Física universitária — 1.º ano · Bachelor Year 1

12As leis de Newton da dinâmica

Um paraquedista sai do avião e, em uma dezena de segundos, para de acelerar: a duzentos quilômetros por hora o ar empurra de volta exatamente com a mesma força com que a Terra puxa. Um carro faz uma curva rápido demais e os pneus cedem; um caminhão numa estrada de serra sobe em marcha reduzida, segurado pelo mesmo atrito que lhe permite parar no plano. A cinemática descreveu movimentos; a dinâmica os explica, a partir de uma única lei que liga a aceleração de um corpo às forças que agem sobre ele. Este capítulo enuncia as três leis de Newton, cataloga as forças que se encontram no nível deste volume — peso, molas, fios, contatos, atrito seco e fluido — e mostra como ir de um desenho das forças até uma equação diferencial e a sua solução.

A Estação Espacial Internacional vista do ônibus espacial que se afasta (NASA): tudo a bordo está em queda livre em conjunto, e é por isso que nada a bordo parece pesar.

12.1 Massa, quantidade de movimento e as três leis

Definição 12.1 (Massa, quantidade de movimento, força)

Um ponto material tem uma massa inercial $m > 0$ (quilogramas), uma medida da sua resistência às variações de velocidade, independente do referencial. A sua quantidade de movimento num referencial vale

\vect p = m\,\vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}).

Uma força $\vect F$ (newtons) é a ação de outro corpo sobre o ponto material; as forças se somam como vetores, e a resultante é a sua soma $\sum\vect F$ .

Teorema 12.2 (Leis de Newton)

Princípio da inércia. Existem referenciais, ditos inerciais (ou galileanos), nos quais um ponto material submetido a nenhuma força, ou a forças de resultante nula, se move em linha reta com velocidade constante. Todo referencial em translação retilínea uniforme em relação a um referencial inercial é inercial.
Lei da quantidade de movimento. Num referencial inercial,

$\frac{\dd\vect p}{\dd t} = \sum\vect F, \qquad \text{isto é,}\qquad m\,\vect a = \sum\vect F \ \text{ para massa constante } m .$
Ação e reação. Se o corpo $A$ exerce $\vect F_{A\to B}$ sobre o corpo $B$ , então $B$ exerce $\vect F_{B\to A} = -\vect F_{A\to B}$ sobre $A$ , ao longo da reta que os une.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 12.3 (O que as leis dizem)

A primeira lei não é um caso particular da segunda: ela define os referenciais em que a segunda vale. Na prática um laboratório na Terra é inercial com excelente precisão para experimentos que duram minutos (o Capítulo 18 quantifica o erro); um referencial ligado ao Sol e às estrelas distantes é ainda melhor. A segunda lei é uma equação vetorial: três equações escalares, uma por eixo, e a escolha dos eixos (Capítulo 11) é a primeira decisão de todo problema. A terceira lei vale a cada instante para as forças de contato e gravitacionais deste volume.

Definição 12.4 (Sistema fechado; conservação da quantidade de movimento)

Um sistema fechado não troca matéria com o exterior. Para um sistema de pontos materiais, as forças internas se cancelam aos pares (terceira lei), e a quantidade de movimento total $\vect P = \sum m_i\vect v_i$ obedece a $\dd\vect P/\dd t = \sum\vect F_{\mathrm{ext}}$ : ela se conserva quando as forças externas se anulam (o Capítulo 19 desenvolve isso).

12.2 As forças usuais

Proposição 12.5 (Peso e gravitação)

Perto da superfície da Terra um corpo de massa $m$ é puxado pelo seu peso $\vect P = m\vect g$ , sendo $\vect g$ o campo gravitacional local, $g \approx 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , dirigido para baixo (rumo ao centro, com ótima aproximação). Mais geralmente, uma massa $M$ à distância $r$ atrai $m$ com $\vect F = -GMm/r^2\,\vect e_r$ (Capítulo 16); na superfície de uma esfera de raio $R$ , $g = GM/R^2$ . Note a unidade: $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ e $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ são a mesma coisa, e é por isso que todos os corpos caem do mesmo jeito.

Demonstração. A lei da gravitação de Newton é admitida e explorada no Capítulo 16; $g = GM/R^2 = 6.67\times10^{-11} \times 5.97\times10^{24}/(6.37\times10^6)^2 = 9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ . ∎

Proposição 12.6 (Mola; fio)

Uma mola ideal de constante elástica $k$ e comprimento natural $\ell_0$ , esticada até o comprimento $\ell$ ao longo do vetor unitário $\vect u$ que aponta da sua extremidade fixa para o corpo, exerce sobre o corpo a força restauradora

\vect F = -k(\ell - \ell_0)\,\vect u \qquad (\text{lei de Hooke}),

rumo ao seu comprimento natural. Um fio ideal (sem massa, inextensível) exerce uma tensão $\vect T$ ao longo de si mesmo, puxando, de mesmo módulo nas duas extremidades e em todo o seu comprimento (mesmo passando por uma polia sem massa e sem atrito).

Demonstração. A lei de Hooke é um modelo empírico válido para pequenas deformações. O fio: um elemento sem massa obedece a $0 = \vect T_1 + \vect T_2$ pela segunda lei de Newton, de modo que a tensão é transmitida sem alteração. ∎

Proposição 12.7 (Forças de contato: reação normal e atrito seco)

Uma superfície sólida exerce sobre um corpo que a toca uma reação normal $\vect N$ , perpendicular à superfície e repulsiva ( $N \geq 0$ : uma superfície não pode puxar), e uma força de atrito tangencial $\vect T$ . Leis de Coulomb: se o corpo não desliza, $\abs{\vect T} \leq \mu_s N$ (o atrito estático se ajusta ao que for necessário, até esse limite); se ele desliza com velocidade $\vect v_g$ em relação à superfície, $\vect T = -\mu_d N\,\vect v_g/\abs{\vect v_g}$ (atrito cinético, que se opõe ao deslizamento), com $\mu_d \leq \mu_s$ coeficientes da ordem de $0.1$ a $1$ conforme os materiais, independentes da área de contato e da velocidade.

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

À esquerda: as forças sobre um bloco num plano inclinado — peso, reação normal, atrito ao longo da superfície — e os eixos naturais. À direita: as leis de Coulomb: em repouso o atrito equilibra a força aplicada até _sN; assim que o deslizamento começa ele cai para _dN e ali permanece. — À esquerda: as forças sobre um bloco num plano inclinado — peso, reação normal, atrito ao longo da superfície — e os eixos naturais. À direita: as leis de Coulomb: em repouso o atrito equilibra a força aplicada até $\mu_sN$ ; assim que o deslizamento começa ele cai para $\mu_dN$ e ali permanece.

Proposição 12.8 (Atrito fluido)

Um corpo que se move com velocidade $\vect v$ através de um fluido em repouso sente um arrasto oposto a $\vect v$ : em baixa velocidade (corpo pequeno, fluido viscoso) ele é linear, $\vect F = -\alpha\vect v$ — para uma esfera de raio $r$ num fluido de viscosidade $\eta$ , $\alpha = 6\pi\eta r$ (Stokes); em alta velocidade (corpos grandes e rápidos no ar ou na água) ele é quadrático,

\vect F = -\tfrac12\,\rho\,C_xS\,v\,\vect v ,

com $\rho$ a densidade do fluido, $S$ a seção do corpo voltada para o escoamento e $C_x$ um coeficiente de arrasto adimensional ( $0.5$ para uma esfera, $0.3$ para um carro, $1$ para um disco plano). O número de Reynolds $\rho vL/\eta$ (Observação 1.10) decide: linear abaixo de $1$ , quadrático acima de cerca de $1000$ .

Demonstração. Admitido neste nível. ∎

Observação 12.9 (Outras forças)

O empuxo (Arquimedes) é uma resultante de forças de pressão, deduzida no Capítulo 21; as forças elétrica e magnética sobre uma carga são assunto do Capítulo 17. Todas as forças deste capítulo são modelos de interações de contato ou de campo, válidos dentro de limites declarados — a mola de Hooke arrebenta, o atrito de Coulomb falha sob alta pressão, o arrasto de Stokes falha em alta velocidade. Parte de toda solução é verificar que o modelo usado se aplica.

12.3 Resolvendo um problema de dinâmica

Método 12.10 (Da situação à equação)

Sistema: nomeie o corpo tratado como um ponto.
Referencial: nomeie-o e verifique que é inercial (ou trate-o como tal com a precisão exigida).
Forças: liste todo corpo que toca ou atrai o sistema e desenhe cada força num esquema (o diagrama de forças); nada mais entra.
Coordenadas: escolha eixos adaptados ao movimento (Método 11.18) e exprima $\vect a$ .
Projete $m\vect a = \sum\vect F$ nos eixos; use os vínculos (um corpo sobre uma superfície permanece nela: $a_\perp = 0$ ; um fio de comprimento fixo: velocidades iguais nas duas extremidades).
Resolva e verifique: dimensões, casos-limite, sinais ( $N \geq 0$ , $\abs T \leq \mu_sN$ se em repouso).

Exemplo 12.11 (Bloco num plano inclinado)

Bloco de massa $m$ num plano inclinado de $\alpha$ , com coeficientes $\mu_s$ , $\mu_d$ . Eixos: $x$ descendo a rampa, $y$ ao longo da normal. Peso $(mg\sin\alpha, -mg\cos\alpha)$ , reação $(0, N)$ , atrito $(-T, 0)$ se ele desliza para baixo. Ao longo de $y$ : $N = mg\cos\alpha$ . Em repouso, ao longo de $x$ : $T = mg\sin\alpha \leq \mu_sN = \mu_smg\cos\alpha$ , isto é, $\tan\alpha \leq \mu_s$ : o bloco se sustenta até o ângulo $\arctan\mu_s$ — uma medida de $\mu_s$ que dispensa balança. Deslizando: $ma = mg\sin\alpha - \mu_dmg\cos\alpha$ , logo $a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha)$ , independente de $m$ : $3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ para $\alpha = 30^\circ$ , $\mu_d = 0.2$ .

Exemplo 12.12 (O pêndulo simples)

Massa $m$ num fio de comprimento $\ell$ , com ângulo $\theta$ em relação à vertical descendente. Coordenadas polares no ponto de suspensão: $\vect a = -\ell\dot\theta^2\,\vect e_r + \ell\ddot\theta\,\vect e_\theta$ ; forças: peso $mg(\cos\theta\,\vect e_r - \sin\theta\,\vect e_\theta)$ e tensão $-T\vect e_r$ . Ao longo de $\vect e_\theta$ : $m\ell\ddot\theta = -mg\sin\theta$ ,

\ddot\theta + \frac{g}{\ell}\sin\theta = 0 ,

que para pequenos ângulos ( $\sin\theta \approx \theta$ ) é a equação harmônica com $\omega_0 = \sqrt{g/\ell}$ : período $T_0 = 2\pi\sqrt{\ell/g}$ , o $k = 2\pi$ que o Exemplo 1.8 não pôde fornecer. Ao longo de $\vect e_r$ : $T = mg\cos\theta + m\ell\dot\theta^2$ — o fio puxa com mais força embaixo, onde a velocidade é maior.

À esquerda: o pêndulo simples, as suas duas forças e a base polar usada para projetar a lei de Newton. À direita: um corpo que cai do repouso sob o seu peso e uma força de arrasto: a velocidade se aproxima da velocidade limite v_∈fty, exponencialmente no arrasto linear (= m/), como uma tangente hiperbólica no arrasto quadrático (= v_∈fty/g). — À esquerda: o pêndulo simples, as suas duas forças e a base polar usada para projetar a lei de Newton. À direita: um corpo que cai do repouso sob o seu peso e uma força de arrasto: a velocidade se aproxima da velocidade limite $v_\infty$ , exponencialmente no arrasto linear ( $\tau = m/\alpha$ ), como uma tangente hiperbólica no arrasto quadrático ( $\tau = v_\infty/g$ ).

Proposição 12.13 (Queda com arrasto; velocidade limite)

Um corpo de massa $m$ que cai do repouso sob o seu peso e uma força de arrasto atinge uma velocidade limite em que os dois se equilibram. Arrasto linear: $m\dot v = mg - \alpha v$ , $v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ com $v_\infty = mg/\alpha$ , $\tau = m/\alpha$ . Arrasto quadrático: $m\dot v = mg - \tfrac12\rho C_xSv^2$ , $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ com

v_\infty = \sqrt{\frac{2mg}{\rho C_xS}}, \qquad \tau = \frac{v_\infty}{g} .

Demonstração. Linear: uma equação de primeira ordem, $\tau\dot v + v = v_\infty$ (Teorema 7.2). Quadrático: com $u = v/v_\infty$ , $\dot u = (1 - u^2)/\tau$ ; separando as variáveis, $\int\dd u/(1 - u^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ (a fração racional $1/(1 - u^2) = \tfrac12[1/(1 - u) + 1/(1 + u)]$ se integra em $\tfrac12\ln\frac{1 + u}{1 - u}$ ), logo $u = \tanh(t/\tau)$ . ∎

Exemplo 12.14 (Duas velocidades limites)

Um paraquedista, $m = 80\,\mathrm{kg}$ , de barriga para baixo, $C_xS \approx 0.8\,\mathrm{m}^{2}$ no ar ( $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ): $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.8)} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , alcançada (a $90\%$ ) em cerca de $1.5\tau = 6\,\mathrm{s}$ . Uma gotícula de neblina, $r = 10\,\text{µ}\mathrm{m}$ , em regime de Stokes ( $\eta_{\text{ar}} = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ): $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ — e é por isso que a neblina fica suspensa no ar.

12.4 Movimento num círculo: forças de vínculo

Proposição 12.15 (Exigência centrípeta)

Um ponto material que se move num círculo de raio $R$ com velocidade $v$ deve receber da resultante das forças uma componente $mv^2/R$ dirigida ao centro. O que quer que a forneça — a tensão de um fio, o atrito, a reação de uma pista sobrelevada, a gravidade — fixa a velocidade máxima ou a velocidade mínima com que o movimento é possível.

Demonstração. Segunda lei de Newton com a aceleração de Frenet: a componente normal de $\sum\vect F$ vale $mv^2/\rho$ . ∎

Exemplo 12.16 (Três círculos)

Curva plana: o atrito deve fornecer $mv^2/R \leq \mu_sN = \mu_smg$ , logo $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$ : $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $R = 50\,\mathrm{m}$ , $\mu_s = 0.8$ . Curva sobrelevada de ângulo $\beta$ , sem atrito: a reação $\vect N$ é normal à pista; na vertical $N\cos\beta = mg$ , na horizontal $N\sin\beta = mv^2/R$ , logo $v^2 = gR\tan\beta$ — a única velocidade com que a curva é feita sem atrito algum. Loop: no alto, com $\vect N$ apontando para baixo, rumo ao centro, $N + mg = mv^2/R$ , e $N \geq 0$ exige $v \geq \sqrt{gR}$ : abaixo disso, o carro deixa a pista (o Problema 11.1 de novo, agora explicado).

Uma curva sobrelevada vista em corte: sem atrito, a reação normal da pista precisa ao mesmo tempo sustentar o carro e empurrá-lo rumo ao centro; a componente horizontal N fornece mv2/R, o que acontece a exatamente uma velocidade, v = √gR. — Uma curva sobrelevada vista em corte: sem atrito, a reação normal da pista precisa ao mesmo tempo sustentar o carro e empurrá-lo rumo ao centro; a componente horizontal $N\sin\beta$ fornece $mv^2/R$ , o que acontece a exatamente uma velocidade, $v = \sqrt{gR\tan\beta}$ .

12.5 Exercícios

Exercício 12.1 ★

Uma pessoa de massa $70\,\mathrm{kg}$ está sobre uma balança num elevador. O que a balança indica (em newtons e em “quilogramas”) quando o elevador acelera para cima a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , para baixo a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , move-se com velocidade constante e cai livremente?

Solução

Solução de Exercício 12.1.

Leitura da balança $N = m(g + a)$ , com $a$ a aceleração para cima: subindo, $70 \times 11.81 = 827\,\mathrm{N}$ (“ $84\,\mathrm{kg}$ ”); descendo, $70 \times 7.81 = 547\,\mathrm{N}$ (“ $56\,\mathrm{kg}$ ”); velocidade constante, $687\,\mathrm{N}$ ( $70\,\mathrm{kg}$ ); queda livre, $0$ .

Exercício 12.2 ★

Um bloco $m_1 = 2.0\,\mathrm{kg}$ sobre uma mesa sem atrito é ligado por um fio que passa por uma polia sem atrito a uma massa pendurada $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$ . Encontre a aceleração e a tensão.

Solução

Solução de Exercício 12.2.

Mesma aceleração $a$ para os dois (fio inextensível): $m_1a = T$ , $m_2a = m_2g - T$ , logo $a = m_2g/(m_1 + m_2) = 3.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $T = m_1a = 6.5\,\mathrm{N}$ .

Exercício 12.3 ★

Um bloco desliza por um plano inclinado de $30^\circ$ com $\mu_d = 0.20$ . Calcule a sua aceleração e a sua velocidade após $5.0\,\mathrm{m}$ a partir do repouso. A resposta depende da sua massa?

Solução

Solução de Exercício 12.3.

$a = g(\sin\alpha - \mu_d\cos\alpha) = 9.81(0.50 - 0.17) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 3.2 \times 5.0} = 5.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Nenhuma massa à vista.

Exercício 12.4 ★

Uma massa de $0.50\,\mathrm{kg}$ pende de uma mola de constante elástica $200\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Encontre o alongamento estático; depois a frequência angular e o período das suas oscilações verticais em torno do equilíbrio (mostre que a equação do movimento é harmônica).

Solução

Solução de Exercício 12.4.

$k\Delta\ell = mg$ : $\Delta\ell = 0.50 \times 9.81/200 = 2.5\,\mathrm{cm}$ . Com $x$ o deslocamento em relação ao equilíbrio, $m\ddot x = -kx$ (o peso e o alongamento estático se cancelam): $\omega_0 = \sqrt{k/m} = 20\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , $T = 0.31\,\mathrm{s}$ .

Exercício 12.5 ★★

Uma caixa está sobre uma plataforma inclinável; ela começa a deslizar a $22^\circ$ . Encontre $\mu_s$ . Um carro numa pista plana com $\mu_s = 0.80$ : velocidade máxima numa curva de raio $50\,\mathrm{m}$ , e numa pista molhada com $\mu_s = 0.40$ .

Solução

Solução de Exercício 12.5.

$\mu_s = \tan 22^\circ = 0.40$ . Curva: $v \leq \sqrt{\mu_sgR}$ : $\sqrt{0.8 \times 9.81 \times 50} = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ); molhada, $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).

Exercício 12.6 ★★

Velocidades limites: um paraquedista ( $m = 80\,\mathrm{kg}$ , $C_xS = 0.70\,\mathrm{m}^{2}$ , $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ); uma gotícula de neblina de raio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ no ar ( $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ ), usando a lei de Stokes. Verifique com um número de Reynolds que cada regime é o correto.

Solução

Solução de Exercício 12.6.

Paraquedista: $v_\infty = \sqrt{2 \times 785/(1.2 \times 0.70)} = 43\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = \rho vL/\eta \approx 1.2 \times 43 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 10^6$ : quadrático. Gotícula: $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ , $v_\infty = mg/6\pi\eta r = 4.1\times10^{-11}/3.4\times10^{-9} = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 0.012 \times 2\times10^{-5}/1.8\times10^{-5} = 0.02$ : linear.

Exercício 12.7 ★★

Um pêndulo de comprimento $\ell$ é solto do repouso em $\theta_0 = 60^\circ$ . Dado que a sua velocidade embaixo vale $\sqrt{2g\ell(1 - \cos\theta_0)}$ (energia, próximo capítulo), encontre a tensão do fio embaixo, em unidades de $mg$ , e no ponto de soltura.

Solução

Solução de Exercício 12.7.

Embaixo: $v^2 = 2g\ell(1 - \cos 60^\circ) = g\ell$ ; $T = mg + mv^2/\ell = 2mg$ . Ponto de soltura: $v = 0$ , $T = mg\cos\theta_0 = 0.5mg$ .

Exercício 12.8 ★★

Uma curva de raio $200\,\mathrm{m}$ é sobrelevada de $15^\circ$ . Com que velocidade ela pode ser feita sem atrito algum? O que o atrito deve fazer em velocidades menores e maiores?

Solução

Solução de Exercício 12.8.

$v = \sqrt{gR\tan\beta} = \sqrt{9.81 \times 200 \times 0.268} = 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( $82\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ). Mais devagar: o carro tende a escorregar rampa abaixo, e o atrito deve apontar rampa acima; mais depressa: o atrito aponta rampa abaixo para acrescentar força centrípeta.

Exercício 12.9 ★★

Um pêndulo cônico: uma massa num fio de comprimento $\ell = 1.0\,\mathrm{m}$ descreve um círculo horizontal, com o fio formando $30^\circ$ com a vertical. Encontre a velocidade angular, o período e a tensão (em unidades de $mg$ ).

Solução

Solução de Exercício 12.9.

$T\cos\alpha = mg$ , $T\sin\alpha = m\omega^2\ell\sin\alpha$ : $\omega = \sqrt{g/\ell\cos\alpha} = \sqrt{9.81/0.866} = 3.4\,\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ , período $1.9\,\mathrm{s}$ ; $T = mg/\cos\alpha = 1.15mg$ .

Exercício 12.10 ★★★

Um carro de $1000\,\mathrm{kg}$ atinge $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ a partir do repouso em $8.0\,\mathrm{s}$ com aceleração constante. Encontre a força resultante e o coeficiente de atrito mínimo entre os pneus de tração e a pista, supondo que as rodas de tração suportem todo o peso. O que limita um carro esportivo numa pista molhada?

Solução

Solução de Exercício 12.10.

$a = 27.8/8.0 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ , $F = 3.5\,\mathrm{kN}$ ; de $F \leq \mu_smg$ vem $\mu_s \geq a/g = 0.35$ . Numa pista molhada $\mu_s \approx 0.4$ limita a aceleração perto de $0.4g$ , qualquer que seja o motor: é aderência, não potência.

Exercício 12.11 ★★★

Um corpo cai do repouso com arrasto linear, $\tau = m/\alpha = 0.50\,\mathrm{s}$ . Escreva $v(t)$ e deduza a distância percorrida $z(t)$ ; calcule $v_\infty$ e $z$ após $2.0\,\mathrm{s}$ ; compare com a queda livre.

Solução

Solução de Exercício 12.11.

$v = v_\infty(1 - \eu^{-t/\tau})$ , $v_\infty = g\tau = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $z = \int v = v_\infty[t - \tau(1 - \eu^{-t/\tau})]$ . Em $2.0\,\mathrm{s}$ : $4.9 \times (2.0 - 0.5 \times 0.98) = 7.4\,\mathrm{m}$ , contra $\tfrac12 gt^2 = 20\,\mathrm{m}$ no vácuo.

Exercício 12.12 ★★★

Um carro de massa $m$ percorre o interior de um loop circular vertical de raio $R$ (Problema 11.1). Exprima a reação normal da pista em função do ângulo $\theta$ medido a partir do ponto mais baixo e da velocidade $v(\theta)$ ; deduza a velocidade mínima no alto; usando $v^2 = v_0^2 - 2gR(1 - \cos\theta)$ , encontre a velocidade mínima de entrada e a reação embaixo nesse caso.

Solução

Solução de Exercício 12.12.

Projeção radial (rumo ao centro): $N - mg\cos\theta = mv^2/R$ , logo $N = m(v^2/R + g\cos\theta)$ . No alto ( $\theta = \pi$ ): $N = m(v^2/R - g) \geq 0$ se e só se $v \geq \sqrt{gR}$ . Com a lei da velocidade, $v_{\text{alto}}^2 = v_0^2 - 4gR \geq gR$ : $v_0 \geq \sqrt{5gR}$ ; então, embaixo, $N = m(5g + g) = 6mg$ .

Queda livre com ar: após alguns segundos o arrasto quadrático equilibra o peso e o paraquedista cai a uma velocidade limite próxima de 200\, km/ h — o problema de fim de semana. — Queda livre com ar: após alguns segundos o arrasto quadrático equilibra o peso e o paraquedista cai a uma velocidade limite próxima de $200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — o problema de fim de semana.

12.6 Problema: o paraquedista

Problema 12.1

Problema de fim de semana — da porta do avião até o solo: queda livre, o ar que empurra de volta, um velame que se abre depressa demais e a aterrissagem — uma lei do movimento, duas leis de arrasto

Um paraquedista com equipamento tem massa $m = 80\,\mathrm{kg}$ . Ar: $\rho = 1.2\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ , $\eta = 1.8 \times 10^{-5}\,\mathrm{Pa}\,\mathrm{s}$ . Caindo de barriga para baixo, $C_xS = 0.80\,\mathrm{m}^{2}$ ; sob o velame aberto, $C_xS = 25\,\mathrm{m}^{2}$ . $g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $z$ é contado para baixo a partir do ponto de salto.

Parte I — Sem ar.

Escreva a segunda lei de Newton e dê $v(t)$ e $z(t)$ ; calcule ambos em $t = 10\,\mathrm{s}$ .
Calcule o peso.
O paraquedista se sente “sem peso” durante essa fase, embora a gravidade aja plenamente. Explique pelas forças (o que falta em comparação com estar de pé no solo).
O referencial da Terra é suficientemente inercial para este problema? Nomeie o que está sendo desprezado.

Parte II — Caindo através do ar.

Escreva a força de arrasto na queda de barriga para baixo em função de $v$ .
Escreva a equação de movimento para $v(t)$ .
Encontre a velocidade limite $v_\infty$ (em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ).
Com $u = v/v_\infty$ e $\tau = v_\infty/g$ , mostre que $\dd u/\dd t = (1 - u^2)/\tau$ ; calcule $\tau$ .
Resolva por separação de variáveis e mostre que $v = v_\infty\tanh(t/\tau)$ .
Após quanto tempo $v = 0.9v_\infty$ ? E $0.99v_\infty$ ?
Mostre que $z(t) = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ e calcule a distância percorrida em $t = 10\,\mathrm{s}$ ; compare com a Parte I.
Estime o número de Reynolds em $v_\infty$ com $L = 0.5\,\mathrm{m}$ e justifique a lei quadrática.

Parte III — O velame se abre.

Calcule a nova velocidade limite sob o velame aberto.
Se o velame abrisse instantaneamente a $v = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , qual seria a desaceleração, em $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ e em $g$ ? Por que isso é inaceitável?
Os velames reais se abrem em cerca de $3\,\mathrm{s}$ . Estime a desaceleração média e a força média do arnês sobre o paraquedista.
Uma vez plenamente aberto o velame, a velocidade decai rumo à nova $v_\infty$ : qual é a nova constante de tempo $\tau' = v_\infty'/g$ , e o que ela significa para a aproximação à descida estacionária?
Na descida estacionária, qual é a força do arnês? Justifique com a segunda lei.
Explique por que a velocidade limite varia como $1/\sqrt{C_xS}$ : por qual fator um velame de metade da área a aumentaria?
Um saltador mais pesado ( $100\,\mathrm{kg}$ ) sob o mesmo velame: qual a velocidade limite?

Parte IV — A aterrissagem.

A velocidade de aterrissagem é a $v_\infty$ do velame. De que altura seria preciso saltar, sem ar, para chegar ao solo com essa velocidade?
Uma aterrissagem de pernas rígidas para o corpo em $0.5\,\mathrm{m}$ ; um rolamento, em $1.5\,\mathrm{m}$ . Estime a desaceleração média (em $g$ ) e a força média sobre as pernas em cada caso, e conclua.
Pouco antes de tocar o solo o paraquedista puxa os dois comandos, o que aumenta brevemente o arrasto do velame. Explique qualitativamente o efeito sobre a velocidade.

Parte V — Coisas pequenas caem de outro jeito.

Uma gota de chuva de raio $1.0\,\mathrm{mm}$ ( $C_x = 0.5$ ): calcule a sua velocidade limite pela lei quadrática e verifique o número de Reynolds.
Uma gotícula de neblina de raio $10\,\text{µ}\mathrm{m}$ : use a lei de Stokes para $v_\infty$ e verifique que o número de Reynolds é de fato pequeno.
Resuma: uma equação de movimento, dois regimes de arrasto e os três números ( $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ) que decidem se algo cai como uma pedra, como uma folha ou não cai.

Solução

Solução de Problema 12.1.

1. $m\dot v = mg$ : $v = gt$ , $z = \tfrac12 gt^2$ ; em $10\,\mathrm{s}$ : $98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , $490\,\mathrm{m}$ .

2. $mg = 785\,\mathrm{N}$ .

3. No solo o piso empurra para cima com $N = mg$ — é esse empurrão que se sente como peso. Em queda livre não há força de contato: a gravidade age igualmente sobre cada parte e nada pressiona.

4. Sim, com erro de uma fração de por cento ao longo de um minuto; despreza-se: a rotação da Terra (termos centrífugo e de Coriolis, Capítulo 18) e o vento.

5. $F_d = \tfrac12\rho C_xSv^2 = 0.48\,v^2$ (SI).

6. $m\,\dd v/\dd t = mg - 0.48v^2$ .

7. $v_\infty = \sqrt{mg/0.48} = \sqrt{1635} = 40\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 146\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

8. Divida por $mg$ : $\dd u/\dd t\,(v_\infty/g) = 1 - u^2$ ; $\tau = 40.4/9.81 = 4.1\,\mathrm{s}$ .

9. $\int_0^u\dd u'/(1 - u'^2) = \operatorname{artanh}u = t/\tau$ , logo $u = \tanh(t/\tau)$ .

10. $t = \tau\operatorname{artanh}(0.9) = 1.47\tau = 6.1\,\mathrm{s}$ ; para $0.99$ : $2.65\tau = 11\,\mathrm{s}$ .

11. $z = \int v_\infty\tanh(t/\tau)\dd t = v_\infty\tau\ln\cosh(t/\tau)$ ; em $10\,\mathrm{s}$ : $166 \times \ln\cosh(2.43) = 166 \times 1.74 = 290\,\mathrm{m}$ , contra $490\,\mathrm{m}$ .

12. $\mathrm{Re} = 1.2 \times 40 \times 0.5/1.8\times10^{-5} \approx 1.3 \times 10^{6}$ : muito acima de $1000$ , quadrático.

13. $v_\infty' = \sqrt{785/(0.6 \times 25)} = \sqrt{52} = 7.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

14. Arrasto $= 15 \times 1600 = 24\,\mathrm{kN}$ ; $a = (24000 - 785)/80 = 290\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 30g$ : o arnês arrebentaria, ou o saltador.

15. Média $a \approx (40 - 7)/3 = 11\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 1.1g$ ; força do arnês $\approx m(g + a) \approx 1.7\,\mathrm{kN}$ .

16. $\tau' = 7.2/9.81 = 0.73\,\mathrm{s}$ : em poucos segundos após a abertura completa a descida já é estacionária.

17. $\vect a = \vect 0$ : força do arnês $= mg = 785\,\mathrm{N}$ .

18. O equilíbrio $mg = \tfrac12\rho C_xSv^2$ dá $v \propto (C_xS)^{-1/2}$ : metade da área, $\sqrt2$ vezes a velocidade ( $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ).

19. $v \propto \sqrt m$ : $7.2 \times \sqrt{100/80} = 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .

20. $h = v^2/2g = 52/19.6 = 2.6\,\mathrm{m}$ : um salto de um primeiro andar.

21. $a = v^2/2d$ : $52\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ( $5.3g$ ) em $0.5\,\mathrm{m}$ , força $m(g + a) \approx 5\,\mathrm{kN}$ ; $17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ( $1.8g$ ) em $1.5\,\mathrm{m}$ , $2.2\,\mathrm{kN}$ . Role.

22. Um arrasto maior (e alguma sustentação) supera momentaneamente o peso: o saltador desacelera e toca o solo abaixo de $v_\infty'$ .

23. $m = \tfrac43\pi r^3\rho_w = 4.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$ , $S = \pi r^2 = 3.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}^{2}$ : $v_\infty = \sqrt{2mg/\rho C_xS} = \sqrt{8.2\times10^{-5}/ 1.9\times10^{-6}} = 6.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $\mathrm{Re} = 1.2 \times 6.6 \times 2\times10^{-3}/1.8\times10^{-5} \approx 900$ : quadrático (grosso modo).

24. $v_\infty = 1.2\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ (Exercício 12.6); $\mathrm{Re} \approx 0.02 \ll 1$ : Stokes se aplica, coerentemente.

25. $m\dot{\vect v} = m\vect g + \vect F_{\text{arrasto}}$ ; o arrasto é linear em $v$ para coisas pequenas e lentas, e quadrático para coisas grandes e rápidas. Os números: $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para um corpo em queda, $7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sob um velame (ou para uma gota de chuva), $1\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}$ para a neblina — a mesma lei ao longo de quatro ordens de grandeza.

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