ما معنى تشاكل ذاتي هرميتي؟ — الرياضيات

تعريف 13.5 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · الفصل 13 — الصيغ الهرميتية

يُعرَّف المرافق $u^*$ للتشاكل $u \in \mathcal{L}(E)$ بالعلاقة $\langle u^*(x), y\rangle = \langle x, u(y)\rangle$ ؛ وفي أساس متعامد ممنظم، $\operatorname{Mat}(u^*) = \conj{A}^{\mathsf T} =: A^{\dagger}$ (وهو المنقول المرافق) — فعلًا، إذا كانت $B = (b_{ij})$ مصفوفة $u^*$ في الأساس المتعامد الممنظم $(e_i)$ ، فإن $b_{ij} = \langle e_i, u^*(e_j)\rangle$ ، وتعطي المتطابقة المعرِّفة

\conj{b_{ij}} = \langle u^*(e_j), e_i\rangle = \langle e_j, u(e_i)\rangle = a_{ji} , \qquad\text{ومنه}\qquad B = \conj{A}^{\mathsf T} .

ويكون $u$ هرميتيًا إذا كان $u^* = u$ ( $A^\dagger = A$ )، ووحدويًا إذا كان $u^*u = \mathrm{id}$ ( $A^\dagger A = I$ : أي الزمرة $U(n)$ )، وناظميًا إذا كان $u^*u = uu^*$ .

أمثلة

مثال 13.7 (مصفوفة ضدّ هرميتية، مقطَّرة)

$A = \begin{pmatrix} 0 & -2\\ 2 & 0\end{pmatrix}$ تحقق $A^\dagger = A^{\mathsf T} = -A$ : فهي ضدّ هرميتية (وهي أيضًا حقيقية ضدّ متماثلة — وعلى $\R$ ليست لها أي قيمة ذاتية إطلاقًا). وكثير الحدود المميز $X^2 + 4$ : فالقيمتان الذاتيتان $\pm2\iu$ ، وهما تخيليتان محضًا، كما تتنبأ التمرين 13.9 عمومًا. والمتجهتان الذاتيتان: يعطي $(A - 2\iu I)v = 0$ أن $v_1 = \frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)$ ، و $v_2 = \frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)$ من أجل $-2\iu$ ؛ وهما متعامدتان:

\langle v_1, v_2\rangle = \tfrac12\bigl(\conj{1}\cdot1 + \conj{\iu}\cdot(-\iu)\bigr) = \tfrac12(1 - 1) = 0 .

ومنه $A = U\operatorname{diag}(2\iu, -2\iu)\,U^\dagger$ مع $U = (v_1\ v_2)$ وحدوية. والفكرة الختامية: $H = -\iu A = \begin{pmatrix} 0 & 2\iu\\ -2\iu & 0\end{pmatrix}$ هرميتية بالطيف الحقيقي $\{\pm2\}$ وبالمتجهات الذاتية نفسها — أي التقابل $u \mapsto \iu u$ بين التشاكلات الهرميتية وضدّ الهرميتية (التمرين 13.9)، مرئيًا مصفوفةً مصفوفة؛ وعلى $\R$ تكون $A$ نفسها دورانًا مع تغيير سلّم بلا أي متجهة ذاتية إطلاقًا، ولا يكشف صورتها الطبيعية إلا الانتقال إلى $\C$ .

مثال 13.9

$A = \begin{pmatrix} 0 & -\iu\\ \iu & 0\end{pmatrix}$ هرميتية (لأن $A^\dagger = A$ ): والقيم الذاتية من $\chi_A = X^2 - 1$ : $\pm 1$ (حقيقية، كما وُعد)، بمتجهتين ذاتيتين متعامدتين ممنظمتين $\frac{1}{\sqrt2}(1, \iu)^{\mathsf T}$ و $\frac{1}{\sqrt2}(1, -\iu)^{\mathsf T}$ . (ويعرف الفيزيائيون $A$ بمصفوفة باولي؛ و حقيقيةُ الأطياف الهرميتية هي السبب في نمذجة المراقَبات الكمومية بمؤثرات هرميتية.)

مثال 13.10 (مصفوفة هرميتية معرَّفة موجبة، منفَّذة)

$A = \begin{pmatrix} 2 & 1-\iu\\ 1+\iu & 3\end{pmatrix}$ : هرميتية، لأن القطر حقيقي والعناصر خارج القطر مترافقة. وكثير الحدود المميز:

(2-\lambda)(3-\lambda) - \abs{1-\iu}^2 = \lambda^2 - 5\lambda + 4 = (\lambda - 1)(\lambda - 4) :

والطيف $\{1, 4\}$ ، وهو حقيقي وموجب — ومن ثم فإن $A$ معرَّفة موجبة. والمتجهات الذاتية: من أجل $\lambda = 4$ ، تعطي الجملة $(A - 4I)v = 0$ أن $v_4 = (1 - \iu,\ 2)$ (وللتحقق من السطر الثاني: $(1+\iu)(1-\iu) - 2 = 0$ )؛ ومن أجل $\lambda = 1$ ، $v_1 = (1 - \iu,\ -1)$ . والتعامد، مع المرافق في الخانة الأولى:

\langle v_4, v_1\rangle = \conj{(1-\iu)}\,(1-\iu) + \conj{2}\,(-1) = 2 - 2 = 0 . \checkmark

والتنظيم ( $\norm{v_4}^2 = 2 + 4 = 6$ ، $\norm{v_1}^2 = 2 + 1 = 3$ ) يعطي المصفوفة الوحدوية $U = \bigl(\frac{v_4}{\sqrt6}\ \frac{v_1}{\sqrt3}\bigr)$ مع $A = U\operatorname{diag}(4,1)U^\dagger$ . والفكرة الختامية: قراءة رايلي مباشرة — فعلى كرة الوحدة في $\C^2$ ، تجري $\langle x, Ax\rangle$ على $\intcc{1}{4}$ ، وتُبلغ عند المتجهتين الذاتيتين؛ وهذه هي بذرة $n = 2$ لنظرية كوران–فيشر المبنية في مسألة نهاية الأسبوع. وللتحقق من أن الصيغة حقيقية خارج المتجهات الذاتية أيضًا: عند $x = (1, \iu)$ ،

Ax = \bigl(2 + (1-\iu)\iu,\ (1+\iu) + 3\iu\bigr) = (3 + \iu,\ 1 + 4\iu),

\langle x, Ax\rangle = \conj{1}\,(3+\iu) + \conj{\iu}\,(1+4\iu) = (3 + \iu) + (-\iu)(1 + 4\iu) = 3 + \iu - \iu + 4 = 7 \in \R ,

كما تضمن آلية برهان القضية 13.6 (التماثل بالمرافقة في مقابل $A^\dagger = A$ ) من أجل كل $x$ .

اقرأ في الفصل ←

أمثلة

مصطلحات ذات صلة