全部书籍

专业

应用 关于 Coach 登录 开始阅读

书籍暂未推出简体中文版——当前显示 العربية 版。

الرياضيات · 术语表

什么是 المرافق؛ التشاكلات الذاتية المتماثلة？

又称： مرافق · تشاكل ذاتي متماثل

تعريف 12.11 الرياضيات الجامعية — السنة 2 · 第 12 章 — الصيغ التربيعية

من أجل u∈L(E)u \in \mathcal{L}(E)، يكون المرافق u∗u^* هو التشاكل الذاتي الوحيد الذي يحقق

⟨u(x),y⟩=⟨x,u∗(y)⟩(x,y∈E);\langle u(x), y\rangle = \langle x, u^*(y)\rangle \qquad (x, y \in E);

وفي أساس متعامد ممنظم، Mat⁡(u∗)=Mat⁡(u)T\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}. ويكون uu متماثلًا (ذاتي المرافق) إذا كان u∗=uu^* = u — وبكيفية مكافئة، إذا كانت مصفوفته في أساس متعامد ممنظم متماثلة.

示例

مثال 12.12 (المرافق يتعلق بالجداء السلّمي)

على R2\R^2 نأخذ الجداء السلّمي الموزون ⟨x,y⟩D=x1y1+2x2y2\langle x, y\rangle_D = x_1y_1 + 2x_2y_2 (بالمصفوفة D=diag⁡(1,2)D = \operatorname{diag}(1,2)) ونأخذ uu بالمصفوفة A=(0100)A = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix} في الأساس القانوني. ومن ⟨u(x),y⟩D=(Ax)TDy=xT(ATD)y\langle u(x), y\rangle_D = (Ax)^{\mathsf T}Dy = x^{\mathsf T}(A^{\mathsf T}D)y ومن ⟨x,u∗(y)⟩D=xT(DA∗)y\langle x, u^*(y)\rangle_D = x^{\mathsf T}(DA^*)y، تكون مصفوفة المرافق

A∗=D−1ATD=(10012)(0010)(1002)=(00120)≠AT.A^* = D^{-1}A^{\mathsf T}D = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \tfrac12\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ \tfrac12 & 0\end{pmatrix} \neq A^{\mathsf T} .

وللتحقق على x=(1,0)x = (1,0)، y=(0,1)y = (0,1):

⟨u(x),y⟩D=⟨(0,0),y⟩D=0,⟨x,u∗(y)⟩D=⟨(1,0),(0,12)⟩D=0;\langle u(x), y\rangle_D = \langle (0,0), y\rangle_D = 0, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(1,0), (0,\tfrac12)\rangle_D = 0 ;

وعلى x=(0,1)x = (0,1)، y=(1,0)y = (1,0):

⟨u(x),y⟩D=⟨(1,0),(1,0)⟩D=1,⟨x,u∗(y)⟩D=⟨(0,1),(0,12)⟩D=1.\langle u(x), y\rangle_D = \langle(1,0),(1,0)\rangle_D = 1, \quad \langle x, u^*(y)\rangle_D = \langle(0,1),(0,\tfrac12)\rangle_D = 1 .

والفكرة الختامية: قولُ “Mat⁡(u∗)=Mat⁡(u)T\operatorname{Mat}(u^*) = \operatorname{Mat}(u)^{\mathsf T}” قولٌ في الأسس المتعامدة الممنظمة فقط؛ وعمومًا يتدخل المتري DD، تمامًا كما في الاختزال المتزامن في مسألة نهاية الأسبوع.

在原文中阅读 ←