$ é a soma das energias potenciais das forças conservativas. Então

\Delta E_m = W_{\text{nc}} ,

o trabalho total das forças não conservativas. Se estas não realizam trabalho (sem atrito, ou com forças de vínculo perpendiculares ao movimento), $E_m$ se conserva: o movimento é conservativo.

Demonstração. $\Delta E_k = W_{\text{c}} + W_{\text{nc}} = -\Delta E_p + W_{\text{nc}}$ . ∎

Método 13.9 (Usando a energia)

Quando um problema pede uma velocidade numa posição (não um tempo, nem uma força), tente a energia primeiro:

liste as forças; veja quais realizam trabalho e quais são conservativas;
escreva $E_m$ nas duas posições, com uma origem clara para $E_p$ ;
iguale-as (somando $W_{\text{nc}}$ se houver atrito) e resolva para a velocidade ou a posição desconhecida.

A energia nunca dá o tempo nem as forças de vínculo; para essas, volte à lei de Newton — muitas vezes com a velocidade que a energia acabou de fornecer.

Exemplo 13.10 (A lei da velocidade do loop)

No loop sem atrito do Problema 11.1, a reação da pista é normal ao movimento e não realiza trabalho: $E_m$ se conserva. Com $z = R(1 - \cos\theta)$ acima do ponto mais baixo, $\tfrac12 mv^2 + mgR(1 - \cos\theta) = \tfrac12 mv_0^2$ : a lei da velocidade $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ ali usada, agora deduzida em uma linha. A velocidade mínima de entrada $\sqrt{5gR}$ decorre então da condição no alto, $v^2 \geq gR$ , do Exemplo 12.16.

Exemplo 13.11 (Energia perdida no atrito)

Um bloco desce uma rampa de ângulo $\alpha$ e altura $h$ com atrito cinético $\mu_d$ : $W_{\text{nc}} = -\mu_dmg\cos\alpha \times h/\sin\alpha = -\mu_dmgh\cot\alpha$ , logo $\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha)$ . Para $h = 2.0\,\mathrm{m}$ , $\alpha = 30^\circ$ , $\mu_d = 0.20$ : $v = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em vez de $6.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; um terço da energia potencial virou calor.

13.5 Equilíbrio, estabilidade e retratos de fase

Proposição 13.12 (Equilíbrio e estabilidade em uma dimensão)

Um ponto material que se move sobre um eixo sob uma força conservativa de energia potencial $E_p(x)$ :

está em equilíbrio em $x_0$ se e só se $F(x_0) = -E_p'(x_0) = 0$ : nos extremos de $E_p$ ;
o equilíbrio é estável se $E_p$ tem ali um mínimo local ( $E_p''(x_0) > 0$ ): um pequeno deslocamento produz uma força restauradora; é instável num máximo;
perto de um equilíbrio estável, os pequenos movimentos são harmônicos, com

$\omega_0^2 = \frac{E_p''(x_0)}{m} .$

Demonstração. Fórmula de Taylor (curso de matemática): $E_p(x) \approx E_p(x_0) + \tfrac12 E_p''(x_0)(x - x_0)^2$ , logo $F \approx -E_p''(x_0)(x - x_0)$ e $m\ddot x = -E_p''(x_0)(x - x_0)$ — uma mola de constante elástica $E_p''(x_0)$ . Para $E_p'' < 0$ a “constante elástica” é negativa: afastamento exponencial. ∎

Uma paisagem de potencial unidimensional: os mínimos são equilíbrios estáveis, e o máximo é um equilíbrio instável. Um ponto material de energia E_1 abaixo da barreira fica preso num poço entre dois pontos de retorno (onde E_p = E_1, setas) e oscila; com E_2 acima da barreira ele passa livremente de um poço ao outro. — Uma paisagem de potencial unidimensional: os mínimos são equilíbrios estáveis, e o máximo é um equilíbrio instável. Um ponto material de energia $E_1$ abaixo da barreira fica preso num poço entre dois *pontos de retorno* (onde $E_p = E_1$ , setas) e oscila; com $E_2$ acima da barreira ele passa livremente de um poço ao outro.

Definição 13.13 (Pontos de retorno; movimento ligado e livre)

Para um movimento unidimensional conservativo de energia $E_m$ , o ponto material só pode estar onde $E_p(x) \leq E_m$ (pois $E_k \geq 0$ ); os pontos em que $E_p = E_m$ são pontos de retorno, em que a velocidade se anula e se inverte. Preso entre dois pontos de retorno num poço de potencial, o movimento é ligado e periódico; se puder alcançar o infinito, ele é livre; uma barreira de potencial mais alta que $E_m$ não pode ser atravessada.

Definição 13.14 (Retrato de fase)

O retrato de fase de um movimento unidimensional é a família de curvas traçadas pelo ponto $(x, \dot x)$ no plano de fase. Para um sistema conservativo cada curva é uma linha de nível $\tfrac12 m\dot x^2 + E_p(x) = E_m$ : curvas fechadas em torno dos equilíbrios estáveis (oscilações), curvas abertas para o movimento livre e, passando pelos equilíbrios instáveis, as separatrizes que dividem os dois casos. As curvas são percorridas no sentido horário ( $\dot x > 0$ significa $x$ crescente) e nunca se cruzam.

Retrato de fase do pêndulo simples, 1/2 2 + _02(1 - ) = const. Curvas fechadas (azuis): oscilações em torno do equilíbrio estável = 0; curvas abertas (laranja): rotações completas; entre elas a separatriz (vermelha) pelos equilíbrios instáveis = ±π, o movimento que apenas alcança o topo. — Retrato de fase do pêndulo simples, $\tfrac12\dot\theta^2 + \omega_0^2(1 - \cos\theta) = \text{const}$ . Curvas fechadas (azuis): oscilações em torno do equilíbrio estável $\theta = 0$ ; curvas abertas (laranja): rotações completas; entre elas a separatriz (vermelha) pelos equilíbrios instáveis $\theta = \pm\pi$ , o movimento que apenas alcança o topo.

Exemplo 13.15 (A paisagem do pêndulo)

$E_p = -mg\ell\cos\theta$ : mínimo em $\theta = 0$ , $E_p'' = mg\ell$ , logo $\omega_0^2 = g\ell/(m\ell^2) = g/\ell$ — o resultado das pequenas oscilações do Exemplo 12.12, lido na curvatura do poço; máximo em $\theta = \pi$ , o pêndulo invertido, instável. Energia $E_m < mg\ell$ : oscilação entre $\pm\theta_{\max}$ ; $E_m > mg\ell$ : ele passa por cima e gira; $E_m = mg\ell$ : a separatriz, uma aproximação infinitamente lenta ao topo.

13.6 Exercícios

Exercício 13.1 ★

Uma caixa de $20\,\mathrm{kg}$ é erguida $3.0\,\mathrm{m}$ com velocidade constante em $5.0\,\mathrm{s}$ . Trabalho da força que ergue, do peso, e potência fornecida. A mesma caixa empurrada $3.0\,\mathrm{m}$ por um piso com $\mu_d = 0.30$ : trabalho do atrito.

Solução

Solução de Exercício 13.1.

Força que ergue $+mgh = 20 \times 9.81 \times 3.0 = 589\,\mathrm{J}$ ; peso $-589\,\mathrm{J}$ ; potência $589/5.0 = 118\,\mathrm{W}$ . Atrito: $-\mu_dmgd = -0.30 \times 196 \times 3.0 = -177\,\mathrm{J}$ .

Exercício 13.2 ★

Energia cinética de um carro de $1000\,\mathrm{kg}$ a $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; distância de parada com uma força de frenagem constante de $7.0\,\mathrm{kN}$ ; o que acontece com a distância se a velocidade dobrar?

Solução

Solução de Exercício 13.2.

$E_k = \tfrac12 \times 1000 \times 27.8^2 = 386\,\mathrm{kJ}$ ; $d = E_k/F = 55\,\mathrm{m}$ ; dobrar $v$ quadruplica $E_k$ e $d$ : $220\,\mathrm{m}$ .

Exercício 13.3 ★

Uma mola de constante elástica $500\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ é comprimida $10\,\mathrm{cm}$ e solta contra uma bola de $50\,\mathrm{g}$ numa pista horizontal sem atrito. Energia armazenada; velocidade da bola.

Solução

Solução de Exercício 13.3.

$E_p = \tfrac12 \times 500 \times 0.10^2 = 2.5\,\mathrm{J}$ ; $v = \sqrt{2 \times 2.5/0.050} = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

Exercício 13.4 ★

Um pêndulo de comprimento $1.0\,\mathrm{m}$ é solto do repouso a $60^\circ$ : velocidade embaixo pela energia; depois, com a lei de Newton, a tensão ali (em unidades de $mg$ ).

Solução

Solução de Exercício 13.4.

$\tfrac12 mv^2 = mg\ell(1 - \cos 60^\circ)$ : $v = \sqrt{g\ell} = 3.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Tensão: $T - mg = mv^2/\ell = mg$ , $T = 2mg$ .

Exercício 13.5 ★★

Um bloco desce do repouso uma rampa de $30^\circ$ e altura $2.0\,\mathrm{m}$ , com $\mu_d = 0.20$ . Velocidade embaixo pelo teorema da energia; fração da energia potencial inicial perdida no atrito.

Solução

Solução de Exercício 13.5.

O atrito realiza $-\mu_dmg\cos\alpha\,(h/\sin\alpha)$ , de modo que

\tfrac12 mv^2 = mgh(1 - \mu_d\cot\alpha) = mgh(1 - 0.35),

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.0 \times 0.65} = 5.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $35\%$ perdidos.

Exercício 13.6 ★★

Usando $E_p = -GMm/r$ , mostre que a velocidade necessária para escapar da atração da Terra a partir da sua superfície vale $v_e = \sqrt{2GM/R}$ , e calcule-a ( $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ , $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ ). Qual é a velocidade de escape de um corpo de mesma densidade e raio duas vezes maior?

Solução

Solução de Exercício 13.6.

$E_m = \tfrac12 mv^2 - GMm/R \geq 0$ para que o corpo alcance o infinito (onde $E_p = 0$ e $v \to 0$ ): $v_e = \sqrt{2GM/R}$ , isto é,

v_e = \sqrt{\frac{2 \times 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}}{6.37\times10^6}} = 11.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.

Mesma densidade, $M \propto R^3$ : $v_e \propto R$ , logo $22.4\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

Exercício 13.7 ★★

Bungee jump: um saltador de $70\,\mathrm{kg}$ , com corda de comprimento natural $20\,\mathrm{m}$ e constante elástica $50\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , salta do repouso. Encontre o alongamento máximo da corda, a queda total e a tensão máxima (em unidades do peso). Onde a velocidade é maior?

Solução

Solução de Exercício 13.7.

Ponto mais baixo: $mg(\ell_0 + x) = \tfrac12 kx^2$ , $25x^2 - 687x - 13734 = 0$ , $x = 41\,\mathrm{m}$ ; queda total $61\,\mathrm{m}$ ; $T_{\max} = kx = 2.0\,\mathrm{kN} = 3.0\,mg$ (resultante de $2\,\mathrm{g}$ para cima). A velocidade é máxima onde a força resultante se anula, $kx = mg$ : $x = 14\,\mathrm{m}$ , $34\,\mathrm{m}$ abaixo do ponto de salto.

Exercício 13.8 ★★

Um ciclista ( $80\,\mathrm{kg}$ com a bicicleta) sobe uma rampa de $5\%$ a $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ contra um arrasto $\tfrac12\rho C_xSv^2$ com $C_xS = 0.50\,\mathrm{m}^{2}$ . Potência contra a gravidade, contra o arrasto, e total.

Solução

Solução de Exercício 13.8.

Gravidade: $mgv\sin\alpha = 80 \times 9.81 \times 5.0 \times 0.05 = 196\,\mathrm{W}$ ; arrasto: $\tfrac12\rho C_xSv^3 = 0.5 \times 1.2 \times 0.50 \times 125 = 38\,\mathrm{W}$ ; total $234\,\mathrm{W}$ .

Exercício 13.9 ★★

Um ponto material de massa $m$ tem $E_p(x) = E_0[(x/a)^4 - 2(x/a)^2]$ . Encontre os equilíbrios e a sua estabilidade, a profundidade dos poços e a frequência angular das pequenas oscilações em torno de um equilíbrio estável.

Solução

Solução de Exercício 13.9.

$E_p' = 4E_0(x^3/a^4 - x/a^2) = 0$ : $x = 0, \pm a$ . $E_p'' = E_0(12x^2/a^4 - 4/a^2)$ : $-4E_0/a^2$ em $0$ (máximo instável, $E_p = 0$ ), $+8E_0/a^2$ em $\pm a$ (mínimos estáveis, $E_p = -E_0$ ): poços de profundidade $E_0$ ; $\omega_0^2 = 8E_0/ma^2$ .

Exercício 13.10 ★★★

Para o oscilador harmônico $E_p = \tfrac12 kx^2$ , mostre que as curvas de fase são elipses, dê os seus semieixos para a energia $E$ e explique por que todas são percorridas no mesmo tempo.

Solução

Solução de Exercício 13.10.

$\tfrac12 m\dot x^2 + \tfrac12 kx^2 = E$ : uma elipse de semieixos $x_{\max} = \sqrt{2E/k}$ e $\dot x_{\max} = \sqrt{2E/m}$ . O movimento é harmônico, de período $2\pi\sqrt{m/k}$ qualquer que seja a amplitude (isocronismo), de modo que toda elipse leva o mesmo tempo.

Exercício 13.11 ★★★

Um pequeno objeto desliza do repouso a partir do topo de um hemisfério sem atrito de raio $R$ . Usando a energia e a lei de Newton, encontre o ângulo com a vertical em que ele deixa a superfície, a altura e a sua velocidade nesse instante.

Solução

Solução de Exercício 13.11.

Energia: $v^2 = 2gR(1 - \cos\theta)$ . Radial: $mg\cos\theta - N = mv^2/R$ , logo $N = mg(3\cos\theta - 2)$ , nula em $\cos\theta = 2/3$ ( $\theta = 48^\circ$ ): altura $2R/3$ , velocidade $\sqrt{2gR/3}$ .

Exercício 13.12 ★★★

Um carro a $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ derrapa até parar em $80\,\mathrm{m}$ com as rodas travadas. Encontre $\mu_d$ pela energia. Para onde foi a energia? Por que um sistema antitravamento (rodas mantidas girando) reduz a distância de parada?

Solução

Solução de Exercício 13.12.

$\tfrac12 mv^2 = \mu_dmgd$ : $\mu_d = 625/(2 \times 9.81 \times 80) = 0.40$ . Calor no contato pneu–pista (e uma marca de derrapagem). Rodas que giram usam o atrito estático, com $\mu_s > \mu_d$ : força de frenagem maior, distância menor e direção preservada.

13.7 Problema: o poço de energia de uma ligação química

Problema 13.1

Problema de fim de semana — dois átomos, uma curva: a energia potencial de uma ligação lida como uma paisagem — o seu fundo, as suas paredes, as pequenas vibrações no fundo e a energia necessária para sair dela

A interação dos dois átomos de uma molécula diatômica é modelada pela energia potencial

E_p(r) = \epsilon\left[\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - 2\left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6}\right],

sendo $r$ a distância entre os núcleos. Para o cloreto de hidrogênio tome $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV}$ , $\sigma = 0.127\,\mathrm{nm}$ , e deixe o leve átomo de hidrogênio ( $m = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ) se mover enquanto o pesado cloro permanece parado. $1\,\mathrm{eV} = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ ; $k_B = 1.38 \times 10^{-23}\,\mathrm{J}/\mathrm{K}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}$ .

Parte I — A paisagem.

Dê os limites de $E_p$ quando $r \to 0$ e $r \to \infty$ , e esboce a curva.
Mostre que $E_p$ tem um único mínimo, em $r = \sigma$ , de valor $-\epsilon$ .
Com $u = (\sigma/r)^6$ , mostre que $E_p = \epsilon(u^2 - 2u)$ : uma parábola em $u$ . Recupere o mínimo a partir dela.
Exprima a força $F(r)$ (positiva se repulsiva) e dê o seu sinal de cada lado de $\sigma$ .
Calcule $E_p$ e $F$ em $r = 1.2\sigma$ (em eV e em nN).
Qual é a energia de dissociação da molécula, em eV e em $\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ ? (Energia de ligação medida do HCl: $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ .)
Verifique o critério de estabilidade em $r = \sigma$ : calcule $E_p''(\sigma)$ .

Parte II — Pequenas vibrações.

Escreva o desenvolvimento de Taylor de segunda ordem de $E_p$ em torno de $\sigma$ e identifique uma constante elástica efetiva $k$ .
Calcule $k$ (em $\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ).
Deduza a frequência angular, a frequência e o comprimento de onda da vibração, e o seu número de onda $1/\lambda$ em $\mathrm{cm}^{-1}$ .
A vibração medida do HCl fica em $2990\,\mathrm{cm}^{-1}$ . Comente a concordância e o que o modelo acerta.
A $300\,\mathrm{K}$ a energia vibracional média é da ordem de $k_BT$ . Estime a amplitude da vibração e compare com $\sigma$ .
Deduza a velocidade máxima do átomo de hidrogênio nessa vibração.

Parte III — Grandes oscilações e a saída.

Descreva o retrato de fase: que energias dão curvas fechadas, quais dão curvas abertas, e o que as separa?
Para $E_m = -\epsilon/2$ , encontre os dois pontos de retorno (em unidades de $\sigma$ ).
Mostre que o ponto médio entre eles fica além de $\sigma$ , e explique por que aquecer (elevar a energia vibracional) faz crescer o comprimento médio da ligação — a origem da dilatação térmica.
O período das grandes oscilações é maior ou menor que $2\pi/\omega_0$ ? Argumente pela forma das paredes.
A partir de $E_m = -\epsilon/2$ , que energia é preciso fornecer para dissociar a molécula? Se fornecida como energia cinética do átomo de hidrogênio em $r = \sigma$ , que velocidade é essa?
Dois átomos que se aproximam de longe com energia total positiva não podem formar sozinhos uma molécula ligada. Por quê? O que é necessário?

Parte IV — Trabalho, força e temperatura.

Calcule o trabalho da força de ligação quando $r$ vai de $2\sigma$ a $\sigma$ . Ali a força é motora ou resistente?
Calcule o trabalho que um agente externo precisa realizar para esticar a ligação de $\sigma$ a $1.5\sigma$ com velocidade desprezível.
Calcule $F$ em $r = 0.9\sigma$ e compare com $r = 1.2\sigma$ : o que a assimetria diz sobre comprimir e esticar?
A que temperatura $k_BT$ valeria $\epsilon$ ? Por que as moléculas se dissociam a temperaturas muito menores na prática?
Um modelo melhor (o de Morse) muda a forma das paredes, mas conserva um mínimo no comprimento da ligação. Quais dos resultados acima sobrevivem inalterados no método, e que números mudariam?
Resuma os três usos que se fez dos métodos energéticos: encontrar o equilíbrio, encontrar a frequência de vibração e encontrar o que é preciso para escapar.

Solução

Solução de Problema 13.1.

1. $r \to 0$ : $+\infty$ (o termo em $r^{-12}$ ); $r \to \infty$ : $0^-$ . Uma parede íngreme, um poço, uma longa cauda.

2. $E_p' = \epsilon[-12\sigma^{12}/r^{13} + 12\sigma^6/r^7] = 0$ se e só se $(\sigma/r)^6 = 1$ : $r = \sigma$ , $E_p = \epsilon(1 - 2) = -\epsilon$ .

3. $(\sigma/r)^{12} = u^2$ : $E_p = \epsilon(u^2 - 2u) = \epsilon[(u - 1)^2 - 1]$ , mínimo em $u = 1$ ( $r = \sigma$ ) com valor $-\epsilon$ .

4. $F = -E_p' = (12\epsilon/\sigma)[(\sigma/r)^{13} - (\sigma/r)^7]$ : positiva (repulsiva) para $r < \sigma$ , negativa (atrativa) além disso.

5. $(1/1.2)^6 = 0.335$ , $(1/1.2)^{12} = 0.112$ : $E_p = \epsilon(0.112 - 0.670) = -0.56\epsilon = -2.5\,\mathrm{eV}$ . $(1/1.2)^{13} = 0.0935$ , $(1/1.2)^7 = 0.279$ : $F = (12\epsilon/\sigma)(-0.186) = -2.2\epsilon/\sigma = -2.2 \times 7.0\times10^{-19}/1.27\times10^{-10} = -12\,\mathrm{nN}$ .

6. $\epsilon = 4.4\,\mathrm{eV} = 4.4 \times 96.5 = 425\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ , próximo dos $431\,\mathrm{kJ}/\mathrm{mol}$ medidos.

7. $E_p'' = \epsilon[156\sigma^{12}/r^{14} - 84\sigma^6/r^8]$ ; em $\sigma$ : $72\epsilon/\sigma^2 > 0$ : estável.

8. $E_p \approx -\epsilon + \tfrac12(72\epsilon/\sigma^2)(r - \sigma)^2$ : $k = 72\epsilon/\sigma^2$ .

9. $k = 72 \times 7.0\times10^{-19}/(1.27\times10^{-10})^2 = 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ .

10. $\omega_0 = \sqrt{k/m} = \sqrt{3.1\times10^3/1.67\times10^{-27}} = 1.4 \times 10^{15}\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ ; $f = 2.2 \times 10^{14}\,\mathrm{Hz}$ ; $\lambda = c/f = 1.4\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; $1/\lambda = 7300\,\mathrm{cm}^{-1}$ .

11. Um fator $2.4$ alto demais: as paredes do modelo são íngremes demais (o caroço em $r^{-12}$ é um substituto grosseiro de uma ligação covalente), mas a ordem de grandeza — uma vibração no infravermelho a $10^{14}$ Hz — está certa, e o método (curvatura do poço) é exatamente o que se usa com potenciais melhores.

12. $\tfrac12 kA^2 \approx k_BT$ : $A = \sqrt{2k_BT/k} = \sqrt{8.3\times 10^{-21}/3.1\times10^3} = 1.6 \times 10^{-12}\,\mathrm{m} = 0.013\sigma$ : a ligação apenas estremece.

13. $v_{\max} = A\omega_0 = 1.6\times10^{-12} \times 1.4\times10^{15} = 2.2\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .

14. $-\epsilon < E_m < 0$ : curvas fechadas em torno de $(\sigma, 0)$ — vibração, estado ligado; $E_m > 0$ : curvas abertas — os átomos se separam; $E_m = 0$ : a separatriz, um átomo que apenas consegue alcançar o infinito.

15. $u^2 - 2u = -\tfrac12$ com $u = (\sigma/r)^6$ : $u = 1 \pm 1/\sqrt2 = 1.71$ ou $0.293$ ; $r = \sigma u^{-1/6}$ : $0.915\sigma$ e $1.23\sigma$ .

16. Ponto médio $1.07\sigma > \sigma$ : a parede externa é mais macia que a interna, de modo que o átomo dispõe de mais espaço do lado de fora; a distância média no tempo cresce com a energia — ligações aquecidas se alongam, e os sólidos se dilatam.

17. Maior: a força restauradora do lado externo, mais macio, é mais fraca do que a aproximação harmônica supõe, de modo que o retorno leva mais tempo.

18. $\epsilon/2 = 2.2\,\mathrm{eV} = 3.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{J}$ . Tomada como energia cinética em $\sigma$ , essa energia dá $v = \sqrt{2 \times 3.5\times10^{-19}/1.67\times10^{-27}} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

19. Conservação da energia: $E_m > 0$ continua $> 0$ , a curva é aberta, e os átomos se afastam após um único encontro. Um terceiro corpo (outra molécula, uma parede, um fóton) precisa levar embora o excesso.

20. $W = E_p(2\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(2^{-12} - 2 \times 2^{-6}) + \epsilon = 0.97\epsilon = 4.3\,\mathrm{eV}$ , positivo: a atração puxa o átomo para dentro, é motora.

21. $W_{\text{ext}} = E_p(1.5\sigma) - E_p(\sigma) = \epsilon(0.0077 - 0.176) + \epsilon = 0.83\epsilon = 3.7\,\mathrm{eV}$ .

22. $(1/0.9)^{13} = 3.93$ , $(1/0.9)^7 = 2.09$ : $F = +22\epsilon/\sigma = +120\,\mathrm{nN}$ , dez vezes a atração em $1.2\sigma$ : comprimir uma ligação em $10\%$ custa muito mais do que esticá-la em $20\%$ .

23. $T = \epsilon/k_B = 7.0\times10^{-19}/1.38\times10^{-23} = 5.1 \times 10^{4}\,\mathrm{K}$ . Os gases reais se dissociam bem abaixo disso porque as energias são distribuídas: uma fração das moléculas carrega muitas vezes $k_BT$ (Capítulo 20).

24. Sobrevivem: o equilíbrio no mínimo, $k = E_p''$ no mínimo, a energia de dissociação $=$ profundidade, os pontos de retorno a partir de $E_p = E_m$ , a assimetria $\Rightarrow$ dilatação. Mudam: os valores de $k$ , da frequência e dos pontos de retorno.

25. Equilíbrio: $E_p' = 0$ ; vibração: $\omega_0^2 = E_p''/m$ ; escape: $E_m$ comparada com a borda do poço.

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