فضاء أفيني কী?

مثال 17.2 (فضاء أفيني بلا مبدأ طبيعي)

مستوي الحلول $\mathcal E = \{(x, y, z) \in \R^3 : x + y + z = 1\}$ ليس فضاء متجهيا جزئيا ($0 \notin \mathcal E$)، لكنه فضاء أفيني موجه بالفضاء $E = \{x + y + z = 0\}$: فمن أجل $A, B \in \mathcal E$ يقع الفرق $\vect{AB} = B - A$ في $E$ (فالمجموعان يتلاشيان)، وعلاقة شال موروثة من $\R^3$، والتطبيق $B \mapsto \vect{AB}$ تقابلي على $E$. ولا تتميز أي نقطة من $\mathcal E$ — فأي اختيار “لمبدأ” $O \in \mathcal E$ صالح بالقدر نفسه، وجميع المطابقات $M \mapsto \vect{OM}$ تختلف بانسحابات. وهذا هو الوضع النمطي: فمجموعات حلول المسائل الخطية غير المتجانسة (الجمل الخطية، والمعادلات التفاضلية الخطية في الفصل 16) أفينية لا خطية أبدا، والشعار “حل خاص زائد النواة” هو بالضبط النص $\mathcal F = A + F$ في التعريف التالي.